Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Kolokwium nr 2 – 6.06.2011

Zadadanie 1 (10pkt)

Czasy oczekiwania na kolejne żądania użytkownika systemu webowego modelowane są niezależnymi realizacjami

zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem a, p(t|a) = Exp(t|a), gdzie a > 0, t > 0. Dodatkowo

znany jest rozkład a priori parametru a, p(a) = Exp(a|β), gdzie a > 0, β > 0. Zaobserwowano N niezależnych cza-

sów oczekiwań t = {t

n

}

N

n=1

. Dla parametru a znaleźć rozkład a posteriori p(a|t), a następnie wyznaczyć estymator

maksymalnego a posteriori (MAP). Wskazówka: Gęstość rozkładu wykładniczego ma postać Exp(x|λ) = λe

−λx

,

gdzie x > 0, λ > 0.

Zadanie 2 (10pkt)

Niech zmienna losowa K ∈ {0, 1} oznacza czy kupiony na giełdzie rower jest kradziony. Prawdopodobieństwo

zakupu kradzionego roweru wynosi p(K = 1) = 0.3. Niech zmienne losowe M ∈ {0, 1} i N ∈ {0, 1} oznaczają

odpowiednio czy rower został przemalowany oraz czy da się odczytać numer ramy. Łączne prawdopodobieństwa

tych dwóch zdarzeń w przypadku roweru kradzionego wynoszą odpowiednio: p(M = 0, N = 0|K = 1) = 0.5, p(M =

0, N = 1|K = 1) = 0.2, p(M = 1, N = 0|K = 1) = 0.2. Natomiast w przypadku roweru niekradzionego wynoszą:

p(M = 0, N = 0|K = 0) = 0.1, p(M = 0, N = 1|K = 0) = 0.5, p(M = 1, N = 0|K = 0) = 0.1. Zaobserwowano,

że rower, który chcemy kupić, ma widoczne numery oraz został przemalowany. Wyznaczyć prawdopodobieństwo

p(K = 1|M = 1, N = 1) i na tej podstawie podjąć decyzję czy dany rower jest kradziony.

Zadanie 3 (10pkt)

Trójkątny

obszar

∆

na

płaszczyźnie

opisany

jest

jako

przecięcie

trzech

półpłaszczyzn:

∆ = {x ∈ R

2

: Gx + h 0}, gdzie G jest macierzą o wymiarach 3 × 2, h jest wektorem o wymiarach 3 × 1.

Dany jest prostąkąt R = {x ∈ R

2

: a ≤ x

1

≤ b, c ≤ x

2

≤ d}. Chcemy znaleźć prostokąt R o maksymalnym polu

zawarty w obszarze ∆. Sformułować wypukły problem optymalizacji, przyjmując a, b, c, d jako zmienne decyzyjne.

Uzasadnić, że sformułowany problem jest wypukły.

Zadanie 4 (10pkt)

Prosta l w przestrzeni trójwymiarowej przechodząca przez początek układu współrzędnych opisana jest równaniem

l = {x ∈ R

3

: Ax = 0}, gdzie A jest macierzą o wymiarach 2 × 3. Dany jest także punkt z ∈ R

3

. Korzystając z

funkcji Lagrange’a wyznaczyć najbliższy punkt do punktu z leżący na prostej l.

Wskazówka: W celu uproszczenia rachunków wykorzystać następujące własności:

∇

x

kx − zk

2

2

= 2(x − z) oraz ∇

x

λ

T

Ax = A

T

λ.

1