1.Drgania harmoniczne
Ruchem drgającym nazywamy rych ciala zachodzący wokół stałego położenia równowagi Szczególnym rodzajem drgań są drgania harmoniczne, tj. okresowe, o stałej amplitudzie, opisane sinusoidą. Ze względu na prostotę opisu drgania harmoniczne są wykorzystywane do opisu wielu drgań rzeczywistych jako ich przybliżenie (lub poprzez rozkład na nie).
Najprostsze równanie opisujące drgania harmoniczne (dla ciężarka zawieszonego na sprężynie) ma postać:
mx'' (t) + kx(t) = 0.
Rozwiązaniem jest funkcja
x(t)=Asin(ωt+ϕ0),
gdzie A - amplituda drgań, ω = 2πν = (k/m)0.5, ω - częstość kołowa (ν - częstość drgań), k - współczynnik sprężystości, m - masa ciała, ϕ0 - faza początkowa.
2.OMÓW RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY
Drgania, w których amplituda zmniejsza się przy niezmiennej częst.(okresie)nazywane są drganiami tłumionymi. Występują one wtedy, gdy działa siła utrudniająca ten ruch zwana siłą tłumioną Ft=-bv; Ft=-bdx/dt, b-wsp. oporu, „-„ oznacza,że siła oporu ma zawsze przeciwny zwrot do zwrotu wektora prędkości. Wypadkowa wynosi Fs+Ft=Fw; ma=Fw; (md2x/dt2=-kx-bdx/dt)/:m; d2x/dt2+xk/m+(b/m)dx/dt=0, k/m=ω02; b/m=2δ. Podstawić(otrzymamy r-nie różniczkowe ruchu h.tł.).
3.OMÓW RUCH HARMONICZNY TŁUMIONYZ SIŁĄ WYMUSZAJĄCĄ
W stanie równowagi(stan układu, w którym efekty końcowe już wygasły) drgania układu będą miały dokładnie częstość siły wymuszającej. F(t)=F0sin ωt - siła wymuszająca
Md2x/dt2+γdx/dt+Cx=F(t); τ=M/γ; ω02=C/M; d2x/dt2+(1/ τ)dx/dt+ ω02x=F(t)/M M-masa
F(t)/M=F0sinωt/M≡α0sinωt; α0≡F0/M. W innych przypadkach względna faza między siłą zewnętrzną a drganiem układu będzie zmieniała się z czasem. W stanie równowagi drgania oscylatora harmonicznego występują z częstotliwością siły zewnętrznej. R-nie ruchu będzie spełnione tylko dla częst.=częst. siły zewn. Szukamy rozw. r-nia w postaci x=x0sin(ωt+φ)
ω-częst. siły wymuszającej, φ-wartość przesunięcia fazowego między siłą wymuszającą a przesunięciem oscylatora(ma to inne znaczenie niż w przypadku drgań niewymuszających oscylatora harmonicznego nietłumionego). Dla drgań wymuszonych oscylatora warunki początkowe nie są istotne jeżeli rozważany jest tylko stan równowagi. Przesunięcie fazowe mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza max siły. dx/dt= ωx0cos(ωt+φ)
d2x/dt2=- ω2x0sin(ωt+φ). R-nie ruchu ma zatem postać: (ω02- ω2) x0 sin(ωt+φ)+ ω/T x0cos(ωt+φ)= α0sinωt. Korzystamy ze związków trygonometrycznych:
sin(ωt+φ)= sinωtcosφ+sinφcosωt
cos(ωt+φ)= cosωtcosφ-sinωtsinφ
R-nie przyjmujepostać:[(ω02-ω2) cosφ- ω/ τsinφ]x0sinωt+[(ω02-ω2)sinφ+ ω/τcosφ]x0cosωt= α0sinωt. R-nie to może być spełnione tylko wtedy, gdy wspólczynnik przy cosωt=o. Warunek ten może być zapisany jako tgφ=-(ω/τ)/ ω02-ω2 (wsp. przy sinωt musi być=0.
Średnia w czasie praca wykonywana przez siłę wymuszającą w jednostce czasu na układzie drgającym jest dana na podstawie F(t)/m=F0sinωt/m= α0sinωt
4. Absorpcja mocy przez oscylator harmoniczny
Oscylator harmoniczny, wyidealizowany układ fizyczny - punkt materialny o masie m, na który działa siła proporcjonalna do chwilowego wychylenia x od pewnego położenia równowagi. Klasyczne równanie ruchu oscylatora harmonicznego ma postać:
punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o częstości kołowej
(A jest ich amplitudą, ϕ - stałą fazą).
Średnia w czasie praca wykonywana przez siłę wymuszającą w jednostce czasu na układzie drgającym jest dana na podstawie F(t)/m=F0sinωt/m= α0sinωt
5. Składanie drgań współbieżnych
Załóżmy, że wychylenie drgania możemy opisać za pomocą równań:
Wychylenie drgania wypadkowego możemy przedstawić za pomocą sumy wychyleń:
Wynik sumowania zależny jest od wartości amplitud A1,A2, częstości ω1 i ω2
ω oraz faz początkowych ϕ1 ϕ2.
A) Jeżeli:
ϕ1= ϕ2=0, A1=A2=A, ω1=ω2=ω
x=Acosωt+Acosωt
x=2Acosωt
Drganie wypadkowe jest drganiem harmonicznym, którego amplituda jest dwa razy większa od drgań składowych.
B) Jeżeli:
A1= A2=A, ω1≠ω2, ϕ1= ϕ2=0
x=Acosω1t+Acosω2t
x=A(cosω1t+cosω2t)
Interesujący przypadek występuje w przypadku gdy częstość drgań ω1 i ω2niewiele się od siebie różnią, wtedy:
ω1-ω2<<ω1+ω2
Ruch wypadkowy jest drganiem harmonicznym o częstości (pulsacji):
i amplitudzie:
Amplituda drgania wypadkowego zależy od czasu i zmienia się od wartości 0 do 2A w czasie:
Tego typu zmianę amplitudy nazywamy dudnieniem:
6. Składanie drgań prostopadłych
Załóżmy, że dwa drgania proste odbywają się wzdłuż prostopadłych osi x i y. Równania opisujące te drgania mają postać:
równanie toru
1) Jeżeli
ϕ1= ϕ2=0, A1=A2=A, ω1=ω2=ω
x=Acosωt
y=Acosωt
z równań wynika, że y=x.
Jest to równanie prostej, nachylonej do osi x pod kątem 45o
Drganie wypadkowe odbywa się wzdluż tej prostej a maksymalne wychylenie:
2) jeżeli:
A1= A2=A, ω1=ω2=ω, ϕ1=90,ϕ2=0
Podnosząc oba równania do kwadratu otrzymujemy: x2+y2=A2 czyli równanie okręgu.
8.OMÓW MECHANIZM ROZCHODZENIA SIĘ FALI HARMONICZNEJ PODŁUŻNEJ ORAZ PODAJ R-NIE PŁASKIEJ FALI BIEGNĄCEJ.
Załóżmy przykładowo,że źródłem fali jest tłok drgający ruchem harmonicznym u wylotu długiej rury zawierającej powietrze. Rys. Kolejne położenia tłoka co 1/8T odpowiadają punktom A1,A2,A3... wychylenie tłoka w prawo(dodatnie)powoduje zagęszczenie powietrza w rurze, wychylenie w lewo rozrzedzenie. Zaburzenia wzbudzane przez ruch tłoka dochodzą do coraz dalej położonych cząstek powietrza, ale z coraz większym opóźnieniem. Wychylenie cząsteczek od położenia równowagi dokładnie po upływie 1 okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez tłok. Niech punkt A na rys.2a oznacza cząstkę ośrodka, do której dochodzi zaburzenie od źródła O po upływie 1 okresu. Dzieląc odległość OB na 8 równych części wyodrębniamy te cząstki ośrodka, do których zaburzenie dochodzi z opóźnieniem wynoszącym 1/8T;2/8T;3/8T... Rys.2
Ich położenia równowagi przedstawiają odpowiednie punkty A7', A6',A5'... Każdy z tych punktów do końca okresu będzie dany odpowiednio w ciągu 7/8T,6/8T... Położenie tych punktów po upływie 1 okresu od chwili rozpoczęcia ruchu przez źródło przedstawia Rys.2c.
Zaznaczone są wektory prędkości chwilowej badanych ciał. Aby otrzymać obraz fali podłużnej stosujemy umowę, że wielkość odchyleń od położenia równowagi odłożymy jako rzędne w stosunku do linii równowagi. Stosując taką umowę otrzymujemy obraz fali poprzecznej i fali podłużnej w postaci krzywych sinusoidalnych. W p.A4' panuje największe rozrzedzenie a zatem największe obniżenie ciśnienia w stosunku do ciśnienia równowagi.
R-nie fali biegnącej: w kierunku dodatnim y=f(x-vt); x-vt - faza, w odwrotnym y=f(x+vt).
9.OMÓW MECHANIZM ROZCHODZENIA SIĘ FALI HARMONICZNEJ POPRZECZNEJ ORAZ PODAJ R-NIE PŁASKIEJ FALI BIEGNĄCEJ.
W falach poprzecznych drgania cząstek ośrodka są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Niech p.O przedstawia źródło fali w t=0 w położeniu równowagi, po 1/8T-A1, po 2/8T-A2, po 3/8T-A3(A3=A1), po4/8T punkt O przechodzi przez położenie równowagi A4, po czym wychyla się w stronę przeciwną osiągając A5 po 5/8T. Dzięki siłom sprężystym drgania O udzielają się sąsiednim cząstkom. Każda zostaje wprowadzona w analogiczne drgania, ale rozpoczyna swój ruch z pewnym opóźnieniem, zależnym od jej odległości od O. Do punktu A1 zaburzenie doszło z opóźnieniem 1/8T, do końca pozostało 7/8T i tyle wynosi czas drgania A1. Wychylenie A1 od położenia równowagi=wychyleniu O po upływie 7/8T.
10.RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI PŁASKIEJ.
Fala - jest to przemieszczenie się zaburzenia w czasie i przestrzeni. Pow. Falo.- zbiór punktów które drgają z tą samą fazą. Czoło fali - najdalej wysunięta powierzchnia falowa w danym czasie. Promień wyznacza kierunek rozchodzenia się fali . W ruchu falowym nie ma przenoszenia ośrodka (cząstki drgają wokół położenia równowagi). W fali harmonicznej podłużnej drgania odbywają się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali. Fale podłóżne rozchodzą się we wszystkich ośrodkach. Źródłem fali może być np. tło drgający ruchem harmonicznym u wylotu rury z powietrzem (ruch w prawo zagęszczanie ruch w lewo rozżadzanie ). Następnie to zagęszczenie przemieszcza.
Cząstki wprawione w drgania przekazują te drgania sąsiednim cząstkom.
Drganie harmoniczne punktu można zapisać równaniem:
gdy φ=0
Po czasie t zaburzenie dociera do punktu oddalonego o x. Jest ono opóźnione względem drganie źródła o :
v-prędkość rozchodzenia się zaburzenia
RÓŻNICZKOWE:
Porównanie z
różniczkowa postać fali płaskiej
.
11.OMÓW MECHANIZM POWSTAWANIA I WŁASNOŚCI FALI STOJĄCEJ.
Fala stojąca - wytworzona w ciele o skończonychrozmiarach odbija się od granicy tego ciała. Fala odbita porusza się w kierunku przeciwnym niż fala padająca i superpozycja tych 2 fal daje w wyniku falę wypadkową zwaną falą stojącą(powstaje w wyniku nałożenia się 2 fal biegnących w przeciwnych kierunkach). y1=Asin(kx-ωt) y2=Asin(kx+ωt), stąd fala wypadkowa y=y1+y2=2Asinkxcosωt - r-nie fali stojącej.
W przypadku fali stojącej wszystkie cząstki ośrodka wykonują drgania harmoiczne w tej samej fazie. Amplitudy drgań cząstek zależą od ich położeń. Punkty o max amplitudzie drgań są nazywane strzałkami, a punkty w których amplituda drgań jest=0, czyli nie wykonujące drgań, są nazywane węzłami. k=2ח/λ. Odległości między kolejnymi węzłami lub strzałkami wynoszą pół długości fali.
12.OMÓW ZJAWISKO DOPPLERA
1.Niech żródło i obserwator poruszają się w kierunku zgodnym z kierunkiem prędkości głosu od źródła do obserwatora Rys.1. Kierunek prędkości głosu od źródła do obserwatora umówmy się, że będziemy traktować jako + a zatem obowiązuje zależność ۷'=۷[(vg-vo)/(vg-vz)]. Należy jednak wyróżnić 3 możliwości: a.) vo>vz czyli odległość między źródłem a obserwatorem z biegiem czasu rośnie. Tym razem licznik vg-vo jest zawsze mniejszy od mianownika vg-vz. W tych warunkach częstotliwość drgań odbieranych jest mniejsza od częstotliwości drgań nadawanych. b.) vo<vz czyli odległość między źródłem i obserwatorem maleje. Z powodu wlk. licznika i mianownika wynika, że tym razem częst. drgań odbieranych jest > od częst. drgań nadawanych c.)vo=vz częst. drgań odbieranych i nadawanych jest jednakowa.
2.Prędkość źródła jest zgodna z kierunkiem prędkości głosu, a więc + , natomiast prędkość obserwatora skierowana jest przeciwnie, a więc ujemna Rys.2 a zatem obowiązuje zależność
۷'=۷[(vg+vo)/(vg-vz)].W tych warunkach odległość między źródłem i obserwatorem maleje.
Częst. drgań odbieranych jest > od częst. drgań nadawanych.
3.Niech vz będzie <0 a vo >0 Rys.3 Odległość między źródłem i obserwatorem rośnie, a zatem obowiązuje zależność ۷'=۷[(vg-vo)/(vg+vz)]. W tym przypadku jak wiadomo ۷' jest zawsze < ۷.
4.Tym razem niech obie prędkości vz i vo będą skierowane przeciwnie względem prędkości głosu vg a zatem niech obie będą ujemne. Obowiązuje zależność Rys.4 ۷'=۷[(vg+vo)/(vg+vz)]. Podobnie jak w p.1 wyróżniamy 3 możliwości a.)vo<vz odległość między źródłem i obserwatorem rośnie b.) vo>vz odległość między źródłem i obserwatorem maleje ۷'>۷ c.)vo=vz odległość między obserwatorem a źródłem nie ulega zmianie.
13.OMÓW ZJAWISKO TOWARZYSZĄCE ROZCHODZENIU SIĘ FAL MECHANICZNYCH KORZYSTAJĄC Z ZASADY HUYGENSA.
Rozchodzenie się fal o rozmaitych kształtach powierzchni falowych, jak również zjawiska ugięcia, odbicia i załamania fal można ujmować z punktu widzenia tzw. Zasady Huygensa. Wg tej zasady każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali staje się samozielnym źródłem wysyłającym fale kuliste cząstkowe. Powierzchnia styczna do wszystkich fal kulistych cząstkowych stanowi nowe czoło fali Rys.1 Przedstawiają właśnie w takim ujęciu rozchodzenie się falo kołowej i płaskiej Rys.2 przedstawia analogiczny sposób zjawiska ugięcia fali płaskiej na małym otworze CD. Na granicy 2 ośrodków fala ulega zazwyczaj częściowemu odbiciu, a jeśli ośrodek 2 również jest „przezroczysty” dla danego typu fali to równocześnie z odbiciem występuje załamanie. Oba zjawiska podlegają następującym prawom: 1.) Promień fali padającej, fali odbitej i normalnej wystawionej w punkcie padania leżą w jednej płaszczyźnie Rys.3 2.)Kąt padania alfa=kątowi odbicia beta. Kąt padania jest to kąt zawarty między promieniem padania AOinormalnej ON do powierzchni odbijającej wystawiona w punkcie padania. Kąt odbicia beta jest to kąt zawarty między promieniem OB. fali odbitej i normalnej ON 3.)Promień fali padającej, fali załamanej i normalna w punkcie padania leżą w 1 płaszczyźnie 4.) Prawo załamania