Renty kapitałowe (autor Henryk Gurgul)

Def.1 Przez rentę rozumie się ciąg płatności, które powtarzają się w równych odstępach w pewnym okresie czasu.

Wyróżniamy renty roczne, semestralne, kwartalne i miesięczne.

Renty mogą być wypłacane na początku okresu, to są tzw. renty prenumerando lub na końcu okresu oprocentowania (renty postnumerando).

pre (przed)

post (po)

Głównym zadaniem rachunku rent jest ustalenie dla określonego punktu czasowego sumy, która jest równoważna tym rentom.

Kolejne kwoty renty mogą być wypłacane według pewnego schematu np. ciągu stałego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, uogólnionego ciągu geometryczno - arytmetycznego itd.

Wypłaty rent mogą być dokonane zgodnie z okresem stopy procentowej lub w jego podokresach.

Szczególnie ważnym przykładem kapitału stanowiącego podstawę renty jest fundusz emerytalny. Renta wypłacana z funduszu emerytalnego nazywa się emeryturą.

Def. 2.

RENTY RÓWNOWAŻNE

Dwa ciągi płatności nazywamy równoważnymi w momencie t , wtedy i tylko wtedy gdy ich wartości sumy wypłaconych kwot zaktualizowana na moment t są równe.

Komentarz:

Równoważność ciągów płatności w pewnym momencie w sensie powyższej definicji nie musi pociągać równoważności w innym momencie. Dlatego używa się też innej definicji równoważności.

Def. 3.

Dwie renty kapitałowe nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy gdy ich wartości zaktualizowane na chwilę 0 są równe. Wartości zaktualizowane na chwilę 0 rent

wynoszą odpowiednio:

Przykład 1.

Obliczyć wartość końcową i początkową renty postnumerando o racie R=6000zł płatnej przez 20 lat gdy i=5%.

• postnumerando

Wartość końcowa renty wynosi

Przykład 2.

Obliczyć wartość początkową i końcową renty prenumeranto R=400 płatnej przez 5 lat jeśli:

1. i=8%

2. d=8%

• prenumerando

R=400 5lat a) i=8% b) d=8%

Ad. a)

oraz

Wartość końcowa

Wartość początkowa

Ad. b)

oraz

Wartość końcowa

Wartość początkowa

---------------------------------------------- O -----------------------------------------------

Przykład 3.

Pewna renta roczna 1000zł płatna jest z dołu (na końcu roku - post) powinna zostać przekształcona na płatną z góry rentę kwartalną przy tym samym okresie trwania. Przy czym i=4% . Obliczyć nową wysokość renty.

- post

- pre

Przykład 4.

500 000zł za działkę należy uiścić w formie natychmiast rozpoczynającej się renty miesięcznej po 4000zł, jeśli oprocentowanie jest semestralne,
i₂=3% /oprocentowanie półroczne/

1. Ile należy wpłacić pełnych rat,

2. Jak duża jest reszta R₀ na początku,

3. Ile wynosiła by reszta R₁ płatna z ostatnia pełną ratą,

4. Ile wynosiła by reszta R₂ , jeden okres po ostatniej pełnej racie?

Stąd otrzymuje się wynik n=193,37 miesięcy.

Oznacz to, że należy wpłacić 193 pełne raty oraz pierwsza ratę niepełną.

Przykład 5.

Przez ile lat trzeba płacić z dołu 1000zł /na końcu okresu oprocentowania, renta postnumerando/ aby od początku 11 roku otrzymywać miesięcznie 100zł z góry, d=4% przez 50 lat.

Def. 4.

WALORYZACJA

Jeśli w okresie wypłacania renty występuje inflacja o stałej stopie q , oraz okresie równym okresowi stopy procentowej i to wypłacona renta jest stała co do wartości nominalnej ale nie jest stała co do wartości realnej, wtedy należy ja indeksować pod wskaźnik inflacji.

p - współczynnik inflacji, przy czym p=1+q.

Przykładowo gdy wskaźnik inflacji q=3%, to
=1,03

Przyszła wartość w momencie ostatniej wypłaty waloryzowanej renty z dołu (post) wynosi:

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Wykład 2

2

---