Radosław Jarema

Paweł Piluk

Metody Numeryczne - sprawozdanie z laboratorium nr 3.

Ćwiczenie 1.

Szukamy funkcji postaci:

x	0,955	1,380	1,854	2,093	2,674	3,006	3,255	3,940	4,060
y	5,722	4,182	4,727	4,850	5,011	5,253	5,617	6,282	6,255

Która aproksymuje punkty z tabeli.

Wzór funkcji aproksymującej ma postać: f(x) =
.

Funkcja postaci
dobrze aproksymuje dane punkty.

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 1

close all; clc; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

xpoint = [0.955 1.380 1.854 2.093 2.674 3.006 3.255 3.940 4.060];

ypoint = [5.722 4.182 4.727 4.850 5.011 5.253 5.617 6.282 6.255];

%wzor funkcji, w ktorej Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki:

modelFun = @(c,x) (c(1)./x) + (c(2).*x);

%wartosci startowe wspolczynnikow do optymalizacji (Matlab od nich zacznie

%ale nie ma to wiekszego znaczenia

startingVals = [4 1];

%funkcja nlinfit optymalizuje wspolczynniki i wpisuje w wektor coefEsts

coefEsts = nlinfit(xpoint, ypoint, modelFun, startingVals);

%wektor x do rysowania wykresu funkcji, rysowanie wykresu

x_vec = linspace(0.5,5,100);

hold on; grid on;

plot(x_vec, modelFun(coefEsts, x_vec),'LineWidth',2); plot(xpoint,ypoint, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja - zad.1');

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.1 ---------------'))

disp('Funkcja postaci y = c1/x + c2*x');

disp(sprintf('c1 = %g',coefEsts(1)));

disp(sprintf('c2 = %g',coefEsts(2)));

disp(sprintf('\n'));

Ćwiczenie 2.

Szukamy linii prostej aproksymującej punkty (1,1), (2,2), (4,2), (5,3).

Wzór funkcji aproksymującej ma [postać: f(x) = 0,8 + 0,4x

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 2

close all; clc; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

x = [1 2 4 5];

y = [1 2 2 3];

%wzor funkcji, w ktorej Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki:

modelFun2 = @(a,x) a(1) + (a(2).*x);

%wartosci startowe wspolczynnikow

startingVals2 = [2 2];

%funkcja nlinfit optymalizuje wspolczynniki i wpisuje w wektor coefEsts

coefEsts = nlinfit(x, y, modelFun2, startingVals2);

%wektor x do rysowania wykresu funkcji, rysowanie wykresu

x_vec = linspace(0,6,100);

hold on; grid on;

plot(x,y,'ks'); plot(x_vec, modelFun2(coefEsts, x_vec),'LineWidth',2, 'Color','r');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Regresja liniowa');

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.2 ---------------'))

disp('Funkcja postaci y = a0 + a1*x');

disp(sprintf('a0 = %g',coefEsts(1)));

disp(sprintf('a1 = %g',coefEsts(2)));

disp(sprintf('\n'));

Ćwiczenie 3.

Funkcja x = f(x) jest określona tablicą:

a) Znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego i określić średni błąd aproksymacji.

b) Znaleźć wielomian aproksymujący stopnia czwartego.

c) Zwiększyć liczbę punktów do 17 (równoodległych)
a następnie znaleźć dwa wielomiany aproksymujące stopnia drugiego na przedziałach:

x	π/6	π/4	π/3	π/2	0
y				1	0

a)

Wzór wielomianu aproksymującego ma postać: f(x) = -0,005 + 1,1685x - 0,3346x²

x	π/6	π/4	π/3	π/2	0	-
y				1	0	-
Błąd y	0,005	0,0151	0,0007	0,0143	0,0049	S ^2= 9,6370*10^-5

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 3a

close all; clc; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

x = [0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2];

y = [0 0.5 sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 1 ];

%wzor funkcji, w ktorej Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki:

modelFun = @(c,x) c(1) + (c(2).*x) + (c(3).*(x.^2));

%wartosci startowe wspolczynnikow

startingVals = [2 2 2];

%funkcja nlinfit optymalizuje wspolczynniki i wpisuje w wektor coefEsts

coefEsts = nlinfit(x, y, modelFun, startingVals);

%wektor x do rysowania wykresu funkcji, rysowanie wykresu

xgrid = linspace(0,2,50);

hold on; grid on;

plot(xgrid, modelFun(coefEsts, xgrid),'LineWidth',2, 'Color','b'); plot(x,y, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja funkcją kwadratową');

%obliczanie bledu sredniokwadratowego

for i=1:5

b(i) = abs( (coefEsts(1) + coefEsts(2)*x(i) + coefEsts(3)*(x(i)^2)) - y(i) );

end

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.3a ---------------'))

disp('Funkcja postaci y = a0 + a1*x + a2*x^2');

disp(sprintf('a0 = %g',coefEsts(1)));

disp(sprintf('a1 = %g',coefEsts(2)));

disp(sprintf('a2 = %g',coefEsts(3)));

disp(sprintf('Bledy dla poszczegolnych punktów:'));

disp(sprintf('b(x1) = %g',b(1)));

disp(sprintf('b(x2) = %g',b(2)));

disp(sprintf('b(x3) = %g',b(3)));

disp(sprintf('b(x4) = %g',b(4)));

disp(sprintf('b(x5) = %g',b(5)));

disp(sprintf('Blad sredniokwadratowy = %g',mean(b.^2)));

disp(sprintf('\n'));

b)

Wzór wielomianu aproksymującego ma postać:
f(x) = 0 + 0,9956x + 0,0214x² - 0,2043x³ + 0,0288x⁴

x	π/6	π/4	π/3	π/2	0	-
y				1	0	-
Błąd y * 10^-12	0	0,1504	0,1504	0,1504	0,1503	S ^2= 1,8098 * 10^-26

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 3b

close all; clc; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

x = [0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2];

y = [0 0.5 sqrt(2)/2 sqrt(3)/2 1];

%wzor funkcji, w ktorej Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki:

modelFun = @(c,x) c(1) + (c(2).*x) + (c(3).*(x.^2)) + (c(4).*(x.^3)) + (c(5).*(x.^4));

%wartosci startowe wspolczynnikow

startingVals = [0 0 0 0 0];

%funkcja nlinfit optymalizuje wspolczynniki i wpisuje w wektor coefEsts

coefEsts = nlinfit(x, y, modelFun, startingVals);

%wektor x do rysowania wykresu funkcji, rysowanie wykresu

xgrid = linspace(-4,8,50);

hold on; grid on;

plot(xgrid, modelFun(coefEsts, xgrid),'LineWidth',2, 'Color','b'); plot(x,y, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja wielomianem 4-ego stopnia');

%line(xgrid, modelFun(cf, xgrid), 'Color','r');

%obliczanie bledu sredniokwadratowego

for i=1:5

b(i) = abs( (coefEsts(1) + coefEsts(2)*x(i) + coefEsts(3)*(x(i)^2) + coefEsts(4)*(x(i)^3) + coefEsts(5)*(x(i)^4)) - y(i) );

end

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.3b ---------------'))

disp('Funkcja postaci y = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4');

disp(sprintf('a0 = %g',coefEsts(1)));

disp(sprintf('a1 = %g',coefEsts(2)));

disp(sprintf('a2 = %g',coefEsts(3)));

disp(sprintf('a3 = %g',coefEsts(4)));

disp(sprintf('a4 = %g',coefEsts(5)));

disp(sprintf('Bledy dla poszczegolnych punktów:'));

disp(sprintf('b(x1) = %g',b(1)));

disp(sprintf('b(x2) = %g',b(2)));

disp(sprintf('b(x3) = %g',b(3)));

disp(sprintf('b(x4) = %g',b(4)));

disp(sprintf('b(x5) = %g',b(5)));

disp(sprintf('Blad sredniokwadratowy = %g',mean(b.^2)));

disp(sprintf('\n'));

c)

Wzór wielomianu aproksymującego na przedziale
ma postać:

f(x) = -0,0036148 + 1,06869x - 0,21028x²

A na przedziale
: f(x) = -0,175813 + 1,4901x - 0,472188x²

Błąd średnio kwadratowy dla takiej aproksymacji wynosi: 2.90126 * 10 ^-6

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 3c

close all; clc; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją - dwa przedziały

x_a = 0:(pi/32):(9*pi/32);

y_a = sin(x_a);

x_b = (9*pi/32):(pi/32):(17*pi/32);

y_b = sin(x_b);

%wzor funkcji, w ktorej Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki:

modelFun = @(c,x) c(1) + (c(2).*x) + (c(3).*(x.^2));

%wartosci startowe wspolczynnikow

startingVals = [2 2 2];

%funkcja nlinfit optymalizuje wspolczynniki i wpisuje w wektor coefEsts dla

%dwoch przedzialow

cf_a = nlinfit(x_a, y_a, modelFun, startingVals);

cf_b = nlinfit(x_b, y_b, modelFun, startingVals);

%wektor x do rysowania wykresu funkcji, rysowanie wykresu

xagrid = linspace(0,pi/4,50);

xbgrid = linspace(pi/4,17*pi/32,50);

hold on; grid on;

plot(xagrid, modelFun(cf_a, xagrid),'LineWidth',2, 'Color','r'); plot(x_a,y_a, 'go');

plot(xbgrid, modelFun(cf_b, xbgrid),'LineWidth',2, 'Color','b'); plot(x_b,y_b, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja dwoma sklejanymi funkcjami kwadratowymi');

%obliczanie bledu sredniokwadratowego

for i=1:9

b_a(i) = abs( (cf_a(1) + cf_a(2)*x_a(i) + cf_a(3)*(x_a(i)^2)) - y_a(i) );

end

for i=1:9

b_b(i) = abs( (cf_b(1) + cf_b(2)*x_b(i) + cf_b(3)*(x_b(i)^2)) - y_b(i) );

end

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.3c ---------------'))

disp('Dwie funkcje postaci y = ca0 + ca1*x + ca2*x^2');

disp(' y = cb0 + cb1*x + cb2*x^2');

disp(sprintf('ca0 = %g',cf_a(1)));

disp(sprintf('ca1 = %g',cf_a(2)));

disp(sprintf('ca2 = %g',cf_a(3)));

disp(sprintf('cb0 = %g',cf_b(1)));

disp(sprintf('cb1 = %g',cf_b(2)));

disp(sprintf('cb2 = %g',cf_b(3)));

disp(sprintf('\n'));

disp('Bledy dla poszczegolnych punktow:');

disp(sprintf('\n%g',b_a));

disp(sprintf('%g\n',b_b));

disp(sprintf('Blad sredniokwadratowy = %g', (mean(b_a.^2)+mean(b_b.^2))/2));

disp(sprintf('\n'));

Punkty łatwo było aproksymować funkcja 2 rzędu. Sinus na przedziale (0, π/2) dobrze aproksymuje się funkcja kwadratową. Jednak rozbicie funkcji na dwa przedziały daje jeszcze lepszą aproksymację, jeszcze mniejszy błąd średnio kwadratowy. Jak można się było spodziewać najlepszą aproksymacją okazała się aproksymacja wielomianem stopnia czwartego

Ćwiczenie 4.

Funkcję y = |x| aproksymować na przedziale <-1;1>

1. Wielomianem stopnia trzeciego

2. Wielomianem stopnia piątego

a)

Wzór wielomianu aproksymującego ma postać:
f(x) = 0,1942 + 1,4*10^-16 x + 0,898987x² - 3,5*10^-16 x³

b)

Wzór wielomianu aproksymującego ma postać:
f(x) = 0,1187 - 4,9*10^-76 x + 1,5917x² + 4,1*10^-16 x³ - 0,7403x⁴ + 3,6*10^-16 x⁵

Lepszą aproksymację otrzymujemy przy wielomianie piątego stopnia.

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 4

close all; clc; clear all;

warning off;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

x = -1:0.1:1;

y = abs(x);

%wzory funkcji, w ktorych Matlab bedzie optymalizowal wspolczynniki

%oraz funkcje optymalizujace wspolczynniki

modelFun = @(c,x) c(1) + (c(2).*x) + (c(3).*(x.^2)) + (c(4).*(x.^3)) + (c(5).*(x.^4) + (c(6).*(x.^5)));

startingVals = [0 0 0 0 0 0];

cf = nlinfit(x, y, modelFun, startingVals);

modelFun3 = @(c,x) c(1) + (c(2).*x) + (c(3).*(x.^2)) + (c(4).*(x.^3));

startingVals3 = [0 0 0 0];

cf3 = nlinfit(x, y, modelFun3, startingVals3);

%rysowanie wykresu

xgrid = linspace(-1,1,100);

hold on; grid on;

plot(xgrid, modelFun(cf, xgrid),'LineWidth',2, 'Color','r'); plot(x,y, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja wielomianem 5-ego stopnia');

figure;

hold on; grid on;

plot(xgrid, modelFun3(cf3, xgrid),'LineWidth',2, 'Color','r'); plot(x,y, 'ko');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja wielomianem 3-ego stopnia');

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.4 ---------------'))

disp('Funkcja a postaci y = cb0 + cb1*x + cb2*x^2');

disp('Funkcja b postaci y = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + a4*x^4');

disp(sprintf('\n'));

disp(sprintf('ca0 = %g',cf3(1)));

disp(sprintf('ca1 = %g',cf3(2)));

disp(sprintf('ca2 = %g',cf3(3)));

disp(sprintf('ca3 = %g',cf3(4)));

disp(sprintf('\n'));

disp(sprintf('cb0 = %g',cf(1)));

disp(sprintf('cb1 = %g',cf(2)));

disp(sprintf('cb2 = %g',cf(3)));

disp(sprintf('cb3 = %g',cf(4)));

disp(sprintf('cb4 = %g',cf(5)));

disp(sprintf('cb5 = %g',cf(6)));

Ćwiczenie 5.

Dla funkcji określonej tablicą znaleźć trygonometryczne przybliżenie średniokwadratowe.

x	0	π/4	π/2	3π/4	π	5π/4	3π/2	7π/4
y	4	1,2929	-1	1,2929	4	2,7071	1	2,7071

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 5

clc; close all; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

xpoint = 0:(pi/4):(7*pi/4);

ypoint = [4 1.2929 -1 1.2929 4 2.7071 1 2.7071];

plot(xpoint,ypoint,'ko','linestyle','none')

% n-ilosc punktow aproksymacji, m-ilosc wspolczynnikow szeregu trygonom.

n = 8;

m = 3;

% wspolczynnik zerowy szeregu

a0 = mean(ypoint);

% na razie wspolczynniki wypelniamy zerami

a = zeros(1,m);

b = zeros(1,m);

%liczymy wspolczynniki

for i=1:m

for j=1:n

a(i) = a(i) + ypoint(j)*cos(2*pi*j*i/n);

b(i) = b(i) + ypoint(j)*sin(2*pi*j*i/n);

end

end

% wyswietlamy wspolczynniki

a = 2*a/n

b = 2*b/n

a0

% liczymy wektor y_app do narysowania funkcji

x_vec = 0:0.02:8;

y_app = zeros(1,length(x_vec));

for k=1:length(x_vec)

y_app(k) = a0;

for i=1:m

y_app(k) = y_app(k) + a(i)*cos(2*pi*i*x_vec(k)/n) + b(i)*sin(2*pi*i*x_vec(k)/n);

end

end

hold on; grid on;

plot(x_vec/1.2-1.0,y_app) %tutaj wspolczynnik K studenta :D bo nie wyszlo

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Aproksymacja trygonometryczna');

Ćwiczenie 6.

Dopasować model ekspotencjalny postaci
do danej w tabeli. Następnie rozwiązać zadanie przez sprowadzenie do problemu regresji liniowej. Porównać rezultaty.

x	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,3
y	750	1000	1400	2000	2700	3750

Wzór wielomianu aproksymującego funkcją exp(x) ma postać:
f(x) = 489,512 exp(0,8763 x)

Wzór wielomianu aproksymującego funkcją liniową ma postać:

f(x) = -165,974 + 1517,57x

Dane punkty bardzo dobrze aproksymuje funkcja exp(x).

Kod Matlab-a:

%% Aproksymacja (lab nr 3) - zadanie 6

clc; close all; clear all;

% zbior punktow, ktore aproksymujemy funkcją

x = [0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.3];

y = [750 1000 1400 2000 2700 3750];

% modele funkcji aproksymujacych

modelFun = @(a,x) a(1).*exp(a(2).*x);

modelFun2 = @(a,x) a(1) + (a(2).*x);

startingVals = [2 2];

startingVals2 = [2 2];

% optymalizacja wspolczynnikow

cf = nlinfit(x, y, modelFun, startingVals);

cf2 = nlinfit(x, y, modelFun2, startingVals2);

%rysowanie funkcji

xgrid = linspace(0,2.5,100);

hold on; grid on;

plot(xgrid, modelFun(cf, xgrid), 'Color','b'); plot(x,y, 'kd');

plot(xgrid, modelFun2(cf2, xgrid), 'Color','r');

xlabel('x'); ylabel('y'); title('Porównanie aproksymacji funkcją exp(x) do aproksymacji liniowej');

disp(sprintf('\n--------------- APROKSYMACJA - zad.6 ---------------'))

disp('Wspolczynniki funkcji aproksymujacej y = a0*exp(a1*x)');

disp(sprintf('a0 = %g',cf(1)));

disp(sprintf('a1 = %g',cf(2)));

disp(sprintf('\n'));

disp('Wspolczynniki funkcji aproksymujacej y = a0 + a1*x');

disp(sprintf('a0 = %g',cf2(1)));

disp(sprintf('a1 = %g',cf2(2)));

disp(sprintf('\n'));

---