UKŁADY RÓWNAŃ

UKŁAD DWÓCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA NIEWIADOMYMI.

Równanie liniowe o dwóch niewiadomych zapisuje się często w postaci

Ax+By+C=0.

Rozwiązaniem tego równania nazywamy zbiór par (x, y), czyli współrzędnych punktów tej prostej. Gdy A=0, B=0, ale C≠0, to równanie nie ma rozwiązań.

Gdy A i B nie są jednocześnie równe zeru, wykresem równania na płaszczyźnie jest linia prosta, więc powyższe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, którymi są dowolne pary rozwiązań (jest sprzeczne).

Gdy A=0, B=0, C=0 otrzymujemy 0x+0y=0, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele (każda para liczb spełnia równanie).

Układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych ma postać:

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych oznaczamy przez W,

Podobnie oznaczamy wyznaczniki:

Mogą zajść trzy przypadki:

P r z y p a d e k 1

W≠0. Wtedy istnieje jedyne rozwiązanie układu, które można zapisać w postaci:

Mówimy wówczas, że układ jest oznaczony. Geometrycznie oznacza to, że proste o równaniach mają dokładnie jeden punkt wspólny i przecinają się w jednym punkcie.

P r z y p a d e k 2

W=0 a W_x i W_y nie są jednocześnie równe zeru. Wówczas układ jest sprzeczny. Geometrycznie oznacza to, że proste o równaniach są równoległe.

P r z y p a d e k 3

W=0, W_x=0 i W_y=0. Wówczas układ jest równoważny jednemu z równań układu, może więc być sprzeczny bądź nieoznaczony; w drugim przypadku układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Geometrycznie oznacza to, że proste o równaniach pokrywają się.

1. Układy kramerowskie

Definicja:

Niech K będzie ciałem. Układ równań

(1)

gdzie a_ij , b_i ∈ K , i = 1,...,m , j = 1,...,n.

Nazywamy układem równań liniowych na ciałem K. Skalary a_ij nazywamy Współczynnikami

b_i - wyrazami wolnymi.

Definicja:

Ciąg skalarów (c₁,...,c_n), c_i ∈ K nazywamy rozwiązaniem układu równań układu równań liniowych, jeżeli

(2)

O skalarach c₁,...,c_n mówimy, że spełniają układ równań liniowych (1).

Definicja:

Macierz [a_ij]_mxn utworzoną ze współczynników przy niewiadomych nazywamy macierzą układu lub macierzą współczynników, zaś macierz

nazywamy macierzą rozszerzoną układu

Definicja:

Układ równań liniowych (1), w którym b₁ = b₂ = ... = b_n = 0 nazywamy układem jednorodnym, zaś w przeciwnym wypadku tzn.
nazywamy układem niejednorodnym .

Definicja:

Układ równań liniowych (1) nazywamy:

1^o zgodnym , gdy ma przynajmniej jedno rozwiązanie; w szczególności nazywamy go :

• oznaczonym , gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie

• nieoznaczonym , gdy ma nieskończoną ilość rozwiązań

2^o sprzecznym , gdy nie ma rozwiązań .

Definicja:

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi, jeżeli każde rozwiązanie jednego jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Definicja:

Układ równań (1), w którym m = n i det[a_ij] ≠ 0 nazywamy układem Cramera lub układem kramerowskim.

Niech skalary c₁,...,c_n ∈ K spełniają układ (1).

Równości (2) zachodzą, gdy :

Układ równań liniowych (1) jest równoważny z równaniem

Jeżeli
j = 1,...,n ,

Wówczas c₁A₁ + c₂A₂ + ... + c_nA_n = B (2')

x₁A₁ + x₂A₂ + ... + x_nA_n = B (1')

jest postacią wektorową (2) i (1)

AX = B , gdzie A - macierz układu

B - macierz wyrazów wolnych

X - macierz niewiadomych

Jeżeli układ (1) jest układem Cramera, to A posiada macierz odwrotna A^-1

Jeżeli rozwiązaniem równania AX = B jest
to AC = B. Stąd C = A^-1B.

A(A^-1B) = (AA^-1)B = IB = B

Stąd C = A^-1B jest rzeczywiście rozwiązaniem równania AX = B. Czyli X = A^-1B.

Stąd
, j = 1,...,n

D_j

, wzory Cramera j = 1,...,n , D = detA

I. Twierdzenie Cramera:

Układ Cramera równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami
, j = 1,...,n , gdzie D jest wyznacznikiem macierzy układu A,

D_j jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy układu przez zastąpienie j-tej

kolumny kolumną wyrazów wolnych

Wniosek:

Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu kramerowskiego jest rozwiązanie zerowe x₁ = x₂ = ... = x_n = 0

Zał. Że dany jest układ równań jednorodny

(3)

A - macierz układu

à - macierz rozszerzona

rA = rÃ. Więc układ jednorodny (3)

ma co najmniej jedno rozwiązanie

1. jeśli rA = n , to układ (3) ma tylko rozwiązanie zerowe

2. jeśli rA < n , to układ (3) oprócz rozwiązania zerowego ma jeszcze inne rozwiązanie

Przykład:

W = det A =

1 1 2 1-1-1 1 1-1

=

1 1 3 0 1 1 0

= 3

1-1 1 1

= 6

W1 = Wx =

4 1 2 -1-1-1 1 1-1

=

4 1 3 0 0-2 1 1 0

= 2

4 1 1 1

= 6

W2 = Wy =

1 4 2 1-1 -1 1 1 -1

= 6

W3 = Wz =

1 1 4 1-1 -1 1 1 1

= 6

II. Twierdzenie Kromeckera - Capellego:

Układ równań liniowych (1) ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy rząd macierzy układu jest równy rządowi macierzy rozszerzonej

Niech

będzie układem równań liniowych , A - macierz układu, Ã - macierz rozszerzona. Wówczas:

, to układ nie ma rozwiązania

, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie

, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów.

Twierdzenie:

Zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K wymiaru n- rA, gdzie n- ilość niewiadomych.

Bazę tej przestrzeni nazywamy fundamentalnym układem równań

(*)

Jeżeli
, to układ (1) ma postać (*)

1. r=n. Wtedy układ (*) jest układem kramerowskim rozwiązanie ze wzorów Cramera.

2. r<n, r pierwszych równań stanowi układ luz. Wówczas za niewiadome x_r+1,...x_n podstawiamy parametry c_r+1,...c_n. Otrzymując układ niewiadomych x₁,...x_r.

(**)

Układ (**)jest układem Cramera, rozwiązaniem jest c₁...c_r.

Rozwiązaniem układu (1) jest c₁...c_r,c_r+1,...c_n .

Jeśli
, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów.

Układ (1) ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy gdy rząd macierzy układu i rząd macierzy rozszerzonej jest równy liczbie niewiadomych.

Jeśli
, to układ nie ma rozwiązania.

UWAGA:

Twierdzenie Kromeckera - Capellego jest stosowane w przypadku m n lub w przypadku m=n gdy det=0

UWAGA:

Metoda przekształceń elementarnych macierzy (w przypadku szczególnym), metoda eliminacji Gaussa może być stosowana zawsze m  n, m=n

III. Metoda Gaussa- (eliminacji niewiadomych)

Załóżmy, że układ (1) ma najmniej jedno rozwiązanie i rząd macierzy układu jest równy r. Zamiast układu (1) otrzymujemy układ (*),
- macierz układu (*)

- macierz rozszerzona układu (*)

Załóżmy, że
. Mnożymy pierwszy wiersz macierzy
przez
i dodajemy do drugiego wiersza. Następnie mnożymy pierwszy wiersz przez wyraz
i dodajemy do trzeciego wiersza. Analogicznie aż do r- tego wiersza.

Otrzymujemy wówczas macierze:

Możliwe są dwa przypadki:

1. :

r=n. Wówczas układ ma postać

Podstawiamy do ostatniego wiersza. Wówczas otrzymujemy jedyne rozwiązanie układu.

2. r<n. Wówczas układ ma więcej niż jedno rozwiązanie. Otrzymujemy je podstawiając za x_r+1,...x_n parametry i postępując jak w przypadku, gdy r=n.

Twierdzenie:

Zbiór S rozwiązań układu jednorodnego (3) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej Kⁿ

Definicja:

Podprzestrzeń S stanowiącą zbiór rozwiązań układu jednorodnego (3) nazywają się przestrzenią rozwiązań układu (3), zaś każda baza tej przestrzeni nazywa się fundamentalnym układem rozwiązań układu jednorodnego (3)

Twierdzenie:

Załóżmy, że S jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej Kⁿ,
. Istnieje wówczas nad ciałem K jednorodnym układ równań liniowych z n niewiadomymi mającymi co najmniej jedno rozwiązanie t, że S jest jego przestrzenią rozwiązań.

Przykład:

U = [A/B] =

1 1 1 2-1-1

3 1

W_­­² = -1 - 2 = -3 ≠ 0

r(A) = r(U) = r = 2

Wtedy n - r = 3 - 2 = 1 przyjmujemy za znany parametr

x + y = 3 - α 2x - y = 1 + α

z =

3x = 4 x =

y =
- α

Rozwiązaniem równania jest więc zbiór liczb: (
;
- α; α)

np. α = 1 (
;
; 1)

Przykład.

Rozwiązać układ równań:

A=
B=
X=

1. Sposób

Metoda macierzy odwrotnej

A^-1*B=X

x=1, y=1 z=1

2. Sposób

Metoda eliminacji Gaussa

z=1,

y-z=0, y=1

x+y+z=3 x=1

Przykład

Niech dany będzie układ równań:

.

Zakładając że
pomnóżmy pierwsze równanie przez
i odejmijmy od i-tego równania
, otrzymamy wtedy

,

gdzie

,

.

Następnie pomnóżmy drugie równanie przez
(
) i odejmijmy od i-tego równania
, otrzymamy więc

gdzie
,

.

3.Metoda Gaussa-Jordana

Przykład:

Rozwiąż układ równań.

W = det A = 0 - odpada metoda macierzy odwrotnej, stosujemy wiec K-C.

Zauważamy

stad r(A)=r(U)=r=2

Musimy rozwiązać układ dwóch równań o dwóch niewiadomych przyjmując jedną za znaną.

Niech z=α

Zastosujemy metodę Kramera omówioną później.

Przykład

Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa układ równań.

Opracował:

Zastawny Tomasz

I EzE Dzienne

12

/' zamieniamy wiersz drugi z pierwszym'/

/' pierwszy wiersz mnożymy razy (-2) i dodajemy do drugiego, pierwszy wiersz mnożymy razy (-1) i dodajemy do trzeciego'/

/' mnożymy wiersz drugi razy (-3) i dodajemy do trzeciego'/

/'wiersz drugi dzielimy przez 3 '/

/'trzeci wiersz dzielimy przez (-4)

---