FdI - Fizyka ciała stałego - zadania









Fizyka dla
informatyków - Notatki w Internecie

Fizyka
ciała stałego - zadania



Dla
trójwymiarowej studni potencjału
operator energii potencjalnej V(xi) dany jest formułą:
Korzystając
z rozwiązania problemu jednowymiarowego oraz metody separacji zmiennych proszę
rozwiązać równanie Schr�dingera
dla cząstki w studni zakładając zerowanie się funkcji falowej na brzegach
studni: dla
i = 1,2,3. Znaleźć dopuszczalne wartości wektora falowego
kn1, kn2,
kn3 i energii
En1n2n3 cząstki w studni.

Rozwiązanie: Rozpatrujemy elektron w sześciennej studni potencjału o krawędzi a.
Wówczas otrzymujemy równanie Schr�dingera następującej postaci:

(1.1)Stosując metodę separacji
zmiennych przedstawiamy funkcję falową w postaci iloczynu
Zatem
równanie pierwsze uzyskuje postać:
Dzieląc
obustronnie przez X(x)Y(y)Z(z) i rozdzielając względem pochodnych
cząstkowych otrzymujemy trzy równania, których rozwiązania dają nam postać
funkcji falowej. Przykładowo dla zmiennej x dostajemy:
Konieczność
zerowania się funkcji na granicach studni (0 i a) narzuca warunki na wartości
kx: Stałą A dobieramy tak, aby funkcja była
unormowana. Ostatecznie funkcja falowa jest postaci (po unormowaniu)
Dzęki
stałej k możemy uzyskać zalezność energii, która ma postać:




Znależć
zależność poziomu Fermiego w
temperaturze zera bezwzględnego od gęstości elektronowej n: , oraz zależność średniej energii na elektron od energii
Fermiego .

Rozwiązanie: Stany energetyczne o energii nie przekraczającej
określonej wartości E można przedstawić jako punkty wewnątrz kuli w
przestrzeni wektora falowego k. Promień tej kuli ma wartość k taką że:

(2.1)
Składowe wektora falowego k przyjmują wartości skwantowane:
Zatem w
przestrzeni k, element o "objętości jednostkowej" równej reprezentowany
jest przez jeden dozwolony wektor k równy aby otrzymać
liczbę stanów dozwolonych wewnątrz kuli o promieniu k należy jej objętość
podzielić przez a potem pomnożyć
przez 2 (gdyż oprócz trzech liczb kwantowych kx, ky,
kz istnieje jeszcze spinowa liczba kwantowa ms
przyjmująca dwie wartości). Liczba stanów dozwolonych wynosi więc:

(2.2)
Stąd k jest równe:

(2.3)gdzie n=N/V jest koncentracją elektronów w objętości próbki
V.W temperaturze zera bezwzględnego wszystkie stany o energii mniejszej od
pewnej wartości nazywanej energią Fermiego są zapełnione przez elektrony, natomiast stany o energii
większej od energii Fermiego są nieobsadzone. Wstawiając równanie (2.3) do
(2.1) otrzymujemy szukaną zależność energii Fermiego od koncentracji
elektronów:

(2.4)Wstawiając równanie (2.1) do (2.2) otrzymujemy:

(2.5)Różniczkując (2.5) dostajemy wzór na liczbę stanów o energii
zawartej w przedziale od E do E + dE:

(2.6)Możemy teraz obliczyć sumaryczną energię wszystkich elektronów w
temperaturze zera bezwzględnego, równą:

(2.7)Średnią energię przypadającą na jeden elektron otrzymamy dzieląc
sumaryczną energię elektronów (2.7) przez liczbę elektronów (2.5):

(2.8)




Proszę znaleźć
gęstość stanów D(k) w przestrzeni wektora falowego i
g(E) w przestrzeni energii dla cząstki w nieskończonej jedno-,
dwu- i trzywymiarowej studni potencjału. Fermiego,
wszystkie punkty znajdują się wewnątrz kuli o promieniu kf.
Wyznaczając liczbę tych punktów dostajemy zależność: liczbę elektronów od
wektora falowego a tym samym od energii. Możemy stąd wyznaczyć wartość energii
Fermiego.
Gęstość
stanów to ich ilość przypadających na jednostkę energii (bądź wektora falowego -
w zależnosci od przestrzeni, w której ją rozpatrujemy). Najlatwiej jest znaleźć
tą zależności w funkcji liczby elektornów o określonej energii (opisywanych tym
samym wektorem falowym). Dla trójwymiarowej studni potencjału liczymy ilość
dostępnych stanów w powłoce kuli o grubości dn. Stąd mamy:
Jednostce
objętości odpowiada dokładnie jeden elektron więc:
Korzystąjac
z wzoru na energię danej powłoki:
Wyliczamy
ostateczna postać zależnosci na gęstość stanów:
Obliczenia
dla studni jedno- i dwuwymiarowej sa analogiczne, różnica polega na
rozpatrywaniu odpowiednio łuku okregu i odcinka prostej zamiast powierzchni
sferycznej.





Rozwiążmy
równanie Schr�dingera dla potencjału Kroniga-Penney'a (będącego
przedstawionym na rysunku przybliżeniem potencjału rdzeni sieci krystalicznej) i
energii cząstki E < E0
Po rozwiązaniu równania Schr�dingera niezależnie dla
obszaru I i II:

żądamy ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej:

Warunek periodyczności rozwiązania (twierdzenie Blocha) narzuca
kolejne dwa warunki:
na stałe A,B,C,D w równaniu (1). Jednoznaczne,
nietrywialne rozwiązanie istnieje (na mocy twierdzenia Cramera) wtedy, i tylko
wtedy, gdy:

gdzie:
Równanie (4) można rozwiązać ze względu na E(k) numerycznie.
Jego prawa strona zmienia się w przedziale [-1,+1]. Wektor falowy k jest
czysto urojony w przedziałach energii, gdzie lewa strona równania (4) jest
większa od +1 lub mniejsza od -1. Pęd cząstki musi być rzeczywisty, więc
eletkron nie może mieć energii, dla których k jest urojone.
Prowadzi to do istnienia dozwolonych i wzbronionych pasm energii w
ciałach stałych. Wyznaczyć numerycznie zależność E(k). Przyjąć
d = 2 A, m = me w przedziale
energii od 0 eV do 200 eV. Jak zmienia się szerokość pierwszego dozwolonego
pasma w funkcji stałej sieci krystalicznej d (d = 1 A, d =
1,5 A, d = 2 A dla E0b = 25 eVA? Jak zmienia się ta
szerokość w funkcji E0 (E0 = 50 eVA,
E0 = 75 eVA, E0b = 100 eVA dla d = 1
A)?
Rozwiązanie: Algorytm numerycznego rozwiązania równania:

Ustaw E=0,
Oblicz lewą stronę równania,
Oblicz wartość wektora falowego jeżeli lewa strona równania zawiera się
w przedziale <-1,1,
Inkrementuj energię,
Jeżeli E<200 eV to skocz do punktu 2,
Tu jest appllet...




Pod wpływen
zewnętrznego pola elektrycznego elektrony swobodne w metalach doznają
przyśpieszenia zgodnie z prawami Newtona. Jednak w obecności potencjału sieci
krystalicznej zachowują się jakby były obdarzone efektywną masą
m* różną od masy spoczynkowej m, i mogącą być zarówno
większą od m (a nawet nieskończoną) lub mniejszą od m (a nawet
ujemną), gdyż formalna definicja tego parametru związana jest z wypukłością
związku dyspersyjnego E(k):


Pokazać, że dla gazu elektronów swobodnych (o kwadratowym związku
dyspersyjnym) m*=me
Eksperymentalnie znaleziona energia Fermiego dla sodu wynosi
EF=2.5 eV. Korzystając ze związku
znaleźć masę efektywną elektronów walencyjnych w sodzie. Sód jest
jednowartościowy, jego masa atomowa wynosi 22.99 g/mol, zaś gęstość 0.97
g/cm3.

Rozwiązanie: Dla elektronów swobodnych zależność między energią
a wektorem falowym ma postać:
Różniczkując
ten wzór dwukrotnie otrzymujemy
Następnie wstawiając to do wzoru na m* dostajemy
m*=me. Dla elektronów znajdujących się w krysztale wzór
na energię Fermiego wygląda następująco:
stąd Należy zatem obliczyć koncentrację elektronów n=N/V, gdzie N
jest liczbą elektronów walencyjnych, a V objętością próbki. Ponieważ sód jest
jednowartościowy liczba elektronów walencyjnych równa jest liczbie atomów, a
tą możemy obliczyć wykorzystując masę molową:

Energia
Fermiego wynosi: EF=4�10-19 [J]. Szukana masa efektywna
jest równa: m*=1.1495�10-30 [kg] (m*/me =
1.262)


Autorzy: Piotr Kopyt, Przemysław Musiał, Krzysztof
Niemiec