Aparat matematyczny mechaniki kwantowej
Operator  określony na pewnym zbiorze funkcji, przyporządkowuje każdej
funkcji inną funkcję z tego samego zbioru, np. mnożenie funkcji f(x) przez
Ć
x f(x)= x f(x)
zmienną x:
d
'
f(x)= f (x)
różniczkowanie funkcji:
d x
Operator liniowy: �(a f1+ f2)= a� f1+ � f2  liczba
a
Równanie własne: � fn = an fn działanie operatora sprowadza się do
mnożenia funkcji własnej operatora fn przez liczbę an  wartość własną.
Przemienność operatorów  wynik kolejnego działania (iloczynu) dwu
d
Ć Ć Ć
operatorów może zależeć od ich kolejności �B `" B� np.
Ć
� = x , B =
d x
d d d
Ć 2 Ć 2
x f(x)= x f (x) , x f(x)= [x f(x)]= f(x)+ x f (x)
d x d x d x
d
Ą#x, ń#
Ć Ć Ć
[�,B]= �B - B� = -1
Komutator dwu operatorów: np.
ó#Ć d x Ą#
Ł# Ś#
Ć
[�,B]= 0
Jeżeli dwa operatory są przemienne, to mają wspólny zbiór funkcji
własnych.
Zasady mechaniki kwantowej
1. Stan obiektu fizycznego jest opisany przez funkcję falową �.
2. | �(x,t )|2dx jest prawdopodobieństwem znalezienia obiektu w chwili t w
pobliżu punktu x w przedziale dx.
3. Każdej obserwowalnej wielkości fizycznej A odpowiada pewien operator
�
liniowy , który ma wartości własne rzeczywiste (operator hermitowski).
W wyniku pojedynczego pomiaru wielkości fizycznej otrzymuje się jedną
z wartości własnych operatora an.
4. W stanie opisanym funkcją falową �, wartość średnia wielu pomiarów
wielkości fizycznej, której odpowiada operator � jest dana wzorem:
*
a = ¨dv
+"� , gdzie całkowanie jest po całym obszarze, na którym
określona jest funkcja �.
"�
5. Funkcja falowa �(x,y,z,t) spełnia równanie Schr�dingera
$
� = ih
"t
zależne od czasu. W stanie stacjonarnym funkcja falowa �(x,y,z) spełnia
$
� = E�
równanie Schr�dingera niezależne od czasu , które jest
równaniem własnym operatora energii  hamiltonianu:
�# ś#
h2 "2 "2 "2 ź#
$
= - ś# + + +V(x, y, z)
ś# ź#
2m "2x "2 y "2z
�# #
1
Model Bohra atomu wodoru  postulaty
1. Elektron porusza się po orbicie kołowej dookoła jądra atomowego.
Energia elektronu jest stała (nie wypromieniowuje energii).
2. Dozwolone są orbity, dla których orbitalny moment pędu elektronu L
jest równy całkowitej wielokrotności wyrażenia h/2Ą='
, h=6,626�10-34 Js
h
L = n n - liczba kwantowa
n
2Ą
3. Wypromieniowanie lub pochłanianie kwantu energii następuje wtedy,
kiedy elektron przeskakuje z jednej dozwolonej orbity na drugą.
Częstotliwość � wyemitowanego (pochłoniętego) promieniowania
elektromagnetycznego odpowiada zmianie energii elektronu
"E = h�
Model Bohra  energia elektronu
meun 2 Ze2
E(n) = Ep (n) + Ek (n)
=
rn 4Ą�0rn2
2
meZ e4 1
h
E(n) = -
Ln = meunrn = n
2
n2
(4Ą�0 ) 2h2
2Ą
n=1 stan podstawowy
Stała Rydberga z poprawką
n=" stan zjonizowany
na masę zredukowaną
2
R
Długość fali �# ś# mee4 �# 1 1
1 1
ś#
RH =
ś# ź#
=
ś# - ź#
promieniowania
ś#
1+ me mp
 4Ą�0 ź# 4Ąh3c n2 m2 #
�#
�# #
me  masa elektronu
R stała Rydberga
mp  masa protonu
2
Poziomy energetyczne elektronu w atomie wodoru
 Stara i  nowa teoria kwantowa
Zasada korespondencji:
Kwantowy opis staje się klasycznym dla dużych liczb kwantowych.
Braki teorii Bohra:
- podane jedynie długości fali linii widmowych, brak natężeń
- nie opisuje atomów z więcej niż 1 elektronem
Hipoteza de Broglie a (falowe własności materii) =h/p
h
Ln = meunrn = n
n=2Ąr
2Ą
Na obwodzie orbity dozwolonej w modelu Bohra
mieści się całkowita liczba długości fal de Broglie a.
3