,analiza matematyczna 1, granica i zbieżność

Granica (właściwa) i zbieżność

Niech (a_n) będzie ciągiem (skończonym bądź nieskończonym) liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę g nazywa się granicą ciągu (a_n), jeżeli

gdzie symbol oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy a_n leżą w kole z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n większych od N wyrazy a_n leżą w kole o środku g i promieniu

Granicę ciągu (a_n) oznacza się lub po prostu , a fakt, że g jest granicą ciągu (a_n), niekiedy oznacza się lub i czyta się: „ciąg a_n dąży do granicy g”.

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Są to te ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; można powiedzieć, że dążą one do punktu w nieskończoności. Jest to związane z pojęciem uzwarcenia (kompaktyfikacji) zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (zależnie od wyrazów danego ciągu). Często tego rodzaju rozszerzenie umożliwia ogólniejsze ujęcie definicji i własności związanych z granicami ciągów.

W przypadku granic niewłaściwych zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane . Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór oznacza się zazwyczaj . W przypadku granicy niewłaściwej zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem . Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub ze sferą. Tak rozszerzony zbiór oznacza się zazwyczaj lub a rozszerzony zbiór oznacza się lub .

Mówi się, że ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą w lub jest rozbieżny do jeżeli

Można wysłowić to następująco: dla dowolnie dużego koła o środku w 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n leżą na zewnątrz tego koła.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie wyrazy jego a_n o indeksach większych od N są dodatnie, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w bądź że jest rozbieżny do jeżeli są ujemne, to ma on granicę niewłaściwą w lub że jest rozbieżny do Równoważnie można powiedzieć, że ciąg (a_n) ma

granicę niewłaściwą w , jeżeli

granicę niewłaściwą w , jeżeli

Przykłady

Granicą ciągu (1,2,5,13) jest liczba 13. W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
Granicą ciągu jest 0.

Dla dowolnego wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od ^[1] Wówczas dla dowolnego wskaźnika n > N otrzymuje się czyli

Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu oddalone są od zera o nie więcej niż

Granicą ciągu jest 1.

Dla dowolnego wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od Wtedy dla dowolnego indeksu n > N zachodzi czyli skąd

Przykładowo dla wszystkie wyrazy ciągu są oddalone od jedynki nie więcej niż o

Ciąg a_n = n jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą .
Ciąg a_n = n( − 1)ⁿ jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą .
Ciągi a_n = ( − 1)ⁿ oraz są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio − 1 oraz 1; w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
Ciąg a_n = {nπ}, gdzie oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną 0 i górną 1, każdy punkt przedziału [0,1] jest punktem skupienia.

Własności

Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
Dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne oraz dla każdego naturalnego n, to
Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi (a_n) i (c_n) są zbieżne do wspólnej granicy g, przy czym dla każdego naturalnego n, to ciąg (b_n) również jest zbieżny i to do granicy g.
Jeśli ciągi są ciągami zbieżnymi odpowiednio do a oraz do b, to wykonalne są działania:
- o ile tylko oraz dla każdego n.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
Każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę.^[2]

Ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg Cauchy'ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (najczęściej zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy'ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy'ego.

W ogólności warunek Cauchy'ego mówi, iż kolejne elementy ciągu zbliżają się do siebie. Dokładniej, zaniedbując dostateczną (lecz nadal skończoną) liczbę elementów można ograniczyć odległości między pozostałymi elementami do odległości mniejszej niż jakakolwiek ustalona wcześniej wartość dodatnia.

Innymi słowy, wybierając ustaloną dodatnią liczbę rzeczywistą można, bez względu na to jak mała będzie wartość , wyrugować z ciągu Cauchy'ego pewną skończoną liczbę elementów, po których dowolna para pozostałych wyrazów będzie w odległości mniejszej niż .

Ponieważ definicja ciągu Cauchy'ego korzysta z pojęcia odległości, to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy'ego polega przede wszystkim na tym, że w przestrzeni zupełnej (gdzie wszystkie ciągi tego typu są zbieżne), dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się często w algorytmach, zarówno teoretycznych jak i stosowanych, gdzie można łatwo wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie ciągu Cauchy'ego złożonego z poszczególnych iteracji.

Powyższe intuicje nie są tak obce, jak mogłyby wydawać się na pierwszy rzut oka. Przystanie na fakt, że każda liczba rzeczywista x ma rozwinięcie dziesiętne, jest przyznaniem, że pewien ciąg Cauchy'ego liczb wymiernych (którego wyrazy są kolejnymi obcięciami rozszerzenia dziesiętnego) ma granicę będącą określoną liczbą rzeczywistą. Na podobnej zasadzie ciągi Cauchy'ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Granica w punkcie

Funkcja określona na zbiorze ma w punkcie skupienia x₀ tego zbioru granicę równą g, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

dla każdej liczby istnieje liczba δ > 0 taka, że dla każdego z nierówności 0 < | x − x₀ | < δ wynika nierówność w zapisie symbolicznym:

Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją.

Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w lewostronnym punkcie skupienia x₀ dziedziny, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x₀, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji f, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Granica niewłaściwa

Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do przy

definicja Cauchy'ego

Analogicznie definuje się i oznacza się granicę niewłaściwą : trzeba tylko wszędzie zamienić na , a definicję Cauchy'ego zapisać tak:

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności

Funkcja f określona dla wszystkich ma w plus (minus) nieskończoności granicę g, co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy

definicja Cauchy'ego

Granica niewłaściwa w nieskończoności

Funkcja f określona na przedziale ma w nieskończoności granicę niewłaściwą , co zapisuje się

przy

lub

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego oraz ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do przy

definicja Cauchy'ego

Analogicznie definiuje się:

granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w
granicę niewłaściwą funkcji w

Własności

Jeśli funkcje f i g, określone na zbiorze , mają granice właściwe i , to:

gdy oraz

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że nie oznacza, że istnieją granice czy W podanym przykładzie granica nie istnieje, natomiast

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.

Jeśli funkcja ma w punkcie x₀ granicę , funkcja ma w punkcie y₀ granicę , przy czym x₀ i y₀ są odpowiednio punktami skupienia zbiorów oraz B, przy czym dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu x₀, to .