Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Teoria sprężystości i plastyczności

Temat: V_R Podstawy teorii lepko sprężystości

Opracowała:

Deyzi Tofil

Budownictwo stacjonarne

Studia II stopnia

Sem I, TOB

Prowadzący: dr hab. inż. Mykhaylo Delyavskyy

1.Wstęp

Ciało liniowo sprężyste posiada pamięć prostą, czyli pamięta jedną konfigurację, którą jest bezodkształceniowy stan początkowy. Istnieją materiały, które pamiętają przeszłość. Wśród tej grupy materiałów można wyróżnić takie dla których przyczyna i skutek są liniowo zależne. Dla tej klasy materiałów aktualny stan odkształcenia zależy od całej historii obciążenia. Materiały takie zwane są materiałami lepkosprężystymi.

Rys. 1.

Jako ilustrację problemu można rozważyć przykład pręta rozciąganego siłą osiową F (Rys. 1). W chwili t siła o wartości F(t) wywoła wydłużenie u(t). Wydłużenie u(t) zależy od historii obciążenia aż do chwili t. Gdy funkcja F(t) jest ciągła i różniczkowalna, to w ciągu nieskończenie małego przedziału czasu dτ w chwili τ < t przyrost obciążenia wyniesie (dF/dt)dτ. Przyrost ten działa na pręt wywołując przyrost wydłużenia du(t) w chwili t ze współczynnikiem proporcjonalności C zależnym od wielkości przedziału czasu t − τ. Zatem

gdzie jest wartością pochodnej w chwili t = τ; pochodna ta jest równa jeśli zmienną t zastąpimy τ przed różniczkowaniem.

Ponieważ siła osiowa F(t) jest proporcjonalna do naprężenia, a przemieszczenie u(t) proporcjonalne do odkształcenia, w dalszym ciągu będą używane wielkości lokalne, a w takim razie powyższe równanie zapiszemy w postaci

Sumując przyrosty odkształceń w ciągu całej historii otrzymujemy

Jeżeli „obciążeniem” pręta będzie zmienne w czasie odkształcenie (przemieszczenie) to wówczas odwracają się role odpowiednio naprężenia i odkształcenia w ostatnim równaniu, stąd

Powyższe równania są liniowe, przy czym

• c(t) – funkcja pełzania; jest wydłużeniem wywołanym nagłym przyłożeniem naprężenia o intensywności jednostkowej w chwili t = 0, σ(t) = H(t),

• k(t) – funkcja relaksacji; jest naprężeniem wywołanym odkształceniem jednostkowym zadanym w chwili t = 0, ε(t) = H(t),

gdzie funkcja Heaviside’a jest równa

Dla materiału wykazującego cechy sprężyste i lepkie typowe funkcje pełzania i relaksacji są pokazane na Rys. 2.

Rys. 2. Typowa funkcja pełzania (a) oraz funkcja relaksacji (b)

2.Modele mechaniczne materiału lepko sprężystego

Na wstępie rozważamy mechaniczne modele lepkosprężyste materiału, których budowę można zilustrować graficznie. Podstawowymi elementami modeli lepkosprężystych są: model materiału idealnie sprężystego i model materiału idealnie lepkiego.

Modele podstawowe

1. Model materiału idealnie sprężysty

Rys. 3. Model sprężysty materiału.

Równanie konstytutywne

gdzie μ – moduł sprężystości.

Funkcja pełzania

Funkcja relaksacji

2. Model materiału idealnie lepki

Rys. 4. Model lepki materiału.

Równanie konstytutywne

gdzie η – współczynnik lepkości.

Funkcja pełzania

Funkcja relaksacji

Odkształcenie przyjmujemy w postaci: ε(t) = H(t),

po podstawieniu do równania konstytutywnego:

gdzie δ(t) – funkcja Diraca.

Modele złożone

Wykorzystując podstawowe modele opisane wyżej możemy budować złożone modele lepkosprężyste, łącząc elementy podstawowe równolegle i/lub szeregowo. Poniżej omówione zostały wybrane modele.

1. Model Maxwell’a

Rys. 5. Schemat modelu Maxwella.

Równanie konstytutywne

Odkształcenie jest superpozycją odkształcenia elementu lepkiego i sprężystego stąd

Funkcja pełzania

Podstawiając funkcję jednostkowego naprężenia σ(t) = H(t) do powyższego wzoru i całkując po czasie:

Funkcja relaksacji

Rozwiązując równanie różniczkowe:

otrzymano:

W materiale o modelu Maxwella nagłe przyłożenie siły wywołuje natychmiastowe odkształcenie dzięki elementowi sprężystemu. W dalszych chwilach obserwuje się pełzanie związane z istnieniem elementu tłumika. Również nagłe odkształcenie wywołuje natychmiastową reakcję (naprężenie) elementu sprężystego, której wartość zmniejsza się wykładniczo z czasem na skutek zjawiska relaksacji naprężeń. Czynnik η/μ o wymiarze czasu nazywa się czasem relaksacji – jest miarą szybkości zanikania naprężenia w elemencie sprężystym.

2. Model Voigt’a

Rys. 6. Schemat modelu Voigt'a.

Równanie konstytutywne

Naprężenie jest sumą naprężeń w elemencie lepkim i sprężystym, stąd:

Funkcja pełzania

Podstawiając funkcję jednostkowego naprężenia σ(t) = H(t) do powyższego równania i całkując po masie otrzymano

Funkcja relaksacji

Podstawiając bezpośrednio do równania ε(t) = H(t) otrzymamy

W materiale o modelu Voigta nagłe przyłożenie naprężenia (siły) nie wywoła natychmiastowego odkształcenia (wydłużenie) ponieważ element tłumiący wstawiony równolegle z elementem sprężystym nie pozwala na natychmiastowe odkształcenie. Odkształcenie zaczyna natychmiast

narastać ale stopniowo, dopóki element sprężysty nie przejmie całego naprężenia (obciążenia). Relaksacja tłumika ma charakter wykładniczy a η/μ jest czasem relaksacji (obrazuje szybkość zanikania odkształcenia - przemieszczania tłoka tłumika).

3. Model liniowy standardowy

Rys. 7. Schemat modelu standardowego

Równanie konstytutywne

Model standardowy jest szeregowym połączeniem modelu Maxwella i modelu sprężystego. Naprężenie jest sumą naprężenia w elemencie Maxwella i sprężystym, stąd

Z równania konstytutywnego dla modelu Maxwell’a otrzymano:

gdzie oznaczano operator różniczkowy D d/dt.

Wyznaczając σ_M z powyższego wzoru oraz podstawiając poprzedni otrzymano:

a po rozpisaniu pochodnych można otrzymać równanie konstytutywne w postaci równania różniczkowego:

Funkcja pełzania

Podstawiając funkcję jednostkowego naprężenia σ(t) = H(t) do powyższego wzoru otrzymamy:

Korzystając z transformacji Laplace’a:

gdzie = L[c(t)] jest transformatą Laplace’a funkcji pełzania. Po dokończeniu odwrotnej transformaty:

Funkcja relaksacji

Podobnie jak wyżej podstawiając do równania konstytutywnego dla tego modelu ε(t) = H(t) oraz przyjmując σ(t) ≡ k(t) otrzymamy:

Korzystając z transformacji Laplace’a można otrzymać rozwiązanie powyższego równania w postaci:

W literaturze funkcje pełzania i relaksacji przedstawione są również w równoważnej postaci

gdzie stałe:

są odpowiednio czasem relaksacji obciążenia przy stałym odkształceniu i czasem relaksacji odkształcenia przy stałym obciążeniu, natomiast gdy t→∞ element tłumiący doznaje całkowitej relaksacji, zatem zależność naprężenie-odkształcenie staje się podobna jak dla elementu sprężystego i charakteryzuje ją stała E_R = μ₁ nazywana modułem sprężystym relaksacji.

Dla porównania funkcje pełzania i relaksacji dla modeli Maxwell’a, Voigt’a i modelu standardowego są odpowiednio rys. 8 i rys. 9.

Rys. 8. Funkcje pełzania dla modelów (a) Maxwell'a, (b) Voigta, (c) standardowego

Rys. 9. Funkcje relaksacji dla modelów (a) Maxwell'a, (b) Voigt'a, (c) standardowego

Na podobnej zasadzie jak to pokazano dla modelu standardowego można budować bardziej złożone modele lepkosprężyste. Przykładowo na rys. 10 pokazano schematy złożonych modeli mechanicznych materiału lepkosprężystego.

Rys. 10. Założone modele materiału lepkospręzystego

Dla modelu pokazanego na rys. 10a, będącego uogólnieniem modelu Kelvina:

stąd

Analogicznie dla modelu pokazanego na rys. 10b (uogólnienie modelu Maxwell’a):

stąd

Aby otrzymać jawną postać konstytutywnego równania różniczkowego z powyższych równań należy przedstawić je w postaci wielomianu eliminując mianowniki ułamków, a następnie iloczyny operatora różniczkowego D i funkcji naprężenia oraz odkształcenia traktować jako pochodne po czasie.

Bibliografia:

1) H. Dyja, A. Gałkin, M. Knapiński „Reologia metali odkształcalnych plastycznie” Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2010

2) Internet: www. wikipedia.pl

3.Równania konstytutywne ciała lepkosprężystego

Zależności między naprężeniem a odkształceniem sformułowane w poprzednich rozdziałach

uogólniono na kontinuum trójwymiarowe. W tym celu zastąpiono zależność naprężenie odkształcenie zależnością tensorową.

Przyjęto, że układem odniesienia będzie kartezjański układ współrzędnych i promień wektor

dowolnego punktu ma współrzędne r=x=(x1,x2,x3).

Wprowadza się następujące oznaczenia: tensor naprężenia σij, tensor odkształcenia εij w każdym punkcie x ciała w przedziale czasu (−∞ <t < +∞). Zakłada się że pole odkształceń εij(x,t), pole przemieszczeń ui(x,t) i pole prędkości vi (x,t) są nieskończenie małe.

Stąd pochodna cząstkowa względem czasu jest równa pochodnej materialnej ij ε_ij z dokładnością do nieskończenie małych pierwszego rzędu. Liniowy materiał lepkosprężysty dla kontinuum trójwymiarowe dla ciągłego i różniczkowalnego pola odkształceń można zdefiniować następująco:

Jest to prawo naprężenie-odkształcenie typu relaksacyjnego. Gijkl jest polem tensorowym 4-tego rzędu − tensorową funkcją relaksacyjną. Równanie postaci (36) w literaturze nosi nazwę splotu całkowego funkcji Gijkl oraz εij.

Jeżeli przyjąć, że dla t<0 naprężenie σij=0 i εij=0 oraz εij≠0 dla t=0 wówczas równanie (36)

przyjmuje postać:

W przypadku występowania nieciągłości pola odkształceń w postaci „skoków” pola odkształceń, wówczas dla każdej takiej nieciągłości pola odkształcenia o wartość ij Δε w chwili t=ξ równanie należy dodatkowo uzupełnić o człon G_ijkl(x,t)Δε (x,ξ)H(t −ξ .

Podobnie definiujemy prawo naprężenie-odkształcenie typu pełzania (uzupełniając to równanie w dodatkowe człony w przypadku nieciągłości pola naprężeń)

gdzie Jijkl jest polem tensorowym 4-tego rzędu − tensorową funkcją pełzania.

W dalszym ciągu dla uproszczenia zapisu wprowadza się skrócony zapis iloczynu splotowego.

Oznaczając przez φ i ψ funkcje określone odpowiednio w przedziałach 0≤ t <∞ i -∞< t <∞ można przedstawić następujące wyrażenie całkowe:

Jeśli całka istnieje dla każdego t z przedziału (0,∞) to funkcja I(t) nazywana jest splotem φ i ψ i w skrócie jest oznaczana jako

Iloczyn splotowy ma następujące własności:

– przemienność: ϕ∗dψ=ψ*dϕ,

– łączność: ϕ∗d(ψ*dθ) =(ϕ∗dψ)*dθ,

– rozdzielność: ϕ∗d(ψ+θ) =ϕ∗dψ+ϕ*dθ

Zatem można zapisać:

Aksjomat o nieistnieniu wstecznego działania mówi, że dla czasu −∞< t <0

Gijkl = 0 oraz Jijkl = 0.

W przypadku materiału izotropowego tensor Gijkl charakteryzuje się niezmienniczością względem obrotu układu współrzędnych. Zatem Gijkl musi być tensorem izotropowym i wówczas można go przedstawić w postaci

gdzie G1, G2 są funkcjami skalarnymi spełniającymi powyższe warunki i nazwane funkcjami relaksacyjnymi dla ścinania i izotropowe ściskania. Funkcje te są odpowiednikami modułu Kirchhoffa μ oraz modułu ściśliwości K dla ciał sprężystych izotropowych.

W takim razie dla materiału izotropowego związek konstytutywny można zapisać równoważnie jako prawo zmiany postaci i prawo zmiany objętości

gdzie σ'ij , ε'ij są składowymi dewiatora naprężenia i odkształcenia:

Analogicznie prawo naprężenie-odkształcenie typu pełzania dla ciała izotropowego ma postać:

gdzie J1, J2 – funkcje pełzania dla ścinania i izotropowe ściskania.

Jeśli Gijkl, Jijkl lub G1, G2, J1, J2 są funkcjami Heaviside’a (ze względu na czas) to związki konstytutywne redukują się do związków konstytutywnych dla ciała liniowo sprężystego.

4.Równania konstytutywne w formie równań różniczkowych

W przypadku, kiedy funkcja relaksacyjna składa się ze skończonego widma, wówczas możliwe jest przedstawienie równań konstytutywnych dla materiału lepkosprężystego w postaci równania różniczkowego.

Niech D^k oznacza się operator różniczkowania względem czasu

Definiujemy wielomianowe operatory różniczkowe postaci

gdzie ak, bk, ck, dk są funkcjami rzeczywistymi współrzędnych przestrzennych x1,x2,x3, przy

czym współczynniki główne an1, bm1, cn2, dm2 są różne od zera, tak więc wielomiany P1, P2, Q1,Q2 są odpowiednio rzędu n1, n2, m1, m2.

Na podstawie powyższych założeń równania konstytutywne dla izotropowego liniowego materiału można przedstawić w równoważnej postaci

Jeśli równanie konstytutywne dla danego materiału może być wyrażone w postaci całkowej i

różniczkowej to można określić zależność między funkcją relaksacyjną (lub pełzania) a operatorami różniczkowymi.

1. Dokonujemy transformacji Laplace’a równań

2. Następnie transformujemy kolejne równanie

gdzie

3. To czy równania z pkt.2 mogą być traktowane jako prawo relaksacyjne czy pełzania zależy od tego czy odpowiednio n1≥m1, n2≥m2.

4. Jeśli n1≥m1 wtedy (54) ma postać:

jeżeli spełniony jest warunek początkowy

Wówczas równanie z pkt.4 można traktować jako prawo relaksacyjne gdzie

5. Warunek początkowy pkt.4 jest wielomianem wielkości s. Każdy współczynnik wielomianu

musi być równy zero.

Tak więc gdy n1=m1 to

Jeśli m1<n1 wtedy współczynniki w równaniach (58) ze wskaźnikami k>m1muszą być zastąpione przez zera.

6. Jeśli n1≤m1 wtedy pkt.2 ma postać:

jeśli zachodzi warunek początkowy pkt.4

Wówczas równanie pkt.4 można traktować jako prawo pełzania gdzie

7. Jeśli n1=m1 wtedy materiał może być zdefiniowany przez prawo konstytutywne typu pełzania lub relaksacyjnego.

5. Zagadnienie graniczne (początkowo-brzegowe)

Ruch ciała lepkosprężystego podporządkowany jest prawom zachowania masy i pędu, zależnościom między naprężeniem i odkształceniem, warunkom brzegowym i początkowym.

Oznaczamy przez ui, εi, σij, Xi odpowiednio składowe kartezjańskie przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia i sił masowych na jednostkę objętości, a przez ρ – gęstość masy. Dla ciał lepkosprężystych jednorodnych izotropowych i nieskończenie małych przemieszczeń możemy zapisać następujące równania

d efinicja odkształcenia

równanie ciągłośc

równanie ruchu

równania konstytutywne w trzech możliwych sformułowaniach:

a) prawo relaksacyjne

b) prawo pełzania

c) w postaci równań różniczkowych

warunki początkowe dla stanu naturalnego:

uij = εij = σij = 0 dla -∞<t<0

W przypadku stosowania równań (c) w chwili początkowej t=0 zachodzi skok ciągłości dewiatora odkształcenia bądź naprężenia, wówczas warunki początkowe muszą określać pole odkształcenia i pochodne tego pola w chwili początkowej

jak również pole naprężenia i jego pochodne

a ponadto powyższe wartości muszą spełniać warunki konieczne

gdzie n jest liczbą większą z dwóch liczb będących stopniami wielomianu P1 i Q1.

Warunki brzegowe mogą mieć postać albo zadanych sił powierzchniowych na powierzchni Sσ z normalną zewnętrzną ni (warunki kinetyczne)

albo zadanych przemieszczeń na powierzchni Su

gdzie pi, zi są z góry danymi funkcjami miejsca i czasu oraz S = Sσ+ Su.

Zagadnienie teorii lepkosprężystości liniowej polega na wyznaczeniu ui, eij, σij dla zadanych Xi, pi, zi oraz danych warunków początkowych. Z wyjątkiem prawa konstytutywnego (prawa naprężenie-odkształcenie) identyczne równania mamy w liniowej teorii sprężystości.