1. Siła grawitacji

Grawitacja, nazywana czasami ciążeniem powszechnym, to jedno z czterech oddziaływań podstawowych wyróżnianych przez fizykę. Najważniejszą cechą grawitacji jest jej powszechność. Ciążenie działa tak samo na wszystkie obiekty fizyczne niezależnie od ich natury. Nie można w żaden sposób ani odizolować żadnego obiektu od wpływu ciążenia, ani zakłócić tego wpływu.

Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjne jest jednorodne.

Korzystając z wyrażenia na siłę grawitacyjną można obliczyć, że na przedmiot o masie m na powierzchni naszej planety działa siła F_g:

(1)

gdzie:
M ≈ 5,9736×10²⁴ kg — masa Ziemi,
R ≈ 6373,14 km — promień Ziemi,

a zgodnie z drugą zasadą dynamiki:

(2)

2. Przyspieszenie ziemskie

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie, z jakim w próżni, w okolicy powierzchni Ziemi, poruszają się wszystkie ciała (spadają, obiegają Ziemię po orbicie itp.). Jako standardowe przyspieszenie ziemskie jest przyjęta wartość:

g = 9,80665 m/s²

Przyspieszenie ziemskie jest w bardzo dobrym przybliżeniu równe przyspieszeniu grawitacyjnemu wywołanemu siłą ciążenia na sferycznie symetrycznej Ziemi:

(3)

gdzie:
M — masa Ziemi,
R — promień Ziemi,
G — stała grawitacyjna.

Dobowy ruch obrotowy Ziemi powoduje jednak, że układ odniesienia związany z Ziemią nie jest układem inercjalnym. Dlatego spadające ciała poruszają się ruchem przyspieszonym, w którym prócz przyspieszenia grawitacyjnego pojawiają się niewielkie składniki przyspieszenia wynikające
z nieinercjalności ziemskiego układu odniesienia (przyspieszenie odśrodkowe, przyspieszenie Coriolisa). Większe z nich, przyspieszenie odśrodkowe, ma kierunek prostopadły do osi ziemskiej i wpływa zarówno na wartość przyspieszenia ziemskiego, jak i na jego kierunek.

Przyspieszenie odśrodkowe wynosi:

(4)

gdzie:
ω = (2π/24)h-1 — prędkość kątowa Ziemi,
φ — szerokość geograficzna punktu na Ziemi,
ρ — odległość punktu od osi obrotu.

Po uwzględnieniu wkładu pochodzącego od tego przyspieszenia otrzymuje się związek:

(5)

Wypadkowy kierunek przyspieszenia ziemskiego nie jest radialny. Powierzchnia cieczy spoczywającej na Ziemi jest prostopadła do tego właśnie kierunku. Dlatego Ziemia zastygając przybierała kształt odbiegający nieco od sferycznego (kształt ten zachowuje obecnie tylko przy powierzchni oceanów).
Na równiku, gdzie udział przyspieszenia odśrodkowego jest największy, stanowi ono zaledwie ok. 0,3% przyspieszenia grawitacyjnego, co zwykle może być pominięte. Można też zazwyczaj pominąć zmiany
(o podobnej wartości) samego przyspieszenia grawitacyjnego na Ziemi spowodowane niesferycznością jej kształtu. Ziemskie przyspieszenie Coriolisa proporcjonalne do prędkości ciała staje się porównywalne
z przyspieszeniem odśrodkowym dopiero przy prędkościach rzędu 1000 km/h.

Pomijając przyspieszenie wywołane ruchem obrotowym ciała niebieskiego, przyjmuje się,
że przyspieszenie ziemskie jest równe natężeniu pola grawitacyjnego Ziemi. Jednostkami przyspieszenia ziemskiego są jednostki przyspieszenia:

(6)

3. Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego, prostoliniowego

Ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy ruch, którego torem jest linia prosta i w którym
w jednakowych odstępach czasu ciało doznaje jednakowych przesunięć — prędkość ma wartość stałą,
a droga jest wprost proporcjonalna do czasu.

Ruchem jednostajnym poruszają się wskazówki zegara, ziemia w układzie słonecznym.

Ruchem jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym nazywamy ruch, którego torem jest linia prosta, droga zwiększa się proporcjonalnie do kwadratu czasu, przyrost prędkości w kolejnych sekundach ma wartość stałą i przyspieszenie ma wartość stałą.

W ruchu jednostajnym przyspieszonym prostoliniowym odcinki drogi pokonywane w kolejnych sekundach maja sie do siebie tak, jak kolejne liczby nieparzyste.

Przyspieszenie jest wektorem prędkości, którego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości. Jest to stosunek przyrostu prędkości do przyrostu czasu w jakim ten przyrost następuje.

Równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego ma postać:

(7)

2. 1. Metody pomiarowe

Celem naszego ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego metodą spadku swobodnego.

Rysunek 1 Schemat układu do pomiaru przyspieszenia ziemskiego metodą spadku swobodnego¹

Opis doświadczenia: Kulkę wykonaną z metalu puszczano swobodnie z pewnej wysokości
i mierzono czas spadania stoperem. Następnie ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej wyznaczono wartość przyspieszenia:

(8)

s=H

a=g

(9)

3. 1. Pomiary i analiza ich niepewności

Zestawienie uzyskanych przez nas w trakcie wykonywania ćwiczenia pomiarów zawiera poniższa tabela nr 1. Oryginalna karta pomiarowa zawarta została w załączniku nr 1.

Tab. 1 Tabela pomiarów

Lp.	H, m	t, s
		1	2	3	4	5
1	1,40	0,548	0,545	0,544	0,543	0,545
2	1,30	0,526	0,526	0,526	0,526	0,525
3	1,20	0,508	0,507	0,507	0,508	0,505
4	1,10	0,486	0,480	0,482	0,483	0,482
5	1,00	0,459	0,460	0,461	0,460	0,461
6	0,90	0,435	0,438	0,435	0,436	0,436
7	0,80	0,412	0,412	0,411	0,414	0,412
8	0,70	0,386	0,386	0,385	0,387	0,387
9	0,60	0,356	0,356	0,359	0,359	0,356
10	0,50	0,327	0,327	0,326	0,325	0,325

Obliczyliśmy wartości średnie czasów dla poszczególnych wysokości. Następnie obliczyliśmy ich niepewności standardowe, korzystając z następującego wzoru:

(10)

gdzie t_n/a jest współczynnikiem Studenta-Fishera, który w naszym przypadku, dla liczby pomiarów n=10
i poziomu ufności a=0,6826, wynosi 1,059. Przyjęliśmy, że niepewność pomiarowa wynosi u_B(t)=0,003s. Następnie obliczyliśmy niepewności całkowite wartości średnich zmierzonych czasów, korzystając z następującego wzoru:

₍₁₁₎

Otrzymane przez nas wyniki zostały zawarte w poniższej tabeli:

Tab. 2 Wyniki obliczeń

Lp.	H, m	Średni czas , s	t^2, s^2	, s	, s
1	1,40	0,545	0,297	0,00042	0,0030
2	1,30	0,526	0,276	0,00010	0,0030
3	1,20	0,507	0,257	0,00027	0,0030
4	1,10	0,483	0,233	0,00049	0,0030
5	1,00	0,460	0,212	0,00019	0,0030
6	0,90	0,436	0,190	0,00027	0,0030
7	0,80	0,412	0,170	0,00024	0,0030
8	0,70	0,386	0,149	0,00019	0,0030
9	0,60	0,357	0,128	0,00037	0,0030
10	0,50	0,326	0,106	0,00022	0,0030

2. Wykres zależności kwadratu czasu spadku swobodnego od wysokości i obliczanie współczynników prostej

Tabela nr 2 zawiera również wartości kwadratów czasu spadku swobodnego dla poszczególnych wysokości, które są niezbędne do sporządzenia wymaganego wykresu zależności tychże kwadratów czasu spadku swobodnego od wysokości. Wykres ten został zawarty w załączniku 2.

Po naniesieniu odpowiednich punktów poprowadziliśmy linię trendu, w postaci prostej o równaniu:

₍₁₂₎

Następnie metodą regresji liniowej obliczyliśmy wartość współczynników a i b, korzystając
z następujących wzorów:

(13)

(14)

gdzie:

x_i —kolejne pomiary wysokości H, m;

y_i —kolejne wartości kwadratów czasu spadku swobodnego t², s²;

Dzięki tym obliczeniom ustaliliśmy, że równanie linii trendu na sporządzonym wykresie jest następujące:

Następnie obliczyliśmy niepewności standardowe otrzymanych współczynników, korzystając
z następujących wzorów:

₍₁₅₎

(16)

(17)

3. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego i jego niepewności

W następnym etapie naszych obliczeń posłużyliśmy się przekształconym równaniem ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego (7):

(18)

Odnosząc się do sporządzonego przez nas wykresu t²(H), można zauważyć analogię pomiędzy powyższym wyrażeniem a równaniem prostej na tym wykresie. Opierając się na tym spostrzeżeniu, można zapisać że:

(19)

co po przekształceniu daje ostateczny wzór na przyspieszenie ziemskie:

(20)

Następnie obliczyliśmy niepewność całkowitą uzyskanej wartości g. W tym celu skorzystaliśmy z prawa przenoszenia niepewności (propagacji):

4. 1. Wnioski

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenie ziemskiego metodą spadku swobodnego.

Uzyskaliśmy wynik (9,404±0,047) . Porównując go z wartością tablicową, która wynosi g = 9,806 , zauważyliśmy, że błąd wyniósł około 4,1% i jest znaczny.

Wyliczona przez nas wartość przyspieszenia ziemskiego jest obarczona błędem spowodowanym niedokładnością odczytów z przyrządów mierniczych oraz zaokrąglaniem wyników pomiarowych.

Rysunek 2 Wykres zależności kwadratu czasu spadku swobodnego t² od wysokości H

1^ Schemat pochodzi z materiałów dydaktycznych dostępnych na stronie internetowej www.fizyka.polsl.pl