Maciej Kosal Wałbrzych, 7.03.2013r

Nr indeksu: 202995 Rok akademicki 2012/13

Politechnika Wrocławska

ZZOD Wałbrzych

Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego

Sprawozdanie nr 1

Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego

Wahadło matematyczne to ciało o masie m skupionej w jednym punkcie, zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l, które wykonuje drgania harmoniczne względem punktu zaczepienia nici.

Jest to szczególny przypadek wahadła fizycznego, którego nie można w rzeczywistości skonstruować. W praktyce wahadłem matematycznym nazywamy małą, metalową kulkę zawieszoną na nici o niewielkiej rozciągliwości.

Okresem drgań wahadła nazywamy najkrótszy czas potrzebny do wykonania jednego pełnego drgania, tj. do powrotu układu do stanu początkowego (chwili, w której siły działające na układ mają ten sam kierunek i zwrot).

Na podstawie zależności i wzorów dla ruchu po okręgu i drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego można wyprowadzić następujący wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Głównym celem przeprowadzonego doświadczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego, za pomocą wahadła matematycznego. W tym celu z powyższego równania wyprowadzamy wzór na przyspieszenie grawitacyjne Ziemi:

$$g = 4\pi^{2} \bullet \frac{l}{T^{2}}$$

g = f(l, T)

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Niepewność statystyczna (typu A):

$$u_{A} = \frac{\text{ODCHYLENIE\ STAND.}}{\sqrt{n}}$$

Niepewność rozszerzona (typu C) pomiarów pośrednich: u_c(g):

$$u_{C}\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial l} \bullet u_{B}(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial g}{\partial T}{\bullet u}_{B}(T) \right\rbrack^{2}}$$

Niepewności typu B (niedokładność pomiaru przyrządem):

Długości wahadła:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial g}{\partial l} = \frac{\partial}{\partial l}\left( 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}} \right) = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}} \bullet \frac{1}{l} = \frac{g}{l} \\ u\left( l \right) = \frac{\partial g}{\partial l} \bullet u_{B}\left( l \right) = g\frac{u_{B}\left( l \right)}{l} \\ u_{B}\left( l \right) = \frac{l}{\sqrt{3}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Okresów wahadła:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{\partial g}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial T}\left( 4\pi^{2}l \bullet T^{- 2} \right) = - 2\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}} \bullet \frac{1}{T} = - 2\frac{g}{T} \\ u\left( T \right) = \frac{\partial g}{\partial T} \bullet u_{B}\left( T \right) = - 2g\frac{u_{B}\left( T \right)}{T} \\ u_{B}\left( T \right) = \frac{T}{\sqrt{3}} \\ \end{matrix} \right.\ $$