Krótkie sztuczki matematyczne Źródło: Strażnica rok 1960

NAJSZYBSZYM sposobem rozwiązania zadań matematycznych jest naturalnie sposób najkrótszy. Ale wielka część ludzi nie zna tego sposobu. Najczęściej używa ona zwyczajnych i czasem bardzo trudnych metod. Może spotkałeś już osoby, które potrafią prędko coś wyliczyć w głowie, na co ty potrzebujesz papieru i ołówka, albo które szybko na papierze rozwiążą zadanie matematyczne, na które ty przetrwonisz wiele czasu. Porównując się z nimi w tej dziedzinie, może ci się wydaje, że jesteś tumanem; ale nie potrzebujesz mieć takiego uczucia. I Ty możesz się nauczyć tych sztuczek, jakimi się one posługują.

Prędkie mnożenie

Przypuśćmy, że chciałbyś pomnożyć liczbę przez pięć. Jak byś to uczynił? Bardzo prędko zrobić to możesz, dołączając do tej liczby zero i dzieląc ją przez dwa. Na przykład: 223 x 5 równa się 223 x 10 : 2. To ilustruje ważny punkt, który bywa często przeoczony.

Łatwiej jest mnożyć przez 10, 100, 1 000 itd. niż przez jakąkolwiek inną liczbę. Cała twoja praca polega tylko na przyłączeniu do mnożnej liczby zer mnożnika. Jeżeli mnożnikiem jest liczba 10, to dodaj jedno zero, jeżeli mnożnikiem jest liczba 100, dodaj dwa zera itd. Są to przykłady całkiem elementarnej matematyki, ale tylko niewiele osób z nich korzysta.

Weźmy inny przykład. Przypuśćmy, że musisz pomnożyć liczbę przez 25. Uczynić to możesz prędko i łatwo, pamiętając, że 25 stanowi czwartą część od 100. Pomnóż więc daną liczbę przez 100, dołączając dwa zera i podziel na 4.

Czy chcesz pomnożyć liczbę leżącą tylko mało ponad albo pod 10, 100, lub 1000? Oszczędzisz czasu, jeżeli ją zaokrąglisz. Przypuśćmy, że chcesz liczbę 2743 pomnożyć przez 99. W tym wypadku powinieneś zamiast liczby 99 użyć liczby 100, dołączając do mnożnej dwa zera. W wyniku otrzymasz 274 300, a od tej liczby odejmij 2743. W ten sposób prędko rozwiązać możesz zadanie. Jeżeli mnożnikiem jest 101, to zaokrąglij go na 100 i dodaj potem 2743. Mnożenie przez 15 jest również takie łatwe.

Przypomnij sobie, że liczba 15 składa się z liczby 10 i 5, połowy od 10. Pomnóż więc mnożną przez 10 i dodaj do wyniku połowy tego iloczynu. Przykład: 782 x 10 = 7820. Połowa tego iloczynu odpowiada iloczynowi z 782 x 5. Dodając 3910 do 7820 otrzymasz 11 730. Jeszcze łatwiej jest pomnożyć liczbę przez 11.

Przypuśćmy, że chcesz wyliczyć zadanie 34 x 11. Normalnie uczyniłbyś to tak, jak pokazane jest po prawej stronie. Ale weź pod uwagę, że mnożna 34, powtarza się w toku przewodu. Zliczając liczbę 3 i 4 jak przy zwyczajnym dodawaniu nie potrzebujesz więc tracić czasu na mnożenie. Pisząc mnożna pozostaw miejsce między liczbami 3 a 4 i wpisz między nie sumę stworzoną przez dodanie tych dwóch liczb. Odpowiedz brzmi więc 374. Weź inny przykład: 72 x 11. Dodaj 7 do 2 i napisz prawidłową odpowiedź 792. Czysto nie łatwe? Jeżeli suma obu liczb przekracza 9, wtedy dodaj do liczby stojącej po lewej stronie l, jak na przykład: 99 x 11 = 1089 (9/18/5).

34

x 11

34

34

374

Liczby, mające więcej niż dwie cyfry, można pomnożyć przez 11, dodając je od prawej strony do lewej, pozostawiając pierwszą i ostatnią liczbę bez zmiany. Jako przykład niechaj ci posłuży 15 923 x 11. Zliczając liczby od prawej strony do lewej, napisz 3 z mnożnej jako pierwszą liczbę z odpowiedzi. Następną jest 3 plus 2 co równa się 5. Potem dodaj 2 do 9 a otrzymasz 11. Napisz więc 1 i zachowaj 1 w pamięci; następną liczbą jest 9 plus 5 plus 1, co równa się 15; Następna liczba 5 plus 1, plus liczba 1 zachowana w pamięci, równa się 7, a potem napisz ostatnią liczbę mnożnej i otrzymasz 175153. Zrozumiesz łatwo sposób takiego rachowania, jeżeli pomyślisz, że mnożąc liczbę przez 11 dodajesz tylko do tej liczbę samą liczbę, przesunąwszy ją o jedno miejsce na lewo. Jest to tak jak gdybyś mnożył przez 10 i potem dodał mnożną.

Prawie tak łatwo na tej samej podstawie, można pomnożyć każdą liczbę od 12 do 19 z inną liczbą. Przypuśćmy, że chcesz rozwiązać podane obok zadanie. Aby otrzymać pierwszą część iloczynu, pomnóż 7 x 4. Wynikiem jest 28. Napisz 8 i zachowaj 2 w pamięci, dodając tę liczbę do sumy wynikającej z 7 plus 4, a otrzymujesz 13. Napisz 3 i zachowaj 1 w pamięci. Potem pomnóż liczby dziesiętne i dodaj 1 (1 x 1 plus 1 = 2) W ten sposób otrzymasz ostatnią liczbę iloczynu. Ale co trzeba uczynić, jeżeli chcesz pomnożyć dwucyfrowe liczby od 20 do 99?

17

x 14

238

Tylko trochę trudniejsze jest mnożenie dwucyfrowej liczby z drugą dwucyfrową liczbą. Aby pomnożyć liczby 20, 30, 40, itd. trzeba do mnożnej dołączyć tylko jedno zero, a potem pomnożyć ją zależnie od liczby, przez 2, 3, albo 4. Dopiero stojąc przed zadaniem, jak np. przytoczonym obok, wyda nam się to troszkę trudniejsze. Ale skrót mnożenia takich liczb nie jest trudny. Najpierw musisz pomnożyć 4 przez 3 i otrzymasz 12. Napisz 2 i zachowaj 1 w pamięci. Potem pomnóż 3 przez 3, a otrzymasz 9. Do tego wyniku dolicz przeniesioną liczbę 1, a otrzymasz 10. Tę liczbę zachowaj w pamięci. Pomnóż teraz 2 przez 4. Wynik 8 dodaj do liczby 10, którą zachowałeś w pamięci. Otrzymasz w ten sposób 18. Napisz 8 jako następną liczbę rezultatu zadania rachunkowego i przenieś 1. Potem pomnóż 2 przez 3 i dodaj przeniesioną 1. Otrzymasz ostatnią liczbę wyniku. W ten sposób możesz rozwiązać w głowie wiele zadań z liczbami dwucyfrowymi. Możesz tę metodę również zastosować, aby dwucyfrową liczbę kończącą się na 5 podnieść do kwadratu, ale na to znamy jeszcze krótszą drogę.

34

x 23

782

Przez zastosowanie następującej metody możesz szybko podnieść do drugiej potęgi dwucyfrową liczbę, kończącą się liczbą 5. Przypuśćmy, że musisz rozwiązać podane obok zadanie. Aby to uczynić musisz pomnożyć 5 x 5 i napisz 25 jako pierwszy częściowy wynik. Potem dodaj jeden do mnożnika liczby dziesiętnej co w tym wypadku wynosi 3. Następnie pomnóż tę liczbę z liczbą dziesiętną mnożnej 3 x 2. Otrzymałeś 6, a to jest ostatnią liczba tego wyniku. Zadanie boczne jest dalszym przykładem. To zadanie wymaga podniesienia do drugiej potęgi liczby 35. Widzisz, że liczba kończy się na 5, i wiesz natychmiast, że poprawną odpowiedzią po stronie prawej jest 25. Dolicz teraz do liczby 3 mnożnika 1, pomnóż 4 x 3, a otrzymasz pozostałą część wyniku, 12. Odpowiedź na to zadanie jest więc 1225. To nie trudne, ale jak trzeba się obchodzić z ułamkami?

25 35

x 25 x 35

625 1225

Mnożenie ułamków

Ułamki mogą utrudnić obliczanie, ale nie zawsze tak musi być. Aby skrócić i ułatwić mnożenie 42 x 4 1/2, zamień 4 1/2 na liczbę całą, mnożąc ją przez 2. W wyniku będzie 9. Ponieważ nie chcesz zmienić rezultatu końcowego, podziel więc 42 przez 2. Teraz z łatwością możesz pomnożyć 21 x 9, co równa się 189 i jest wynikiem końcowym zadania 42 x 4 1/2. Dalszym zadaniem przykładowym jest 369 x 5 1/3. Uprość więc najpierw mnożnik, mnożąc 5 1/3 przez 3 i otrzymasz 16. Aby nie zmienić wyniku końcowego, musisz podzielić 369 przez 3. To zmienia zadanie na 123 x 16. Zachowaj w pamięci, że mnożnik ma liczbę 10. Zyskaj więc na tym. Pomnóż więc 123 przez 10, a wynikiem tego będzie 123o. Do tego wyniku musisz dodać 6 x 123, co stanowi dwukrotną początkową mnożną. Prędko otrzymasz teraz wynik końcowy 1968. Widzisz więc, że zadania matematyczne nie koniecznie potrzebujesz rozwiązywać z podanymi liczbami.

Te małe przykłady skróconego mnożenia mogą ci się dobrze przydać, jeżeli wpoisz je sobie w pamięć, starając się przy każdej okazji zastosować najłatwiejsze sposoby rachowania. Podobnie przedstawia się sprawa z dzieleniem.

Dzielenie

Liczba 10 nie tylko ułatwia mnożenie, lecz także i dzielenie. Aby podzielić liczbę przez 10, 100, 1000 itd. , trzeba przecinek przy dzieleniu posunąć tylko na lewo. Dzieląc w ten sposób 4921 przez 100, otrzymasz 49, 21. Jeżeli używasz liczby 2o, 30, i 40, wtedy przesuń przecinek przy dzielnej i dziel ją przez liczbę dziesiętną dzielnika. Przypuśćmy, że chcesz podzielić 162 przez 20. Najpierw więc dziel przez 10, przesuwając przecinek tak, że otrzymasz 16, 2. Teraz podziel ją przez 2 i otrzymasz 8, 1. Tę samą metodę możesz zastosować, chcąc liczbę podzielić przez 50, 60, 70, 80 i 90.

Również przy następnym zadaniu możesz korzystać z liczby 10. Powiedzmy, że chcesz podzielić 3645 przez 5. Jeżeli pomnożysz dziełu, i dzielnik przez 2, nie zmienisz iloczynu; więc uczyń to z liczbą 3645 i 5. Wynikiem będzie 7290 i 10. Zadanie wygląda teraz następująco: 7290 : 10, a wynikiem tego jest 729. Ale przypuśćmy, że musisz podzielić liczbę nie przez 5, lecz przez 25. To również jest łatwe. Uprość wtedy zadanie, mnożąc dzielnik przez 4, a otrzymasz 100. Nie zapomnij pomnożyć również dzielnej przez 4. Teraz możesz dzielić przez 100. 3645 x 4 jest 14580; to podzielone przez 100 wynosi 145, 8 i to jest rozwiązaniem zadania.

Dzielenie liczb przez ułamki możesz sobie również ułatwić. Chcesz na przykład rozwiązać następujące zadanie: 133 : 2 1/3. Jeżeli chcesz rachować liczbami prostymi, to pomnóż dzielną i dzielnik przez 3, a otrzymasz wtedy 399 : 7. Teraz łatwo już możesz rozwiązać zadanie, otrzymując w wyniku 57.

Jeżeli zadaniem jest podzielenie 56 przez 14, możesz sformułować go inaczej, dzieląc obie liczby przez 2. Wynikiem będzie 28 : 7. Miej zawsze w pamięci, że łatwiej jest dzielić przez jednocyfrową liczbę niż przez dwucyfrową. Czasem możesz dwucyfrową liczbę pomnożyć przez dwa tak, że potrzebujesz ją tylko podzielić przez jednocyfrową liczbę. Jako przykład weź liczbę 35. Mnożąc ją przez dwa otrzymasz 70. Najpierw przesuń przecinek przy dzielnej, a potem podziel tylko przez 7. Jednocyfrową liczbę możesz często otrzymać, rozkładając dwucyfrowa liczbę na współczynniki.

Współczynnikami są mnożna i mnożnik, których wynikiem będzie dana liczba. Współczynnikami liczby 32 na przykład są 8 x 4 albo 10 x 2. Powiedzmy, że chcesz rozwiązać zadanie 6560 : 32. Chcąc otrzymać liczby jednocyfrowe, wyszukaj współczynniki 8 i 4. Dzieląc 6560 przez 4 otrzymasz 1640, a gdy podzielisz te liczby przez 8, otrzymasz wynik naszego zadania, a mianowicie 205. Rozkładając w ten sposób dzielnik ułatwisz sobie dzielenie.

Dodawanie i odejmowanie

Aby móc szybciej dodawać, możemy zliczać dwie albo trzy liczby razem. Zwróć uwagę na przykład po prawej stronie. Jeżeli kolumna liczb jest bardzo długa, łatwiej ci będzie, gdy ją podzielisz i napiszesz tymczasowe wyniki na boku. Po takim podzieleniu kolumny dodasz wyniki tymczasowe, aby otrzymać sumę końcową.

5┐ 4┐

3├ 5┘

1┘ 6┐

4┐ 4┘

4├ 8┐

2┘ 2┘

19 29

Traktując liczby jako całość, można dodawać z łatwością kolumny liczb dwu — albo trzycyfrowych, licząc przy tym z lewa na prawo. Zwróć uwagę na przykład po prawej stronie. Zacznij przy liczbie 15 i dodaj następną liczbę dziesiętną, a otrzymasz 25; potem dolicz jednostki, a otrzymasz 26 itd. Zliczając liczby mów: 15, 25, 26, 46, 48, 108, 115. Przy liczbach trzycyfrowych, jak to pokazane jest w zadaniu obok, pocznij z liczbami setnymi, mówiąc: 216, 316, 376, 383. Liczenie z prawa na lewo nie jest ograniczone tylko na dodawanie.

15

11

22 216

67 197

115 383

Można również odejmować zaczynając przy liczbach setnych. Wylicz np. zadanie podane obok. Odejmij najpierw 200 od 500, myśląc tylko o całych liczbach. Podczas odejmowania mów: 548, 348, 318, 312. Gdybyś musiał odejmować 239 zamiast, 236, powiedziałbyś: 548, 348, 318, 309. Jeżeli opanujesz dobrze tę metodę rachowania prostymi liczbami, to zwiększysz szybkość odejmowania.

548

-236

312

Nie trzeba zapominać, że znacznie łatwiejsze jest dodawanie niż odejmowanie. Jeżeli masz rozwiązać zadanie, jak na przykład 624 mniej 348, to łatwiej ci będzie najpierw dodać 52 do liczby 348 aby otrzymać liczbę 400, zamiast zaraz odejmować 348 od 624. Jeżeli dodasz także liczbę 52 do 624, wtedy zadanie wyglądać będzie następująco: 676 mniej 400, a w wyniku będzie naturalnie 276. Innym przykładem jest 17,43 zł mniej 5,89 zł. Różnica między 6,00 a 5,89 wynosi 11 groszy. To jest uzupełnienie do następnej setki. Zamiast dodania tej liczby do następnej liczby naszego zadania, a mianowicie do odjemnej, jak to czyniłeś w ostatnim wypadku, chcesz najpierw odjąć 6 zł od 17,43 zł co wynosi 11,43 zł. Teraz możesz dodać 11 groszy i dojdziesz do wyniku końcowego: 11,54 zł. Niektórym ludziom wydaje się rzeczą łatwiejszą dodać uzupełnienie do wyniku tymczasowego, zamiast do odjemnej.

Czy odejmujesz lub dodajesz, czy dzielisz lub mnożysz, zawsze zważaj na to, abyś zadanie rozwiązał w sposób najłatwiejszy. Jeżeli nauczysz się prędko rozpoznawać, w jaki sposób sprostać zadaniu możesz prędzej rachować i nie zrobisz tyle błędów. Zachowaj w pamięci, że najkrótsza droga rozwiązania zadania jest drogą najszybszą.