Algebra

-Liczby zespolone

-geometria analityczna w przestrzeniach

-algebra liniowa – układ równań z wieloma niewiadomymi

Analiza matematyczna

-Ciągi

-Granice ciągów

-Funkcje

-Granice funkcji

-ciągłość funkcji

-przebieg

-całka nieoznaczona

-całka oznaczona

Geometria

////////////////////////

Równanie kierunkowe prostej

y=2x +3

y=ax + b – równanie kierunkowe prostej

a-współczynnik kierunkowey prostej

b-rzedna porzdkowa

zad wyznacz współrzedne punktów w których prosta y=-2x +4 przecina osie układu współrzędnych

a) punkt przecięcia prostej z osią x

y=0

Jeżeli punkt leży na osi X to jego druga współrzędna (y) jest równa 0.

(x,y)

0=-2x + 4
2x =4

x =2

A = (2,0) - punkt przecięcia z osią x

b) punkt przecięcia z osią y

Jeżeli punkt leży na osi u to z jego pierwsza współrzędna (x) jest równa 0.

x=0

y = -2*0 +4

B= (0,4) – jest to punkt przecięcia prostej z osią y

Warunek równoległości prostej

Twierdzenie

Proste o równaniach

warunek równoległości prostych

y=a1x +b1

y=a2x + b2

Są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

a1=a2

Zad. Napisz równanie prostej równoległej do prostej y = 3x -2 przechodzącej przez punkt A = (1,2)

y=3x +b

b = ?

2 = 3 * 1 +b

b= -1

Odp y = 3x – 1

Warunek prostopadłości prostych

Twierdzenie

Warunek prostopadłości prostych

Proste

y=a1x + b1

y = a2x + b2

są prostopadłe wtedy gdy

a1 * a2 = -1

zad. Napisz równania prostej prostopadłej do prostej prostopadłej do prostej y = x + 1 przechodzącej przez punkt A = (-2, 5)

y = ax + b

a= ? b = ?

1*a = -1

a= -1

y = -x +b

5 = - (-2) +b

b= 3

Odp. Prosta ma równanie y = -x + 3

Funkcja kwadratowa

f(x) = ax + b – funkcja liniowa

f(x) = ax^2 + b

Definicja

Funkcja postaciami

f(x) = a x^2 + bx + c

której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R gdzie a, b, c oznaczają dowolne ustalone liczby rzeczywiste przy czym a =/= 0 nazywamy funkcją kwadratową

zad. Wyznacz miejsce zerowe funkcji

f(x) = 2x^2 + 7x + 3

Δ = b^2 – 4ac

Δ = 7^2 – 4*2*3 = 49 – 24 = 25

sqt(Δ ) = 5

x1 = (-b-sqt(Δ ))/2a = -3

x2 = (-b+sqt(Δ ))/2a = -1/2

Twierdzenie

Funkcja kwadratowa

f(x) = ax^2 + bx + c

a) posiada dwa różne miejsca zerowe wtedy gdy (delta jest większa od zera) Δ>0 i wyrażają się one wzorami

x1 = (-b-sqt(Δ ))/2a , x2 = (-b+sqt(Δ ))/2a

b) posiada jedno miejsce zerowe wtedy gdy (delta równa się 0) Δ = 0 i wyraża się ono wzorem x0 = -b/2a

c) nie posiada miejsc zerowych wtedy gdy (delta jest mniejsza od zera) Δ< 0

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Twierdzenie

Dowolną funkcję kwadratową

f(x) = ax^2 + bx + c

można przedstawić tzw. postaci kanonicznej

f(x) = a(x + b/2a) - Δ/4a

zad. Wyznacz postać kanoniczną funkcji

a) f(x) = 3x^2 + 10x – 4

b) f(x) = -2x^2 + 8x

c) f(x) = x^2 – 3x + 4

ad a) a = 3, b = 10, c = -4

Δ = 10^2 – 4*3*(-4) = 148

f(x) = 3(x + 10/6)^2 – 148/12 = 3(x+5/3)^2 – 37/3

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Twierdzenie :

Jeżeli funkcja kwadratowa

f(x) = ax^2 + bx +c

posiada miejsce zerowe x1 i x2 (nie koniecznie różne) to można ją przedstawić w tzw. postaci iloczynowej

f(x) = a(x-x1)(x-x2)

zad. Przedstaw postaci iloczynowej funkcje f(x) = x^2 -5x -6

a = 1, b = -5, c = -6

Δ = (-5)^2 – 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49

sqt(Δ) = 7

x1 = (--5 – 7)/2 = -1

x2 = (--9+7)/2 = 6

f(x) = (x+1)(x-6)

Nierówność kwadratowa

2x^2 + 7x + 3 > 0

a = 2, b = 7, c = 3

Δ = 49 – 24 = 25

x1 = -3

x2 = -1/2

y > 0

xϵ(-∞, - 3) u (-1/2,∞)

Współrzedne wierzchołka paraboli

Xw = -b/2a

Yw = -Δ /4a

Układy równań z parametrem

zad Dla jakich wartości parametrów k rozwiązanie układu:

x-y = k-1

2x-y = 3-k

a)parę lczb ujemnych (x<0 i y <0)

b) parą liczb dodatni

k = 5

x-y = 4

2x – y = -2

k=0

x-y=1

2x-y=3

k=-7

x-y= - 8

2x-y =10

ad a) metoda wyznacznikowa

Oznaczone

Nieoznaczone

Sprzeczne

Warunek oznaczoności układu W =/=0

Ioczyn dwóch czynników ma wartość zero wtedy gdy przynajmniej jeden z nich (jest) ma wartoość zero.

Nierówności wymierne

Twierdzenie:

Znak ilorazu dwóch liczb jest jest identyczny ze znakiem iloczynu tych samych liczb

Ciągi liczbowe

a_n = 2n – 1

a1 = 2*1 – 1 = 1

a2 = 2*2-1 =3

a3 = 2*3-1 =5

an = 2n – 1; 1,3,5,7… ciąg rosnący liczb nieparzystych

b_n = 2n

b_n = 2n : 2,4,6, … ciąg liczb parzystych

cn= n^2 +n +1 : 3,7,13,21

dn = 100-n : 99, 98,96, … cąg liczb malejących

en = 1^n ; 1,1,1,1,1,… - ciąg stały

fnn = (-2)^n : -2, 4, -8, 16 – ciąg ani rosnący ani malejący

(Definicja ciągu rosnacego)

a1, a2, a3, … , an, an+1,…

Ciąg an nazywamy rosnącym <=> dla każdego : an + 1 -an >0

nϵN+s

Definicja ciągu malejącego

Ciąg an ciągu malejącym

Dla każdego: a_(n+1) – an <0

nϵN+s

Badanie monotniczności ciągu

zad zbadaj monotoniczność ciągu

a)a1 = 3n -2

b)a2 = n^2 -n

ad a) Biorę dowolną liczbę

nϵN+ - Z

założenie

Udowodnij, że

T: a_(n+1) -an >0

Dowód:

Wyznaczam wyraz na podstawie wzoru

a_(n+1) = 3(n+1) - …

np.

a_10 = 3*10-2

a_20 = 3*20-2

Wyznaczam a_(n+1) -2 = 3n+1

Tworzą różnicę a_(n+1) – an

a_(n+1) – an = 3n+1 – (3n-2) = 3 >0

ad b) biorę dowolną liczbę nϵN+ mam wykazać, że a_(n+1) >0

Dowód

Wyznaczam wyraz a_(n+1)

a_(n+1) =(n+1)^2 – (n+1)

żeby obliczyć n-ty wyraz weż … wyrazu, podnoszonego do kwadratu

(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2

a_(n+1) = (n+1)^2 – (n+1) = n^2 +n

a_(n+1) -an = n^2 +n - (n^2 – n) = 2n >0 bo nϵN+

z definicji wynika że ciąg an jest rosnącym

zad. Zbadaj monotoniczność ciągu

an = (2n +3)/(3n +4)

biorę dowolną liczbę N należącą do N+

Biorę dowolną liczbę należącą

Tworzę różnicę a_(n+1) – an

a_(n+1) = (2(n+1)+3)/(3(n+1)+4) = (2n+5)/(3n+7)

a_(n+1) – an = (2n+5)/(3n+7) – (2n+3)/(3n+4) (2n+5)(3n+4)/(3n+7)(3n+4)

(2n+3)(3n+7)/(3n+4)(3n+7) = -1/(3n+7)(3n+4) <0 ciąg malejących

Określenie ciągów pezy pomoc wzorów rekurencyjnych

zad. Napisz pięc pierwszych wyrazów ciągów

a1 = 1

a_(n+1) = an + 8n

a2 = 9

a3 = 25

a4 = 49

a5 =81

an = n^2 + 1

cn = 2n-1 wzór na liczby nieparzyste

an=(2n-1)^2

Ciąg artmetyczny

/////////////////////////////////////

Definicja. Niech (Ω,Ϝ, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, X: Ω → R – zmienną losową.. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy miarę probabilistyczną P_x na (R,Bor) daną wzorem:

P_x(B) = P(X^(-1)(B)) dla B ϵ Bor

Uwaga. Będziemy sotosować uproszczony zapis, np.:

P_x(B) = P(X^(-1)(B)) = P(X ϵ B)

P_x((a,b)) = P(X^(-1)((a,b))) = P(X ϵ (a,b)) = P(a<X<b)

P_x([a,b]) = P(X^(-1)([a,b])) = P(X ϵ [a,b]) = P(a=<X=<b)

P_x((-∞,a)) = P(X^(-1)((-∞,a))) = P(X<a)

P_x((a,∞)) = P(X^(-1)((a,∞))) = P(X>=a)

P_x({a}) = P(X^(-1)({a})) = P(X = a)

/////////////////////////////////////////

Definicja. Niech (Ω,Ϝ, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, Bor(R^n) – rodziną zbiorów borelowskich w R^n. Funkcję ξ : Ω → R^n nazywamy wetorem losowy, jeżeli ξ^(-1)(B) ϵ Bor(R^n). Wektor losowy X: Ω → R nazywamy zmienną losową.

Twierdzenie 1. Niech ξ : Ω → R^n. Następuje warunki są równoważne:

(1) ξ jest wektorem losowym

(2) ξ^(-1)(U) ϵ Ϝ dla każdego zbioru otwartego U ϲ R^n

(3) ξ^(-1)(K) ϵ Ϝ dla każdego zbioru K postaci K = (a1,b1) x(a2,b2)x ….(an,bn), gdzie a1<b1, a2<b2,…, an<bn – dowolne licby rzeczywiste.

Twierdzenie 2. Niech (Ω,Ϝ, P) będzie przestrzenią probablistyczną i Następujące warunki są równoważne:

1. X jest zmienną losową

2. X^(-1)((-∞,a)) ϵ Ϝ dla dowolnego a ϵ R

3. X^(-1)((-∞,a]) ϵ Ϝ dla dowolnego a ϵ R

4. X^(-1)((a,∞)) ϵ Ϝ dla dowolnego a ϵ R

5. X^(-1)([a,∞)) ϵ Ϝ dla dowolnego a ϵ R

6. X^(-1)([a,b)) ϵ Ϝ dla dowolnego a,b ϵ R,a<b

7. X^(-1)([a,b]) ϵ Ϝ dla dowolnego a,b ϵ R,a<b

8. X^(-1)((a,b]) ϵ Ϝ dla dowolnego a,b ϵ R,a<b

9. X^(-1)((a,b)) ϵ Ϝ dla dowolnego a,b ϵ R,a<b