15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1


Niech A i B

A i B

)

|

Pr(

A

B

,

)

|

Pr(

A

B

,

p

B

A

)

Pr(

)

Pr(

.

Oblicz p

2

/

1

i

3

/

1

.

(A)

5

2

p

(B)

3

1

p

(C)

2

1

p

(D)

5

1

p

(E)

6

1

p

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2

25

r

kul, z których

15

m

10

m

r

czarnych.

Losujemy bez zwracania najpierw

6

1

n

kul,

w urnie,

losujemy bez zwracania

8

2

n

kul. Niech

1

S

2

S

Oblicz )

,

(

2

1

S

S

Cov

.

(A) 48

.

0

)

,

(

2

1

S

S

Cov

(B) 32

.

0

)

,

(

2

1

S

S

Cov

(C)

48

.

0

)

1

(

)

(

)

,

(

2

2

1

2

1

r

r

m

r

m

n

n

S

S

Cov

(D) 75

.

0

)

,

(

2

1

S

S

Cov

(E) 1

)

,

(

2

1

S

S

Cov

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3


!

,...

,...,

1

n

X

X

"#

0

0

R

i

)

,....,

max(

1

n

n

X

X

R

dla

0

n

.

Zmienne losowe

N

i M

,...

,...,

1

n

X

X

obie te zm

$

)

(N

E

i

)

(M

E

.

Oblicz

)

Pr(

N

M

N

R

R

.

(A)

e

R

R

N

M

N

1

)

Pr(

(B)

1

)

Pr(

N

M

N

R

R

(C)

)

Pr(

N

M

N

R

R

(D)

e

R

R

N

M

N

1

)

Pr(

(E)

"

Wskazówka:

!%

0

M

N

&

M

N

N

X

X

X

,...,

,...,

1

$

0

M

N

mamy

N

N

M

R

R

.

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4

!

,...

,...,

1

n

X

X

"

)

(

i

X

E

,

2

)

(

i

X

Var

. Niech

N

,...

,...,

1

n

X

X

,

"

wzorem:

2

1

)

1

(

)

Pr(

n

n

n

N

, dla

,....

2

,

1

n

.

Niech

n

i

i

n

X

S

1

.

Oblicz

N

S

Var

N

.

(A)

)

(

2

2

N

S

Var

N

(B)

2

N

S

Var

N

(C)

2

N

S

Var

N

(D)

1

2

N

S

Var

N

(E)

2

2

N

S

Var

N

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5

!

,...

,...,

,

2

1

n

W

W

W

zmienna

1

W

'(

0

1

w

);

exp(

)

(

1

1

w

w

f

warunkowo, dla danych

n

W

W

W

,...,

,

2

1

, zmienna

1

n

W

' (

0

1

n

w

;.

)

exp(

;

)

exp(

)

,....,

|

(

1

1

1

1

c

w

gdy

w

c

w

gdy

w

w

w

w

f

n

n

n

n

n

n

Niech

2

ln

c

,

1

,

2

.

Podaj

)

(

lim

n

n

W

E

.

(A) 5

/

3

)

(

lim

n

n

W

E

(B) 5

/

4

)

(

lim

n

n

W

E

(C)

5

/

1

)

(

lim

e

W

E

n

n

(D)

5

/

1

2

)

(

lim

n

n

W

E

(E) 4

/

3

)

(

lim

n

n

W

E

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6


!

n

X

X ,...,

1

i

m

Y

Y ,...,

1

normalnego )

,

(

2

N

. Niech

n

i

i

X

n

X

1

1

)

m

i

i

Y

m

Y

1

1

Oblicz

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

100

n

i

385

m

%**+&

.

.

(A)

74

.

0

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

(B)

94

.

0

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

(C)

66

.

0

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

(D)

80

.

0

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

(E)

70

.

0

)

|

|

|

|

Pr(

Y

X

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7

Niech

n

W

W

W

,...,

,

2

1

0

w

wzorem:

).

exp(

)

(

w

w

f

#

i

W

do

,

n

Z

Z

Z

,...,

,

2

1

, gdzie

i

i

W

Z

.

(symbol

a

k

k

a

).

Oblicz estymator

ˆ nieznanego parametru

oparty na

obserwacjach

n

Z

Z

Z

,...,

,

2

1

.

(A)

1

ln

ˆ

n

S

, gdzie

n

i

i

Z

S

1

(B)

S

n

ˆ

, gdzie

n

i

i

Z

S

1

(C)

S

n

ˆ

, gdzie

n

i

i

Z

S

1

(D)

1

ˆ

S

n

, gdzie

n

i

i

Z

S

1

(E)

S

n

1

ln

ˆ

, gdzie

n

i

i

Z

S

1

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8

Próbka

14

2

1

,...,

,

X

X

X

2

,

N

2

. Na podstawie tej próbki zbudowano w standardowy

-

995

.

0

1

dla

:

14

,

14

14

14

t

S

X

t

S

X

.

Niech

15

X

14

2

1

,...,

,

X

X

X

.

. "

15

X , na

-(

14

14

Pr

14

15

14

t

S

X

X

t

S

X

p

%**+&


(A)

99

.

0

p

(B) 95

.

0

p

(C) 60

.

0

p

(D)

40

.

0

p

(E) 85

.

0

p

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9


Obserwuj

)

,

(

Y

X

! X

)

1

,

(

X

N

i Y

)

3

/

1

,

(

Y

N

(

wariancje, a nie odchylenia standardowe).

/

)

0

,

0

(

)

,

(

:

0

Y

X

H

przeciwko alternatywie

)

1

,

1

(

)

,

(

:

1

Y

X

H

1

.

0

.

Wyznacz moc tego testu.

(A) moc

83

.

0

(B)

moc

48

.

0

(C)

moc

97

.

0

(D)

moc

91

.

0

(E) moc

76

.

0

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10

!

, zmienne losowe

,....

,...,

1

n

X

X

"(

)

|

1

Pr(

i

X

,

1

)

|

0

Pr(

i

X

.

Zmienna losowa

]

1

,

0

[

.

0

;

1

0

1

)

(

przypadku

przeciwnym

w

dla

Niech

1

:

min

n

X

n

N

.

Oblicz )

|

1

Pr(

n

N

n

N

dla

,...

2

,

1

,

0

n

(A)

2

)

|

1

Pr(

n

n

n

N

n

N

(B)

1

1

)

|

1

Pr(

n

n

N

n

N

(C)

2

1

)

|

1

Pr(

n

n

N

n

N

(D)

2

1

)

|

1

Pr(

n

N

n

N

(E)

)

1

(

2

1

)

|

1

Pr(

n

n

N

n

N

15.06.2002

r

.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.

Arkusz odpowiedzi

*

, .................. K L U C Z O D W I E D Z I ..............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

.0 Punktacja

1 A

2 C

3 D

4 B

5 B

6 E

7 E

8 C

9 E

10 C

*

Arkuszu odpowiedzi.

W