Słaba zbieżność

Definicja: Niech (µ

n

)

∞
n=1

będzie ciągiem rozkładów prawdopodobieństwa na przestrzeni

(E, B(E)). Powiemy, że ciąg ten jest słabo zbieżny do rozkładu µ (ozn. µ

n

⇒ µ), jeśli

zachodzi jeden z równoważnych warunków:

a) dla każdego A ∈ B(E) mamy lim

n→∞

µ

n

(A) = µ(A), o ile µ(δA) = 0;

b) lim

n→∞

R

E

f dµ

n

=

R

E

f dµ dla wszystkich funkcji f : E → R ograniczonych i (jedno-

stajnie) ciągłych;

c) ciąg funkcji charakterystycznych ϕ

µ

n

(t) jest zbieżny do funkcji charakterystycznej ϕ

µ

(t);

d) F

µ

n

(t) → F

µ

(t) w każdym punkcie ciągłości t dystrybuanty granicznej F .

Definicja: Niech X, X

1

, X

2

, . . . będą zmiennymi losowymi, a µ, µ

1

, µ

2

, . . . ich rozkładami.

Ciąg X

n

jest zbieżny do X według rozkładu (ozn. X

n

D

−

→ X), jeśli µ

n

⇒ µ.

Uwaga: Ponieważ

R

E

f dµ

X

= Ef (X), to X

n

D

−

→ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej

funkcji (jednostajnie) ciągłej i ograniczonej Ef (X

n

) → Ef (X).

Fakt: Zbieżność według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność według rozkładu.

Fakt: Zbieżność według rozkładu do zmiennej losowej stałej implikuje zbieżność według
prawdopodobieństwa do tej samej stałej.

Fakt: Jeśli X

n

D

−

→ X i Y

n

D

−

→ c, to X

n

+ Y

n

D

−

→ X + c i X

n

Y

n

D

−

→ cX.

Centralne twierdzenie graniczne

Twierdzenie: Niech X

1

, X

2

, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jedna-

kowym rozkładzie, przy czym istnieją skończone EX

1

i V arX

1

oraz V arX

1

> 0. Wówczas

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

− nEX

1

√

nV arX

D

−

→ X,

gdzie X ∼ N (0, 1).

Wniosek: Niech S

n

oznacza liczbę sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego z prawdo-

podobieństwem sukcesu p. Jeśli np(1 − p) > 9 to

P

a ¬

S

n

− np

√

npq

¬ b

!

−−−→

n→∞

φ(b) − φ(a),

gdzie φ oznacza dystrybuantę rozkładu N (0, 1).