PRZED KLASÓWKĄ

Ciągi: arytmetyczny i geometryczny

1. Między 4 i 50 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytme-
tyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny.
2. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb równa jest 9. Jeżeli pierwszą
z nich podniesiemy do kwadratu, a od każdej następnej odejmiemy 1, to otrzymamy
ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
3. Pierwsze wyrazy dwóch ciągów: arytmetycznego i geometrycznego są równe 8;
drugie wyrazy tych ciągów też są sobie równe; stosunek trzeciego wyrazu ciągu aryt-
metycznego do trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego wynosi 16: 25. Wyznacz te
ciągi.
4. Trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny dają w sumie 15. Jeżeli powiększymy je
odpowiednio o 1, 4, 19, to otrzymamy trzy liczby tworzące ciąg geometryczny. Znajdź
te liczby.
5. Suma trzech liczb tworzących rosnący ciąg geometryczny równa się 26. Jeżeli do
tych liczb dodamy odpowiednio 1, 6 i 3 to otrzymane liczby utworzą ciąg arytme-
tyczny. Znajdź te liczby.
6. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny; suma kwadratów tych liczb wynosi 91. Je-
żeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 5, do trzeciej 4, to otrzymamy ciąg aryt-
metyczny. Znajdź te liczby.
7. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny; trzecia liczba jest równa 35. Jeżeli do pierw-
szej liczby dodamy 21, do drugiej 2, a do trzeciej

11



, to otrzymamy ciąg geome-

tryczny. Znajdź te liczby.
8. Z czterech liczb trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie – arytme-
tyczny. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że suma pierwszej i ostatniej równa się 14,
a suma drugiej i trzeciej jest równa 12.
9. Cztery liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli od każdej z nich odejmiemy odpo-
wiednio 2, 7, 9 i 5, otrzymamy cztery liczby tworzące ciąg geometryczny. Znajdź wy-
razy ciągu arytmetycznego.
10. Cztery liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli od pierwszej odejmiemy 9, od dru-
giej 12, od trzeciej 11, od czwartej 8, to otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te licz-
by.
11. Z pięciu liczb pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, zaś cztery ostatnie ciąg
arytmetyczny. Suma czterech ostatnich wynosi 20, a iloczyn drugiej i piątej wynosi 16.
Znajdź te liczby.
12. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej dodamy 8, ciąg zamieni się
na arytmetyczny; jeżeli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy 64, ciąg znów
będzie geometryczny. Znajdź te liczby.
13. Suma dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 155. Pierwszy wyraz tego
ciągu jest ilorazem pewnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest róż-

nicą ciągu arytmetycznego. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego
wynosi 9. Wyznacz oba ciągi.
14. Jeżeli od czterech wyrazów ciągu geometrycznego odejmiemy odpowiednie wyra-
zy ciągu arytmetycznego, to otrzymamy liczby: 1; 4; 17; 50. Wyznacz ciąg geome-
tryczny.
15. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do pierwszej i drugiej liczby dodamy
po 1, a od trzeciej odejmiemy 11, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli następnie do
pierwszego i drugiego wyrazu otrzymanego ciągu arytmetycznego dodamy po 2, a do
trzeciego 8, to otrzymamy ponownie ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
16. Drugi, czwarty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny.
Szóstym wyrazem ciągu jest 22, a różnica ciągu stanowi

7

5

trzeciego wyrazu.

Znajdź liczbę wyrazów ciągu.
17. Wyrazami skrajnymi ciągu arytmetycznego są

3



i 45. Znajdź sumę ciągu wie-

dząc, że wyrazy drugi, trzeci i szósty tworzą ciąg geometryczny.
18. Ciąg arytmetyczny ma 8 wyrazów, zaś ciąg geometryczny ma 4 wyrazy. Pierwszy
wyraz każdego z ciągów jest równy 1. Ostatnie wyrazy obu ciągów są też równe; suma
ciągu geometrycznego jest o 21 większa od ostatniego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Znajdź te ciągi.
19. Znajdź cztery liczby, z których trzy pierwsze tworzą ciąg arytmetyczny, zaś trzy
ostatnie ciąg geometryczny. Suma wszystkich liczb wynosi 3; stosunek ostatniej liczby
do pierwszej stanowi logarytm liczby 512 przy podstawie równej

5

,

0 .

20. Jeżeli do trzech liczb





2

1

;

1

;

1

a

a





dodamy odpowiednio

x

x

x

3

;

2

;

to otrzy-

mamy znów ciąg geometryczny. Znajdź x. Jakie warunki musi spełniać liczba a, aby
liczba x była mniejsza od 3?
21. Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiego wyrazu tego
ciągu dodamy m, to ciąg zmieni się na arytmetyczny. Jeżeli zaś do trzeciego wyrazu
nowego ciągu dodamy

3

2m , to otrzymamy znów ciąg geometryczny. Znajdź wspo-

mniane trzy liczby.
22. Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny wynosi 3m. Jeżeli do pierwszej
liczby dodamy 1, od trzeciej odejmiemy m, a drugą pozostawimy bez zmiany, to
otrzymamy liczby tworzące ciąg geometryczny. Znajdź te liczby. Zbadaj warunek, jaki
musi spełniać liczba m, aby zadanie miało rozwiązanie.

23. Rozwiąż układ równań

































8

2

8

4

2

2

m

z

y

x

z

y

x

m

z

y

x

i zbadaj, dla jakich wartości parametru

m, rozwiązanie





z

y

x

,

,

tworzy:

a) ciąg arytmetyczny,
b) ciąg geometryczny.

24. Liczby

n

a

a

a

a

,...,

,

,

3

2

1

tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę

n

n

na

a

a

a

S











...

3

2

3

2

1

, mając wyraz pierwszy

1

a i iloraz ciągu q.

25. Zbadaj, czy trzy różne liczby

3

2

1

,

,

a

a

a

mogą jednocześnie tworzyć ciąg arytme-

tyczny i geometryczny.
26. Liczby a, b, c, d są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego, zaś liczby
a + 5, b + 6, c + 9, d + 15 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
Znajdź te liczby.
27. Między liczby 2 i 18 wstaw trzy liczby tak, aby w utworzonym w ten sposób ciągu
liczb, trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny oraz
żeby suma wszystkich pięciu liczb była równa 45.
28. Trzy różne liczby, których suma równa się 63, tworzą ciąg geometryczny. Liczby te
są pierwszym, czwartym i szesnastym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Jakie
to liczby?
29. Skończony ciąg arytmetyczny ma 11 wyrazów. Pierwszy wyraz jest równy 24.
Pierwszy, piąty i jedenasty wyraz tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę ciągu aryt-
metycznego.
30. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli od pierwszej z nich odjąć 2, od
drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane liczby utworzą ciąg arytme-
tyczny. Znajdź te liczby.
31. Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny mają pierwsze wyrazy równe 9. Trze-
cie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2
większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi.
32. Trzy liczby o sumie 15 tworzą ciąg arytmetyczny. Środkowa liczba zmniejszona
o 2 tworzy z pozostałymi ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
33. Między liczby 2 i 12 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg geo-
metryczny, a trzy ostatnie ciąg arytmetyczny.
34. Mając dane liczby

4



i 50, wyznacz takie liczby x, y, aby liczby

4



x, y były

trzema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby: x, y, 50
były trzema początkowymi kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
35. Liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby
a +1, b + 4, c+19 trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma liczb a, b
i c jest równa 15. Znajdź te liczby.
36. Trzy liczby, których suma wynosi 93, tworzą ciąg geometryczny. Liczby te są jed-
nocześnie pierwszym, drugim i siódmym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.
Wyznacz te liczby.

Powodzenia!