background image

(

.

.

 ,

3-

$

,

%& %&,

 

 %

1997/98

$,. -&)

1.

  

 

1.1.

   X    : X

X

!

0

1

),  :

1)

(xy) = 0

,

x = y

8

xy

2

X ( )

2)

(xy) = (yx)

8

xy

2

X ( )

3)

(xz)

(xy) + (yz)

8

xyz

2

X ( "#).

% (

X) 

.

%&

Y

X

'  ' &.

Y  diamY := sup

xy

2

Y

(xy). (  ' -

 

.

B

"

(

x) :=

f

y

2

X

j

(yx) < "

g

:

Y

X  Z

X | (YZ) := inf

y

2

Yz

2

Z

(yz).

+

(yY ) = 0,  y |

Y .

Y :=

f

 ' &

Y

g

. ,', '

Y

Y . ( Y

Y = Y . -' x 

Y ,

 

" > 0 , ' B

"

(

x)

Y ( ', x

2

Y ).

Y

 &# Int

Y

Y " . '. ( Y 

,

Y = IntY .

 

1.2.

%#

X | ' &. -" Y

X  "

 # ", "

X

n

Y .

1.3.

X

|

.

 !

1

X

"

2

O

"

3

O

#$!

S

2

A

U

%#

#

&

!'

U

X

"

4

O

k

T

i=1

U

i

#

&

!'

U

i

X

-

"

1

"

2

X

"

1

background image

3

T

2

A

F

%#

#

&

!'

F

X

"

4

#$!

k

S

i=1

F

i

#

&

!'

F

i

X

-

"

 .

/  &0 ' k O

)

k 1

8

k. 20 1 ,  2 ,

'. 3 3,. %#

U =

S

2

A

U

x

2

U. -" 0  , '

x

2

U

B

"()

U

. -"

B

"()

U

U.

3 4 ,. %#

U =

k

T

i=1

U

i

,

x

2

U. -"   "

i

(

i = 1:::k)

., '

x

2

B

"

i

(

x)

U

i

. %#

" := min

f

"

1

:::"

k

g

. -"

B

"

(

x)

B

"

i

(

x)

U

i

8

i. 1', B

"

(

x)

U.

2

 

1.4.

%#, '  ' # #.

 

1.5.

3#, '

B

"

(

x) .

 

1.6.

3#, ' Int

Y .

 

1.7.

3#, '

Y .

1.8.

 %

 

X   " &-

 (5 & 

),  

:

1)

X

2

2)

2

3)

U

2

8

2

A, 

S

2

A

U

2

4)

U

1

:::U

k

2

k

T

i=1

U

i

2

.

% (

X) 

%

.

F =

X

n

U, " U

2

.

 

1.9.

%#  .  0 1 1 { 4 1.

!

1.10.

(' &  &"'.

 

1.11.

% & &"'" & (

X),  -

"   0 0 (": &"  ).

1.12.

)

'

x

2

X (& Y

X) -

     (") .

 

Y

X

|  '

x

2

X, '   #  & &'  Y .

Y | 5  Y . ' & Y ( ' Y

Y ).

-'

x

2

'0

Y ,  0  #

U ' x, ' x

2

U

2

Y . 2&# . . ' Y 

Y  ' IntY .

 

1.13.

Y

X  "  # ", " Y = Y .

 

1.14.

Y .

1.15.

%#

Y

X, (X) | &"' &. -&-

"

1

:=

f

U

\

Y

j

U

2

g

 &"0,

!*

  Y .

2

background image

 

1.16.

%# 

1

 &".

 

1.17.

%# (

X

X

) | ' &. -" &" 

Y

X    &:

1)

X

&

X

,  7

1

,

2)

X

& "' 

Y  

Y

,  &

Y

.

3#, '

1

=

Y

.

1.18.

%

Y

(!)

%,

Y = X.

 

1.19.

%#

Y

1

X  Y

2

X |  & &. -"

Y = Y

1

\

Y

2

|  & &.

1.20.

,

f : X

!

Y &"'. & -

x

0

2

X,   0   V (f(x

0

))

  #

U(x

0

), '

f(U(x

0

))

V (f(x

0

)). ,, -

&  0 ', 

.

1.21.

-%!.

%

/%:

1)

f : X

!

Y

"

2)

!%

%#

V

Y

#

f

;

1

(

V )

X

"

3)

!%

%#

F

Y

#

f

;

1

(

F)

X

.

 .

%#

f

;

1

(

Y

n

V ) = f

;

1

(

Y )

n

f

;

1

(

V ) = X

n

f

;

1

(

V ),  

2  35.

%# &#

f &, V

Y |  . -"  &-

V &, ,  , ,    ' x: f(x)

2

V .

-" & &  0 0 ' 0  #

U(x),

'

f(U(x))

V , . . U(x)

f

;

1

(

V ). - ,  ' f

;

1

(

V ) |

.

,, &# &  2. -" 

V = V (f(x

0

))  ' -

"

U  # U = f

;

1

(

V ).

2

 

1.22.

%#

X = F

1

F

2

, "

F

1

F

2

| ,

f : X

!

Y . -" f

& "  # ", "

f

j

F

1

:

F

1

!

Y  f

j

F

2

:

F

2

!

Y &.

 

1.23.

%#

f

n

:

X

!

R

| & 87, . 

f -

 

X. -" f &.

 

1.24.

%#

X  Y | ' &. 3#, ' f :

X

!

Y &  ' x

0

  0 . &"'-

. & "  # ", "  0 &#

f

x

n

g

 lim

n

!1

x

n

=

x

0

 lim

n

!1

f(x

n

) =

f(x

0

).

1.25.

,

f : X

!

4,

1)

f | 7

2)

f  f

;

1

&.

3

background image

 

1.26.

% & " &" ,  -

" "8.

1.27.

5

%

    . -

B

, ' 

{  &   . 9.

 

1.28.

:   #  &#  &-

B

1

, '  #  . &#. 90 &'# -

 &" ?

1.29.

%# (

X

X

)  (

Y

Y

) | &"' &. <-

 

X

Y   &":

B

:=

f

V

W

j

V

2

X

 W

2

Y

g

:

%' &"' & 

!

!

X  Y .

 

1.30.

%# ( &# &0 '), '

X

Y 0-

# &"' &.

 

1.31.

3#, '

X

Y  Y

X "8.

 

1.32.

3#, ' (

X

Y )

Z  X

(

Y

Z) "8.

 

1.33.

%# (

X

X

)  (

Y

Y

) | ' &. ,&

X

Y  :

max

((

x

1

y

1

)

(x

2

y

2

)) := max

f

X

(

x

1

x

2

)

 

Y

(

y

1

y

2

)

g

2

((

x

1

y

1

)

(x

2

y

2

)) :=

q

2X

(

x

1

x

2

) +

2Y

(

y

1

y

2

)

+

((

x

1

y

1

)

(x

2

y

2

)) :=

X

(

x

1

x

2

) +

Y

(

y

1

y

2

)

:

3#:

1) = 5 .

2) =  &" 

X

Y &.

 

1.34.

3#, ' & &0 (

ab), ab)  ab]  "-

8.

1.35.

-&"' &

,

&   . (', 5.) 0:

%

X &   9 . &.

&. . .

%

X  & & A,  &  X  -

    .

%

X &   9 . &.

&.  .  . .

/ & '

.

1.36.

%

%

,

  -

. . '

x

0

x

1

2

X  &  (

)

f : 01]

!

X, f(0) = x

0

,

f(1) = x

1

.

 

1.37.

ab]

R

  0 .

4

background image

1.38.

X =

S

X

,

'!

X

,

T

X

6

=

.

 !

X

.

 .

%#

X , X = A

B, A

\

B =

,

A  B | &

-. -" 

X

= (

X

\

A)

(

X

\

B). % &

70 &" 5  - 

X

. %#

X

,    . &. 1',  

X

7   

A,   B,   &. % 5,   A  B &,  X

 9

X

,  .  &  

X

   

B. 1',

T

X

=

. %'.

2

1.39.

%

X

!%

%#&

!&

x

y

!

P

xy

,

&

!'..

 !

X

.

 .

%#

X , X = A

B, A

\

B =

,

A  B | &

-. -" 0

a

2

A, b

2

B   P

ab

. -"

P

ab

= (

P

ab

\

A)

(

P

ab

\

B). ?  -  P

ab

 & (&

a,  | b). %'  # P

ab

.

2

 

1.40.

, " & & &  -

.

1.41.

6

.

 .

% &0 '

f(01]) , " f = f

x

0

x

1

|  &-

 00 . %

P

x

0

x

1

:=

f(01]),  &##

0 1.39.

2

 

1.42.

% & ",   0 " &.

1.43.

-&"' & 

&!4,

  .

xy

2

X, x

6

=

y, 0   U(x)  U(y), '

U(x)

\

U(y) =

.

 

1.44.

% & .8 &"'" &.

 

1.45.

3#, '  & .8. &

.8.

 

1.46.

3#, '  .8 &  ' -

.

1.47.

-&"' &

%,

  .8   . . &. . 

F

1

F

2

 & 

U

1

F

1

U

2

F

2

.

 

1.48.

/ ' & #.

1.49.

%

f

V

g

2

B

%

(  , ')

f

U

g

2

A

,   "

 0   = (), ' V

U

.

1.50.

X

|

%

%

,

f

U

i

g

Ni=1

|

.

 !

.

#%

%

!

V

i

,

V

i

U

i

.

5

background image

 .

<  

F

1

=

X

n

N

i=2

U

i

!

U

1

e

F

1

=

X

n

U

1

    # 

V

1

F

1

e

V

1

e

F

1

V

1

\

e

V

1

=

:

-"

V

1

\

e

F

1

=

V

1

V

1

(

X

n

e

F

1

) =

U

1

 (

V

1

U

2

:::U

N

) | &. 3, 

U

2

V

2

 . .

2

 

1.51.

%#

f : X

!

X | &  .8 &-

. 3#, '  &. '

F

f

:=

f

x

2

X

j

f(x) = x

g

.

 

1.52.

3#, '

X .8 "  # ", " "#

B :=

f

(

xy)

j

x = y

g

X

X   X

X.

 

1.53.

:

#

1.54.

(%

& )

X

|

%

%

,

F

0

F

1

|

.

'.

 !

.

4*

f : X

!

0

1]

,

f

j

F

0

= 0

,

f

j

F

1

= 1

.

 .

C # , '  " "

F  "

U, F

U 0 " # V , , ' F

V

V

U,

'  '#

V

U.

,&

V

q

 '-7#.

q 70 & & 

(. . '  0  1, &  1/2, &  1/4  3/4, &  1/8, 3/8,

5/8, 7/8   ). %

V

0

V

1

  & 

F

0

F

1

,   & & #-

. %#, & && 7,

V

q

&  2

k

 

q.

<

F := V

i

2

k

U := V

i

+1

2

k

" &

V

2

i

+1

2

k

+1

:=

V , 8"  F  U    '

#.

%'

V

q

  & &, &'

1)

F

0

V

0

,

2)

V

1

(

X

n

F

1

),

3 ) 

q

1

< q

2

V

q

1

V

q

2

.

,&  "

s

2

0

1]: V

s

:=

S

q

s

V

q

. -"

V

s

  "

s (

9 .)   1 { 3 . 30#, 1  2 ', 

3  ", '    '  0  '-

7#..

6

background image

-&# & 87

f : X

!

0

1], & f

j

F

0

= 0 

f(x) := sup

f

s

j

x

62

V

s

g

. %, '

f &. %# x

0

" > 0 &#. %# s

0

=

f(x

0

).

<

U(x

0

) :=

V

s

0

+

"

4

n

V

s

0

;

"

4

:

? 0# #

x

0

, &'  "

x

2

U(x

0

)

x

2

V

s

0

+

"

4

x

62

V

s

0

;

"

4

 '

s

0

;

"

4

f(x)

s

0

+ "4

j

f(x)

;

f(x

0

)

j

"

2 < ":

2

 

1.55.

1 & " &  

9 &.

 

1.56.

(- -7  &) %#

X | # &"-

' &,

f : F

!

R

| & 87. -"

f &

 &0 87

g : X

!

R

. +

f "',   g  #

"'0 0  0.

1.57.

7%

4*

f : X

!

R

supp

f :=

f

x

2

X

j

f(x)

6

= 0

g

:

1.58.

X

|

%

%

,

f

U

g

|

.

 !

.

4*

:

X

!

0

1]

R,

1)

supp

U

,

2)

P

(

x)

1

.

-

4*

 

,

f

U

g.

1.59.

3' #0 '

f

U

g

:  0 ' -

 #, & H#  ' '

f

U

g

.

 .

2"  1.50 0  &

W

V

U

.

%  J  & 87

:

X

!

0

1]

j

W

1

j

(

X

k

)

0

:

- , supp

V

U

j

W

> 0. %  :=

P

. ? '

 &. 870 ,  , & 87. %#

f

W

g

| &, 

> 0  W

 > 0. 1',   &#

:=

. ,', '   &.

2

1.60.

-&"' &

,

  " " " &  # ' &&.

 

1.61.

3#, '  

ab] &.

 

1.62.

3#, '  & &" &

&.

 

1.63.

3#, ' & & .8 &-

 .

7

background image

1.64.

8

&!4

%.

 .

%#

F

X   x

62

F. %, ' 

U(x)  V (F). /  .8  " y

2

F 0  V

y

U

y

, '

V

y

\

U

y

=

. ,

V

y

 &

F, 

"  # ' &&

V

y

1

:::V

y

N

,  

F &

(. ' 1.62). %

V (F) := V

y

1

:::

V

y

N

U(x) :=

N

\

j=1

U

y

j

:

%# &#

F

1

X  F

2

X | . % &0 ' #

&  "

x

2

F

1

 & 

U(x)

V (x)

F

2

. -"

f

U(x)

g

|  &

F

1

,  "  #

' &&

U(x

1

)

:::U(x

n

). (

n

S

i=1

U(x

i

n

T

i=1

V (x

i

) | 

F

1

F

2

.

2

 

1.65.

3#, ' &0  & &.

 

1.66.

%#

f : X

!

R

1

| & 87  & &-

X. -" f "'  & #H  #H '.

 

1.67.

%#

X | ' &, "  

5:

1)

X &

2)  &##

f

x

n

g

X  . &&#-

#

3)  &## . &. . 

f

F

n

g

(. .

F

n

F

n+1

)  & &'.

 

1.68.

3 & &. &  -

&.

2.

 

 

 

2.1.

9%!

#

 &# .8

&"' &

M, 

%!

%,

. .  &-

f

U

g

  "8

'

, .

U

  &-

V

R

m

(

m  # dimM " M). , -

 

U

%%

!

. % 5 , ' 

!

'

'

;

1

:

'

(

U

\

U

)

!

'

(

U

\

U

)  "  {87,

    

R

m

.

9%!

 -

#0 "0 .

2.2.

+  # ",  " 

-

%.

8

background image

 

2.3.

% & "  " " -

, . .    "  (

U

i

'

i

)  (

V

j

j

), '

f

(

U

i

'

i

)

(V

j

j

)

g

  " .

 

2.4.

3#, '

S

n

R

P

n

 " ".

 

2.5.

K  " " "7   #

(&

R

2

) ?

2.6.

2

n- " 

%-%-

,

  87    &-'.

 

2.7.

3#, '

S

2

| &-' ".

2.8.

L7

f : M

!

R

%!,

  0

'

P

2

M  0  (U

'

), 0

P, 87 f

'

;

1

:

V

!

R

,

   

R

m

,  "0.

 

2.9.

3#, '  " & H  0  

"# & H  0.

2.10.

M& 

f : M

!

N ". "-

%!,

  0 '

P

2

M  .  (U

'

),

0

P,  (U

0

'

0

), 0

f(P), (5   M  N, )

'

0

f

'

;

1

:

V

!

V

0

R

n

,    

R

m

 

%%

!%

!

f,  ". 1#

dim

M = m  dimN = n.

 

2.11.

3#, '  " & H  0 & 

 "# & H  0.

2.12.

K " 

f : M

!

N ". "-

!444,

f

;

1

 ".

 

2.13.

%#, ' 8

y

k

=

x

k

q

"

2

;

(

x

1

)

2

;

(

x

2

)

2

;

:::

;

(

x

n

)

2

k = 1:::n

x

k

=

y

k

q

"

2

+ (

y

1

)

2

+ (

y

2

)

2

+

::: + (y

n

)

2

k = 1:::n

 888

B

"

(0)

R

n

R

n

.

 

2.14.

% & "" "8,  " 8-

88.

#

2.15.

7

%#

%!

#

M

.

%

,

!444

:

(

!

!

2.13

R

m

:)

 .

%# (

U

'

) | 0  

M. 3 0 x

2

M

U

(x)

3

x. %# "(x) # , ' B

"(x)

(

'

(x)

(

x))

V

(x)

R

m

. -"

(

e

U

x

e

'

x

)

 x

2

M

e

U

x

:=

'

;

1

(x)

(

B

"(x)

(

'

(x)

(

x)))

e

'

x

:=

'

(x)

j

e

U

x

| 0 .

2

2.16.

3 " '"  &" " -

 &'  7, &#  #.

9

background image

2.17.

%

%#

%

#

M

.-

!

%!

#

!*.

 .

% " , ' ' &# 

7  " #' ." . / ' " #'-

  (0    2.15   1.50) 0  (

W

),

'

(

W

) =

B

1

(0)

R

m

W

"

:=

;

1

(

B

1

;

"

(0)) | &

M:

,& " 87 

R

m

:

h(x) :=

(

e

;

1

(k

x

k;(1;

"=

2)

2

)

2

 &

k

x

k

< (1

;

"=2)

2

,

0

&

k

x

k

(1

;

"=2)

2

.

-"

supp

h

B

1

;

"=2

(0)

0

h(x)

1

h(x) > 0  B

1

;

"

(0)

:

%

:=

(

h(

(

x)) & x

2

W

,

0

&

x

62

W

.

-"

2

C

1

(

M), 0

1, supp

W

> 0  W

"

. 1',

 :=

P

> 0,

:=

= |  C

1

- 7.

2

2.18.

f :

R

n

!

R

|

%!

4*,

grad

f

6

= 0

M = f

;

1

(

y

0

)

.

 !

M

|

%!

#.

/

%%-

&

!

'

n

;

1

x

1

:::x

n

.

 .

%   0 87. C, &#

~x

0

= (

x

1

0

:::x

n

0

)

2

M

grad

~x

0

=

@f

@x

1

::: @f

@x

n

!

~x

0

6

= ~0

:

K "'   '#, '

@f

@x

n

~x

0

6

= 0. %   0

87 0 #

V ' (x

10

:::x

n

;

1

0

R

n

;

1

,  (

x

n0

;

"x

n0

+

")

2

R

1

C

1

-87

g : V

!

R

1

, '

1)

f(x

1

:::x

n

;

1

g(x

1

:::x

n

;

1

))

V ,

2)

g(x

10

:::x

n

;

1

0

) =

x

n0

,

3)

g(x

1

:::x

n

;

1

)

2

(

x

n0

;

"x

n0

+

") & (x

1

:::x

n

;

1

)

2

V ,

4)  ' (

x

1

:::x

n

)

2

M

\

(

V

(

x

n0

;

"x

n0

+

"))  

x

n

=

g(x

1

:::x

n

;

1

).

10

background image

,&   :

U := M

\

(

V

(

x

n

0

;

"x

n

0

+

")) ' : U

!

R

n

;

1

 '(x

1

:::x

n

) := (

x

1

:::x

n

;

1

)

2

V:

-", & 1)  3 )  

'

;

1

(

x

1

:::x

n

;

1

) = (

x

1

:::x

n

;

1

g(x

1

:::x

n

;

1

))

:

%, ' &'0   ". %#,  "' -

,   (

U') ' ~x

0

   (

e

U

e

'), "

e

' : (x

1

:::x

n

)

7!

(

x

2

:::x

n

). -" 

V

\

e

V

e

''

;

1

(

x

1

:::x

n

;

1

) =

e

'(x

1

:::x

n

;

1

g(x

1

:::x

n

;

1

)) = (

x

2

:::x

n

;

1

g(x

1

:::x

n

;

1

))

| "  .

2

2.19.

(

 ' 

 )

8-

%

  ' P

2

M  " M  ,

 0  (

U

'

) (#0   (

x

1

:::x

n

))  -

P     ' (

1

:::

m

). % 5 & -

0 , 0  ',     

 #. . C,   (

U

'

) (#0  -

 (

x

1

:::x

n

))     ' (

1

:::

m

), 

i

= @x

i

@x

j

j

" & & .   

j & .

 

2.20.

(& &) %#

 : (

;

11)

!

M | " -

. -" 

: (

x

1

:::x

n

)

dx

1

dt :::

dx

n

dt

!

t=0

 . 1#  #0   (

x

1

:::x

n

   (x

1

(

t):::x

n

(

t)).

 

2.21.

:0 #0   '

P ' &

 & # 0  .

- , # &

T

P

(

M)  ' -

 0 &  dim

M. % 5, ',

&7     #0  .

2.22.

(

 ' 

 

&)

<  " 

1

: (

;

1

1)

!

M  

2

: (

;

1

1)

!

M, -

 :

i

(0) =

P

 0 (#, 0)   (

x

1

:::x

m

P & :

m

X

k=1

h

x

k

(

1

(

t))

;

x

k

(

2

(

t))

i

2

=

o(t

2

)

(

t

!

0)

:

11

background image

-  

.

:

1

2

.

/ ,  & ,    &-

.. ?  

%

M  ' P.

2.23.

(

 ' 

 

((

-

*

+)

N0 

D : C

1

(

M)

!

R

, . . 00 87

 & ". 870, 

!44*

'

P

2

M, 

' " & # ' 870  

P, '-

fg

2

C

1

(

M) , ' f

g  0  U '

P,  D(f) = D(g) (\&   . 870")

&  M#{N07

D(fg) = f(P)D(g) + g(P)D(f)  . fg

2

C

1

(

M):

M 0 & 887

%

M  '

P.

 

2.24.

%# (

x

1

:::x

n

) | #    

P

2

M, P = (x

10

:::x

n0

), 

2

T

P

M   

i

. -" 

f

7!

n

X

i=1

@f

@x

i

(

x

1

0

:::x

n

0

)

i

    #0    & & 88-

7.

2.25.

)!%

/%,

,

$

%

!

!

$

$

!44*

%

'!

4

%&

%

&

-

!%.

 .

(  5# &. .. /  ' 2.20

' ( 0  ) &# ' 

1

2

, '

1

=

2

.

0 = lim

t

!

0

m

X

k=1

"

x

k

(

1

(

t))

;

x

k

(

2

(

t))

t

#

2

=

=

m

X

k=1

"

lim

t

!

0

(

x

k

(

1

(

t))

;

x

k

(

P))

;

(

x

k

(

2

(

t))

;

x

k

(

P))

t

#

2

1

=

2

.

2.26.

%#

f : M

!

N | " , P

2

M.

4-

4*%

(%

#')

f  ' P  

12

background image

#. &

df

P

:

T

P

M

!

T

f(P)

N, &   .

5. &, .  & #" -

.

!&,

 

-.

%# (

U

M

'

M

:

U

M

!

V

M

R

m

) | 

M  -

P, (U

N

'

N

:

U

N

!

V

N

R

n

) | 

N   f(P), (x

1

:::x

m

(

y

1

:::y

n

) |  #  . N# &-

 

f, ',  '

N

f

(

'

M

)

;

1

:

V

M

!

V

N

,  #

&   870

y

1

=

f

1

(

x

1

:::x

m

)

:::y

n

=

f

n

(

x

1

:::x

m

)

:

%# 

2

T

P

M      (x

1

:::x

m

) -

 (

1

:::

m

) (":     50 ), " &

& &" " 

 = (df

P

)

   

j

= @f

j

@x

i

i

( &)   (

y

1

:::y

n

).

,

 

-.

,' ' 

]  &. . 0 .

%

(

df

P

)

] := f

]:

 ,

 

-.

< & 887

  ' P

2

M.

-" ' & 887 (

df

P

)

  87 g

2

C

1

(

N) -

 80

((

df

P

)

)(g) := (g

f):

 

2.27.

3# 5# . &0 887.

2.28.

< " 

f : M

!

N, f(P

0

) =

Q

0

.

-'

P

0

2

%

f,  887

df

P

0

:

T

P

0

M

!

T

Q

0

N

 5&8 ( \"). -'

Q

0

2

%-

f,   P

2

f

;

1

Q

0

 "0 '0

f.

2.29.

f : M

!

N

,

Q

0

2

N

|

%

f

.

 !

M

Q

0

:=

f

;

1

(

Q

0

)

%

%!

#,

dim

M

Q

0

= dim

M

;

dim

N

.

%%&

!

M

Q

0

'

(

m

;

n)

!

M

.

 .

%   0 87.

2

2.30.

,

f : M

!

',

 

0 '

P

2

M 887 df

P

:

T

P

M

!

T

f(P)

N  8.

+ & 5

f : M

$

f(M)  ',  f(M)   N,  f(M)

%'.

13

background image

 

2.31.

% & &", -'"  , 

 " .

2.32.

/,  "8  , 

%'

%

%.

 

2.33.

3 &. "0  "  #.

2.34.

%

L

M dimM = m, 

%!

!-

#,

  0   (

U

'

) "

M, '

f

U

\

L

g

| "0 

L   , '

'

j

U

\

L

:

U

\

L

!

V

\

R

l

R

l

R

m

:

?  

%.

- , dim

L = l,  (m

;

l) 

.

= 7 #  

L.

 

2.35.

% & " , '    &-

" (  ").

2.36.

!'

A

N

%

!#

!

%

!,

!

%

#

#

M

%'

%

%.

 .

+

A

N  &",  

  "8  ,  & & &"

| &".

,, &#

f : M

!

N | # " . 20 # &-

"  #0 .: ' #  &-

f

N

i

g

N  A,  A

i

=

A

\

N

i

. ? 0  #

C

1

-

888: 

A

N  &" "  #

", "

g(A)

N

0

 &", "

g : N

!

N

0

| 88-

8. < 0  R =

f

i

:

N

i

!

R

n

g

"

N, &-

.

A. %# S =

f

'

i

:

M

i

!

R

m

g

i

2

| 0 

M, ' f

i

(

M

i

)

N

i

(

,  7). %#

f  ,  ', "-

8  ,   # S  R , '

f(M

i

) =

A

\

N

i

. -"  

 # 888 7   0.

U :=

f

V

i

g

=

'

i

(

M

i

)

R

m

,

f = f

i

=

i

f'

;

1

i

:

U ,

!

R

n

|

C

1

-. -

#, '

f(U) | &". M 5 &   0 8-

7. C, #  (

x

i

1

:::x

i

m

), 1

i

1

:::

i

m

n,  "

g :

R

mx

!

R

n

;

m

x

, ' 5 "8. - ,   

R

n

(

x

i

1

:::x

i

m

x

j

1

;

(

g(x

i

1

:::x

i

m

))

j

1

:::x

j

n

;

m

;

(

g(x

i

1

:::x

i

m

)))

&', '

f(U)      "&&#. %'-

, ' # ' # # " , '   #-

 .

2

2.37.

( &- H# & '#  (0

1)

f

0

g

R

2

&". %#    '#.

14

background image

2.38.

(#

/)

(#

!%)

f : M

!

N

|

%!-

#',

M

N

|

#.

 !

'

G

N

%&

f

|

!

%

'.

 

2.39.

M&   &" &

 .8  "8.

2.40.

(/-

+

 

%

)

M

|

%!

-

#.

 !

!

%

%

p

,

.

%'

(

%

%)

f : M

!

R

p

.

 .

%#

f

U

g

L=1

| '0 

M, (x

1

:::x

m

) | #

  

U

, &'

'

:

U

B

=

B

1

(

a

)

R

m

, "

B

r

(

b) | H

r  7  b. %# B

"

:=

B

1

;

"

(

a

), &'

f

U

"

:=

'

;

1

(

B

"

)

g

&-&

&

M (   #). / &#

f

2

C

1

(

R

m

)

f

B

"

supp

f

B

:

%#

g

k

:

M

!

R

k = 1:::m   = 1:::L 8

g

k

(

P) :=

(

f

(

'

(

P))x

k

&

P

2

U

0

&

P

62

U

.

% 5 &

g

k

(

P) = x

k

(

P) & P

2

U

"

. - ,

m

L 870

g

k

C

1

-

g : M

!

R

m

L

:

,& &#

' : M

!

R

N

=

R

m

L+L

'(P) := ( g(P)

|

{z

}

m

f

(

'

(

P))

|

{z

}

)

:

-" rk

'

rk

g. + P

2

U

"

rk

g

j

P

rk

@g

k

(

P)

@x

j

!

rk

@x

k

(

P)

@x

j

!

=

m:

%# &   rk

'

m,  rk'

m. ( &, '

' | &".

-&# , '

' 9, . .  70  . %#

P

6

=

Q. -" 0 0  , ' P

2

U

"

, #,

f

(

'

(

P)) = 1.

+ & 5

f

(

'

(

Q)) < 1,   ,   f

(

'

(

Q)) = 1,  Q

2

U

,

 '

g

k

(

P) = x

k

(

P), g

k

(

Q) = x

k

(

Q). %# P

6

=

Q,  0 

x

k

0

(

P)

6

=

x

k

0

(

Q),  ' g

k

0

(

P)

6

=

g

k

0

(

Q)  '(P)

6

=

'(Q).

M &,  '(M)

R

N

.8,  & ' 2.39

"8   , #,   # .

2

2.41.

(/

+

 

%

)

(#

!%)

!!.

'

p = 2

dim

M + 1

.

 .

C #   , '   "-

 , & &  0 && #H0 -

, &# #. 2 && 0 &

 2.

2

15

background image

3.

 

 

3.1.

%# dim

M = m. ,& N = T

M {

#

%-

&

/%

%

%

M. N     &

(

P), " P

2

M,  

2

T

P

M, . . #0 . -&"  

"  & & . 0 . &-

N   &

R

2

m

,  9 "8

  ( ' dim

N = 2m). C,  (U') { #   M, 

 ' " &

N   & (P)  P

2

U,  

'  

R

2

m

  S:

S(

P) = (x

1

:::x

m

1

:::

m

)

"

'(P) = (x

1

:::x

m

)

  = 

1

@

@x

1

+

::: + 

m

@

@x

m

. .

  #0  &   (x

1

:::x

m

i

. -"  &. & &.  0 0   "0 -

 & &0 "&& &. ,   

M,  & 0 { &

& 7 T  &0 "&&. / ',  ".

3.2.

+

M  " " C

k

T

M | "-

 

C

k

;

1

.

4.

 

/  ':

R

n

+

R

n

R

n

+

:=

f

(

x

1

:::x

n

)

2

R

n

j

x

n

0

g

R

n

;

1

0

:=

f

(

x

1

:::x

n

)

2

R

n

j

x

n

= 0

g

:

% 887# &0 87

f :

R

n

+

!

R

1

  &-

# . 3 . ' (

x

n

> 0) . ' &. 3

"'. ' (

~x

0

2

R

n

;

1

0

)   # & 

f(~x) = f(~x

0

) +

n

X

i=1

f

i

(

x

i

;

x

i

0

) +

o(~x

;

~x

0

)

lim

~x

!

~x

0

xn

0

o(~x

;

~x

0

)

k

~x

;

~x

0

k

= 0

:

-"

f

i

=

@f

@x

i

(

~x

0

)

 (i = 12:::n

;

1), 

f

n

= lim

h

!

+0

f(x

10

:::x

n

;

1

0

x

n0

+

h)

;

f(x

10

:::x

n

;

1

0

x

n0

)

h

(1)

( ' &).

4.1.

2&# .8 &"' &

M

#

,

   "  &

16

background image

f

U

g

  "8

'

:

U

!

V

R

n

+

, "

V

R

n

+

| -

,  87  

'

'

;

1

:

V

=

'

a

(

U

\

U

)

!

V

=

'

b

(

U

\

U

)

 "   .

M '

P

2

M

,

x

n

(

P) > 0 

,

x

n

(

P) = 0.

#

4.2.

)!%

&

&

#

%%

!.

 .

3& &:  

P

2

M 7

 #   (

x

1

:::x

n

)  (

y

1

:::y

n

R

n

+

x

R

n

+

y

, &'

x

n

(

P) > 0,  y

n

(

P) = 0. - ,    (x

1

:::x

n

)  "-

U

3

P   V

R

nx

,  (

y

1

:::y

n

) |  ~

V

R

n

+

y

(&.  &', '  "8   0 -

). / 87 &., . . "0 "8

' : V

!

~V,

y

k

=

'

k

(

x

1

:::x

n

), &'

1)

y

n

=

'

n

(

x

1

:::x

n

)

0,

2)

y

n

(

P) = '

n

(

x

10

:::x

n0

) = 0,

. .

y

n

=

'

n

   ' (

x

10

:::x

n0

). - 

V  

R

n

+

x

(

x

10

:::x

n0

) | ,  # &  #" 5:

@'

n

@x

i

(

x

1

0

:::x

n

0

)

= 0

(

i = 1:::n):

M " det

@'

n

@x

i

(

x

1

0

:::x

n

0

)

= 0    "" ", &# 

& 0 '0 &0 (1) & # &

887 ( 7 T).

2

4.3.

M

*

@M "   M

 " "'. '.

4.4.

8

%

#

!*

:

.

 .

/ '  # "'   0.

2

 

4.5.

%# & . 0.

4.6.

8

@M

#

M

%

-

#.

 .

%# 

f

U

(x

1

:::x

n

)

g

M (x

n

0)  -

, det

@x

i

@x

j

n
ij=1

> 0. M @M #  W

=

U

\

@M  #

 (

x

1

:::x

n

;

1

). %, '   , . . 

17

background image

0

P

2

W

\

W

& det

@x

i

@x

j

n

;

1

ij=1

> 0. %#  W

\

W

x

n

=

x

n

0, 

@x

n

@x

i

0,

i = 1:::n

;

1. - ,  '

P

0

< det

@x

i

@x

j

n

ij=1

= det

@x

i

@x

j

n

;

1

ij=1

@x

n

@x

n

:

(2)

/ '

P

@x

n

@x

n

= lim

h

!

+0

x

n

(

x

1

(

P):::x

n

(

P) + h)

;

x

n

(

x

1

(

P):::x

n

(

P))

h

=

= lim

h

!

+0

x

n

(

x

1

(

P):::x

n

(

P) + h)

h

:

%# &#  &#,  & 7,  &-

#,   (2),  0,   &:

@x

n

@x

n

P

> 0. -"  (2)

&', ' det

@x

i

@x

j

n

;

1

ij=1

> 0.

2

!

4.7.

, :  ( ,   0

S

1

.

5.

 

5.1.

 "

M  -

g,  0 #0   (x

1

:::x

m

U

&-

  ". 870

g

ij

:

U

!

R

, &'

1)  0 '

x

2

U 7

k

g

ij

k

| ' () &-

# &

2) & 0 : 87

g

kl

, '  

(

x

1

:::x

m

),   0 '  &' .

0

g

kl

=

g

ij

@x

i

@x

k

@x

j

@x

l

(& &  | ).

% (

Mg) 

#.

 

5.2.

%  ' &#  0 '

P

2

M

#  0 .

5.3.

%        "-

H  '.. (  '# #   (

U'),

(

U

0

'

0

), (

U

00

'

00

)  . .,    | (

x

1

:::x

m

), (

x

1

0

:::x

m

0

),

(

x

1

00

:::x

m

00

)  . . - ,  #, '

x

i

0

5   

x

0

i

0

.

18

background image

: ", & , & .  ,  &#

. / 5. '.   &  -

   0  & :

i

0

=

i

@x

i

0

@x

i

g

i

0

j

0

=

g

ij

@x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

:

#

5.4.

!

%

!

%&

-

~~

2

T

P

M

4%

h

~~

i

:=

g(~~) := g

ij

i

j

:

 .

/   :

g

ij

i

j

=

g

i

0

j

0

i

0

j

0

& & & & 0   & &-

 #" .

2

 

5.5.

% 5 .

5.6.

5%

4

     1).

5.7.

%#

f : N

!

M | " , g | 0

8  (#. . )

M. ,& ' 

#

#

f

g  . ~~

2

T

P

N 80

(

f

g)(~~) := g((df

P

)~

(df

P

)

~):

/ .  &# 0   &. %#

(

x

1

:::x

n

) |   

P, (y

1

:::y

m

) |  

f(P), 

(

f

1

(

x

1

:::x

n

)

:::f

m

(

x

1

:::x

n

)) |   &#

f. --

" ( . (

x

1

:::x

n

))

(

f

g)

ij

:=

g

kl

@f

k

@x

i

@f

l

@x

j

:

 

5.8.

%# "# 5. . &0.

 

5.9.

3#, ' 

i : N

!

M | &" ( ', ),

g |    M,  i

g |    N. %' 5 

  &#"  ?

5.10.

%#

i : N ,

!

M | ' &" N  -

 " (

Mg). -" i

!*

0 -

0  &"

N.

5.11.

7

#

M

.

-

.

 .

%#

F : M

!

R

p

|    J. -"

F

g

R

p

|   

M.

2

 

5.12.

3# 5   &#  7 ( 

J).

19

background image

6.

!

:

#

6.1.

 

%

& (

pq) " p + q  " M

n  , & 0  -

 (

x) = (x

1

:::x

n

n

p+q

". 870

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

, .

-

,

&'  .   (

x)  (x

0

) ( 0 #) -

 &   

T

i

0

1

:::i

0

p

j

0

1

:::j

0

q

=

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

@x

i

0

1

@x

i

1

::: @x

i

0

p

@x

i

p

@x

j

1

@x

j

0

1

::: @x

j

q

@x

j

0

q

:

 

6.2.

%#, '  & (1

1), 0 # -

"#.  , &&7 

ij

.

 

6.3.

%#, '  #0 , 0 -

# &#.  ,  .

 

6.4.

M0 0   '0 , "

# &#0  .

 

6.5.

/#  7   # . &70.

 

6.6.

/#  7   # . &-

70.

 

6.7.

3#  &# . 8 & ' -

 & 7:

det(

AB) = detA

det

B:

 

6.8.

/# 5887 "' det(

A

;

E)   #

. &70 .

 

6.9.

3#, ' '

C

ii

,

C

ij

C

j

i

,

C

ij

C

j

k

C

ki

,  ' 58-

87 "' det(

C

;

E) .

 

6.10.

M0 # , & " # 5887-

1) " &,
2) H" &

 

R

3

. %#, ' 5  &' "  " & &-

  & .

 

6.11.

%#

X  # (10), W { (01). M0 " &

X

W.

6.12.

- & & (0

1) 

.

2" ' H

dx

i

= grad

x

i

 .

 

6.13.

/ '   87  ..

 

6.14.

K

f

@

@x

i

g

T

P

f

dx

j

g

T

P

M 0.

<

C

1

(

M)-0  L(v

1

:::v

q

a

1

:::a

p

)  

q

p . &0,  & '  C

1

(

M). <

T

7!

L

T

L

T

(

v

1

:::v

q

a

1

:::a

p

) :=

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

v

j

1

1

:::v

j

q

q

a

1
i

1

:::a

p

i

p

20

background image

L

7!

T

L

T

L

: (

x

1

:::x

n

)

(

T

L

)

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

:=

L( @

@x

j

1

::: @

@x

j

q

dx

i

1

:::dx

i

p

)

:

 

6.15.

1)

L

T

&       .

2)

T

L

0#  (

pq)- .

3) ?   .

6.16.

%#   . & & (

pq): T  S. ,&

 &

T + S, 

T  S, &"

(

T + S)

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

:=

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

+

S

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

:

#

6.17.

;

!%

(

pq)

.

 .

1

#.

M &# 0 .

 

6.18.

%0 .

2

#.

2 . &0. 0

L

T

+

L

S

 &0-

  "  &, 

L

T+S

.

2

6.19.

+

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

|  & 

M,  f

2

C

1

(

M), ,

',  & 

!

87  

f

T :

(

x

1

:::x

n

)

f

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

.

6.20.

%

S & (pq) &'  & T & (pq)

-

&&

(. | "')

!

 

a  b,  S

i

1

:::i

a

:::i

b

:::i

p

j

1

:::j

q

=

T

i

1

:::i

b

:::i

a

:::i

p

j

1

:::j

q

.

3# ", ' &'  &, ',   -

  &0 .

 

6.21.

%#  &, ' & ."  " 

  0 &70. <# '0  & (1

1) (0-

" &). %'#  ', ' & ' &

C

ij

=

C

j

i

   .

6.22.

-

T & (pq) & .   -

a      b   S & (p

;

1

q

;

1),

&0

S

i

1

:::i

p

;1

j

1

:::j

q

;1

:=

X

i

T

i

1

:::i

a

;1

ii

a

:::i

p

;1

j

1

:::j

b

;1

ij

b

:::j

q

;1

:

? 0#  & & (

p

;

1

q

;

1), &#

L

S

(

v

1

:::v

q

;

1

a

1

:::a

p

;

1

) =

=

X

i

L

T

(

v

1

:::v

a

;

1

 @

@x

i

v

a

:::v

q

;

1

a

1

:::a

b

dx

i

a

b+1

:::a

p

;

1

)

21

background image

X

i

@x

i

0

@x

i

@x

i

@x

i

0

= 1

 ' & '#      .

!

6.23.

2

C

ii

 & (1

1) |  0" &.

6.24.

 

!

T

S . . &0 T &

(

pq)  S & (rt)   & & (p+rq+t),  80

(

T

S)

i

1

:::i

p

+

r

j

1

:::j

q

+

t

:=

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

S

i

p

+1

:::i

p

+

r

j

q

+1

:::j

q

+

t

:

2

L

T

S

# & & &0. 0, 

# | &0  . ". -

,

T

S 0#  &.

6.25.

%#

b

ij

|   & & (0

2). %

# &  det

k

b

ij

k

6

= 0.

 

6.26.

%# # 5"     -

.

 

6.27.

3#, ' & 0 7

b

jk

, . . -

b

jk

b

ki

=

j

i

,   & (2

0).

6.28.

,&7

!

!

 

T & (pq) & &-

b # &7 &70 " &  b

ij

 . %-

S & (p + 1q

;

1) M&,  &" :

S

i

1

:::i

p

+1

j

1

:::j

q

;1

:=

b

i

1

i

T

i

2

:::i

p

+1

ij

1

:::j

q

;1

:

V"', & :

S

i

1

:::i

p

;1

j

1

:::j

q

+1

:=

b

j

1

i

T

ii

1

:::i

p

;1

j

2

:::j

q

+1

:

6.29.

,&

" &

T & (0q)

Sym(

T)

j

1

:::j

q

=

T

(

j

1

:::j

q

)

= 1q!

X

2

S

q

T

j

(1)

:::j

(

q

)

%

Alt(

T)

j

1

:::j

q

=

T

j

1

:::j

q

]

= 1q!

X

2

S

q

(

;

1)

T

j

(1)

:::j

(

q

)

:

,', ' 5  &7. %' &  (-

., #) & 

(.,

-

)   , ' . &   & & . -

 (.,   & & . . ).

 

6.30.

3, ' #  0 ,

 &  ' ,  '-

   " .

22

background image

#

6.31.

8

%

T

i

1

:::i

n

M

,

dim

M = n

(.

.

%

%

%)

!%

%

!

(.-

)

T

12

:::n

.

)%

%

1

,

,

T

i

1

:::i

n

=

T

(12:::n)

= (

;

1)

T

12

:::n

:

-.

T

!

%

!

-

!

%

!'

!%%

*

<#

.

 .

%  '. 3,

T

1

0

:::n

0

=

T

i

1

:::i

n

@x

i

1

@x

1

0

::: @x

i

n

@x

n

0

=

X

(

;

1)

@x

(1)

@x

1

0

::: @x

(n)

@x

n

0

!

T

i

1

:::i

n

= det

@x

i

@x

i

0

T

12

:::n

:

N .

2

6.32.

,&

:

!

R = T

^

P . -

'. 

T

i

1

:::i

k

P

i

1

:::i

q

80

R

i

1

:::i

k

+

q

=

T

i

1

:::i

k

P

i

k

+1

:::i

k

+

q

]

= 1

k!q!

X

2

S

k

+

q

(

;

1)

T

(i

1

:::i

k

P

i

k

+1

:::i

k

+

q

)

:

2 '#  , 5 &7 " &  #-

.

3   '  & (0

q) &# 

 887#. 8. -', & & H" ,

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

q

= 1q!

X

2

S

q

(

;

1)

dx

(i

1

:::

dx

i

q

)

:

-"   &   &0 & :

T = T

i

1

:::i

q

dx

i

1

:::

dx

i

q

=

X

i

1

<:::<i

q

T

i

1

:::i

q

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

q

:

?   &#   887#0 8. - ,  

 ('  &) 5  '.

 

6.33.

%, '  &' 8 H"  

 887#. 8 ' &# ,  , &-

 & ( ' ) &'# 887.

 

6.34.

(   6.31) /

q

det

k

g

ij

k

dx

1

^

:::

^

dx

n

-

  #    &# . 1#

g

ij

|  .

?  

4

#$

. %  & " 

 '# 9  ".

23

background image

7.

#%%

&

 

7.1.

%, ' ' ' 887 & -

" & 

R

n

  0 &70.

Z &#  . &. 

R

n

 &7 (

pq)

(

pq +

1),  &  . .  ' 887.

3 5"  & " &&# &# # '" 88-

7  ". ..

, ' '0 " &

T

i

. %#

x

i

|  

 

R

n

x

i

0

|  0  . -" 

0 &7

r

 #

(

r

T)

ij

= @T

i

@x

j

(

r

T)

i

0

j

0

= @x

i

0

@xi

@x

j

@x

j

0

(

r

T)

ij

:

-"

(

r

T)

i

0

j

0

= @x

i

0

@xi

@x

j

@x

j

0

@

@x

j

@x

i

@x

k

0

T

k

0

!

=

= @x

i

0

@xi

@x

j

@x

j

0

@x

i

@x

k

0

@T

k

0

@x

m

0

@x

m

0

@x

j

+ @x

i

0

@xi

@x

j

@x

j

0

T

k

0

@

@x

j

@x

i

@x

k

0

!

=

=

i

0

k

0

m

0

j

0

@T

k

0

@x

m

0

+

T

k

0

@x

i

0

@x

i

@

2

x

i

@x

j

0

@x

k

0

 ,

(

r

T)

i

0

j

0

= @T

i

0

@x

j

0

+

T

k

0

;

i

0

j

0

k

0

;

i

0

j

0

k

0

= @x

i

0

@x

i

@

2

x

i

@x

j

0

@x

k

0

:

3 " &

T

i

 # (

r

T)

ij

=

@T

i

dx

j

,  (

r

T)

i

0

j

0

=

@x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

(

r

T)

ij

.

-"

(

r

T)

i

0

j

0

= @x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

@

@x

j

@x

k

0

@x

i

T

k

0

!

=

= @x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

@x

k

0

@x

i

@T

k

0

@x

m

0

@x

m

0

@x

j

+ @x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

T

k

0

@

@x

j

@x

k

0

@x

i

!

=

=

k

0

i

0

m

0

j

0

@T

k

0

@x

m

0

+

T

k

0

@

2

x

k

0

@x

j

@x

i

@x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

(

r

T)

i

0

j

0

= @T

i

0

@x

j

0

+

T

k

0

\;

k

0

i

0

j

0

\;

k

0

i

0

j

0

= @

2

x

k

0

@x

j

@x

i

@x

i

@x

i

0

@x

j

@x

j

0

:

#

7.2.

=

\;

k

0

i

0

j

0

=

;

;

k

0

i

0

j

0

.

 .

%887 

@x

i

0

@x

i

00

@x

i

00

@x

k

0

=

i

0

k

0

&

x

m

0

:

0 = @

2

x

i

00

@x

m

0

@x

k

0

@x

i

0

@x

i

00

+ @x

i

00

@x

k

0

@

2

x

i

0

@x

m

00

@x

i

00

@x

m

00

@x

m

0

= ;

i

0

m

0

k

0

+ \;

i

0

m

0

k

0

:

2

24

background image

7.3.

7

M =

R

n

!%

*

r,

!.

%

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

4%

(

r

T)

i

0

1

:::i

0

p

j

0

1

:::j

0

q

m

0

= @

@x

m

0

(

T

i

0

1

:::i

0

p

j

0

1

:::j

0

q

) +

p

X

s=1

T

i

0

1

:::i

0

s

;1

r

0

i

0

s

+1

:::i

0

p

j

0

1

:::j

0

q

;

i

0

s

r

0

m

0

;

q

X

s=1

T

i

0

1

:::i

0

p

j

0

1

:::j

0

s

;1

r

0

j

0

s

+1

:::j

0

q

;

r

0

j

0

s

m

0

4*

;

#

%

;

i

00

j

00

k

00

= @x

i

00

@x

i

0

@x

j

0

@x

j

00

@x

k

0

@x

k

00

;

i

0

j

0

k

0

+ @x

i

00

@x

i

0

@

2

x

i

0

@x

j

00

@x

k

00

:

 .

T0 

r

 "'   -

.  . &0.

 

7.4.

%0 5 .

M0  & ;.

r

k

0

T

i

0

:= (

r

T)

i

0

k

0

= @T

i

0

@x

k

0

+

T

r

0

;

i

0

r

0

k

0

r

k

00

T

i

00

= @T

i

00

@x

k

00

+

T

r

00

;

i

00

r

00

k

00

= @x

k

0

@x

k

00

@

@x

k

0

@x

i

00

@x

i

0

T

i

0

!

+ @x

r

00

@x

r

0

T

r

0

;

i

00

r

00

k

00

=

= @x

k

0

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

@T

i

0

@x

k

0

+

T

i

0

@x

k

0

@x

k

00

@

2

x

i

00

@x

k

0

@x

i

0

+

T

r

0

@x

r

00

@x

r

0

;

i

00

r

00

k

00

:

2 "0 ,

r

k

00

T

i

00

= @x

k

0

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

r

k

0

T

i

0

= @x

k

0

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

@T

i

0

@x

k

0

+

T

r

0

;

i

0

r

0

k

0

!

:

%5

T

r

0

@x

k

0

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

;

i

0

r

0

k

0

=

T

r

0

@x

k

0

@x

k

00

@

2

x

i

00

@x

k

0

@x

r

0

+

T

r

0

@x

r

00

@x

r

0

;

i

00

r

00

k

00

:

/  &# &

T

i

&'

;

i

00

r

00

k

00

= ;

i

0

r

0

k

0

@x

r

0

@x

r

00

@x

k

0

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

;

@x

r

0

@x

r

00

@x

k

0

@x

k

00

@

2

x

i

00

@x

k

0

@x

r

0

:

: & & #  7.2,

;

@x

r

0

@x

r

00

@x

k

0

@x

k

00

@

2

x

i

00

@x

k

0

@x

r

0

= @

2

x

k

0

@x

r

00

@x

k

00

@x

i

00

@x

k

0

= @

2

x

i

0

@x

r

00

@x

k

00

@x

i

00

@x

i

0

:

2

7.5.

M " "

*

!44*

(

44

)

r

,   0  

 ". 870 ;

ijk

, &. &   & 8

;

i

0

j

0

k

0

= @x

i

0

@x

i

@x

j

@x

j

0

@x

k

@x

k

0

;

ijk

+ @x

i

0

@x

i

@

2

x

i

@x

j

0

@x

k

0

:

25

background image

-" 0

r

(

r

T)

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

m

= @

@x

m

(

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

) +

p

X

s=1

T

i

1

:::i

s

;1

ri

s

+1

:::i

p

j

1

:::j

q

;

i

s

rm

;

q

X

s=1

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

s

;1

rj

s

+1

:::j

q

;

rj

s

m

7.6.

: & & ,  \

 ",

r

 0 &70.

7.7.

2 0  #   -

 0 .

7.8.

 

 ;

ijk

 , -

0  0    ]

ijk

= ;

ijk

;

;

ikj

.

#

7.9.

]

!%

%

%

(1

2)

.

 

7.10.

%#.

7.11.

2# ; 

,

 ] = 0.

#

7.12.

-

r

#%!

1)

*

r

%"

2)

*

r

"

3)

!

4*

(

%

)

!

!:

r

k

f =

@f

@x

k

"

4)

*

r

&

&

%&

!

r

k

T

i

= @T

i

@x

k

+

T

j

;

ijk

r

k

T

i

= @T

i

@x

k

;

T

j

;

j

ik

5)

!%

%&

&

%

T

S

%

4%

6#*

r

(

T

S) = (

r

T)

S + T

(

r

S):

 .

20 ',  (5). % ", & 

. &0.

r

k

(

T

i

S

j

) = @

@x

k

(

T

i

S

j

) +

T

r

S

j

;

irk

+

T

i

S

r

;

j

rk

=

= ( @

@x

k

T

i

)

S

j

+

T

i

@

@x

k

(

S

j

) +

T

r

S

j

;

irk

+

T

i

S

r

;

j

rk

=

= (@T

i

@x

k

+

T

r

;

irk

)

S

j

+

T

i

(@S

j

@x

k

+

P

r

;

j

rk

) =

= (

r

k

T

i

)

S

j

+

T

i

(

r

k

S

j

)

:

2

 

7.13.

%# 5   &#. &0.

26

background image

7.14.

-

(1 { 5)

!

!

!44*-

.

 ,

!

!

#

4*

;

ijk

,

!%.

!%

,

!

r

%

%

#!

!

4%

'

!%.

 .

,'

e

i

=

@

@x

i

e

j

=

dx

j

. -" 87 ;

ijk

' &#  8

r

k

e

i

= ;

j

ik

e

j

r

k

e

i

=

;

;

ijk

e

j

:

(3)

L  &' " ",    0 (1 { 5) &', '

r

k

(

T

i

T

i

) = (

r

k

T

i

)

T

i

+

T

i

(

r

k

T

i

) =

=

@T

i

@x

k

+ ;

ijk

T

j

!

T

i

+

@T

i

@x

k

;

~;

j

ik

T

j

!

T

i

=

=

r

k

(

T

i

T

i

) + ;

ijk

T

j

T

i

;

~;

j

ik

T

j

T

i

|

{z

}

0

   &# &0 ;

ijk

;

~;

j

ik

= 0.

1, ' &    ;

ijk

  7.3 &##

# H   &. 4,  '  & 50 

 0  .

,#  8  887 &#. &0. <-

 '0 & & (1

1). %# #

T = T

ij

e

i

e

j

:

-"

r

k

T

lm

= (

r

T)

lmk

= (

r

T

ij

e

i

e

j

)

lmk

=

=

(

r

T

ij

)

e

i

e

j

+

T

ij

(

r

e

i

)

e

j

+

T

ij

e

i

(

r

e

j

)

l

mk

=

= @T

lm

@x

k

+

T

ij

(;

rki

e

r

)

e

j

l

m

+

T

ij

e

i

(;

j

rk

e

r

)

l

m

=

= @T

lm

@x

k

+

T

lr

;

rkm

+

T

lj

;

j

mk

:

2

 

7.15.

%    '.

7.16.

V88 ' #

r

  "-

 (

Mg) 

(

%

r

g = 0.

 

7.17.

/ 5 '

r

  &7 &  &

.

7.18.

7

#

(

Mg)

.,

!-

,

.

/

/44*

(%

84-

4%)

;

ijk

= 12 g

ir

@g

kr

@x

j

+ @g

jr

@x

k

;

@g

jk

@x

r

!

:

(4)

27

background image

 .

%, '  :88 0  -

 # (4). -    #. % &-

,

0 =

r

k

g

ij

= @g

ij

@x

k

;

g

rj

;

rik

;

g

ir

;

rjk

:

,&  ;

ijk

:=

g

ir

;

rjk

 7' & , &'

@g

ij

@x

k

= ;

jik

+ ;

ijk

@g

ki

@x

j

= ;

ikj

+ ;

kij

@g

jk

@x

i

= ;

kji

+ ;

jki

:

2 &    '  . #. %',  ' -

 ;

ijk

= ;

ikj

, '

@g

ij

@x

k

+ @g

ki

@x

j

;

@g

ki

@x

j

= ;

jik

+ ;

ijk

+ ;

ikj

+ ;

kij

;

;

kji

+ ;

jki

=

= ;

jki

+ ;

ijk

+ ;

ijk

+ ;

kji

;

;

kji

+ ;

jki

= 2;

ijk

= 2

g

ir

;

rjk

,    7 

g

ij

,

;

rjk

= 12g

ir

@g

ij

@x

k

+ @g

ki

@x

j

;

@g

ki

@x

j

!

:

3 #  ' &# 5887 -

  &# 8 (4) (&#   !).

2

7.19.

%!

,

g

ij

 0 & ( #, 0  & 

ij

).

%!

,

  0 ;

ijk

0.

 

7.20.

3# 5# 5. 0.

8.

(

 

 

#)

%# & | &  #.   .

'.. M & | \& ", . .   . '.

&.. +   ' &#   -

0 &0. ? H  . %. # &-

, . . # " & & & \# 0".

% 5 #,  ",   0,   7 .

%0  ' &.

%#  "

M  88 #

r

. %# '

P  Q

M  "0 0  : 01]

!

M, (0) = P, (1) = Q. M 0

  & 0

 (& # & #"

).

28

background image

8.1.

8

!

%

T

(

pq)

!%

   &

r

_

(

T), &   -

" & #" &  0 &0

T:

(

r

_

(

T))

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

:=

k

r

k

T

i

1

:::i

p

j

1

:::j

q

:

8.2.

/ &

%%%

!%

-

%

r,

r

_

(

T)

0.

1&H 5   #. . (

x

1

:::x

n

). +

(t) = (x

1

(

t):::x

n

(

t))

k

= dx

k

(

t)

dt 

  & 

k

r

k

T

i

= dx

k

(

t)

dt

@T

i

@x

k

+

T

r

;

irk

!

= 0

dx

k

(

t)

dt

@T

i

@x

k

+

T

r

;

irk

dx

k

(

t)

dt =

dT

i

dt + T

r

;

irk

dx

k

(

t)

dt = 0:

8.3.

%  

%%%

-

!%

.

1' &#" & "  . 1 "-

 

,  ' P  Q  " M  #

r

v

2

T

P

M. M 0 0  w

2

T

Q

M, '  

&  &

V (t), &' V (0) = v  V (1) = w. %# '

 H# &#  &#. 

, 0  .

  &. 0 0  ,   '#, ' 

  0 0 .

/ ' H  . 887#. -

0 &" & # 870

V

i

(

t)  '# ' V

i

(0) =

v

i

,

H0 # &.. : , H 0  -

,   & 

Q, . . t = 1.

2, 

w = V (1)

2

T

Q

%%%

v

2

T

P

M

!%

.

#

8.4.

(

Mg)

|

#.

-

44

r

M

%

!

%

!,

!

-

.

%%%

&

%

!

:

g

.

 .

%#

r

| ,

h

::

i

|  &, &-

g, V (t)  W(t) |  &,   &#-

" & #

 : 01]

!

M. M &#, '

d

dt

h

V (t)W(t)

i

0.

d

dt

h

V (t)W(t)

i

=

r

_

h

V (t)W(t)

i

=

k

r

k

g

ij

V

i

W

j

=

29

background image

=

k

(

r

k

g

ij

)

V

i

W

j

+

k

g

ij

(

r

k

V

i

)

W

j

+

k

g

ij

V

i

(

r

k

W

j

) =

=

k

0

V

i

W

j

+

g

ij

(

r

_

V

i

)

W

j

+

g

ij

V

i

(

r

_

W

j

) = 0

:

,,  5 H &  &#. &0 # 0,

  &#. 

, V  W & 

k

V

i

W

j

r

k

g

ij

= 0  (

 )

r

k

g

ij

= 0

:

2

8.5.

%# &  &#  '{

". .  &7 &0 & " 8".

8.6.

:

  " M  880 #

r

-

!,

  &  0 &# # 50

0:

r

_

(_

) = 0.

/ #. . (

x

1

:::x

n

) &' 

dx

k

dt

r

k

i

= 0

i = 1:::n

"

i

=

dx

i

dt

. ,

dx

k

dt

@

@x

k

i

+ ;

irk

r

!

= 0

d

2

x

i

dt

2

+ ;

irk

dx

r

dt

dx

k

dt = 0

i = 1:::n:

(5)

#

8.7.

P

2

M

,

v

2

T

P

M

.

 !

.

!

!

(t)

,

!%.

%

(0) = P

_

(t) = v

.

/

:

%!

%&

!&.

 .

% &  #. .   '

P ' . "'0   H  n .

887#. 0 " &  '#   '-

 H   ' " &0  0, H # -

H. &.. : ,  H # , 

 "   '#. ..

2

 

8.8.

+  "' &  0 ',  

&.

 

8.9.

% &# &  # "'0 -

0  "    #   &.

#

8.10.

("'0   :88)

%

#&

-

&

%

e

i

:=

@

@x

i

!

!

%

r

e

i

(

e

j

) = ;

rji

e

r

(-

%'

#).

=

%,

#

%

%%%

e

i

{

%

#

%'

&!

/44*

;

i

.

 .

% &

(

r

e

i

(

e

j

))

r

= (

e

i

)

s

(

r

s

(

e

j

))

k

=

si

@(e

j

)

k

@x

s

+ ;

krs

(

e

j

)

r

!

=

30

background image

=

si

@(

kj

)

@x

s

+ ;

krs

rj

!

=

si

;

krs

rj

= ;

kji

:

2

 

8.11.

,&# &7 &#" &  0 -

  &.  "'. . (&).

8.12.

(

Mg)

|

#.

%

'!

P

0

2

M

!

U

%

" > 0

,

%#

!

-

U

!

!

!

!%

:

"

.

/

!-

%!

&

*.

 .

%  8.7   0 

V ' (P

0

0)

 " 0. 5

TM, 0 

V =

f

(

Pv)

2

TM

j

P

2

U

k

v

k

< "

g

 0 

U ' P

0

, &# " 

E : V

!

M

M

(

Pv)

7!

(

Pexp

P

(

v))

" exp

P

   

v ' (1) 0 "'-

0, .0 

P & & v. /  #,  1 &

"' (H  887#. 0)  0 0

v.

/' 

E  (P

0

0).

3 5"   

(

x

1

:::x

n

v

1

:::v

n

)   (

P

0

0)  TM, " v = v

i @

@x

i

,  -

 (

x

11

:::x

n1

x

12

:::x

n2

U

U

M

M. 3 #" 

dE :

@x

i1

@x

j

=

ij

@x

i1

@v

j

= 0

d

P

0

exp

P

0

(

v

t]) = d

v

dt

0

=

v

  " & #" . - , 7

T

d

P

0

I

0

I

!

"

I | ' 7,    .

.  1. - , &   0 87,

E 88-

8   #

V

0

' (

P

0

0)

2

TM  #

W

0

' (

P

0

P

0

M

M. %.  #H ,  '#,

'

W

0

=

U

0

U

0

, &'

U

0

  H 

" # g,

. .  "#  ., . 7 H

P

0

 0 " '0

#H

"=2. -" U

0

|  # '

P

0

. 30#, &#

P  Q

|  &# '

U

0

. < "'

, .  '

P

0

& & 

v, " (P

0

v) = E

;

1

(

PQ). -", & & E,

P

0

=

P  (1) = Q. - , ' P  Q  "'0 .

,&   "', & 0 , " 

 . 7

P  Q. ,&  . /  0 H , 

#"   "'0 &, &5 & ' 

#"  &0 #,   ' 0

k

v

k

. -" 

0

  0  1  1

k

v

k

< ". ,# &# #. %#

P  Q & "'  #H ". -"   H

31

background image

0 '  '#   & ,  

 5 '  #"   ' #H

"

t, " (t) = Q, 

  &'  

E.

2

 

8.13.

%#, '  ., .  exp,  ;

ijk

 

P

0

 #.

9.

!

Z#  &#    ' # &#" &-

 ' &

i- &,  & & j-  &  "

&. :'   , &5    . ,-

, #   #  (  ').

/  5 &"8 # &&"

 

,

. <-

  &. 0   (

x

1

:::x

n

) 0

r

k

r

l

;

r

l

r

k

 &

T

i

( ' # |  & (1,2)). %'

r

l

T

i

= @T

i

@x

l

+

T

r

;

irl

r

k

r

l

T

i

= @

2

T

i

@x

k

@x

l

+ @T

r

@x

k

;

irl

+

T

r

@;

irl

@x

k

+ ;

isk

@T

s

@x

l

+

T

r

;

srl

!

;

;

slk

@T

i

@x

s

+

T

r

;

irs

!

(

r

k

r

l

;

r

l

r

k

)

T

i

=

=

T

r

@;

irl

@x

k

;

@;

irk

@x

l

!

+ @T

r

@x

k

;

irl

;

@T

r

@x

l

;

irk

+ @T

s

@x

l

;

isk

;

@T

s

@x

k

;

isl

+

T

r

;

isk

;

srl

;

T

r

;

isl

;

srk

=

=

T

r

@;

irl

@x

k

;

@;

irk

@x

l

+ ;

isk

;

srl

;

;

isl

;

srk

!

:

,'

R

iqkl

:= @;

iql

@x

k

;

@;

iqk

@x

l

+ ;

isk

;

sql

;

;

isl

;

sqk

(6)

&', '

(

r

k

r

l

;

r

l

r

k

)

T

i

=

T

q

R

iqkl

:

#

9.1.

A*

R

iqkl

#

(1

3)

.

 .

3 " " &

T 87 (

r

k

r

l

;

r

l

r

k

)

T

i

#, 

T

q

R

iqkl

,   & & (1

2). %# R

iqkl

=

(

e

q

)

s

R

iskl

R

i

0

q

0

k

0

l

0

= (

e

q

0

)

s

0

R

i

0

s

0

k

0

l

0

= (

e

q

0

)

s

R

iskl

@x

k

@x

k

0

@x

l

@x

l

0

@x

i

0

@x

i

= (

e

q

0

)

s

0

@x

s

@x

s

0

R

iskl

@x

k

@x

k

0

@x

l

@x

l

0

@x

i

0

@x

i

=

=

s

0

q

0

@x

s

@x

s

0

R

iskl

@x

k

@x

k

0

@x

l

@x

l

0

@x

i

0

@x

i

=

R

iskl

@x

s

@x

q

0

@x

k

@x

k

0

@x

l

@x

l

0

@x

i

0

@x

i

=

R

iqkl

@x

q

@x

q

0

@x

k

@x

k

0

@x

l

@x

l

0

@x

i

0

@x

i

:

2

32

background image

9.2.

L, &'0 & #,  # 8-

      : 5887 00 

  .

9.3.

-

R

iqkl

-

'0 

r

.

#

9.4.

(

,

)

#-

M

%

%.

 !

%

%!

!

!

-

.

 .

+     ,  & &

 . #   :88,  ',   <.

2

%0   &

R.

9.5.

8

. &0

X  Y  

&

XY ] := X

i

@Y

k

@x

i

+

Y

i

@X

k

@x

i

:

3 '0 

r

X

Y

k

;

r

Y

X

k

=

X

i

@Y

k

@x

i

+

Y

j

;

kji

!

;

Y

i

@X

k

@x

i

+

X

j

;

kji

!

XY ]

k

(7)

 ', &7 .

9.6.

,&

R(XY )Z :=

r

X

r

Y

(

Z)

;

r

Y

r

X

(

Z)

;

r

XY ]

(

Z):

, &   &

X, Y  Z  ' 

&. / " & #" " & H  &

,  &H

R(XY )Z,   R(XYZ).

9.7.

)#'

R

%.

-%!%,

!%

-

(1

3)

.

 .

+

R | 0   . &0 

'  . &.,  

e

T(XYZ!) := !(T(XYZ))

 4-0  3.  1 " &  '  87..

- ,  '#     &0.

-0#  ' '. M. #   -

  " 87. 3, '

R(XY )(fZ) = f

R(XY )Z:

r

X

r

Y

(

fZ)

;

r

Y

r

X

(

fZ)

;

r

XY ]

(

fZ) =

=

r

X

((

r

Y

f)Z)+

r

X

(

f

r

Y

Z)

;

r

Y

((

r

X

f)Z)

;

r

Y

(

f

r

X

Z)

;

r

XY]

(

f)Z

;

f

r

XY ]

Z =

33

background image

= (

r

X

r

Y

f)Z +

r

Y

f

r

X

Z +

r

X

(

f)

r

Y

Z + f(

r

X

r

Y

Z)

;

(

r

Y

r

X

f)Z

;

r

X

f

r

Y

Z

;

;r

Y

f

r

X

Z

;

f(

r

Y

r

X

Z)

;

r

XY ]

(

f)Z

;

f

r

XY ]

Z =

=

r

X

r

Y

f

;

r

Y

r

X

f

;

r

XY ]

(

f)

Z + f

(

r

X

r

Y

Z)

;

(

r

Y

r

X

Z)

;

r

XY ]

Z

=

=

f

R(XY )Z

  &  , &#

r

X

r

Y

f

;

r

Y

r

X

f

;

r

r

X

Y

f +

r

r

Y

X

f =

=

X

i

@Y

k

@x

i

@f

@x

k

+

X

i

Y

k

@

2

f

@x

i

@x

k

;

Y

i

@X

k

@x

i

@f

@x

k

;

Y

i

X

k

@

2

f

@x

i

@x

k

;

;

(

X

i

r

i

Y )

k

@f

@x

k

+ (

Y

i

r

i

X)

k

@f

@x

k

=

=

X

i

@Y

k

@x

i

@f

@x

k

;

Y

i

@X

k

@x

i

@f

@x

k

;

X

i

@Y

k

@x

i

+ ;

ksi

Y

s

!

@f

@x

k

+

Y

i

@X

k

@x

i

+ ;

ksi

X

s

!

@f

@x

k

=

=

;

ksi

X

s

Y

i

;

;

ksi

Y

s

X

i

@f

@x

k

= 0

  ' .

% &# H

R(fXY )Z = f

R(XY )Z. 1, '

(

r

fX

)

T = (fX)

k

r

k

T = f X

k

r

k

T = f

r

X

T

r

fX

=

f

r

X

fXY ] =

r

fX

Y

;

r

Y

(

fX) = f

r

X

Y

;

(

r

Y

f)X

;

f

r

Y

X = f

XY ]

;

(

r

Y

f)X:

%', '

R(fXY )Z =

r

fX

r

Y

Z

;

r

Y

r

fX

Z

;

r

fXY]

Z =

=

f

r

X

r

Y

Z

;

r

Y

(

f

r

X

Z)

;

r

fXY ]

Z +

r

(

r

Y

f)X

Z =

=

f

r

X

r

Y

Z

;

r

Y

(

f)

r

X

Z

;

f (

r

Y

r

X

Z)

;

f

r

XY ]

Z + (

r

Y

f)

r

X

Z = f R(XY )Z:

V"' , '

R(XfY )Z = f

R(XY )Z.

2

#

9.8.

)!%

/%.

 .

3 . &0

e

i

=

@

@x

i

R(e

i

e

j

)

Z

k

=

r

e

i

r

e

j

Z

k

;

r

e

j

r

e

i

Z

k

+

r

e

i

e

j

]

Z

k

=

r

i

r

j

Z

k

;

r

j

r

i

Z

k

&#

r

e

i

Z

k

= (

e

i

)

m

r

m

Z

k

=

mi

r

m

Z

k

=

r

i

Z

k

,

r

i

e

j

;

r

j

e

i

= ;

lji

e

l

;

;

lij

e

l

= 0

(8)

r

X

Y

k

;

r

Y

X

k

XY ]

k

(9)

& (7)   # '. % 0 &' #.

2

34

background image

9.9.

(  <)

1)

%

X

Y

:

R(XY )Z + R(YX)Z = 0

%

R

ijkl

+

R

ijlk

= 0

2)

'!

<#:

R(XY )Z + R(YZ)X + R(ZX)Y = 0

%

R

ijkl

+

R

iklj

+

R

ilkj

= 0

3)

!%

h

R(XY )ZW

i

+

h

R(XY )WZ

i

= 0

%

!&

R

ijkl

+

R

jikl

= 0

"

R

ijkl

=

g

ir

R

rjkl

4)

!%

h

R(XY )ZW

i

=

h

R(ZW)XY

i

%

!&

R

ijkl

=

R

klij

:

 .

% 1)  &  &  <-

.

2). /  0 ' &#  (.) .

&0. % (8,9)  . &0

R(e

i

e

j

)

e

k

+

R(e

j

e

k

)

e

i

+

R(e

k

e

i

)

e

j

=

r

e

i

r

e

j

e

k

;

r

e

j

r

e

i

e

k

;

r

e

i

e

j

]

e

k

+

+

r

e

j

r

e

k

e

i

;

r

e

k

r

e

j

e

i

;

r

e

j

e

k

]

e

i

+

r

e

k

r

e

i

e

j

;

r

e

i

r

e

k

e

j

;

r

e

k

e

i

]

e

j

=

=

r

e

i

e

j

e

k

]

;

r

e

j

e

i

e

k

]

;

r

e

k

e

j

e

i

] = 0

:

K  5" " , &' 8  ..

3). 3 &#0 00 8

B  &7

B(u + vu + v) = B(uu) + B(uv)+ B(vu) + B(vv)

&, ' '# # & 

B(ww) = 0

 " 

w. /  H    0-

 5  '  &  " " &

h

R(e

i

e

j

)

ZZ

i

= 0. 2 ' (8,9), ' #, '

hr

i

r

j

ZZ

i

=

hr

j

r

i

ZZ

i

:

35

background image

%#  870  & &  '0,  #

@

2

@x

i

@x

j

h

ZZ

i

=

r

i

(

hr

j

ZZ

i

+

h

Z

r

j

Z

i

) = 2

r

i

hr

j

ZZ

i

= 2

hr

i

r

j

ZZ

i

+2

hr

j

Z

r

i

Z

i

@

2

@x

j

@x

i

h

ZZ

i

= 2

hr

j

r

i

ZZ

i

+ 2

hr

i

Z

r

j

Z

i

:

/'  &" H   &##   '#

" &, &'  H. = &'# -

  ., &H:

0 =

h

R(e

i

e

j

)

e

k

e

l

i

+

h

R(e

i

e

j

)

e

l

e

k

i

=

g

rs

(

R(e

i

e

j

)

e

k

)

r

(

e

l

)

s

+

g

rs

(

R(e

i

e

j

)

e

l

)

r

(

e

k

)

s

=

=

g

rs

R

rmij

(

e

k

)

m

sl

+

g

rs

R

rmij

(

e

l

)

m

sk

=

g

rl

R

rkij

+

g

rk

R

rlij

=

g

lr

R

rkij

+

g

kr

R

rlij

=

R

lkij

+

R

klij

:

4). 3 #  #  0. J 5 &

. "# ' '

i,   H.  &,  .

i,  #  7' &. _, &

"  H "

i,  . 0  | q, k  l, ' 5

. ?  .,     & ". / H.,

7# '.  ',  &  '-

 , . ., &, & .0 H

R

iqkl

R

lkqi

.

;

;

;

;

;

;

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

e

e

e

e

e

e

e

e

@

@

@

@

@

@

@

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

i

k

q

l

R

lkqi

R

ilqk

R

iklq

R

iqkl

R

qlki

R

kqli

2 &, .  H. 0 '0 ",  ,

    . &. 3 "

i 5    

T. % 5, &,  "

q:

R

iqkl

+

R

kqli

+

R

qlki

=

;

R

qikl

;

R

qkli

;

R

qlik

= 0

36

background image

&# &  T. -&#    . .. "0

q  '  . k  l:

0 = (

R

iqkl

+

R

iklq

+

R

ilqk

) + (

R

iqkl

+

R

kqli

+

R

qlki

)

;

;

(

R

kqli

+

R

iklq

+

R

lkqi

)

;

(

R

ilqk

+

R

lkqi

+

R

qlki

) = 2

R

iqkl

;

2

R

lkqi

:

2

3 7 5" &"8   #  .

9.10.

2

R

jl

=

R

ijil

 < 

0 0 . 2 & &   

<''

R = g

li

R

il

%

.

 

9.11.

3#, '  <'' '.

9.12.

%

%

'!

R

iqkl

=

g

ir

R

rqkl

= 12

@

2

g

il

@x

q

@x

k

+ @

2

g

qk

@x

i

@x

l

;

@

2

g

ik

@x

q

@x

l

;

@

2

g

ql

@x

i

@x

k

!

+

g

mp

(;

mqk

;

p

il

;

;

mql

;

p

ik

)

:

 .

,' & 8.

q  l ' S

iql

 &,

&    (

x

1

:::x

n

)  ;

iql

. / 50  

g

ir

R

rqkl

=

g

ir

"

@;

rql

@x

k

;

@;

rqk

@x

l

+ ;

p

ql

;

rpk

;

;

p

qk

;

rpl

#

=

=

g

ir

2

Alt

(

kl)

"

@;

rql

@x

k

+ ;

p

ql

;

rpk

#

= 2

Alt

(

kl)

2

6

4

g

ir

r

k

S

rql

+ (

r

k

g

ir

)

|

{z

}

0

S

rql

3

7

5

=

= 2

Alt

(

kl)

h

r

k

(

g

ir

S

rql

)

i

:

%#

g

ir

1

2 g

rs

@g

sq

@x

l

+ @g

sl

@x

q

;

@g

ql

@x

s

!

= 12

@g

iq

@x

l

+ @g

il

@x

q

;

@g

ql

@x

i

!

 & 8.

q  l & g

ir

S

rql

| & (0,1), 

g

ir

R

rqkl

=

Alt

(

kl)

"

@

@x

k

@g

iq

@x

l

+ @g

il

@x

q

;

@g

ql

@x

i

!

;

@g

mq

@x

l

+ @g

ml

@x

q

;

@g

ql

@x

m

!

;

mik

#

=

=

Alt

(

kl)

@

2

g

iq

@x

k

@x

l

+ @

2

g

il

@x

k

@x

q

;

@

2

g

ql

@x

k

@x

i

!

;

2

g

mr

;

rlq

;

mik

#

=

= 12

@

2

g

iq

@x

k

@x

l

+ @

2

g

il

@x

k

@x

q

;

@

2

g

ql

@x

k

@x

i

!

;

1

2

@

2

g

iq

@x

l

@x

k

+ @

2

g

ik

@x

l

@x

q

;

@

2

g

qk

@x

l

@x

i

!

;

;

g

mr

;

rlq

;

mik

+

g

mr

;

rkq

;

mil

'  0 # & ' '   .

2

37

background image

/

9.13.

B%

#.

%

-

!,

#

%

%%

%-

!

!

(*

)

%

%%

-

%!

%

(%

844%

%).

 

9.14.

=    " " ?

9.15.

7

!

&

M

%

!-

:

R = 2K

.

 .

%#  & &'',   '#,

'   0 '

P

2

M "    "8

x

3

=

f(x

1

x

2

)  . .,

x

3

(

P) = 0, # &# T

P

M =

Ox

1

x

2

,

~r

1

= (1

0 @f

@x

1

)

~r

2

= (0

1 @f

@x

2

)

g

11

= 1 +

@f

@x

1

!

2

g

22

= 1 +

@f

@x

2

!

2

g

12

=

g

21

= @f

@x

1

@f

@x

2

| & 0   '

P. C  #0 & &-

', '  '

P &

@f

@x

1

=

@f

@x

2

= 0. 1', &#

@

@x

k

@f

@x

i

@f

@x

j

!

= @

2

f

@x

k

@x

i

@f

@x

j

+ @f

@x

i

@

2

f

@x

k

@x

j

= 0

 '

P

@

@x

k

(

g

ij

)

j

P

= 0. %5  ;

ijk

(

P) = 0. % 8   9.12 (

) & (  &H

@f

@x

i

=

f

i

)

R

12

12

= 12

@

2

g

12

@x

1

@x

2

+ @

2

g

21

@x

1

@x

2

;

@

2

g

11

@x

2

@x

2

;

@

2

g

22

@x

1

@x

1

!

=

= 12

f

2(

f

1

f

2

)

12

;

((

f

2

)

2

)

11

;

((

f

1

)

2

)

22

g

= (

f

11

f

2

+

f

1

f

12

)

2

;

(

f

2

f

21

)

1

;

(

f

1

f

12

)

2

=

=

f

112

f

2

+

f

11

f

22

+

f

12

f

12

+

f

1

f

122

;

f

12

f

12

;

f

2

f

112

;

f

12

f

12

;

f

1

f

122

=

=

f

11

f

22

;

f

12

f

12

=

f

11

f

12

f

12

f

22

=

K

&# 5887 0 '0 8

b

ij

(

P) =

h

~r

ij

~n

i

=

h

(0

0f

ij

)

(001))

i

=

f

ij

 7 &0 | ',  ' & ".  &

 & 7 0 8. 1, ' 

R

12

12

=

  &7#0  ,  | & , &

| . 3,

R = g

kl

R

kl

=

g

kl

R

ikil

=

g

kl

g

ir

R

rkil

:

38

background image

R

ijkl

:

R

12

12

=

;

R

21

12

=

;

R

12

21

=

R

21

21

R

11

ij

=

R

22

ij

=

R

km11

=

R

km22

= 0

:

%5

R = g

22

g

11

R

12

12

+

g

12

g

12

R

21

12

+

g

21

g

21

R

12

21

+

g

11

g

22

R

21

21

=

=

R

12

12

(

g

22

g

11

;

g

12

g

12

;

g

21

g

21

+

g

11

g

22

) = 2

R

12

12

det

k

g

ij

k

= 2 R

12

12

det

k

g

ij

k

:

?  . / H0 &7#0  

g

ij

(

P) = 

ij

R(P) = 2

K(P).

2

/

9.16.

9

%

4

&-

,

%!%,

&.

#

9.17.

(

x

1

:::x

n

)

|

!

P

2

M

,

!

(

M

r

)

|

#

,

#%

,

x

i

(

P) = 0

8

i

.

2

T

P

M

|

%

,

"

=

"

(

ij)

|

%-

-

6

?

0

"

"

6

-

x

j

x

i

39

background image

 !

lim

"

!

0

k"

;

k

"

2

=

R

klij

l

:

 .

/&H & # 0 0 

s

0

s:

0 = d

k

ds + ;

klm

l

dx

m

ds 

d

k

=

;

;

klm

l

dx

m

  '#  " &

k

(

s)

k

(

s

0

)

;

;

klm

(

s

0

)

l

(

s

0

)B

x

m

;

klm

(

s)

;

klm

(

s

0

) + @;

klm

@x

r

(

s

0

)B

x

r

:

- ,

d

k

"

;

;

klm

(

s

0

) + @;

klm

@x

r

(

s

0

)B

x

r

!

l

(

s

0

)

;

;

lpr

(

s

0

)

p

(

s

0

)B

x

r

#

dx

m

"

;

klm

(

s

0

)

l

(

s

0

) +

;

@;

klm

@x

r

(

s

0

)

l

(

s

0

) + ;

klm

(

s

0

);

lpr

(

s

0

)

p

(

s

0

)

!

B

x

r

#

dx

m

:

%0   ,   ' & & 

P, ',

' & "  #,   ' 0   ( &

. )      <:

k"

;

k

"

;

@;

kpm

@x

r

+ ;

klm

;

lpr

#

l

I

B

x

r

@x

m

@u

1

du

1

+ @x

m

@u

2

du

2

!

=

& 8 _

=

"

;

@;

kpm

@x

r

+ ;

klm

;

lpr

#

l

Z

Z

2

@

@u

1

B

x

r

@x

m

@u

2

!

;

@

@u

2

B

x

r

@x

m

@u

1

!

!

du

1

du

2

=

=

"

;

@;

kpm

@x

r

+ ;

klm

;

lpr

#

l

Z

Z

2

@x

r

@u

1

@x

m

@u

2

;

@x

m

@u

1

@x

r

@u

2

!

du

1

du

2

=

=

"

;

@;

kpm

@x

r

+ ;

klm

;

lpr

#

l

"

2

(

rm

) =

"

2

R

klij

l

:

2

M&  &.

9.18.

f

0

 f

1

:

M

!

N "" " M

   "

%!

,

  

F "   M

0

1]  N, '

F(P0) = f

0

(

P)

F(P1) = f

1

(

P)

8

P

2

M:

? &  . & "& . &0,  

&#   "   { . = &

,   '#, ' &#   

ab],  (a

;

"b + "), 

' (

a

;

"b + ")

0

1]  ". :', & 5  

#, '

F(0t) = f

0

(0) =

f

1

(1)

F(1t) = f

0

(1) =

f

1

(1)

8

t

2

0

1]:

40

background image

 

9.19.

%' 5 . ?

+ #   ",  &' & (&-

0)

&. 0

f

0

f

1

&#" &"'"

&

M  & N.

 

9.20.

%, '  &0 "& . ". -

0  . " "&#.

9.21.

 

%

!

%

!,

!

%-

%%%

!

!

(%,

'

,

%

-

!

&!

).

 .

+ # & & "  -

 &  . , ,   ' "

"-  &-

0 , &' & 0, '  <  .

,, &#

0

 

1

: (

;

"1+")

!

M |  "& , 

0

(0) =

1

(0) =

P

0

,

0

(1) =

1

(1) =

P

1

, "&

G : (

;

"1 + ")

0

1]

!

M  5

 & 

t (' s &  (

;

"1+"),  t {  01]). ,

 &

t

(

s) | # # G(st) & 8 t ( ',

0

(

s)  

1

(

s) | #  

0

1

),   &

s

(

t) | # #

G(st) & 8 s. ,  "  v

2

T

P

0

&

v

s

(

t), " v

s

(

t) | # & v # 

t

(

s) = G(st) & 8-

t  '  & s. (1, ' & & &  

'    ",  # "# 0.) ,,

&

v

s

(

t)  & # G(st) & 8 s.

30#,

r

t

(

s)

r

s

(

t)

v

is

(

t)

;

r

s

(

t)

r

t

(

s)

v

is

(

t)

;

r

t

(

s)

s

(

t)]

v

is

(

t) = R

ijkl

v

js

(

t)

kt

(

s)

ls

(

t):

% &

v

s

(

t)  "   . /   

 <,   & '#. -# "   , 

, &"

G(ts) = (x

1

(

ts):::x

n

(

ts)), 

t

(

s)

s

(

t)]

k

=

t

(

s)

j

@

s

(

t)

k

@x

j

;

s

(

t)

j

@

t

(

s)

k

@x

j

=

= @x

j

@s

@

@x

j

@x

k

@t

!

;

@x

j

@t

@

@x

j

@x

k

@s

!

= @

2

x

k

@s@t

;

@

2

x

k

@t@s = 0:

C, &

r

s

(

t)

v

s

(

t)  & # 0 

t

(

s)  & &

 0 &

s = 0 (  v

0

(

t)

v). 2#,

r

s

(

t)

v

s

(

t) = 0 &  s, 

', &

s = 1.

- , &#

G(1t)

P

1

1

(

t)

0 =

r

1

(

t)

v

i

1

(

t) = ddtv

i

1

(

t) + ;

imk

m

1

(

t)v

k

1

(

t) = ddtv

i

1

(

t)

. .

v

1

  

t.

2

41

background image

10.

,%%

&

 

#%-

%

&.

%

< &# ' #

r

 "

M

(&,  # 0 )  H 887#-

 8

! " k, . . '  & & (0k). %-

 . 8  '# ' `

k

(

M). -" &

:

!44*%

!

d! 8 ! & 8

d! :=

(

k + 1)!

k! Alt

r

!

  .

(

d!)

i

1

:::i

k

+1

=

1

k!

X

2

S

k

+1

(

;

1)

r

(j

k

+1

)

!

(j

1

)

:::(j

k

)

:

"

 , '  .

(

;

1)

=

sgn

1

:::kk + 1

(k + 1)(1):::(k)

!

. .

= (

;

1)

k

. :   &,

d! | H 8 " k + 1.

#

10.1.

9!

d!

#

.

=,

(

d!)

i

1

:::i

k

+1

=

k+1

X

s=1

(

;

1)

s+1

@!

j

1

:::j

s

;1

j

s

+1

:::j

k

@x

j

s

:

 .

% & 0 &0

(

d!)

i

1

:::i

k

+1

=

= 1k!

X

2

S

k

+1

(

;

1)

"

@!

(j

1

)

:::(j

k

)

@x

(j

k

+1

)

;

k

X

r=1

!

(j

1

)

:::(j

r

;1

)

(j

r

+1

)

:::(j

k

)

;

(j

r

)

(j

k

+1

)

#

=

= 1k!

X

2

S

k

+1

(

;

1)

@!

(j

1

)

:::(j

k

)

@x

(j

k

+1

)

;

;

1

k!

X

 

2

S

k

+1

k

X

r=1

h

;

(j

r

)

(j

k

+1

)

;

;

(j

k

+1

)

(j

r

)

i

!

(j

1

)

:::(j

r

;1

)

(j

r

+1

)

:::(j

k

)

=

(  ' )

= 1k!

X

2

S

k

+1

(

;

1)

@!

(j

1

)

:::(j

k

)

@x

(j

k

+1

)

=

= 1k!

k+1

X

s=1

X

2

S

k

sgn

1

:::k + 1

s(1):::(s

;

1)

(s + 1)(k + 1)

!

@!

(j

1

)

:::(j

s

;1

)

(j

s

+1

)

:::(j

k

+1

)

@x

j

s

=

42

background image

= 1k!

k+1

X

s=1

X

2

S

k

(

;

1)

s

;

1

(

;

1)

@!

(j

1

)

:::(j

s

;1

)

(j

s

+1

)

:::(j

k

+1

)

@x

j

s

=

(  '

!)

= 1k!

k+1

X

s=1

X

2

S

k

(

;

1)

s

;

1

(

;

1)

(

;

1)

@!

j

1

:::j

s

;1

j

s

+1

:::j

k

+1

@x

j

s

=

= 1k!

k!

k+1

X

s=1

(

;

1)

s+1

@!

j

1

:::j

s

;1

j

s

+1

:::j

k

+1

@x

j

s

:

2

10.2.

_ 887#0 8  .  &-

'# \& 887". C,   ,

' '0 887 87 &  H, , # "

 '# '

df,  &# &7 (5 1-8,  "

()'),  

! =

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

k

&

d! =

X

i

1

<:::<i

k

d(!

i

1

:::i

k

)

^

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

k

=

X

i

1

<:::<i

k

X

i

0

@(!

i

1

:::i

k

)

@x

i

0

dx

i

0

^

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

k

:

-" 5 & &   H.

 

10.3.

%#.

10.4.

!

(1)

!

(2)

|

!44*%

4

p

q

-

.

 !

d(!

(1)

^

!

(2)

) =

d!

(1)

^

!

(2)

+ (

;

1)

p

!

(1)

^

d!

(2)

:

 .

3' &#  0    8  ( 

0 &" )

!

(1)

=

f dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

!

(2)

=

g dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

:

-" & & '

d(!

(1)

^

!

(2)

) =

d(fg dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

^

dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

) =

= @f

@x

k

g dx

k

^

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

^

dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

+

f @g

@x

k

dx

k

^

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

^

dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

=

=

@f

@x

k

dx

k

^

dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

!

^

g dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

+

+(

;

1)

p

f dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

^

@g

@x

k

dx

k

^

dx

j

1

^

:::

^

dx

j

q

!

=

=

d!

(1)

^

!

(2)

+ (

;

1)

p

!

(1)

^

d!

(2)

:

2

43

background image

10.5.

%

%#

4

!

d(d!) = 0

.

 .

2 ' &#  8 

! = f dx

i

1

^

:::

^

dx

i

p

. K ",    

!

(1)

!

(2)

,      .

H" &. 30#,

dd(!

(1)

^

!

(2)

) =

d(d!

(1)

^

!

(2)

+ (

;

1)

p

!

(1)

^

d!

(2)

) =

=

dd!

(1)

^

!

(2)

+ (

;

1)

p+1

d!

(1)

^

d!

(2)

+ (

;

1)

p

d!

(1)

^

d!

(2)

+ (

;

1)

p+p

!

(1)

^

dd!

(2)

= 0

:

- , # &# 

f   dx

i

. C

d(df) = d( @f

@x

k

dx

k

) = @

2

f

@x

i

@x

k

dx

i

^

dx

k

=

X

i<k

@

2

f

@x

i

@x

k

;

@

2

f

@x

k

@x

i

!

dx

i

^

dx

k

= 0

:

dx

i

,  & &  

f = x

i

:

dd(dx

i

) =

d(ddx

i

) =

d(0) = 0:

2

10.6.

/H 887# 8 

,

d! = 0, . . !

2

Ker

d, 

,

! = d!

1

 0 8

!

1

, . .

!

2

Im

d.

% &0  (', 0) 

d  0

Im

d

Ker

d. - ,  " k & 8& k-

. . 8 &

k- ' 8. ? 0 &

H

k

(

M) 

k

-&

%

!

"

M.

% "    00 8  &# -

0  887#0 8.

10.7.

%#

f : M

!

N | "  ". "-

0,

!

2

`

k

(

N) | 887# 8.

)#

#

f

! 50

8  &0  . &0 

M:

f

!(~v

1

:::~v

k

) :=

!(d

P

f(~v

1

)

:::d

P

f(~v

k

))

~v

i

2

T

P

M:

 

10.8.

%#, ' &' 887# 8.

#

10.9.

(

x

1

:::x

m

)

|

%%

!

P

2

M

,

(

y

1

:::y

n

)

|

f(P)

2

N

,

%%

f : M

!

N

!

4*

y

1

(

x

1

:::x

m

)

:::y

n

(

x

1

:::x

m

)

4

!

|

! =

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

dy

i

1

^

:::

^

dy

i

k

:

 !

#

#

%%

!%

4%

f

(

!) =

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

(

x

1

:::x

m

)

:::y

n

(

x

1

:::x

m

))

df

i

1

(

x

1

:::x

m

)

^

:::

^

df

i

k

(

x

1

:::x

m

)

:

(10)

44

background image

 .

f

(

!)(~v

1

:::~v

k

) =

!(d

P

f(~v

1

)

:::d

P

f(~v

k

)) =

!(d

P

f(~v

1

)

:::d

P

f(~v

k

)) =

=

0

@

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

dy

i

1

^

:::

^

dy

i

k

1

A

(

d

P

f(~v

1

)

:::d

P

f(~v

k

)) =

=

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

Alt

i

1

:::i

k

]

n

dy

i

1

(

d

P

f(~v

1

))

:::dy

i

k

(

d

P

f(~v

k

))

o

=

=

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

Alt

i

1

:::i

k

]

(

@f

i

1

@x

j

1

(

~v

1

)

j

1

::: @f

i

k

@x

j

k

(

~v

1

)

j

k

)

=

=

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

Alt

i

1

:::i

k

]

n

df

i

1

(

~v

1

)

:::df

i

k

(

~v

1

)

o

=

=

0

@

X

i

1

<:::<i

k

!

i

1

:::i

k

(

y

1

:::y

n

)

df

i

1

^

:::

^

df

i

k

1

A

(

~v

1

:::~v

k

)

:

2

10.10.

%#  "  "

M,

dim

M = n,  8 ! #0 & (. . deg ! = n)  &-

   0  (

U'

)   (

x

1

:::x

n

). 1#  ,

  " &, & 0

 '

&  

-

012' 

.

,&

%

! & U 80

Z

U

! :=

Z

'

(

U)

R

n

!

12

:::n

dx

1

:::dx

n

:

(11)

#

10.11.

=%

!%

,

.

.

(11)

#

%%&

!

!%&

U

.

 .

%# (

U'

) | "  

U  # 

(

x

1

:::x

n

). -" & &     "   6.31

  &#0  . 

Z

'

(

U)

R

n

!

12

:::n

dx

1

:::dx

n

=

Z

'

(

U)

R

n

!

12

:::n

det

@x

i

@x

j

dx

1

:::dx

n

=

=

Z

'

(

U)

R

n

!

12

:::n

det

@x

i

@x

j

dx

1

:::dx

n

=

Z

'

(

U)

R

n

!

12

:::n

dx

1

:::dx

n

:

2

10.12.

%#

M | "  ",

dim

M = n, 8 ! #0 & (. . deg! = n)  & -

. 3 # '" 

f

(

U

'

)

g

 &'"  

7

&

%

Z

M

! = I(M!

f

(

U

'

)

g

) :=

X

Z

U

!:

45

background image

#

10.13.

=%

!%

,

.

.

#

f

(

U

'

)

g.

 .

+   #  . ,  # . 9,

  7 &  87. 3 "  . "

 . - ,  #

I(M!

f

(

U

'

)

g

) =

I(M!

f

(

U

'

0

0

)

g

)

:

M# (" "")   , . .

'

,  

 &0 . C, # #, '

I(M!

f

(

U

'

)

g

) =

I(M!

f

(

U

'

0

)

g

)

:

%

:=

;

0

,

 = 1:::N,  '

k

X

=1

= 0

k = N:

(12)

-" #   & 8

k

X

=1

Z

U

!

k = N

(13)

   &# 70 &

k. -. . &&, '  k =

1

:::N

;

1  &#.

: 0

!

R

+

 supp

U

8 (12) '

(13) (

k = 1 5 #). %# " 87  : M

!

0

1] 

1  supp

N

U

N

 supp

U

N

. - 87    #

&"'" &

M. - ,

N

N

N

=

;

N

;

1

X

=1

=

;

N

;

1

X

=1

supp(

)

(

U

N

\

U

)

:

%5

N

X

=1

Z

U

! =

Z

U

N

N

! +

N

;

1

X

=1

Z

U

! =

;

N

;

1

X

=1

Z

U

! +

N

;

1

X

=1

Z

U

! =

=

N

;

1

X

=1

Z

U

(

;

)

!:

(14)

%#

N

;

1

X

=1

(

;

) =

N

;

1

X

=1

;

N

;

1

X

=1

=

N

;

1

X

=1

+

N

=

N

;

1

X

=1

+

N

=

N

X

=1

= 0

   &#  (14) && 7.

2

,'  

46

background image

!

3

10.14.

=%

%

%

#'

!

R

`

ncomp

(

MOr)

!

R

:

10.15.

-&#   &#

#$

#

  ' "  8 9.

 

10.16.

%#, ' &  7 "  .

 

10.17.

%#, ', & . . "'. 

,  '# "  8  : # -

"  , 0  .   0 , &"#

"' 8  #. .,  # #.

10.18.

(, 8 2).

%!

#

M

@M

,

dim

M = n

,

:

!44*%

4

!

%

M

,

deg

! = n

;

1

.

=

%!.

#.

4%

-

(

;

1)

n

Z

M

d! =

Z

@M

!

=

Z

@M

'

!

(15)

!

' : @M

!

M

|

%'

.

 .

/  0 . '0 8 (15) &

!, '

 &#  8

!    0  (&# ! =

P

!, "

f

g

|  7, &'  # ' ) 


! = f(x

1

:::x

n

)

dx

1

^

:::

^

dx

k

;

1

^

dx

k+1

^

:::

^

dx

n

d! = (

;

1)

k

;

1

@f

@x

k

dx

1

^

:::

^

dx

n

"

f :

R

n

+

!

R

| " 87  & . M&, '

x

n

@M .  x

n

= 0. 2,  '

'0

k

n

;

1. N#    

' : @M

!

M

'(x

1

:::x

n

;

1

) = (

x

1

:::x

n

;

1

0)

d'

n

= 0,  '

'

! = 0 (. (10)). 3 0 ' (15) 

Z

R

n

+

d! =

Z

R

n

+

(

;

1)

k

;

1

@f

@x

k

dx

1

:::dx

n

=

= (

;

1)

k

;

1

Z

R

n

;1

+

8

<

:

+

1

Z

;1

@f

@x

k

dx

k

9

=

 

dx

1

:::dx

k

;

1

dx

k+1

dx

n

=

= (

;

1)

k

;

1

Z

R

n

;1

+

n

f(x

1

:::x

k

;

1

+

1

x

k+1

:::x

n

)

;

;

f(x

1

:::x

k

;

1

;1

x

k+1

:::x

n

)

o

dx

1

:::dx

k

;

1

dx

k+1

dx

n

=

47

background image

= (

;

1)

k

;

1

Z

R

n

;1

+

n

0

;

0

o

dx

1

:::dx

k

;

1

dx

k+1

dx

n

= 0

(# &.      & ).

< &# '0

k = n. -&#

Z

R

n

+

d! =

Z

R

n

+

(

;

1)

n

;

1

@f

@x

n

dx

1

:::dx

n

=

= (

;

1)

n

;

1

Z

R

n

;1

0

8

<

:

+

1

Z

0

@f

@x

n

dx

n

9

=

 

dx

1

:::dx

n

;

1

=

= (

;

1)

n

;

1

Z

R

n

;1

0

n

f(x

1

:::x

n

;

1

+

1

)

;

f(x

1

:::x

n

;

1

0)

o

dx

1

:::dx

n

;

1

=

= (

;

1)

n

Z

R

n

;1

0

f(x

1

:::x

n

;

1

0)dx

1

:::dx

n

;

1

=

Z

R

n

;1

0

'

!

(# &.    " &   & -

).

2

 

10.19.

/  0 8 2 8

1) _
2) 2
3) ,"" | _.

48