Współczynnik korelacji Pearsona: 

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

y

x

xy

y

y

n

x

x

n

y

y

x

x

n

s

s

y

x

r

1

2

1

2

1

)

(

1

)

(

1

)

)(

(

1

)

,

cov(

 

gdzie: 

n- liczebność próby, 

cov(x,y)- kowariancja (współzmienność pomiędzy x i y), 

s

x

, s

y

, - odchylenia standardowe zmiennej x i . 

Interpretacja: 

Mówi o sile (wartość) i kierunku (znak) zależności pomiędzy dwoma cechami, np. r

xy

=0.9 

ś

wiadczy o silnej, dodatniej korelacji (zależności, związku) pomiędzy x i y.  

Właściwości: 

- korelacja pomiędzy dwoma cechami ilościowymi, 

- tylko dla zależności liniowych, 

- korelacja ujemna i dodatnia (od-1 do 1): 

- "+":cechy zmieniają się jednokierunkowo: wzrostowi (spadkowi) wartości x 

towarzyszy wzrost (spadek) wartości y, 

- "-": cechy zmieniają się dwukierunkowo: wzrostowi (spadkowi) wartości x 

towarzyszy spadek (wzrost) wartości y. 

 

Współczynnik korelacji cząstkowa Kendalla 

Dla 3 cech: x

1

, x

1

, x

1

 mamy: 

)

1

)(

1

(

2

23

2

13

23

13

12

3

.

12

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

 

 

)

1

)(

1

(

2

23

2

12

23

12

13

2

.

13

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

 

 

)

1

)(

1

(

2

13

2

12

13

12

23

1

.

23

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

 

gdzie: r

ij

 – współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy i-tą i j-tą zmienną. 

Interpretacja: 

r

12.3

=0.9 oznacza, że istnieje silna, dodatnia korelacja (zależność) pomiędzy zmienną 1 i 2, po 

wyeliminowaniu wpływu zmiennej 3. 

Właściwości: 

- pomiędzy dwoma cechami (zmiennymi)  ilościowymi, lecz gdy wpływ innych chcemy 

odseparować, 

- korelacje różnego rzędu: 

- np. rz I: dla 3 zmiennych z wyłączeniem oddziaływania jednej z nich, 

- rz II: dla 4 zmiennych z wyłącznieniem oddziaływania dwóch z nich, 

- rz "n": dla n+2 zmiennych z wyłączeniem oddziaływania "n" z nich, 

- korelacja ujemna i dodatnia (od -1 do 1) jak w przypadku Pearsona. 

 

Współczynnik korelacji wielorakiej (pierwiastek ze współczynnika determinacji): 

R

D

R

xk

x

x

x

y

det

det

1

,...,

3

,

2

,

1

.

−

=

 

gdzie: 

D- macierz korelacji pomiędzy wszystkimi zmiennymi (objaśniającymi x  i objaśnianą y): 

































=

1

...

...

1

...

...

...

...

1

...

1

...

1

2

.

1

.

.

.

2

1

.

2

.

2

.

1

2

1

.

1

.

2

1

.

x

xk

x

xk

y

xk

xk

x

x

x

y

x

xk

x

x

x

y

x

xk

y

yx

x

y

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

D

 

R- macierz korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi (x) 

Interpretacja: 

Zazwyczaj interpretacji podlega kwadrat R zwany współczynnikiem determinacji R

2

. Np. 

jeżeli R=0.9, to R

2

=0,81, co oznacza, że zmienność zm. zależnej (y) została w 81% 

wyjaśniona zmiennością zm. niezależnych (x-ami) , a mówiąc prościej, że model w 81 % 

opisuje  dopasowanie modelu do danych. 

Właściwości: 

- pomiędzy wieloma cechami (zmiennymi) ilościowymi, 

- wartości z przedziału (0;1):  

- im bliżej 1 tym związek pomiędzy y a x-ami jest silniejszy, 

- im bliżej 0 tym związek pomiędzy y a x-ami słabszy, 

- podniesiony do kwadratu daje współczynnik determinacji. 

 

Współczynnik korelacji rang Spearmana: 

n

n

d

r

n

i

i

S

−

−

=

∑

=

3

1

2

6

1

 

gdzie: 

d

i

 – dystans (różnica) pomiędzy rangami, tzn. różnica pomiędzy rangami cechy x

 

i y. 

Interpretacja: 

- gdy korelacja rang jest doskonała, to 

Σ

d

i

2

=0 oraz r

S

=+1, co oznacza pełną zgodność 

uporządkowań, 

- gdy korelacja rang jest przeciwna, to 

Σ

d

i

2

=(n

3

-n)/3 oraz r

S

=-1, co oznacza pełną 

przeciwstawność uporządkowań,  

- r

S

=0 otrzymujemy brak zgodności uporządkowań. 

Właściwości: 

- pomiędzy dwoma cechami (zmiennymi) jakościowymi, 

- zmiennym przypisuje się rangi zgodnie z intensywnością występowania danej cechy, 

- jest to wsp. korelacji Pearsona, tylko dla rang prościej się go liczy.