Współczynnik korelacji Pearsona:

∑

∑

∑

=

=

=

−

−

−

−

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

y

x

xy

y

y

n

x

x

n

y

y

x

x

n

s

s

y

x

r

1

2

1

2

1

)

(

1

)

(

1

)

)(

(

1

)

,

cov(

gdzie:

n- liczebność próby,

cov(x,y)- kowariancja (współzmienność pomiędzy x i y),

s

x

, s

y

, - odchylenia standardowe zmiennej x i .

Interpretacja:

Mówi o sile (wartość) i kierunku (znak) zależności pomiędzy dwoma cechami, np. r

xy

=0.9

ś

wiadczy o silnej, dodatniej korelacji (zależności, związku) pomiędzy x i y.

Właściwości:

- korelacja pomiędzy dwoma cechami ilościowymi,

- tylko dla zależności liniowych,

- korelacja ujemna i dodatnia (od-1 do 1):

- "+":cechy zmieniają się jednokierunkowo: wzrostowi (spadkowi) wartości x

towarzyszy wzrost (spadek) wartości y,

- "-": cechy zmieniają się dwukierunkowo: wzrostowi (spadkowi) wartości x

towarzyszy spadek (wzrost) wartości y.

Współczynnik korelacji cząstkowa Kendalla

Dla 3 cech: x

1

, x

1

, x

1

mamy:

)

1

)(

1

(

2

23

2

13

23

13

12

3

.

12

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

)

1

)(

1

(

2

23

2

12

23

12

13

2

.

13

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

)

1

)(

1

(

2

13

2

12

13

12

23

1

.

23

r

r

r

r

r

r

−

−

−

=

gdzie: r

ij

– współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy i-tą i j-tą zmienną.

Interpretacja:

r

12.3

=0.9 oznacza, że istnieje silna, dodatnia korelacja (zależność) pomiędzy zmienną 1 i 2, po

wyeliminowaniu wpływu zmiennej 3.

Właściwości:

- pomiędzy dwoma cechami (zmiennymi) ilościowymi, lecz gdy wpływ innych chcemy

odseparować,

- korelacje różnego rzędu:

- np. rz I: dla 3 zmiennych z wyłączeniem oddziaływania jednej z nich,

- rz II: dla 4 zmiennych z wyłącznieniem oddziaływania dwóch z nich,

- rz "n": dla n+2 zmiennych z wyłączeniem oddziaływania "n" z nich,

- korelacja ujemna i dodatnia (od -1 do 1) jak w przypadku Pearsona.

Współczynnik korelacji wielorakiej (pierwiastek ze współczynnika determinacji):

R

D

R

xk

x

x

x

y

det

det

1

,...,

3

,

2

,

1

.

−

=

gdzie:

D- macierz korelacji pomiędzy wszystkimi zmiennymi (objaśniającymi x i objaśnianą y):

































=

1

...

...

1

...

...

...

...

1

...

1

...

1

2

.

1

.

.

.

2

1

.

2

.

2

.

1

2

1

.

1

.

2

1

.

x

xk

x

xk

y

xk

xk

x

x

x

y

x

xk

x

x

x

y

x

xk

y

yx

x

y

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

D

R- macierz korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi (x)

Interpretacja:

Zazwyczaj interpretacji podlega kwadrat R zwany współczynnikiem determinacji R

2

. Np.

jeżeli R=0.9, to R

2

=0,81, co oznacza, że zmienność zm. zależnej (y) została w 81%

wyjaśniona zmiennością zm. niezależnych (x-ami) , a mówiąc prościej, że model w 81 %

opisuje dopasowanie modelu do danych.

Właściwości:

- pomiędzy wieloma cechami (zmiennymi) ilościowymi,

- wartości z przedziału (0;1):

- im bliżej 1 tym związek pomiędzy y a x-ami jest silniejszy,

- im bliżej 0 tym związek pomiędzy y a x-ami słabszy,

- podniesiony do kwadratu daje współczynnik determinacji.

Współczynnik korelacji rang Spearmana:

n

n

d

r

n

i

i

S

−

−

=

∑

=

3

1

2

6

1

gdzie:

d

i

– dystans (różnica) pomiędzy rangami, tzn. różnica pomiędzy rangami cechy x

i y.

Interpretacja:

- gdy korelacja rang jest doskonała, to

Σ

d

i

2

=0 oraz r

S

=+1, co oznacza pełną zgodność

uporządkowań,

- gdy korelacja rang jest przeciwna, to

Σ

d

i

2

=(n

3

-n)/3 oraz r

S

=-1, co oznacza pełną

przeciwstawność uporządkowań,

- r

S

=0 otrzymujemy brak zgodności uporządkowań.

Właściwości:

- pomiędzy dwoma cechami (zmiennymi) jakościowymi,

- zmiennym przypisuje się rangi zgodnie z intensywnością występowania danej cechy,

- jest to wsp. korelacji Pearsona, tylko dla rang prościej się go liczy.