W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

1

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper,

Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J

ERZY

R

AKOWSKI

Poznań 2002/2003

MECHANIKA BUDOWLI 8

W celu analizy zjawiska wyboczenia belki rozwiążemy ściskaną belkę poddaną
czystemu zginaniu obciążoną dodatkowo siłami osiowymi jak na rysunku:

l

y, w

M

N

EI

N

x

M

Rys. 1

Można zapisać zależność:

( )

EI

l

N

dla

C

C

C

C

w

l

x

2

2

3

2

1

0

cos

sin

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

=

=

ν

ξ

ν

ξ

ν

ξ

ξ

ξ

(8.1)

Dla belki jak na (rys. 1) zapisać można warunki brzegowe:

( )

( )

( )

( )

M

M

M

M

w

w

=

=

=

=

1

)

4

0

)

3

0

1

)

2

0

0

)

1

(8.2)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

2

Wykorzystując zależność na drugą pochodną linii ugięcia mamy:

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

''

''

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

d

w

d

w

gdzie

w

l

EI

M

EI

x

M

dx

w

d

=

⋅

=

−

=

(8.3)

Wykorzystując zależności (8.3) warunki brzegowe 3) i 4) można zapisać:

( )

( )

EI

l

M

w

EI

l

M

w

2

2

1

''

)

4

0

''

)

3

⋅

−

=

⋅

−

=

(8.4)

Korzystając z warunków brzegowych można zapisać równania a następnie wyznaczyć
stałe:

(

)

EI

l

M

C

C

EI

l

M

C

C

C

C

C

C

C

2

3

2

2

2

3

2

3

2

1

0

3

0

cos

sin

)

4

)

3

0

cos

sin

1

)

2

0

)

1

⋅

−

=

+

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

=

+

+

⋅

+

=

+

ν

ν

ν

ν

ν

ν

(8.5)

Po rozwiązaniu otrzymuje się:

(

)

N

M

C

N

M

C

C

N

M

C

=

−

⋅

⋅

=

=

−

=

3

2

1

0

cos

1

sin

0

ν

ν

(8.6)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

3

1

Podstawiając wyliczone wartości stałych do równania linii ugięcia (8.1) otrzymujemy:

( )













−

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

1

cos

sin

sin

cos

1

2

2

ξ

ν

ξ

ν

ν

ν

ν

ξ

EI

l

M

w

(8.7)

Obliczamy przemieszczenie w połowie dla













2

l

w

podstawiamy

2

1

=

ξ

Otrzymujemy zależność (8.8)

( )



















 −

⋅

⋅

⋅

=













=

2

cos

2

cos

1

2

1

2

2

ν

ν

ν

ν

EI

l

M

w

f

(8.8)

Gdy

ν

dąży do 0 (8.9)

( )

EI

l

M

f

2

0

8

1

lim

⋅

⋅

=

→

ν

ν

(8.9)

zależność (8.8) obrazuje wykres:

( )

( )

0

f

f

ν

ν

π

Rys. 2

Gdy

π

ν →

to wartość ugięcia belki dąży do nieskończoności. Odpowiada to wartości

siły

2

2

π

⋅

=

=

l

EI

S

N

kr

. Siłę tę nazwiemy krytyczną.

Rozwiązując podobne zadanie dla innych warunków brzegowych otrzymuje się inne
wartości sił krytycznych.

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

4

Wartości sił krytycznych dla prętów o różnych podparciach. Zapis ogólny:

2

2

π

⋅

=

l

EI

S

kr

(8.10)

Pręt jednostronnie utwierdzony (rys.3)

Rys. 3

( )

2

2

2

π

⋅

=

l

EI

S

kr

(8.11)

Pręt obustronnie utwierdzony (rys.4):

Rys. 4

( )

2

2

5

,

0

π

⋅

=

l

EI

S

kr

(8.12)

Pręt utwierdzony z jednej strony i przegubowy z drugiej strony (rys.5):

Rys. 5

( )

2

2

7

,

0

π

⋅

≈

l

EI

S

kr

(8.13)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

5

Ogólnie można zapisać:

q

w

N

w

EI

II

IV

=

⋅

+

⋅

(8.14)

W przypadku gdy siła N jest rozciągająca, zależność (8.14) przyjmie postać:

q

w

N

w

EI

II

IV

=

⋅

−

⋅

(8.15)

Zapisujemy równanie linii ugięcia:

( )

EI

N

ch

sh

x

ch

C

x

sh

C

x

C

C

w

=

≡

≡

⋅

+

⋅

+

⋅

+

=

2

3

2

1

0

cosh

sinh

λ

λ

λ

ξ

(8.16)

N- siła rozciągająca ze znakiem „+”

( )

( )

2

sinh

2

cosh

1

cos

sin

2

α

α

α

α

α

α

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

−

=

+

=

−

=

=

=

=

e

e

e

e

i

EI

N

ch

i

ish

i

(8.17)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

6

U

WZGLĘDNIENIE SIŁ NORMALNYCH W METODZIE PRZEMIESZCZEŃ

W przedstawionym poniżej zadaniu chodzi o to, aby uwzględnić wpływ siły normalnej
tzn. w równaniach równowagi (kanonicznych) uwzględnia się wpływ siły normalnej
zawartej we wzorach transformacyjnych.
Zadana rama (rys.6). W tej części wykładu pokazane będzie rozwiązanie ramy metodą
przemieszczeń z uwzględnieniem sił normalnych. Na wykładzie nr 10 pokazane będzie
rozwiązanie tej samej ramy ale na innych zasadach. Tam założymy, że nie znamy siły P
a rozwiązanie zadania sprowadzać się będzie do znalezienia siły P, która spowoduje
utratę stateczności układu. Szukanie krytycznej siły P będzie miało charakter iteracyjny.

EI

EI

2EI

q=Pa

P

0,2P

2a

a

Rys. 6

Przyjęcie układu podstawowego i zapisanie układu równań kanonicznych:

a

2a

EI

2EI

P

0,2P

EI

q=Pa

1

2









=

+

+

=

+

+

0

0

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

p

p

R

u

r

r

R

u

r

r

ϕ

ϕ

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

7

Rys. 7

Zakładając np. że P = 30kN i a = 3m momenty przyjęły wartości podane w nawiasach

M

p

(n)

0,1223Pa
(11,007)

0,0037Pa
(0,333)

0,2592Pa
(23,328)

Rys. 8

Wykres sił normalnych przedstawia się następująco

N

0,93885P
(28,16)

2,06115P
(61,83)

0,2593P
(7,78)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

8

Rys. 9

Zadaną ramę należy policzyć jeszcze raz z uwzględnieniem wyliczonych sił
normalnych N, zgodnie z pierwszą częścią wykładu.

Po zaprojektowaniu przekroju przyjęto:

2

75

,

1916

kNm

EI

=

528

,

0

75

,

1916

6

16

,

28

073

,

0

75

,

1916

2

6

78

,

7

161

,

1

75

,

1916

6

83

,

61

2

2

3

2

2

2

2

2

1

=

⋅

=

⋅

=

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

EI

l

N

EI

l

N

EI

l

N

ν

ν

ν

(8.18)

Zgodnie ze wzorami transformacyjnymi metody przemieszczeń dla prętów obciążonych
siłą ściskającą (wykład 7) zachodzi zależność:
Dla pręta obustronnie utwierdzonego:

(

)

ik

k

i

ik

l

EI

M

ψ

γ

ϕ

β

ϕ

α

⋅

−

⋅

+

⋅

⋅

=

'

'

'

(8.19)

Dla pręta utwierdzonego i przegubowego:

(

)

ik

i

ik

l

EI

M

ψ

ϕ

α

−

⋅

⋅

=

''

(8.20)

Rysujemy stan od jednostkowego kąta obrotu

0

1

0

=

=

=

u

k

i

ϕ

ϕ

:

1

a

b

c

Gdzie:

''

2

2

'

2

'

2

2

1

1

α

α

β

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

a

EI

c

a

EI

b

a

EI

a

Rys. 10

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

9

(

)

(

)

ν

ν

ν

ν

α

ν

ν

ν

ν

γ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

β

ν

ν

ν

ν

ν

ν

α

−

=

−

⋅

=

−

−

=

−

⋅

−

=

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

tg

2

2

2

1

1

''

2

2

1

2

'

2

2

1

sin

sin

'

2

2

1

'

Reszta współczynników określona jest w wykładzie nr 7.
Rysujemy stan od jednostkowego przesuwu

1

0

0

=

=

=

u

k

i

ϕ

ϕ

:

3

0

6

3

2

1

u

u

=

=

=

ψ

ψ

ψ

e

d

1

Gdzie:

3

1

''

3

6

1

'

6

3

1

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

α

γ

EI

e

EI

d

Rys. 11

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

10

Rysujemy stan obciążenia zewnętrznego:

f

Gdzie:

( )

( )

968

,

3

1

1

2

2

2

2

−

=

⋅

−

=

ν

ν

r

r

qI

f

Rys. 12

Ze względu na uwzględnienie sił normalnych, w przeciwieństwie do ujęcia klasycznego
(N=0) równanie różniczkowe takiej belki też jest nieco inne. Dlatego funkcja
momentów zginających jest tez inna (niewielka różnica)

Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych metody przemieszczeń:







=

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

0

0

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

P

P

R

u

r

r

R

u

r

r

ϕ

ϕ

(8.21)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

S

TATECZNOŚĆ UKŁADÓ PRĘTOWYCH

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

11

Otrzymano wyniki:

M

p

[10,096]
10,094

1,9788
[1,971]

24,0364
[24,034]

N

p

28,317
[28,317]

[8,011]

61,682

[61,682]

Rys. 13

Jeżeli otrzymane wyniki są zadawalające (tak jak w naszym przypadku) na tym
kończymy obliczenia. Jeżeli zaś wyniki nas nie satysfakcjonują- przeprowadzamy drugą
iterację, przyjmując do obliczeń siły Np. z I iteracji.