Prezentowany artykuª
I
Matteo Ciccarelli, Alessandro Rebucci Measuring contagion
with a bayesian, time-varying coecient model, ECB working
paper no. 263, wrzesie« 2003
I
Efekt zara»enia (contagion) to transmisja szoków mi¦dzy
rynkami (krajami). Na potrzeby tej pracy efekt zara»enia to
czasowa zmiana charakteru wzajemnych oddziaªywa« mi¦dzy
rynkami nast¦puj¡ca na skutek szoku na jednym lub wielu z
tych rynków.
Ogólna specykacja modelu
Model VAR ze wspóªczynnikami zmiennymi w czasie:
A
t
(
L)Y
t
=
B
t
(
L)W
t
+
D
t
+
U
t
gdzie:
I
Y
t
= [
y
1
t
, . . . ,
y
n
t
]
0
- wektor cen lub wielko±ci aktywów
I
W
t
= [
w
1
t
, . . . ,
w
m
t
]
0
- wektor zmiennych b¦d¡cych ¹ródªem
szoków
I
L - operator opó¹nienia;
I
A
t
i B
t
macierze wielomianowe operatora opó¹nie« p i q
odpowiednio
I
D
t
wektor staªych, U
t
- wektor szoków specycznych dla
danego kraju lub rynku o macierzy wariancji-kowariancji Σ
Charakterystyka modelu
Zaªo»enia modelu:
I
wspóªczynniki zmienne w czasie
I
heteroskedastyczno±¢
I
zmienne pomini¦te
Zalety modelu:
I
jednoczesne badanie wspóªzale»no±ci rynków i efektu zara»enia
I
brak konieczno±ci okre±lenia momentu rozpocz¦cia kryzysu
I
w tym podej±ciu mo»liwa jest modykacja modelu, dzi¦ki
której pod uwag¦ wzi¦te s¡ te» zmienne pomini¦te.
Dokªadna specykacja modelu
Y
t
=
X
t
β
t
+
t
,
gdzie X
t
jest macierz¡ rozmiaru n × k, β
t
rozmiaru k × 1, gdzie
k = np + mq + 1, a Y
t
i
t
to wektorowe procesy stochastyczne
Zaªo»enia:
I
t
|
X
t
∼
iid, gdzie E[
t
|
X
t
] =
0 i E[
t
0
t
|
X
t
] = Σ
;
I
β
t
=
Gβ
t−1
+
F β
0
+
Hζ
t
, gdzie ζ
t
∼
iid N(0, Φ);
I
X
t
,
t
i ζ
t
s¡ warunkowo niezale»ne;
I
t
|
X
t
∼
iid t
ν
(
0, Ω), gdzie Ω =
ν−
2
ν
Σ
i ν > 2.
Dokªadna specykacja modelu
Przyjmuj¡c powy»sze zaªo»enia otrzymujemy nast¦puj¡cy model:
Y
t
=
X
t
˜
β
t−1
+ ˜
t
,
gdzie
˜
β
t−1
=
Gβ
t−1
+
F β
0
i ˜
t
=
X
t
Hζ
t
+
t
,
i
E[Y
t
|
X
t
] =
X
t
˜
β
t−1
i V [Y
t
|
X
t
] = Σ +
X
t
HΦH
0
X
0
t
Y
t
jest warunkowo heteroskedastyczny, z nieliniow¡ warunkow¡
±redni¡; co wi¦cej nie ma rozkªadu normalnego, co jest
charakterystyczne dla danych nansowych o wysokiej cz¦sto±ci.
Rozkªady a priori s¡ przypisywane hiperparametrom modelu - Σ, ˜β
0
,
Φ
i ν.
Estymacja Bayesowska
Wªasno±ci priorów:
I
Niezale»no±¢ priorów: p(Σ, β
0
, Φ, ν) =
p(Σ)p(β
0
)
p(Φ)p(ν),
I
p(Σ
−
1
) =
W (ς, S),
I
p(β
0
) =
N(β
∗
0
, Ω)
,
I
p(Φ
−
1
) =
W (q, Q),
I
p(ν) = Uniform(2, r)
W oznacza rozkªad Wisharta; zakªadamy, »e parametry tych
rozkªadów s¡ znane.
Estymacja metod¡ losowania Gibbsa - estymatory obci¡»one.
Korekta zmiennych pomini¦tych metod¡ Leamera.
Werykacja estymacji
I
dla wygenerowanych danych o najwi¦kszym obci¡»eniu
(metod¡ Monte Carlo) w celu sprawdzenia, czy procedura
estymacji poka»e nieprawdziwo±¢ hipotezy efektu zara»enia,
I
dla prawdziwych danych porównanie wyników modelu z
modelem uwzgledniaj¡cym istotnie wi¦ksz¡ liczb¦ danych
Werykacja estymacji dla danych wygenerowanych
Zaªo»enia:
I
poª¡czenia mi¦dzy rynkami s¡ stabilne w czasie,
I
wyst¦puj¡ wspóªzale»no±ci mi¦dzy rynkami,
I
na skutek szoku wspólnego dla obydwu rynków zmienia si¦
zmienno±¢,
I
model mierz¡cy efekt zara»enia pomija zmienn¡ wyra»aj¡c¡
ten szok (na przykªad dla tego, »e jest nieobserwowalna),
I
procedura estymacji zawiera w sobie korekt¦ obci¡»enia
wynikaj¡cego ze zmiennych pomini¦tych.
Werykacja estymacji dla danych wygenerowanych
Dane generowane s¡ za pomoc¡ nast¦puj¡cego modelu:
y
t
= β
x
t
+ γ
z
t
+
t
,
gdzie x
t
= δ
z
t
+
u
t
, z
t
= ρ
z
t−1
+ η
t
, t = 1, . . . , 200.
I
z
t
- zmiena pomijana; pewien specyczny dla kraju czynnik;
I
x
t
- ¹ródªo szoku lub krysysu;
I
y
t
- zmienne charakterystyczne dla kraju ulegaj¡cego zara»eniu.
Rozkªady parametrów modelu s¡ tak dobrane, »eby reprezentowaªy
najgorszy mo»liwy przypadek.
Rozkªad aposteriori parametru β
t
Przykªad Chile
Badanie efektu zara»enia rynku walutowego w Chile przez kryzys
argenty«ski w 2001 roku - odwoªanie do wcze±niejszego modelu
jednego z autorów.
Pomini¦cie zmiennych u»ywanych w tamtym modelu celem
sprawdzenia, czy model o ograniczonej informacji da takie same
wyniki jak model z peªniejsz¡ informacj¡.
Estymacja obydwu modeli bez korekty i z korekt¡ Leamera.
Prezentowany model dobrze nadaje si¦ do tego typu zjawiska ze
wzgl¦du na charakter kryzysu argenty«skiego.
Dane do modeli s¡ danymi dziennymi i pochodz¡ z okresu od 2
czerwca 1999 do 31 stycznia 2002 roku, co daje 641 obserwacji.
Specykacja modelu
Z peªn¡ informacj¡:
DLe
t
= α
0
t
+ α
1
t
DLe
t−1
+
Z
0
t
γ
t
+
t
,
gdzie e
t
jest kursem peso do dolara, Dx
t
=
x
t
−
x
t−1
,
Lx
t
=
log(x
t
)
, a Z
t
reprezentuje zbiór kilkunastu potencjalnych
zmiennych obja±niaj¡cych.
Z ograniczon¡ informacj¡:
DLe
t
= α
0
t
+ α
1
t
DLe
t−1
+ γ
t
Di
AR
t
+
t
,
gdzie i
A
t
R jest argenty«skim indeksem gieªdowym.
Uwagi
I
Model z peªn¡ informacj¡ te» mo»e wykazywa¢ obci¡»enie
zwi¡zane ze zmiennymi pomini¦tymi.
I
W modelu z ograniczon¡ informacj¡ nie uwzgl¦dniono nawet
tych zmiennych, o których wiadomo z poprzedniego
opracowania, »e w sposób istotny wyja±niaj¡ zmian¦ kursu
peso.
rednia w rozkªadzie aposteriori parametru γ
t
Podsumowanie
I
Estymacja daje dobre wyniki nawet dla modelu
heteroskedastycznego z pomini¦tymi zmiennymi.
I
Model nie wymaga znajomo±ci dokªadnego czasu kryzysu i
pozwala na odró»nienie efektu zara»enia od wspóªzale»no±ci i
zaªama« strukturalnych.
I
Model nadaje si¦ do mierzenia zarówno pozytywnych jak i
negatywnych efektów zara»enia.
I
Wyniki otrzymane w prezentowanym modelu z ograniczon¡
informacj¡ skorygowanym o potencjalne obci¡»enie wynikaj¡ce
ze zmiennych pomini¦tych s¡ porównywalne z wynikami
estymacji z u»yciem peªniejszej informacji.