Zadania statystyka i ekonometria
1. Dany jest program:
min Z (x) = 6x
1
+ x
2
5x
1
+ x
2
5
2x
1
+ 6x
2
12
x
1
2x
2
x
1
, x
2
0
a)
rozwiązać podany program metodą graficzną,
2. Mając daną macierz współczynników technicznych dla pewnego przedsiębiorstwa
wielozakładowego:
0,6 0,4
0,3 0,5
oraz znając wielkości dotychczasowych zamówień odbiorców zewnętrznych na wyroby
poszczególnych zakładów, które wynoszą:
-dla zakładu I - 80 sztuk,
- dla zakładu II - 57 sztuk,
odpowiedzieć czy przedsiębiorstwo będzie mogło zrealizować zamówienia, jeżeli zdolności
produkcyjne poszczególnych zakładów wynoszą: I - 800, II – 600 sztuk?
a) ile zmienią się wielkości produkcji globalnej, jeżeli produkcja finalna wzrośnie dla
poszczególnych zakładów o: I - 200, II – 100 sztuk?
b) ile zmienią się wielkości produkcji finalnej, jeżeli produkcja globalna poszczególnych
zakładów wzrośnie o: I - 200, II – 100 sztuk?
Sporządzić tablice przepływów międzywydziałowych tego przedsiębiorstwa dla podanych sytuacji.
3. Oszacować parametry strukturalne modelu:
0
1
1
2
2
x
x
y
, t = 1, ... , 6
12
0
4
0
32
0
4
0
12
64
1
1
-
T
,
8
3
4
y
T
,
4,5
e
e
T
a) oszacować średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu
b) ocenić dopasowanie modelu do danych statystycznych.
4 Mając następujące dane:
5
,
0
2
,
0
2
,
0
0
R
1
4
,
0
5
,
0
4
,
0
1
8
,
0
,5
0
8
,
0
1
R
Mając dane :
H
1
= 0,04 ; H
2
= 0,04 ; H
3
= 0,25 ; H
4
= 0,044 ; H
5
= 0,1933 ; H
6
= 0,207 ;
h
71
= 0,0174 ; h
73
= 0,1316
R
I
= 0,211 ; R
III
= 0,5
A =
Za pomocą metody:
a) wskaźników pojemności informacji,
b) współczynników korelacji wielorakiej,
wybrać zmienne objaśniające do liniowego modelu ekonometrycznego.
4.
Tapicer może produkować fotele i krzesła. Rozmiary produkcji ograniczają tylko dwa
surowce: materiały na pokrycie oraz drewno. Ze względów technologicznych produkcja krzeseł
powinna być przynajmniej 2 razy większa niż foteli. Normy zużycia tych surowców, ich zasoby (m
2
)
oraz ceny sprzedaży wyrobów przedstawia tabela. Sformułować model matematyczny zagadnienia,
przy założeniu maksymalizacji przychodów z produkcji.
Środki produkcji
fotel
krzesło
zasób
śr. produkcji
Materiały
3
1
120
Drewno
1
2
210
Cena
10
40
5. Na podstawie poniższych informacji odpowiedzieć na pytanie, która kombinacja zmiennych
objaśniających jest lepsza c
i
= (x
1
, x
3
, x
4
), czy c
j
= (x
2
, x
3
) w sensie pojemności informacji
0
,
1
55
,
0
0
,
1
4
,
0
45
,
0
0
,
1
3
,
0
5
,
0
6
,
0
R
0
1,0
R
0,55
0,80
0,76
-
0,70
6. Oszacować parametry strukturalne modelu:
2
2
1
1
0
x
x
y
, t = 1, ... , 5
5
,
13
3
12
3
14
16
12
16
44
36
1
1
-
T
,
36
36
27
y
T
,
157,02
y
y
T
a) oszacować średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu
b) ocenić dopasowanie modelu do danych statystycznych (R
2
).
7. Zakład może wytwarzać trzy rodzaje wyrobów: A, B i C. Przy produkcji tych wyrobów zużywane
są dwa rożne surowce: S
1
i S
2
, których zasoby są limitowane i wynoszą odpowiednio: 2000 i 1600 kg.
Jednostkowe normy zużycia tych surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podane są w
tabeli:
Zysk jednostkowy zrealizowany ze sprzedaży wyrobu A wynosi 4 zł, wyrobu B – 3 zł, a wyrobu C – 5
zł. Należy wyznaczyć takie wielkości produkcji poszczególnych wyrobów, aby przy podanych
ograniczeniach całkowity zysk ze sprzedaży produkowanych wyrobów był możliwie największy.
1600
2
2
1
S
21
2000
1
4
3
S
1
Zasoby
C
B
A
Wyroby
Surowce
8. Optymalizacja struktury asortymentowej produkcji
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby X i Y . Produkcja tych wyrobów wymaga nakładu
różnych środków produkcji. Część tych środków można nabyć w nieograniczonych ilościach, jednak
niektóre z nich można wykorzystać tylko w ściśle określonych granicach. Ograniczenia te są związane
np. z trudnościami natychmiastowej dostawy surowca z importu – przedsiębiorstwo dysponuje 3600
kg, możliwością zatrudnienia wykwalifikowanych pracowników – 24000 rbh, czy limitami zużycia
energii w określonych godzinach – 2800 kWh. Technologia procesów produkcyjnych określa nakład
każdego z limitowanych środków produkcji, niezbędny do wytworzenia jednostki każdego z
wyrobów. Znane są parametry zadania, czyli ceny wyrobów oraz środków produkcji.Znając zyski
jednostkowe ze sprzedaży wyrobów X i Y, które wynoszą odpowiednio: 8 i 5 zł, znaleźć optymalny
plan produkcji uwzględniający warunki ograniczające i maksymalizujący zysk ze sprzedaży. Z
dotychczasowych analiz sprzedaży wynika, że wyrobu X nie będzie można sprzedać więcej niż 350
sztuk. Wyrobu Y nie opłaca się produkować mniej niż 50 sztuk (powinno się produkować co najmniej
w ilości 50 sztuk). Zużycie surowca oraz energii na jednostkę produktu X i Y jest równe 1 jednostce
rozliczeniowej. Natomiast do wyprodukowania jednostki wyrobu X należy zużyć 20 rbh, a do
wyprodukowania jednostki wyrobu Y 10 rbh.
9. Problem diety – mieszanek. ZAGADNIENIE OPTYMALNEJ DIETY
Organizm człowieka w pewnym wieku potrzebuje określonej ilości składników odżywczych:
białka, węglowodanów i tłuszczu. Należy dostarczyć ich odpowiednią ilość zakupując w tym celu
jedynie dwa produkty: chleb i mięso. Zakładamy, że w 1 kg każdego z tych produktów zawarte są
następujące ilości tych substancji (w gramach):
Zakładamy również, że należy spożyć dziennie co najmniej 100 g białka, 100 g tłuszczu i 150 g
węglowodanów. Spożycie chleba nie może przekroczyć 1,5 kg na dzień, a spożycie tłuszczu w ilości
300 g dziennie jest szkodliwe dla zdrowia. Cena chleba wynosi 3 zł/kg, a mięsa 15 zł/kg.
10. Mając daną tablicę przepływów międzywydziałowych dla pewnego przedsiębiorstwa
wielozakładowego odpowiedzieć:
q
ij
q
i
80
100
620
160
200
140
a) czy przedsiębiorstwo będzie mogło zrealizować zamówienia odbiorców zewnętrznych na wyroby
poszczególnych zakładów, które wynoszą: dla zakładu I - 650 sztuk, dla zakładu II - 180 sztuk,
jeżeli zdolności produkcyjne poszczególnych zakładów wzrosną o: I - 10, II – 70 sztuk?
b) o ile zmienią się wielkości produkcji globalnej, jeżeli zamówienia odbiorców na produkty
poszczególnych zakładów wzrosną o: I - 30, II – 210 sztuk?
Sporządzić tablicę przepływów międzywydziałowych tego przedsiębiorstwa dla podanych w punktach
a i b sytuacji.
150
10
500
Węglowodany
100
100
Minimalne
zapotrzebowa
nie
15
3
Cena w zł/kg
200
20
Tłuszcz
100
80
Białko
Mięso
Chleb
Zawartość
w g/kg
WZORY – STATYSTYKA i EKONOMETRIA
P{
x
- u
n
S(x)
< m <
x
+ u
n
S(x)
} = 1 -
;
P{
x
- t
,s
1
n
S(x)
< m <
x
+ t
,s
1
n
S(x)
} = 1 -
,
P{S(x) - u
2n
S(x)
<
(x) < S(x) + u
2n
S(x)
} = 1 -
; P{w
i
- u
(w
i
) < p
i
< w
i
+ u
(w
i
)} = 1 -
,
P{
2
1
n
s
,
2
1
1
2
2
2
1
n
s
,
2
1
2
(x)
nS
(x)
(x)
nS
} = 1 -
;
2
=
(x)
(x)
Sˆ
1)
(n
(x)
(x)
nS
2
0
2
2
0
2
n =
)
x
(
d
(x)
S
u
2
2
2
; n =
)
x
(
d
(x)
S
ˆ
t
2
2
2
1
n
s
,
; n =
)
(p
d
q
p
u
i
2
i
i
2
=
)
(p
d
)
w
(1
w
u
i
2
i
i
2
; n =
)
(p
4d
u
i
2
2
,
u =
n
S(x)
m
x
0
; t =
1
n
S(x)
m
x
0
; u =
n
q
p
p
w
0
0
0
i
; u =
2
2
2
1
2
1
2
1
n
(x)
S
n
(x)
S
x
x
; F =
2
2
2
1
Sˆ
Sˆ
;
t =
)
n
1
n
1
(
2
n
n
(x)
S
n
(x)
S
n
x
x
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
; u =
n
q
p
w
w
2
1
;
2
1
2
1
n
n
m
m
p
;
2
1
2
1
n
n
n
n
n
,
m
1
i
ij
2
j
lj
r
1
r
h
;
m
1
i
lj
l
h
H
;
y
X
)
X
(X
a
T
1
T
;
1
-
k
-
n
y
X
a
-
y
y
1
-
k
-
n
e
e
S
T
T
T
T
2
e
;
)
(
)
(
2
i
i
a
V
S
a
S
;
2
T
T
2
T
T
T
2
)
y
(1
n
1
-
y
y
)
y
(1
n
1
-
y
X
a
R
;
Y
X
a
T
1
T
X
)
(X
;
k
1
k
n
R
1
R
F
2
2
;
i
i
i
a
S
a
t
;
100
y
e
S
e
V
j
ij
j
i
i
j
Q
q
a
Q
A
q
q
A
Q
ij
1
;
)
(I
;
)
(I