Zadania statystyka i ekonometria

1. Dany jest program:

min Z (x) = 6x

1

+ x

2

5x

1

+ x

2



5

2x

1

+ 6x

2



12

x

1



2x

2

x

1

, x

2



0

a)

rozwiązać podany program metodą graficzną,

2. Mając daną macierz współczynników technicznych dla pewnego przedsiębiorstwa

wielozakładowego:

0,6 0,4

0,3 0,5

oraz znając wielkości dotychczasowych zamówień odbiorców zewnętrznych na wyroby

poszczególnych zakładów, które wynoszą:

-dla zakładu I - 80 sztuk,
- dla zakładu II - 57 sztuk,
odpowiedzieć czy przedsiębiorstwo będzie mogło zrealizować zamówienia, jeżeli zdolności
produkcyjne poszczególnych zakładów wynoszą: I - 800, II – 600 sztuk?

a) ile zmienią się wielkości produkcji globalnej, jeżeli produkcja finalna wzrośnie dla

poszczególnych zakładów o: I - 200, II – 100 sztuk?

b) ile zmienią się wielkości produkcji finalnej, jeżeli produkcja globalna poszczególnych

zakładów wzrośnie o: I - 200, II – 100 sztuk?

Sporządzić tablice przepływów międzywydziałowych tego przedsiębiorstwa dla podanych sytuacji.

3. Oszacować parametry strukturalne modelu:

















0

1

1

2

2

x

x

y

, t = 1, ... , 6



































12

0

4

0

32

0

4

0

12

64

1

1

-

T

,

























8

3

4

y

T

,

4,5



e

e

T

a) oszacować średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu
b) ocenić dopasowanie modelu do danych statystycznych.

4 Mając następujące dane:

























5

,

0

2

,

0

2

,

0

0

R



























1

4

,

0

5

,

0

4

,

0

1

8

,

0

,5

0

8

,

0

1

R

Mając dane :
H

1

= 0,04 ; H

2

= 0,04 ; H

3

= 0,25 ; H

4

= 0,044 ; H

5

= 0,1933 ; H

6

= 0,207 ;

h

71

= 0,0174 ; h

73

= 0,1316

R

I

= 0,211 ; R

III

= 0,5

A =

Za pomocą metody:

a) wskaźników pojemności informacji,
b) współczynników korelacji wielorakiej,

wybrać zmienne objaśniające do liniowego modelu ekonometrycznego.

4.

Tapicer może produkować fotele i krzesła. Rozmiary produkcji ograniczają tylko dwa

surowce: materiały na pokrycie oraz drewno. Ze względów technologicznych produkcja krzeseł
powinna być przynajmniej 2 razy większa niż foteli. Normy zużycia tych surowców, ich zasoby (m

2

)

oraz ceny sprzedaży wyrobów przedstawia tabela. Sformułować model matematyczny zagadnienia,
przy założeniu maksymalizacji przychodów z produkcji.

Środki produkcji

fotel

krzesło

zasób

śr. produkcji

Materiały

3

1

120

Drewno

1

2

210

Cena

10

40

5. Na podstawie poniższych informacji odpowiedzieć na pytanie, która kombinacja zmiennych

objaśniających jest lepsza c

i

= (x

1

, x

3

, x

4

), czy c

j

= (x

2

, x

3

) w sensie pojemności informacji



























































0

,

1

55

,

0

0

,

1

4

,

0

45

,

0

0

,

1

3

,

0

5

,

0

6

,

0

R

0

1,0

R

0,55

0,80

0,76

-

0,70

6. Oszacować parametry strukturalne modelu:

















2

2

1

1

0

x

x

y

, t = 1, ... , 5











































5

,

13

3

12

3

14

16

12

16

44

36

1

1

-

T

,

























36

36

27

y

T

,

157,02



y

y

T

a) oszacować średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu
b) ocenić dopasowanie modelu do danych statystycznych (R

2

).

7. Zakład może wytwarzać trzy rodzaje wyrobów: A, B i C. Przy produkcji tych wyrobów zużywane
są dwa rożne surowce: S

1

i S

2

, których zasoby są limitowane i wynoszą odpowiednio: 2000 i 1600 kg.

Jednostkowe normy zużycia tych surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podane są w
tabeli:








Zysk jednostkowy zrealizowany ze sprzedaży wyrobu A wynosi 4 zł, wyrobu B – 3 zł, a wyrobu C – 5
zł. Należy wyznaczyć takie wielkości produkcji poszczególnych wyrobów, aby przy podanych
ograniczeniach całkowity zysk ze sprzedaży produkowanych wyrobów był możliwie największy.

1600

2

2

1

S

21

2000

1

4

3

S

1

Zasoby

C

B

A

Wyroby
Surowce

8. Optymalizacja struktury asortymentowej produkcji

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby X i Y . Produkcja tych wyrobów wymaga nakładu

różnych środków produkcji. Część tych środków można nabyć w nieograniczonych ilościach, jednak
niektóre z nich można wykorzystać tylko w ściśle określonych granicach. Ograniczenia te są związane
np. z trudnościami natychmiastowej dostawy surowca z importu – przedsiębiorstwo dysponuje 3600
kg, możliwością zatrudnienia wykwalifikowanych pracowników – 24000 rbh, czy limitami zużycia
energii w określonych godzinach – 2800 kWh. Technologia procesów produkcyjnych określa nakład
każdego z limitowanych środków produkcji, niezbędny do wytworzenia jednostki każdego z
wyrobów. Znane są parametry zadania, czyli ceny wyrobów oraz środków produkcji.Znając zyski
jednostkowe ze sprzedaży wyrobów X i Y, które wynoszą odpowiednio: 8 i 5 zł, znaleźć optymalny
plan produkcji uwzględniający warunki ograniczające i maksymalizujący zysk ze sprzedaży. Z
dotychczasowych analiz sprzedaży wynika, że wyrobu X nie będzie można sprzedać więcej niż 350
sztuk. Wyrobu Y nie opłaca się produkować mniej niż 50 sztuk (powinno się produkować co najmniej
w ilości 50 sztuk). Zużycie surowca oraz energii na jednostkę produktu X i Y jest równe 1 jednostce
rozliczeniowej. Natomiast do wyprodukowania jednostki wyrobu X należy zużyć 20 rbh, a do
wyprodukowania jednostki wyrobu Y 10 rbh.

9. Problem diety – mieszanek. ZAGADNIENIE OPTYMALNEJ DIETY

Organizm człowieka w pewnym wieku potrzebuje określonej ilości składników odżywczych:

białka, węglowodanów i tłuszczu. Należy dostarczyć ich odpowiednią ilość zakupując w tym celu
jedynie dwa produkty: chleb i mięso. Zakładamy, że w 1 kg każdego z tych produktów zawarte są
następujące ilości tych substancji (w gramach):













Zakładamy również, że należy spożyć dziennie co najmniej 100 g białka, 100 g tłuszczu i 150 g
węglowodanów. Spożycie chleba nie może przekroczyć 1,5 kg na dzień, a spożycie tłuszczu w ilości
300 g dziennie jest szkodliwe dla zdrowia. Cena chleba wynosi 3 zł/kg, a mięsa 15 zł/kg.

10. Mając daną tablicę przepływów międzywydziałowych dla pewnego przedsiębiorstwa
wielozakładowego odpowiedzieć:

q

ij

q

i

80

100

620

160

200

140

a) czy przedsiębiorstwo będzie mogło zrealizować zamówienia odbiorców zewnętrznych na wyroby

poszczególnych zakładów, które wynoszą: dla zakładu I - 650 sztuk, dla zakładu II - 180 sztuk,
jeżeli zdolności produkcyjne poszczególnych zakładów wzrosną o: I - 10, II – 70 sztuk?

b) o ile zmienią się wielkości produkcji globalnej, jeżeli zamówienia odbiorców na produkty

poszczególnych zakładów wzrosną o: I - 30, II – 210 sztuk?

Sporządzić tablicę przepływów międzywydziałowych tego przedsiębiorstwa dla podanych w punktach
a i b sytuacji.

150

10

500

Węglowodany

100

100

Minimalne

zapotrzebowa

nie

15

3

Cena w zł/kg

200

20

Tłuszcz

100

80

Białko

Mięso

Chleb

Zawartość

w g/kg

WZORY – STATYSTYKA i EKONOMETRIA

P{

x

- u



n

S(x)

< m <

x

+ u



n

S(x)

} = 1 -



;

P{

x

- t



,s

1

n

S(x)



< m <

x

+ t



,s

1

n

S(x)



} = 1 -



,

P{S(x) - u



2n

S(x)

<



(x) < S(x) + u



2n

S(x)

} = 1 -



; P{w

i

- u





(w

i

) < p

i

< w

i

+ u





(w

i

)} = 1 -



,

P{

2

1

n

s

,

2

1

1

2

2

2

1

n

s

,

2

1

2

(x)

nS

(x)

(x)

nS

























} = 1 -



;



2

=

(x)

(x)

Sˆ

1)

(n

(x)

(x)

nS

2
0

2

2
0

2









n =

)

x

(

d

(x)

S

u

2

2

2



; n =

)

x

(

d

(x)

S

ˆ

t

2

2

2

1

n

s

,







; n =

)

(p

d

q

p

u

i

2

i

i

2



=

)

(p

d

)

w

(1

w

u

i

2

i

i

2





; n =

)

(p

4d

u

i

2

2



,

u =

n

S(x)

m

x

0



; t =

1

n

S(x)

m

x

0





; u =

n

q

p

p

w

0

0

0

i



; u =

2

2
2

1

2

1

2

1

n

(x)

S

n

(x)

S

x

x





; F =

2

2

2

1

Sˆ

Sˆ

;

t =

)

n

1

n

1

(

2

n

n

(x)

S

n

(x)

S

n

x

x

2

1

2

1

2
2

2

2

1

1

2

1











; u =

n

q

p

w

w

2

1



;

2

1

2

1

n

n

m

m

p







;

2

1

2

1

n

n

n

n

n





,









m

1

i

ij

2

j

lj

r

1

r

h

;







m

1

i

lj

l

h

H

;

y

X

)

X

(X

a

T

1

T





;

1

-

k

-

n

y

X

a

-

y

y

1

-

k

-

n

e

e

S

T

T

T

T

2

e





;

)

(

)

(

2

i

i

a

V

S

a

S





;

2

T

T

2

T

T

T

2

)

y

(1

n

1

-

y

y

)

y

(1

n

1

-

y

X

a

R



;

Y

X

a

T

1

T

X

)

(X





;

k

1

k

n

R

1

R

F

2

2











;

 

i

i

i

a

S

a

t



;

100

y

e

S

e

V



j

ij

j

i

i

j

Q

q

a

Q

A

q

q

A

Q













ij

1

;

)

(I

;

)

(I