Â

WIAT

N

AUKI

Marzec 1997 85

K

wadraty magiczne, w których
ka˝da kolumna, wiersz i prze-
kàtna po zsumowaniu dajà t´

samà liczb´, sà od dawna chlebem po-
wszednim matematyki rekreacyjnej.
Wed∏ug chiƒskiej legendy najprostszy
przyk∏ad

objawiony zosta∏ cesarzowi Yü na
grzbiecie ˝ó∏wia w XXIII wieku p.n.e.
Wspólna suma albo inaczej „sta∏a ma-
giczna” kwadratu jest równa 15, a jego
wielkoÊç, czyli „rzàd”, wynosi trzy.
Istniejà kwadraty magiczne wszyst-
kich wy˝szych rz´dów, a tak˝e multum
uogólnieƒ – magiczne kostki, szeÊcio-
kàty, oÊmiokàty, ko∏a itp.

Wydawa∏oby si´, ˝e o tego typu kon-

strukcjach wszystko zosta∏o ju˝ dawno
powiedziane. Ale 10 lat temu Lee Sal-
lows wymyÊli∏ zupe∏nie coÊ nowego –
kwadrat alfamagiczny. Sallows jest eks-
pertem w grach s∏ownych, specjalizuje
si´ w ∏àczeniu tych gier z matematykà
rekreacyjnà. Innym jego wynalazkiem
jest „nowa numerologia”, którà przed-
stawia∏em w tej rubryce [Âwiat Nauki,
maj 1994].

Mój opis jest oparty na dwóch artyku-

∏ach Sallowsa z The Lighter Side of Mathe-
matics pod redakcjà Richarda K. Guya
i Roberta E. Woodrowa (Mathematical
Association of America, 1994). Koncepcja
jest intrygujàca. A oto przyk∏ad:

JeÊli s∏owa zamienimy na liczby,

otrzymujemy zwyk∏y kwadrat magicz-
ny o sta∏ej 45. Ale jeÊli zamiast tego po-
liczymy litery w ka˝dym s∏owie (pomi-
jajàc dywizy), to otrzymamy kwadrat

– tak˝e magiczny, lecz ze sta∏à 21.

Sallows opracowa∏ ogólnà teori´ ta-

kich konstrukcji. Zaczyna od zdefinio-
wania log(x) – „logorytmu” liczby x ja-

ko liczby liter sk∏adajàcych si´ na s∏ow-
ny ekwiwalent x. (Sallows po∏àczy∏ grec-
kie logos, które znaczy „s∏owo”, z arith-
mos oznaczajàcym liczb´ w „logo-
rytm”.) Dana liczba ma ró˝ne logoryt-
my w ró˝nych j´zykach; pozostaƒmy
jednak przy angielskim.

Czy potrafimy znaleêç jeszcze inne

kwadraty alfamagiczne? OczywiÊcie,
ale raczej w sposób trywialny: gdy na
poczàtek ka˝dej liczby z kwadratu do-
damy „one million” (jeden milion). Sta-
∏a magiczna kwadratu powi´kszy si´
o trzy miliony, a sta∏a logorytmicznego
kwadratu pochodnego, otrzymanego
w wyniku zastàpienia ka˝dej liczby
przez jej logorytm, wzroÊnie o potrojo-
nà liczb´ liter w „one million and”, tj.
o 3 x 13 = 39. Tak wi´c istnieje nieskoƒ-
czenie wiele rozszerzeƒ kwadratów al-
famagicznych (rz´du trzy). Sallows na-
zywa takie kwadraty „harmoniczny-
mi” z kwadratem wyjÊciowym i w za-
sadny sposób odrzuca je jako ma∏o istot-
nà modyfikacj´.

Czy istniejà jakieÊ inne ciekawsze wa-

rianty? W XIX wieku francuski mate-
matyk ƒdouard Lucas wymyÊli∏ wzór
na dowolny kwadrat magiczny 3 x 3 (al-
bo: trzy na trzy):

Jego sta∏a jest równa 3a. JeÊli pod a,

b, c wstawimy dowolne wartoÊci, to za-
wsze otrzymamy kwadrat magiczny –
co wi´cej, w ten sposób mo˝na uzyskaç
dowolny kwadrat magiczny rz´du trzy.
Zauwa˝my, ˝e ka˝da linia przechodzà-
ca przez Êrodek kwadratu tworzy ciàg
arytmetyczny, w którym ró˝nice pomi´-
dzy kolejnymi wyrazami sà sta∏e. A za-
tem by znaleêç kwadrat alfamagiczny,
warto zaczàç od szukania trzech kolej-
nych wyrazów ciàgu arytmetycznego,
takich ˝eby odpowiadajàcy ciàg logo-
rytmiczny by∏ tak˝e arytmetyczny.

Najpierw umieÊçmy w Êrodku liczb´

15, poniewa˝ ju˝ wiemy, ˝e istnieje
jeden taki kwadrat alfamagiczny. Wte-
dy tablica logorytmiczna daje nam
pi´ç mo˝liwych trójek, a mianowicie
(2,15,28), (5,15,25), (8,15,22), (11,15,19)
oraz (12,15,18). Nast´pnie sprawdzamy
mo˝liwe u∏o˝enia tych trójek na prze-

kàtnych. JeÊli na przyk∏ad u˝yjemy
pierwszych dwóch, to otrzymamy

Wzór Lucasa mówi nam, ˝e magicz-

na sta∏a dowolnego kwadratu magiczne-
go rz´du trzy jest równa potrojonemu
Êrodkowemu wyrazowi, a zatem kwa-
drat z liczbà 15 w Êrodku ma sta∏à ma-
gicznà 45. Tak wi´c mo˝emy uzupe∏niç
ten kwadrat tylko w jeden sposób:

Mo˝emy albo odrzuciç ten kwadrat,

poniewa˝ pojawia si´ wyraz ujemny –8,
albo zapisaç ten wyraz jako „minus
eight” (minus osiem) o logorytmie 10.
W tym przypadku pochodny kwadrat
logorytmiczny przyjmie postaç:

Ale ten kwadrat nie jest magiczny.

Eksperymentujàc z innymi parami cià-
gów, szybko otrzymujemy nowy kwa-
drat alfamagiczny; jest to Êwietny pro-
blem na rozgrzewk´ (rozwiàzanie po-
daj´ na koƒcu artyku∏u).

A co dzieje si´ w przypadku, gdy licz-

ba w Êrodku kwadratu nie jest równa
15? Sallows napisa∏ program kompu-
terowy, który wyszukiwa∏ inne kwa-

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Kwadraty alfamagiczne

4

9

2

3

5

7

8

1

6

five twenty-two

eighteen

twenty-eight

fifteen two

twelve

eight twenty-five

a + b

a – b – c

a + c

a – b + c

a

a + b – c

a – c

a + b + c

a – b

4

9

8

11 7

3

6

5

10

2

25

15

5

28

2

18 25

38 15 –8
5

12 28

3

8

10

11 7

10

4

6

11

MAGICZNY KWADRAT rz´du 4 ze s∏ynnej

grafiki Albrechta Dürera Melancholia I.

VICTORIA I ALBERT MUSEUM, LONDYN/ART RESOURCE, NOWY JORK

86 Â

WIAT

N

AUKI

Marzec 1997

draty rz´du trzy i znalaz∏ ich wiele. Na
przyk∏ad:

W t´ samà gr´ mo˝na si´ bawiç, u˝y-

wajàc innych j´zyków. Poni˝ej podaje-
my przyk∏ady w j´zyku suahili, walij-
skim, francuskim oraz niemieckim. Za
pomocà liczb do 100 Sallows znalaz∏
kwadraty alfamagiczne w 19 j´zykach,
ale ˝adnego w ∏acinie i w duƒskim.

W j´zyku francuskim istnieje dok∏ad-

nie jeden kwadrat alfamagiczny dla
liczb do 200, ale jest ich o 255 wi´cej, je-
Êli na∏o˝ymy warunek, by wyrazy w
kwadracie by∏y mniejsze od 300. Trzy
z nich majà logorytmy tworzàce ciàgi
kolejnych liczb. Jeden zosta∏ przedsta-
wiony w ramce.

W niemieckim mamy a˝ 221 przyk∏a-

dów zbudowanych za pomocà liczb
mniejszych od 100 – jeden z nich przed-
stawiamy w ramce. Mo˝na ∏atwo za-
uwa˝yç podstawowà zasad´ konstruk-

cji: jeÊli odetniemy sylaby „und” oraz
„zig” i zastàpimy otrzymane w ten spo-
sób wyrazy liczbami, to uzyskamy:

Pierwszà cyfr´ zapisa∏em na czerwo-

no, poniewa˝ musi byç pomno˝ona
przez 10, ˝eby otrzymaç jej prawdziwy
wk∏ad do wartoÊci numerycznej – na
przyk∏ad „

fünf-und-

vierzig

”, co zna-

czy

pi´ç-i-

czterdzieÊci

. Teraz rozbijmy

to na niebieskie i czerwone sk∏adowe:

Ka˝dy z tych kwadratów jest tzw.

kwadratem ∏aciƒskim, w którym te sa-
me trzy liczby pojawiajà si´ w ka˝dym
rz´dzie i kolumnie, tak wi´c rz´dy i ko-
lumny sà w sposób oczywisty magicz-
ne. Co wi´cej, przekàtne tak˝e sà ma-
giczne. Nic si´ pod tym wzgl´dem nie

zmienia, gdy wyrazy kwadratu pomno-
˝ymy przez 10 i gdy dwa takie kwadra-
ty „dodamy” do siebie. Poniewa˝ ka˝-
dy wyraz w kwadracie ma ten sam
logorytm – 14, to kwadrat pierwotny
automatycznie jest alfamagiczny.

A co si´ dzieje w przypadku kwadra-

tów wy˝szych rz´dów? Sztuczka z orto-
gonalnymi kwadratami magicznymi
tak˝e si´ dobrze sprawdza. Na przyk∏ad
kwadrat z liczbowymi wyrazami

w j´zyku angielskim jest alfamagiczny.
Niebieskie cyfry tworzà kwadrat ∏aciƒ-
ski rz´du cztery, podobnie cyfry czer-
wone, a regularnoÊç angielskich nazw
liczb pomi´dzy 20 i 99 daje reszt´. Sal-
lows nazywa takie przyk∏ady „z∏otem
g∏upców”, poniewa˝ mo˝na je bardzo
∏atwo znaleêç.

Prawdziwe z∏oto to bardziej wyjàtko-

we przyk∏ady, takie jak

Czy istniejà jakieÊ nie rozwiàzane pro-

blemy w tej dziedzinie? Podam trzy
z nich, mo˝na próbowaç je rozwiàzaç
w dowolnym j´zyku.

1. „Normalny „kwadrat wykorzy-

stuje kolejne liczby ca∏kowite, zaczyna-
jàc od 1. Dla rz´du trzy jest tylko jeden
taki magiczny kwadrat (jeÊli pominie-
my jego obroty i odbicia), ale nie jest on
alfamagiczny. Co si´ dzieje w przypad-
ku rz´du cztery? Liczba wszystkich liter
w nazwach liczb „one, two,..., sixteen”
wynosi 81. A zatem magiczna sta∏a po-
chodnego kwadratu logorytmicznego
musi wynosiç

81

/

4

, co nie jest liczbà ca∏-

kowità, a wi´c normalny alfamagiczny
kwadrat rz´du cztery nie mo˝e istnieç.
Podobne rozumowanie prowadzi do
wniosku, ˝e 14 jest najmniejszym mo˝-
liwym rz´dem normalnego kwadratu
alfamagicznego, a jego magiczna sta∏a
musi wynosiç 189. Wydaje si´, ˝e nikt
nie wie, czy taki kwadrat rzeczywiÊcie
istnieje, i w∏aÊnie to stanowi problem.

2. Czy istnieje alfamagiczna kostka

o wymiarach 3 x 3 x 3?

3. Pochodna logorytmiczna prowa-

dzi od jednego kwadratowego uk∏adu
liczb do drugiego i mo˝na t´ operacj´
powtórzyç, otrzymujàc drugà pochod-

15

72

48

78

45

12

42

18

75

4

5

6

2

5

8

6

8

5

5

4

2

5

2

4

8

6

5

31

23

8

15

17

5

21

34

26

38

13

0

3

11

35

28

2

6

3

7

4

8

5

9

4

9

5

8

2

7

3

6

5

7

4

6

3

9

2

8

3

8

2

9

5

6

4

7

4

6

5

6

5

4

5

4

6

5

2

8

8

5

2

2

8

5

Mi´dzynarodowa alfamagia

Pierwsze liczby w nawiasach sà numerycznà wartoÊcià s∏owa, drugie – jego logorytmem.

SUAHILI
arobaini na tano

sitini na saba

hamsini na tisa

(45,14)

(67,12)

(59,13)

sabini na moja

hamsini na saba

arobaini na tatu

(71,12)

(57,13)

(43,14)

hamsini na tano

arobaini na saba

sitini na tisa

(55,13)

(47,14)

(69,12)

WALIJSKI
chwech deg dau

wyth deg

saith deg pedwar

(62,12)

(80,7)

(74,14)

wyth deg pedwar

saith deg dau

chwech deg

(84,13)

(72,11)

(60,9)

saith deg

chwech deg pedwar

wyth deg dau

(70,8)

(64,15)

(82,10)

FRANCUSKI
quinze

deux cent six

cent quinze

(15,6)

(206,11)

(115,10)

deux cent douze

cent douze

douze

(212,13)

(112,9)

(12,5)

cent neuf

dix-huit

deux cent neuf

(109,8)

(18,7)

(209,12)

NIEMIECKI
fünfundvierzig

zweiundsechzig

achtundfünfzig

(45,14)

(62,14)

(58,14)

achtundsechzig

fünfundfünfzig

zweiundvierzig

(68,14)

(55,14)

(42,14)

zweiundfünfzig

achtundvierzig

fünfundsechzig

(52,14)

(48,14)

(65,14)

Â

WIAT

N

AUKI

Marzec 1997 87

ROZWIÑZANIE PROBLEMU

NA ROZGRZEWK¢

W

cià˝ otrzymuj´ listy dotyczàce
liczb Padovana [Âwiat Nauki,

sierpieƒ 1996], tak wi´c raz jeszcze
do nich wracam. Przypomnijmy so-
bie, ˝e sà to liczby z ciàgu 2, 2, 3, 4,
5, 7, 9, 12, 16, 21,..., w którym kolej-
ny wyraz otrzymujemy, dodajàc do
siebie wyraz przedostatni i wyraz go
poprzedzajàcy. Sà one podobne do
bardziej znanych liczb Fibonacciego:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., w którym to
ciàgu ka˝dy wyraz jest sumà dwóch
wyrazów poprzedzajàcych. Pyta∏em,
czy istniejà jakieÊ liczby inne ni˝ 2, 3,
5 oraz 21, które sà jednoczeÊnie licz-
bami Padovana i Fibonacciego.

W sierpniu otrzyma∏em e-mail od

Benjamina de Wegera z Barcelony,
w którym twierdzi∏, ˝e potrafi udowod-
niç, i˝ nie istniejà ˝adne inne takie
liczby, i pyta∏, czy warto na to poÊwi´-
ciç dwa dni. Nim mu zdo∏a∏em odpo-
wiedzieç, poinformowa∏ mnie, ˝e po-
Êwi´ci∏ trzy dni i znalaz∏ sposób na
podanie listy wszystkich przypadków,
w których liczba Fibonacciego ró˝ni
si´ od liczby Padovana o mniej ni˝
milion. Jak napisa∏, dowody sà „ruty-
nowym zastosowaniem metody Ba-
kera form liniowych w logarytmach
liczb algebraicznych oraz obliczenio-
wej techniki przybli˝enia diofantycz-
nego”. Dla kogo rutynowe, dla tego
rutynowe...

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE

8

19

18

25

15

5

12

11

22

nà logorytmicznà itd. Do jakiego mo-
mentu mo˝emy kontynuowaç ten pro-
ces, otrzymujàc za ka˝dym razem ma-
giczny kwadrat? U podstaw tego pytania
le˝y przyk∏ad rozwa˝anego wy˝ej alfa-
magicznego kwadratu w j´zyku niemiec-
kim. Wszystkie wyrazy jego logoryt-
micznej pochodnej sà równe 14 i jest on
w sposób trywialny magiczny. Jego dru-
ga logorytmiczna pochodna ma wszyst-
kie wyrazy równe 8 itd. Czy jednak ist-
niejà jakieÊ przyk∏ady „rekursywnie
magicznych” kwadratów, których logo-
rytmiczne pochodne nie majà wszyst-
kich wyrazów takich samych?

T∏umaczyli

Zdzis∏aw Pogoda i Robert Wolak

Konkurs na doÊwiadczenia pokazowe

z fizyki rozstrzygni´ty!

5 grudnia 1996 roku odby∏ si´ fina∏ og∏oszonego wiosnà tego˝ roku

I ogólnopolskiego konkursu na doÊwiadczenie pokazowe z fizyki,
zorganizowanego przez Oddzia∏ Krakowski PTF i Instytut Fizyki UJ, który
ufundowa∏ hojne nagrody pieni´˝ne. Mimo krótkiego terminu na konkurs
nap∏yn´∏y prace od 39 autorów z ca∏ej Polski, a nawet z Wiednia. Wielu
z nich nades∏a∏o kilka propozycji doÊwiadczeƒ. WÊród autorów byli
nauczyciele wszystkich rodzajów szkó∏ (od podstawowych po wy˝sze), a
tak˝e uczniowie.

Projekty rozpatrywa∏a 16-osobowa komisja konkursowa z∏o˝ona z

przedstawicieli organizatorów, cz∏onków krakowskiego Êrodowiska fizyki
oraz Wojewódzkiego OÊrodka Metodycznego w Krakowie. W finale dzia∏a∏o
jury w sk∏adzie: Wies∏aw B∏asiak (WSP), Wojciech Gawlik (UJ), Zofia
Go∏àb-Meyer (UJ), Józef MoÊcicki (UJ), Kazimierz Przew∏ocki (AGH),
Krzysztof Sokalski (UJ), Krzysztof Tomala (UJ), Jacek Turnau (IFJ),
Bronis∏aw Zajàczkowski (PK).

Wyniki konkursu:

I nagroda (800 z∏)

Jan Tokar (Krowiarki k. Raciborza)

za cykl doÊwiadczeƒ z elektrycznoÊci i magnetyzmu wykorzystujàcy

wskaêniki przep∏ywu pràdu z diod luminescencyjnych

II nagroda (300 z∏)

Marek Go∏àb (Pracownia Pokazów IF UJ)

za demonstracje ró˝nej zale˝noÊci wspó∏czynnika lepkoÊci cieczy

i gazów od temperatury

III nagroda (300 z∏)

Adam Starnawski (Pracownia Pokazów IF UJ)

za demonstracj´ z zakresu elektrostatyki (model generatora

Van de Graaffa)

IV miejsce

Tadeusz SkoÊkiewicz (Instytut Fizyki PAN

i Szko∏a Nauk Âcis∏ych w Warszawie)

za pokaz indukcji elektromagnetycznej i regu∏y Lenza przy ruchu

magnesu w rurkach wykonanych z metali o ró˝nym przewodnictwie

V miejsce

Jerzy Mucha (Pracownia Pokazów IF UJ)

za demonstracj´ fali stojàcych w napi´tym i rozgrzanym przez

przep∏yw pràdu drucie

Jury przyzna∏o ponadto trzy wyró˝nienia autorom, których propozycje

– choç nie ca∏kiem odpowiada∏y warunkom konkursu – mia∏y jednak bez-
sporne walory dydaktyczne. Otrzymali je: Krzysztof Tabaszewski (Za-
k∏ad Dydaktyki Fizyki UW) za zestaw umo˝liwiajàcy demonstracj´ praw dy-
namiki uczniom niewidomym, Kazimierz Mikulski (Zespó∏ Szkó∏
Elektronicznych w Bydgoszczy) za zestaw kilkunastu çwiczeƒ laboratoryj-
nych dotyczàcych fotoogniw, Wojciech i Tadeusz Dindorf (Szko∏a Euro-
pejska w Wiedniu) za ksià˝eczk´ pt. The Sun on the Floor, obejmujàcà kil-
kadziesiàt prostych, „domowych” doÊwiadczeƒ i pokazów.

Prof. dr Wojciech Gawlik

Przewodniczàcy Komisji Konkursu