958

MECHANIK NR 12/2011

* Prof. dr hab. inż. Stanisław Adamczak, dr h.c. multi; dr hab. inż.

Dariusz Janecki, prof. PŚk; dr inż. Krzysztof Stępień - Politechnika
Świętokrzyska

Badanie metod pomiaru i oceny błędów kształtu

kulistych części maszyn

STANISŁAW ADAMCZAK
DARIUSZ JANECKI
KRZYSZTOF STĘPIEŃ *

Przedstawiono aktualny stan wiedzy na temat pomiarów
i analizy zarysów kulistości części maszyn. Podano pod-
stawowe założenia opracowanej koncepcji pomiaru, a tak-
że zależności matematyczne służące do modelowania
i oceny odchyłek kulistości części maszyn. Rozważania
teoretyczne uzupełniono przykładem praktycznym.

W dotychczasowej praktyce błędy kształtu kulistych

części maszyn były oceniane na podstawie wyników
pomiarów zarysów okrągłości w kilku wybranych prze-
krojach badanego elementu. Takie podejście umożliwia
jedynie pobieżną ocenę błędów kształtu, zwłaszcza jeśli
na badanej powierzchni występują znaczne lokalne nieró-
wności. Dlatego w Politechnice Świętokrzyskiej w Kiel-
cach opracowana została koncepcja pomiaru zarysów
okrągłości wzdłuż trajektorii tak dobranych, aby umoż-
liwiały dokładne pokrycie mierzonej powierzchni siatką
punktów. Można to osiągnąć, np. przez pomiar zarysów
okrągłości w wielu równomiernie rozmieszczonych prze-
krojach poprzecznych, w dwóch położeniach kuli – obra-
canej o 90

° wokół osi pionowej (pokrywającej się z osią

wrzeciona przyrządu). Pomiar taki jest możliwy do prze-
prowadzenia za pomocą typowego przyrządu do pomiaru
okrągłości metodą promieniową, wyposażonego w od-
powiednie oprzyrządowanie do kontrolowanej zmiany po-
łożenia mierzonego elementu. Zaproponowana koncep-
cja wymagała opracowania modelu matematycznego ta-
kiego pomiaru oraz zaprojektowania układu do kontrolo-
wanego pozycjonowania mierzonej kuli.

Dotychczas stosowane metody pomiaru
i oceny odchyłek kulistości

Istniejące, przemysłowe dokumenty normalizacyjne

opisują następującą strategię pomiaru elementów kulis-
tych: mierzone są zarysy okrągłości w trzech wzajemnie
prostopadłych przekrojach badanej części. Wyniki po-
miarów nanoszone są następnie na wykresy biegunowe,
a na ich podstawie określa się w przybliżeniu odchyłkę
kulistości. Taka metoda daje jedynie przybliżone wyniki,
gdyż znaczna część powierzchni elementu nie jest ba-
dana. Zazwyczaj pomiary są przeprowadzane na przy-
rządach do pomiaru zmian promienia. W przyrządach
takich mierzona część jest umieszczona na stole pomia-
rowym, który – w zależności od konstrukcji przyrządu –
może się obracać lub nie. W przypadku nieruchomego
stołu elementem obracającym się jest czujnik pomia-
rowy [1].

Wraz z rozwojem metrologii prowadzone są także

prace nad zastosowaniem innych metod pomiaru od-
chyłek kulistości. Wiele ośrodków badawczych zajmuje

się problemem zastosowania do tego celu techniki współ-
rzędnościowej. Biorąc pod uwagę dynamiczny rozwój tej
dziedziny metrologii można przypuszczać, że pomiar za
pomocą współrzędnościowych maszyn pomiarowych bę-
dzie w przyszłości jedną z wiodących metod oceny od-
chyłki kulistości, a także innych odchyłek kształtu. Obec-
nie współrzędnościowe maszyny pomiarowe nie oferują
jednak dokładności pomiaru zadowalającej producentów
precyzyjnych części maszyn (np. w przemyśle łożysko-
wym).

Spośród innych, opisanych w literaturze, metod po-

miaru elementów kulistych, oryginalnością wyróżnia się
koncepcja opisana w pracy [2]. Opiera się ona na wyko-
rzystaniu tzw. metody trójpunktowej. Koncepcja ta cha-
rakteryzuje się tym, że elementem geometrycznym,
względem którego dokonywana jest rejestracja sygnału
pomiarowego nie jest oś wrzeciona przyrządu, lecz sa-
ma powierzchnia mierzonego elementu. Jej zaletą jest
to, że na mierzony sygnał nie wpływają błędy wrzeciona.
Najpoważniejszą wadą jest zaś fakt, że niezależnie od
przyjętego wzajemnego rozmieszczenia punktów pod-
parcia przedmiotu oraz czujnika pomiarowego, pewne
składowe harmoniczne nie zostaną wykryte przez układ
pomiarowy.

Inną, intensywnie badaną koncepcją pomiaru elemen-

tów kulistych są metody optyczne [3]. Wciąż relatywnie
niewielka dokładność tych metod powoduje jednak, że nie
mogą być one stosowane w dokładnych pomiarach od-
chyłek kulistości części maszyn.

Oprócz prac nad metodami pomiaru odchyłek kulisto-

ści, w wielu ośrodkach naukowo-badawczych prowa-
dzone są badania nad metodami ich oceny. Zazwyczaj
w ocenie odchyłek kulistości stosuje się metodologię
podobną do stosowanej przy pomiarach odchyłek okrąg-
łości, przy czym elementy i parametry dwuwymiarowe
w przypadku pomiaru okrągłości zastępowane są trój-
wymiarowymi przy pomiarze kulistości. Np. jeśli elemen-
tem odniesienia w przypadku pomiaru odchyłki okrągłości
są okręgi minimalnej strefy, to dla pomiaru odchyłki kulis-
tości będą to sfery minimalnej strefy [4].

Badania na temat oceny odchyłek kulistości obejmują

m.in. obliczanie różnego rodzaju elementów odniesie-
nia na podstawie danych pomiarowych. Stosowane są
przy tym różnorakie podejścia. Dość często są to meto-
dy numeryczne, szczególnie w odniesieniu do danych
pomiarowych uzyskanych ze współrzędnościowych ma-
szyn pomiarowych [4, 5]. Inną metodą oceny obliczania
elementów odniesienia w przypadku pomiarów kulis-
tości jest zastosowanie technik geometrii obliczeniowej.
Wykorzystują one najczęściej tzw. diagramy Woronoja
[6, 7].

W literaturze opisywana jest także metoda oceny od-

chyłek kulistości z wykorzystaniem teorii minimum energii
potencjalnej [8] oraz analizy parametrów statystycznych [1].

MECHANIK NR 12/2011

959

Rys. 1.

Preferowana

strategia pomiaru kuli

Proponowana koncepcja pomiaru odchyłek kulistości

Na podstawie analizy źródeł literatury na temat pomia-

rów odchyłek kulistości oraz przy wykorzystaniu doświad-
czenia uzyskanego podczas badań nad dokładnymi po-
miarami odchyłek okrągłości i walcowości w Politechnice
Świętokrzyskiej w Kielcach opracowana została koncep-
cja badań nad dokładnymi pomiarami odchyłek kulistości.
Prowadzone badania podzielono na część teoretyczno-
-symulacyjną oraz eksperymentalną. Część teoretyczna
dotyczyła następujących zagadnień:

zdefiniowania przykładowej powierzchni sferycznej,

wyboru odpowiedniej strategii pomiarowej,

wygenerowania zarysów i ich złożenia,

filtracji zarysów,

wyznaczenia sfery odniesienia,

wyznaczenia parametrów kulistości,

aproksymacji zmierzonego zarysu za pomocą powie-

rzchni.

Przeanalizowano różne strategie pomiarowe, dające

możliwość dokładnego pokrycia mierzonej powierzchni
siatką punktów. Na podstawie przeprowadzonych ana-
liz, a także biorąc pod uwagę możliwości przyrządu
pomiarowego, przyjęto, że preferowaną strategią będzie
tzw. metoda kombinowana. Polega ona na pomiarze
zarysów okrągłości w kilku równomiernie rozmieszczo-
nych przekrojach poprzecznych, wykonanych w dwóch
położeniach kuli – obracanej o 90

° wokół osi pionowej

(pokrywającej się z osią wrzeciona przyrządu). Powsta-
nie w ten sposób siatka punktów pomiarowych pokaza-
na na rys. 1.

Matematyczne modelowanie odchyłek kulistości.

Równanie powierzchni nieidealnie sferycznej można zapi-
sać tzw. funkcją harmoniczną na sferze [9]. Odchyłki są
odpowiednikiem rozkładu funkcji okresowych w szereg
Fouriera, a za ich pomocą równanie powierzchni sferycz-
nej z odchyłkami kształtu można zapisać jako:

(1)

przy czym:

(2)

(3)

960

MECHANIK NR 12/2011

Rys. 2. Układ współ-
rzędnych

przyjęty

przy obliczaniu para-
metrów sfery odnie-
sienia

Rys. 3. Powierzchnia
sferyczna wygenero-
wana do badań sy-
mulacyjnych

Wyrażenia

P

n

k

(cos

θ)

w równaniach (2 i 3) są tzw.

stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a opisanymi rów-
naniem (4):

(4)

natomiast

P

k

(cos

θ)

są wielomianami Legendre’a liczo-

nymi zależnością:

(5)

Dzięki powyższym zależnościom można dowolnie mo-

delować odchyłki kształtu powierzchni kulistej.

Obliczanie parametrów sfery odniesienia.

W celu

rozwiązania zagadnienia obliczania parametrów sfery od-
niesienia przyjęty został układ współrzędnych kartezjań-
skich

XYZ o początku w punkcie 0. Początek układu

stanowi jednocześnie środek nominalnej sfery (rys. 2).

Ponieważ do pomiaru kuli zastosowano metodę pro-

mieniową, można przyjąć, że układ

XYZ jest zaczepiony

na stole pomiarowym, a płaszczyzna

XY tego układu

pokrywa się z płaszczyzną, w której będą wykonywane
kolejne pomiary zarysów okrągłości. Położenie dowol-
nego punktu kuli może być opisane za pomocą współ-
rzędnych kartezjańskich

X, Y oraz Z. Jednak w roz-

ważanym przypadku wygodniejsze będzie stosowanie
współrzędnych sferycznych

R,

θ, ϕ

, przy czym

θ ∈0, π >

i

ϕ ∈0, 2π >

. Współrzędna

R jest oczywiście odległością

danego punktu od początku układu współrzędnych,

θ to

kąt między osią

Z i prostą przechodzącą przez dany

punkt i początek układu, natomiast

ϕ jest kątem między

rzutem punktu na płaszczyznę

XY i osią X.

W celu obliczenia odchyłek kształtu mierzonej powierz-

chni niezbędne jest określenie parametrów tzw. sfery
odniesienia. Zakładając, że promień analizowanej powie-
rzchni sferycznej jest znacznie większy niż współrzędne
położenia jej środka

e

x

, e

y

, e

z

, równanie tej powierzchni

można zapisać następująco:

(6)

Biorąc pod uwagę równanie (6), odległość

Δr dowol-

nego punktu na sferze

R od sfery odniesienia R

ref

wynosi:

(7)

Wyniki pomiarów można pogrupować w sposób na-

stępujący:

{(R

1

,

θ

1

,

ϕ

1

), (R

2

,

θ

2

,

ϕ

2

), ..., (R

M

,

θ

M

,

ϕ

M

)}

,

gdzie

M jest liczbą wszystkich punktów pomiarowych.

Zależność umożliwiającą obliczenie parametrów sfery od-
niesienia metodą najmniejszych kwadratów można zapi-
sać w postaci:

(8)

gdzie:

Minimalizując wskaźnik (8) względem składowych wek-

tora

p uzyskuje się równanie umożliwiające obliczenie

parametrów sfery odniesienia:

(9)

Zależności (7

÷ 9) są obecnie szeroko stosowane

w praktyce do oceny powierzchni kulistych. Szczególnie
przydatne mogą być one przy obliczeniach parametrów
elementów odniesienia dla danych pomiarowych uzys-
kanych metodą punktową, np. za pomocą współrzędnoś-
ciowych maszyn pomiarowych. Nie uwzględniają jednak
specyfiki pomiaru odchyłek kształtu metodą promieniową.
W tego typu pomiarach często konieczne jest składanie
zmierzonych zarysów okrągłości i w takim przypadku
zależności matematyczne będą bardziej skomplikowane.
W podanych zależnościach nie uwzględniono także
współczynników związanych z gęstością próbkowania.
Może to mieć duże znaczenie, szczególnie gdy stosowa-
na jest strategia pomiarów w poszczególnych przekrojach
poprzecznych, ponieważ w obszarach krzyżowania się
trajektorii gęstość próbkowania jest znacznie większa niż
na pozostałej powierzchni kuli.

W celu praktycznej weryfikacji przedstawionych zależ-

ności przeprowadzone zostały badania symulacyjne. Naj-
pierw wygenerowano powierzchnię opisaną zależnością:

(10)

gdzie:

Ψ

s

(k,n),

Ψ

c

(k,n)

wyliczono z zależności (2) i (3),

a współczynniki

A i B to losowo wybrane liczby całkowite

z przedziału

<−1,1>.

Wygenerowana powierzchnia została pokazana na rys. 3.

MECHANIK NR 12/2011

961

Porównując zależności (6

÷ 8) z równaniem (10) wi-

dać, że powierzchnią odniesienia będzie sfera o pro-
mieniu

R

0

=

5

oraz o współrzędnych środka

e

x

= 1, e

x

=

=

−1, e

z

= 2.

Zatem, procedura obliczania parametrów

sfery odniesienia dla powierzchni opisanej równaniem
(10) powinna dać wyniki zbliżone do następujących:

p

T

= [5 1 –1 2].

Obliczenia parametrów sfery odniesienia przeprowadzo-

no zgodnie z najprostszą strategią pomiarową, czyli jako
pomiar w trzech wzajemnie prostopadłych przekrojach kuli.
Użyto przy tym zależności przedstawionych w poprzednim
podpunkcie. Uzyskano ostatecznie następujące wyniki:

Widać, że uzyskane wartości parametrów są zbliżone

do wzorcowych, jednak w przypadku niektórych z nich
różnica jest dość znacząca, zwłaszcza biorąc pod uwagę
wymogi współczesnego przemysłu łożyskowego. Powo-
dem różnic może być, np. zbyt mała liczba aprzekrojów
poprzecznych, w których następuje pomiar oraz nie-
uwzględnienie w przedstawionych zależnościach prob-
lemu nierównomiernego próbkowania.

Przemysłowe dokumenty normalizacyjne opisują strate-

gię pomiaru elementów kulistych, polegającą na pomiarze
zarysów okrągłości w trzech wzajemnie prostopadłych
przekrojach. W toku prac badawczych przeprowadzo-
nych w Politechnice Świętokrzyskiej ustalono, że odchyłki
kształtu elementów kulistych mogą być modelowane przy
pomocy tzw. harmonik sferycznych, z wykorzystaniem
wielomianów oraz funkcji stowarzyszonych Legendre’a.
Przeanalizowano także opisywane w literaturze zależności
matematyczne umożliwiające obliczenie parametrów sfery
odniesienia. Ustalono, że stosowane dotychczas modele
matematyczne do oceny błędów kształtu elementów kulis-
tych nie biorą pod uwagę czynników charakterystycznych
dla proponowanej przez autorów koncepcji pomiaru,
a w szczególności zagadnienia nierównomierności prób-
kowania. Prezentowane w literaturze modele nie uwzględ-
niają także problemu dopasowania zmierzonych zarysów.

Nierozwiązane dotychczas problemy dokładnego pomia-

ru odchyłek kulistości metodą promieniową stały się jed-
nym z głównych celów dalszej pracy badawczej, a jej
wyniki zostaną przedstawione w kolejnych artykułach.

LITERATURA

1. T. KANADA: Estimation of sphericity by means of statistical processing

for roundness of spherical parts

. Precision Engineering, 20 (1997)2,

s. 117

÷ 122.

2. E.GLEASON, H. SCHWENKE: A spindless instrument for the round-

ness measurement of precision spheres

. Precision Engineering, 22

(1998)1, s. 37

÷ 42.

3. H.S. HALKACI, O

¨ . MAVI, O. YIGIT: Evaluation of form error at

semi-spherical tools by use of image processing.

Measurement, 9/10

(2007) 40, s. 860

÷ 867.

4. G.L. SAMUEL, M.S. HUNMUGAM: Evaluation of circularity and spheri-

city from coordinate measurement data.

Journal of Materials Proces-

sing Technology, 1/3 (2003) 139, s. 90

÷ 95.

5. M. PONIATOWSKA, A. WERNER: Fitting spatial models of geometric

deviations of free-form surfaces determined in coordinate measure-
ments.

Metrology and Measurement Systems, 4 (2010) 12, s.

599

÷ 610.

6. G.L. SAMUEL, M.S. SHUNMUGAM: Evaluation of sphericity from form

data using computational geometric techniques.

International Journal

of Machine Tools and Manufacture, 42 (2002) 3, s. 405

÷ 416.

7. J. HUANG: An exact minimum zone solution for sphericity evaluation.

Computer-Aided Design, 31 (1999) 13, s. 845

÷ 853.

8. K.Ch. FAN, J. Ch. LEE: Analysis of minimum zone sphericity error

using minimum potential energy theory.

Precision Engineering, 43

(1999) 2, s. 65

÷ 72.

9. S. KUNIS, D. POTTS.: Fast Spherical Fourier algorithms.

Journal of

Computational and Applied Mathematics, 161 (2003) 1, s. 75

÷ 98.