ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

1

W celu zbadania zależności między liczbą osób w rodzinie a miesięcznymi

wydatkami na cele kulturalne wylosowano w sposób niezależny 230 rodzin
zamieszkujących pewne osiedle i uzyskano następujące wyniki:

Wydatki w

zł

Liczba rodzin wg liczby osób

2 3 4 5 6

10-20

5 - - - -

20-30

14 6 18 40 -

30-40

6 14 22 40 -

40-50

- 5 20 - 40

Na podstawie zebranych wyników obliczono, że średnie wydatki rodzin 2-

osobowych są równe 25,4 zł; rodzin 3-osobowych 34,6 zł, rodzin 4-osobowych 35,33 zł, a

rodzin 5-osobowych 30 zł. Odchylenia standardowe wydatków wynoszą odpowiednio: 6,62

zł; 6,62 zł; 7,97 zł, 5 zł.

1. Z prawdopodobieństwem 0,95 ocenić średnie wydatki na kulturę rodzin 3-osobowych

przyjmując odpowiednie założenie.

2. Oszacować średnie wydatki na kulturę rodzin 5-osobowych, przyjmując poziom ufności

0,99.

3. Ocenić zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin ogółem z wiarygodnością 0,95.

4. Z wiarygodnością 0,90 oszacować zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin 3-

osobowych.

5. Z prawdopodobieństwem 0,95 ocenić odsetek rodzin ogółem wydających na kulturę

powyżej 40 zł.

6. Ile rodzin należy dolosować do próby, aby można było oszacować średnie wydatki

rodzin 3-osobowych z wiarygodnością 0,95 i maksymalnym błędem szacunku równym 2

zł?

7. Ile rodzin należy dolosować do próby, aby ocenić średnie wydatki na kulturę rodzin 5-

osobowych z wiarygodnością 0,99 i maksymalnym błędem szacunku równym 1 zł?

8. Ile rodzin należy dolosować do próby, aby oszacować odsetek rodzin ogółem

wydających na kulturę mniej niż 30 zł z wiarygodnością 0,96 i błędem szacunku

równym 4%, jeżeli wiadomo, że w całej zbiorowości rodzin 3-osobowych około 1/3

wydaje miesięcznie na kulturę do 30 zł?

9. Ile rodzin należy dolosować do próby, aby ocenić odsetek rodzin ogółem wydających na

kulturę powyżej 40 zł z tą samą wiarygodnością i błędem szacunku równym 3%?

Uwaga: Tam, gdzie to konieczne przyjąć stosowne założenia.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

2

Rozwiązanie:

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(1)

Z prawdopodobieństwem 0,95 ocenić średnie wydatki na kulturę rodzin 3-osobowych

przyjmując odpowiednie założenie.

Szacowany parametr:

θ=m (średnie wydatki na kulturę rodzin 3-osobowych).

Estymatorem jest średnia arytmetyczna z próby T

n

=

x

.

Ponieważ próba jest mała (n=25 rodzin 3-osobowych) przedział ufności dla

parametru m jest następujący:

α

α

α

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

+

<

<

−

−

1

1

1

n

s

t

x

m

n

s

t

x

P

,

przy czym przyjmujemy założenie, iż X: N(m,

σ); σ - nieznane.

Dla współczynnika ufności 0,95 i liczby stopni swobody n-1=25-1=24 z tablic

rozkładu Studenta odczytujemy wartość t

α

=2,0639. Podstawiając dane liczbowe

otrzymujemy następujący przedział ufności:

1

25

62

,

6

0639

,

2

6

,

34

1

25

62

,

6

0639

,

2

6

,

34

−

+

<

<

−

−

m

31,81 zł < m < 37,39 zł

Interpretacja: Przedział o krańcach 31,81 i 37,39 zł pokrywa z wiarygodnością 0,95

nieznaną wartość średnich wydatków na kulturę rodzin 3-osobowych.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

3

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(2)

Oszacować średnie wydatki na kulturę rodzin 5-osobowych, przyjmując poziom ufności
0,99.

Szacowany parametr:

θ=m

(średnie wydatki na kulturę rodzin 5-osobowych).

Estymatorem jest średnia arytmetyczna z próby

T

n

=

x

.

Ponieważ próba jest duża (n=80 rodzin 5-osobowych) przedział ufności dla parametru m

jest następujący:

α

α

α

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

<

<

−

1

n

s

u

x

m

n

s

u

x

P

.

Dla współczynnika ufności 0,99 z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego

standaryzowanego odczytujemy u

α

, tak aby

2

1

)

(

α

α

−

=

Φ u

=0,995. Zatem u

α

=2,58.

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy następujący przedział ufności:

80

5

58

,

2

30

80

5

58

,

2

30

+

<

<

−

m

28,58 zł < m < 31,44 zł

Interpretacja: Przedział o krańcach 28,58 i 31,44 zł pokrywa z wiarygodnością 0,99

nieznaną wartość średnich wydatków na kulturę rodzin 5-osobowych.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

4

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(

3)

Ocenić zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin ogółem z wiarygodnością 0,95

Szacowany parametr:

θ=σ

(zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin ogółem na

osiedlu). Estymatorem jest odchylenie standardowe z próby

T

n

=s.

Ponieważ próba jest duża (n=230 rodzin ogółem), przedział ufności dla parametru

σ jest

następujący:

α

σ

α

α

−

=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

<

<

+

1

2

1

2

1

n

u

s

n

u

s

P

.

Przy współczynniku 0,95 wartość u

α

odczytujemy z tablic rozkładu normalnego tak, aby

2

1

)

(

α

α

−

=

Φ u

. Zatem u

α

=1,96. Podstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy przedział

ufności:

230

*

2

96

,

1

1

36

,

8

230

*

2

96

,

1

1

36

,

8

−

<

<

+

σ

7,69 zł <

σ < 9,23 zł

Interpretacja: Przedział o krańcach 7,69 i 9,23 zł pokrywa z wiarygodnością 0,95 nieznaną

wartość odchylenia standardowego wydatków na kulturę rodzin ogółem.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

5

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(4)

Z wiarygodnością 0,90 oszacować zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin 3-
osobowych.

Szacowany parametr:

θ=σ

2

(zróżnicowanie wydatków na kulturę rodzin 3-osobowych).

Estymatorem jest wariancja z próby

T

n

=s

2

.

Ponieważ próba jest mała (n=25 rodzin 3-osobowych), przedział ufności dla parametru

σ

2

,

przy założeniu, że X~N(m,

σ), σ - nie jest znane, jest następujący:

α

σ

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

<

<

1

1

2

2

2

2

c

ns

c

ns

P

.

Przy współczynniku ufności 0,90 wartości c

1

i c

2

odczytujemy z tablic wartości krytycznych

rozkładu

χ

2

dla n-1=24 stopni swobody (boczek tablicy) i w główce tablicy dla c

1

:

2

1

α

−

(P{

χ

2

≥c

1

}=0,95) oraz dla c

2:

2

α

(P{

χ

2

≥c

2

}=0,05). Odczytane wartości – c

1

=13,848 oraz

c

2

=36,415. Podstawiając do wzoru dane liczbowe otrzymujemy przedział ufności:

848

,

13

)

62

,

6

(

*

25

415

,

36

)

62

,

6

(

*

25

2

2

2

<

<

σ

30,08 zł

2

<

σ

2

< 79,11 zł

2

oraz wyciągając pierwiastek

5,48 zł <

σ < 8,89 zł

Interpretacja: Przedział o krańcach 5,48 i 8,89 zł pokrywa z wiarygodnością 0,99 nieznaną

wartość odchylenia standardowego wydatków na kulturę rodzin 3-osobowych.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

6

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(5)

Z prawdopodobieństwem 0,95 ocenić odsetek rodzin ogółem wydających na kulturę

powyżej 40 zł.

Szacowany parametr:

θ=p

(odsetek rodzin ogółem wydających powyżej 40 zł).

Estymatorem jest wskaźnik struktury z próby

T

n

=

n

k

. Wśród rodzin ogółem 65 wydaje na

kulturę ponad 40 zł miesięcznie. Przedział ufności jest postaci:

α

α

α

−

=

⎪

⎪
⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪
⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

<

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

1

1

1

n

n

k

n

k

u

n

k

p

n

n

k

n

k

u

n

k

P

.

Dla 1-

α=0,95 odczytana z tablic wartość u

α

=1,96. Podstawiając wartości liczbowe

uzyskujemy następujący przedział ufności:

230

230

65

1

230

65

96

,

1

230

65

230

230

65

1

230

65

96

,

1

230

65

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

<

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

p

0,22 < p < 0,34

Interpretacja: Przedział o krańcach 0,22 i 0,34 pokrywa z prawdopodobieństwem 0,95

nieznany odsetek rodzin ogółem wydających na kulturę powyżej 40 zł.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

7

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(6)

Ile rodzin należy dolosować do próby, aby można było oszacować średnie wydatki rodzin 3-

osobowych z wiarygodnością 0,95 i maksymalnym błędem szacunku równym 2 zł?

Ponieważ próba jest mała (25 rodzin 3-osobowych), zatem niezbędną liczebność

próby obliczymy ze wzoru:

1

1

)

2

(

)

62

,

6

(

*

)

0639

,

2

(

1

1

2

2

2

2

2

2

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

d

s

t

n

α

.

1-

α = 0,95; stąd: t

α

=2,0639; d=2 zł, s=6,62 zł.

Podstawiając wartości liczbowe uzyskujemy

n=[46,67+1]+1=48.

Interpretacja: Aby z wiarygodnością 0,95 oszacować średnie wydatki rodzin 3-

osobowych na kulturę z maksymalnym błędem szacunku równym 2 zł, należy do

próby dolosować

48-25=23 osoby.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

8

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(7)

Ile rodzin należy dolosować do próby, aby ocenić średnie wydatki na kulturę rodzin 5-

osobowych z wiarygodnością 0,99 i maksymalnym błędem szacunku równym 1 zł?

Ponieważ próba jest duża (80 rodzin 5-osobowych), niezbędną liczebność próby

obliczymy ze wzoru:

1

1

5

*

)

58

,

2

(

1

2

2

2

2

2

2

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

d

s

u

n

α

.

1-

α = 0,99; stąd: u

α

=2,58; d=1 zł, s=5 zł.

Podstawiając wartości liczbowe uzyskujemy

n

=[166,41]+1=167.

Interpretacja: Aby z wiarygodnością 0,99 oszacować średnie wydatki rodzin 5-

osobowych na kulturę z maksymalnym błędem szacunku równym 1 zł, należy do

próby dolosować

167-80=87 osób.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

9

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(8)

Ile rodzin należy dolosować do próby, aby oszacować odsetek rodzin ogółem wydających

na kulturę mniej niż 30 zł z wiarygodnością 0,96 i błędem szacunku równym 4%, jeżeli

wiadomo, że w całej zbiorowości rodzin 3-osobowych około 1/3 wydaje miesięcznie na

kulturę do 30 zł?

1-

α = 0,96; stąd: u

α

=2,05; d=0,04.

Z treści zadania wiemy, że odsetek rodzin ogółem wydających na kulturę poniżej 30

zł jest równy p=0,33. Zatem niezbędną liczebność próby obliczymy ze wzoru:

1

)

04

,

0

(

)

33

,

0

1

(

33

,

0

)

05

,

2

(

1

)

1

(

2

2

2

2

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

d

p

p

u

n

α

.

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy

n=[580,73]+1=581.

Interpretacja: Aby z prawdopodobieństwem 0,96 oszacować odsetek rodzin

wydających na kulturę mniej niż 30 zł z błędem szacunku równym 4% należy

dolosować do próby

581-230=351 osób.

ZADANIE – ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA, NIEZBĘDNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

10

Badana cecha X: wydatki na kulturę w zł.
Badane zbiorowości: 1. rodziny ogółem (n

1

=230;

1

x

=34 zł obliczone z próby; s

1

=8,36 zł);

2. rodziny 2-osobowe (n

2

=25;

2

x

=25,4 zł; s

2

=6,62 zł)

3. rodziny 3-osobowe (n

3

=25;

3

x

=34,6 zł; s

3

=6,62 zł)

4. rodziny 4-osobowe (n

4

=60;

4

x

=35,33 zł; s

4

=7,97 zł)

5. rodziny 5-osobowe (n

5

=80;

5

x

=30,00 zł; s

5

=5,00 zł)

(9)

Ile rodzin należy dolosować do próby, aby ocenić odsetek rodzin ogółem wydających na

kulturę powyżej 40 zł z tą samą wiarygodnością i błędem szacunku równym 3%?

1-

α = 0,95; stąd: u

α

=1,96; d=0,03

Ponieważ nie znamy odsetka p (rodziny ogółem wydające na kulturę ponad 40 zł w

całej zbiorowości) zatem niezbędną liczebność próby obliczymy ze wzoru:

1

)

03

,

0

(

*

4

)

96

,

1

(

1

4

2

2

2

2

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

d

u

n

α

.

Po podstawieniu danych otrzymujemy

n=[1067,11]+1=1068.

Interpretacja: Aby z wiarygodnością 0,95 i błędem szacunku 3% ocenić odsetek

rodzin ogółem wydających na kulturę ponad 40 zł należy dolosować do próby

1068-230=838 rodzin.