WT_2013

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Eliza Wajch

Wykłady i ćwiczenia ze wstępu do topologii w UPH w Siedlcach w
semestrze zimowym roku akad. 2013/2014.

Literatura podstawowa:

A. W. Archangielski, W. I. Ponomariow, Podstawy Topologii Ogólnej w Zadaniach,
PWN Warszawa 1986.

R. Duda, Wprowadzenie do Topologii, PWN Warszawa 1986.

R. Engelking, Topologia Ogólna, PWN Warszawa 1989.

K. Kuratowski, Wstęp do Teorii Mnogości i Topologii, PWN Warszawa 1980.

Literatura dodatkowa:

R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do Topologii, PWN Warszawa 1986.

K. Kunen, Set Theory, North-Holland, Amsterdam 1980.

K. Kunen, The Foundations of Mathematics, College Publications, London 2009.

K. Kuratowski, A Mostowski, Teoria Mnogości, PWN Warszawa 1966.

H. Herrlich, Axiom of Choice, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006.

Polecam także, niestety, mniej dostępne, ale bardzo dobrze opracowane „Wykłady z Topologii” prof.

Jerzego Mioduszewskiego z Uniwersytetu Śląskiego.

Uwaga. Mo

na korzysta

z innych dost

pnych wyda

zalecanej literatury oraz skorzysta

z innych

pozycji, nie wspomnianych powy

ej. W Siedlcach dost

pny jest skrypt z wykładami z topologii S.

Godlewskiego.

Wykłady będą realizowane według programu podanego w sylabusie tego przedmiotu:

1. Rys historyczny topologii. Kilka zda

o historii topologii i teorii przestrzeni metrycznych.

2. Układ ZFC hipoteza niesko

czono

ci. Wzmianka o układzie ZFC i konieczno

ci jego u

ywania.

Twierdzenie o nieudowadnialno

ci istnienia zbiorów niesko

czonych.

3. Poj

cia wst

pne. Topologia w zbiorze, zbiory otwarte, domkni

te, baza otwarta, domkni

cie,

trze i brzeg zbioru w przestrzeni topologicznej. Zbiory g

ste, brzegowe i nigdzieg

ste.

Przestrzenie z baz

przeliczaln

. Przestrzenie o

rodkowe.

4. Przestrzenie metryczne i ich niektóre uogólnienia. Definicje metryk i ich niektórych uogólnie

, w

tym quasi-metryk. Metryki wyznaczone przez normy i iloczyny skalarne. Kule otwarte i domkni

te w

przestrzeniach metrycznych. Topologie wprowadzona przez funkcje odległo

ci. Przestrzenie

metryzowalne. Topologia naturalna n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Twierdzenie o
nieudowadnialno

ci istnienia przestrzeni metryzowalnych.

5. Operacje na przestrzeniach metrycznych i topologicznych. Podprzestrzenie metryczne i
podprzestrzenie przestrzeni topologicznych. Produkty sko

czenie wielu przestrzeni metrycznych i

sko

czenie wielu przestrzeni topologicznych.

6. Przekształcenia ci

głe. Poj

cia przekształcenia ci

głego w punkcie oraz ci

głego globalnie

wzgl

dem pary topologii. Przekształcenia ci

głe w punkcie w sensie Heine’go i w sensie Cauchy’ego

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

wzgl

dem pary metryk. Homeomorfizmy i zanurzenia homeomorficzne. Izometrie przestrzeni

metrycznych.

7. Warunki oddzielania. Oddzielanie par punktów i warunek Hausdorffa dla przestrzeni
metryzowalnych. Oddzielanie punktów od zbiorów domkni

tych i regularno

ść

przestrzeni

metryzowalnych, Oddzielanie par zbiorów domkni

tych i normalno

ść

przestrzeni metryzowalnych.

6. Zwarto

ść

. Przestrzenie zwarte, lokalnie zwarte, przeliczalnie zwarte, ci

gowo zwarte i

pseudozwarte zwłaszcza w klasie przestrzeni metryzowalnych. Twierdzenie Borela-Cousina-
Lebesgue’a.

7. Metryzowalno

ść

w sposób zupełny. Metryki zupełne i całkowicie ograniczone. Twierdzenie

Cantora o charakteryzacji metryk zupełnych, Twierdzenie Baire’a o kategorii. Uzupełnienie Hausdorffa
przestrzeni metrycznej. Zwarto

ść

w klasie przestrzeni metryzowalnych, a metryzowalno

ść

w sposób

całkowicie ograniczony i zupełny.

8. Przestrzenie spójne. Zbiory domkni

to-otwarte, pary zbiorów rozgraniczonych. Przestrzenie

topologiczne spójne. Zbiory spójne w przestrzeniach topologicznych. Składowe spójno

ci. Łuki i drogi.

Łukowa i drogowa spójno

ść

. Continua. Lokalna spójno

ść

. Spójno

ść

w przestrzeniach euklidesowych.

Ostrzeżenie.  W pliku tym mogą nadal występować drobne błędy drukarskie i powstałe
podczas kopiowania części materiału z innych plików, ale mam nadzieję, że błędy takie
nie będą utrudniać  zapoznawania się z prezentowanym materiałem.   Dbałość o stronę
graficzną tego pliku jest raczej zaniechana, ale jego treść jest cenna.

Wykład 1.

Wprowadzenie.

Każdą porządną teorię powinno się rozpocząć od ustalenia jej układu aksjomatów. Zakładamy zatem

na ogół dogodną interpretację układu ZFC zapoczątkowanego w 1907/1908 przez E. Zermelo [1871-

1953], uzupełnionego o aksjomat zastępowania przez A. A. Fraenkela [1891-1965] , o aksjomat

ufundowania przez J. von Neumanna [1903-1957] i niezależnie od von Neumanna przez Zermelo,

dokładniej przeanalizowanego np. w [6] -[9]. Jednym z aksjomatów tego układu jest pochodzący od E.

Zermelo pewnik wyboru (AC) orzekający, że dla każdej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów

niepustych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie

wspólnym. Aksjomat ten nie jest powszechnie akceptowany w tym sensie, że nie ma pewności, iż

jest absolutnie prawdziwy. W teorii ZFC czyni się jedynie hipotetyczne założenie, iż aksjomat ten

orzeka prawdę. Od pewnego czasu na przykład w Niemczech, Portugalii, Francji i USA prowadzone są

badania matematyki opartej o aksjomaty ZF bez użycia pewnika wyboru (zob.[6]- [9] ). Innym

kontrowersyjnym aksjomatem teorii ZFC jest tak zwany aksjomat nieskończoności (oznaczany Inf) o

tym, że istnieje zbiór nieskończony, choć nie może być pewności, że zbiory nieskończone istnieją we

wszechświecie. W teorii ZFC-Inf+¬Inf każdy zbiór jest skończony, natomiast w teorii ZFC-Inf
istnienie zbiorów nieskończonych jest niedowodliwe i żaden wiarygodny przykład zbioru

nieskończonego zaistnieć nie może. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest konsekwencją

hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną.

Podsumowując, przyjmujemy umowę dotyczącą wszystkich naszych zajęć:

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Umowa. Jeśli nie zaznaczymy, że jest inaczej, zakładamy układ ZFC i jego dogodną dla nas

interpretację. Od czasu do czasu, będziemy badać niektóre problemy w podteoriach teorii ZFC, na

przykład w ZF lub ZFC-Inf.

Ustalamy zbiór ℝ wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert
[1862-1943], E. V. Huntington [1874-1952]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało
algebraiczne (ℝ,+, ∙, ≤), którego każdy niepusty ograniczony z góry ze względu na ≤ podzbiór ma w ℝ
kres górny względem ≤. W ZFC takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział

będziemy rozumieć taki podzbiór  zbioru ℝ, że dla dowolnej pary elementów , zbioru  i
dowolnego elementu  zbioru ℝ, jeśli <<, to ∊. Przedziały w ℝ będziemy oznaczać tradycyjnie:
(-∞; ), (-∞; ], (; "), (; "], [; b), [; "], [; +∞), (;+∞). Warto przyjąć, że liczbami całkowitymi
nieujemnymi w ℝ są: 0=Ø (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}}, …, #+1={0,1,….,#}=#$ %#&, …., gdy # jest już
określoną liczbą naturalną ( należy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo  z  1912

roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej

został wyeksponowany po raz pierwszy). Już tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych

nieujemnych oznacza się ', a ℕ='\{0} jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich
(naturalnych).

Zwykle, dla zbiorów ), *, symbol *

oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na ), o

wartościach w *. Zatem, dla #∊', ℝ

jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze #, o

wszystkich swoich wartościach w ℝ, przy czym, gdy ∊ℝ

, możemy pisać: =((0),…, (#-1)) lub na

przykład: =(

,…,

,./

Przestrzenie metryczne, wiadomości wstępne.

Właściwy rozwój teorii przestrzeni metrycznych oraz topologicznych został zapoczątkowany pracą M.

Frécheta [1878-1973] wydrukowaną w 1906 roku oraz monografią F. Hausdorffa [1868-1942] z 1914
roku, ale już w wieku XIX matematyk niemiecki J. B. Listing[1808-1882] użył terminu „topologia” w

swoim artykule z 1847 roku, a wcześniej w korespondencji. Zajmiemy się na razie głównie

przestrzeniami metrycznymi.

Definicja metryki. Metryką lub odległością

1 w zbiorze ) nazywamy funkcję 1:)7)→ℝ mającą

następujące własności:

(m1) ?

@,B∊+

[1(,)=0⟺=];

(m2 – warunek symetrii) ?

@,B∊+

1(,)=1(,);

(m3- warunek trójkąta) ?

@,B,L∊+

1(,)≤1(,N)+1(N,).

Definicja przestrzeni metrycznej.

Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną

(), 1), gdzie ) jest zbiorem, a 1 jest metryką w zbiorze ).

Definicje odległości między punktami i między zbiorami.

Niech 1 będzie metryką w zbiorze ).

Wówczas:

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

(i)

gdy

, ∊), liczbę 1(,) nazywamy odległością lub 1-odległością punktu od ;

(ii)

jeżeli ∊) oraz T jest niepustym podzbiorem zbioru ), liczbę

1(,T)=inf{1(,): ∊T}

nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub 1-odległością punktu od

zbioru T;

(iii)

jeżeli T, U jest parą niepustych podzbiorów zbioru ), to liczbę

1(T,U)=inf{1(,): ∊T i ∊U}

nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub 1-odległością między

zbiorami T i U.

Stwierdzenie o nieujemności wartości metryk.

Wszystkie wartości każdej metryki są liczbami

rzeczywistymi nieujemnymi.

Dowód. Niech

, będzie parą punktów zbioru ), a 1 metryką w ). Korzystając po kolei z (m1),

(m3), (m2) otrzymujemy: 0=1(,)≤1(,)+1(,)=21(,), skąd wnioskujemy, że 0≤1(,).■

Inne funkcje odległości (np. quasi-metryki, pseudometryki). W artykule z roku 1931, Wilson nazwał
quasi-metryką w zbiorze ) funkcję 1: )7 )→[0; +∞) mającą własności (m1) i (m3). Nie każda

quasi-metryka musi być metryką. Funkcja 1:)7 )→ℝ mająca własności (m1) i (m3) nie musi

być quasi-metryką. Funkcję 1:)7 )→ℝ mającą własności (m2) i (m3) oraz spełniającą

jednocześnie warunek 1(, ) = 0 dla \ ) nazywa się zwykle pseudometryką.

Uwaga o quasi-odległościach w rzeczywistym wszechświecie. W praktyce, przy mierzeniu odległości

między obiektami materialnymi, zatraca się symetrię pomiarów i posługujemy się w pomiarach raczej

niesymetrycznymi funkcjami odległości niż metrykami. Między innymi dlatego niektórzy naukowcy

badają quasi-metryki, ale powinni oni uświadomić sobie, że w ZFC-Inf nie może zaistnieć żaden

wiarygodny przykład quasi-metryki. Pojęcie quasi-metryki wprowadził W. A. Wilson w 1931.

Niemożność dokładnego mierzenia odległości w fizyce. Gdy R. Feynman przygotowywał swoje

wykłady „QED, osobliwa teoria światła i materii” ( wyd. w 1985 roku), za najmniejszą mierzalną przez

fizyków odległość uznawano w przybliżeniu

./]

cm. Dokonywanie doskonale dokładnych

pomiarów odległości między wszelkimi parami różnych obiektów w fizyce nie jest możliwe. Ze

względu na uogólnioną zasadę nieoznaczoności, teoretycznie żadnej długości w fizyce mniejszej niż

długość Plancka, która wynosi w przybliżeniu 1.616 1999(97)

7 10

.^_

m nie można zmierzyć (zob.

Wikipedia), a długość Plancka to w jakimś przybliżeniu

.`-

średnicy protonu.

R. Feynman [1918-1988] – amerykański fizyk teoretyk, nagrodzony wraz z J. Schwingerem (USA) i S. I.

Tomonagą (Japonia) w 1965 Nagrodą Nobla za badania w dziedzinie elektordynamiki kwantowej.

M. Planck [1858-1947]-fizyk niemiecki, w 1918 roku uhonorowany Nagrodą Nobla za wkład w rozwój

fizyki dzięki odkryciu przez niego kwantów energii, „elementarnych kwantów działania”.

Definicja metryki dyskretnej

. . . . Metryką dyskretną lub zero-jedynkową w zbiorze niepustym )

nazywamy funkcję 1:)7)→{0,1} określoną jak następuje: 1(,)=0 dla każdego ∊), natomiast

1(,)=1 dla każdej pary różnych punktów , zbioru ).

Uwaga o metrykach dyskretnych i niedowodliwości istnienia przestrzeni metrycznych. W teorii

ZFC każda metryka dyskretna jest metryką. W teorii ZFC-Inf , nie można udowodnić, że metryka

dyskretna jest metryką, bo nie wiadomo w takiej teorii, czy zbiór

ℝ istnieje. W teorii ZFC-Inf istnienie

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

przestrzeni metrycznych jest nieudowadnialne, nie ma w tej teorii żadnych wiarygodnych przykładów

przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC-Inf+¬Inf, żadna metryka dyskretna w zbiorze niepustym nie

jest metryką i w tej teorii nie istnieją przestrzenie metryczne. Przestrzeniami metrycznymi będziemy

zajmować się przede wszystkim w teorii ZFC.

Przykłady metryk w przestrzeni

ℝ

. . . . Niech #∊ℕ. Dla ,∊ℝ

możemy określić:

(i)

metrykę taksówkową (miejską) wzorem: 1

(,)=∑ d(e) f (e)d

g∊,

(ii)

metrykę maksimum (szachową) wzorem: 1

(,)=max

g∊,

d(e)-(e)d

(iii)

metrykę euklidesową (pitagorejską) wzorem: 1

(,)=j∑ ((e) f (e))

g∊,

(iv)

Standardową metryką w ℝ jest metryka 1 wyznaczona przez wartość bezwzględną:

1(,)=d-d, gdzie ,∊ℝ.

Ciekawymi metrykami w

ℝ

są również metryka kolejowa i metryka rzeka. Metrykę kolejową 1

węźle w punkcie 0=(0, 0)

\ ℝ

możemy określić, dla

, \ ℝ

, wzorem:

(, ) = 1

(, ), gdy

punkty

, , 0 są współliniowe, natomiast 1

(, ) = 1

(, 0) O 1

(, 0), gdy punkty , , 0 nie są

współliniowe.

Metrykę rzekę

ℝ

o rzece będącej prostą o = % (

) \ ℝ

= 0& określamy , dla

= (

) \ ℝ

i = (

) \ ℝ

, wzorem: 1

(, ) = |

|, gdy

, natomiast

(, ) = |

| O |

|, gdy

Ważną rolę w matematyce odgrywają metryki wyznaczone przez normy i przez iloczyny skalarne.

Definicja normy. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad ciałem s, gdzie s = ℝ lub s = t. Normą

w przestrzeni ) nazywamy funkcję u·u: ) 8 ℝ spełniającą następujące warunki:

(i)

@\+

(uu = 0 E = 0

);

(ii)

@\+

w\x

uyu = |y|uu;

(iii)

@,B\+

u O u M uu O uu.

Twierdzenie o metryce wyznaczonej przez normę. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad ciałem s,

gdzie s = ℝ lub s = t. Jeżeli funkcja u·u: ) 8 ℝ jest normą w przestrzeni ), to funkcja 1:)7)8ℝ
określona wzorem 1(, ) = u f u dla , \ ) jest metryką w zbiorze ).

Definicja metryki wyznaczonej przez normę. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad ciałem s, gdzie

s = ℝ lub s = t, natomiast u·u: ) 8 ℝ niech będzie normą w przestrzeni ). Wówczas metrykę

1:)7)8ℝ określoną wzorem 1(, ) = u f u dla , \ ) metryką w zbiorze ) wyznaczoną
przez normę u·u.

Uwaga. Nie każda metryka w przestrzeni liniowej nad ciałem wszystkich liczb rzeczywistych lub

zespolonych jest wyznaczona przez jakąś normę.

Definicja iloczynu skalarnego. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad ciałem ℝ. Iloczynem

skalarnym w przestrzeni ) nazywamy funkcję z· | ·{: ) 7 ) 8 ℝ mającą następujące własności:

(i)

@,B,L\+

|,}\ℝ

z O "|N{ = z|N{ O "z|N{;

(ii)

@,B\+

z|{ = z|{;

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

(iii)

@\+

( r 0

~ z|{ 0).

Innymi słowy, iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej nad ciałem wszystkich liczb rzeczywistych, to

funkcjonał dwuliniowy, symetryczny i dodatnio określony tej przestrzeni.

Twierdzenie o normie wyznaczonej przez iloczyn skalarny. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad

ciałem ℝ, a funkcja z· | ·{

: ) 7 ) 8 iloczynem skalarnym w przestrzeni ). Wówczas funkcja

u·u: ) 8 określona wzorem uu C jz|{ dla każdego \ ) jest normą w przestrzeni ) (zwaną
normą wyznaczoną przez iloczyn skalarny

skalarny z· | ·{>.

Uwaga. Nie każda norma musi być wyznaczona przez iloczyn skalarny.

Definicja metryki wyznaczonej przez iloczyn skalarny. Niech

) będzie przestrzenią liniową nad

ciałem

, a funkcja z· | ·{: ) 7 ) 8 iloczynem skalarnym w przestrzeni ). Wówczas funkcję

1:)7)8 określoną wzorem 1, > C jz f | f { dla , \ ) nazywamy metryką w

zbiorze ) wyznaczoną przez iloczyn skalarny z· | ·{.

Standardowy iloczyn skalarny w

i jego związek z metryką euklidesową. Dla

, \

określamy standardowy iloczyn skalarny wektorów

, wzorem: z|{ C ∑ e>e>

g\,

. Metryka w

wyznaczona przez ten iloczyn skalarny jest metryką euklidesową.

Kule w przestrzeni metrycznej. Niech

), 1> będzie przestrzenią metryczną. Wtedy ) nazywamy

przestrzenią lub całą przestrzenią, a elementy zbioru ) punktami tej przestrzeni. Gdy ∊) oraz

∊0; +∞), to kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej
nazywamy zbiór:

(

,r)=s(,)={∊): 1(,)<},

natomiast zbiór

(,)=s(,)={∊): 1(,)≤} nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie i

promieniu

w tej przestrzeni metrycznej.

Zadania.

Zadanie 1. Sprawdzić, że funkcje zwane metryką dyskretną, metryką taksówkową, metryką

maksimum, metryką kolejową, metryką rzeka są rzeczywiście metrykami.

Zadanie 2. Korzystając z następującej nierówności Schwarza:

|z|{| ≤ uuuu

udowodnić, że funkcja zwana metryką wyznaczoną przez iloczyn skalarny jest rzeczywiście metryką.

Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie narysować

0,0>, 1>, gdzie 1

jest metryką w

zwaną:

(i)

dyskretna;

(ii)

maksimum;

(iii)

taksówkowa;

(iv)

euklidesowa;

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

(v)

kolejowa o węźle (0,0);

(vi)

rzeka o rzece będącej prostą o równaniu

C 0.

Wykład 2.

Topologia przestrzeni metrycznej. Pojęcie przestrzeni topologicznej oraz

przestrzeni metryzowalnej.

Definicje zbioru otwartego i topologii przestrzeni metrycznej. Zbiór

⊆) nazywamy otwartym w

przestrzeni metrycznej (

),1) dokładnie wtedy, gdy:

@∊

p∊-;)

(

,r)⊆,

natomiast rodzinę (oznaczaną też

) wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni

metrycznej (), 1) nazywamy topologią tej przestrzeni metrycznej lub topologią w zbiorze )

wprowadzoną lub wyznaczoną przez metrykę 1.

Definicja metryk równoważnych. Metryki

w zbiorze ) nazywamy równoważnymi, gdy topologie

w ) wyznaczone przez te metryki są identyczne.

Metryki

, 1

określone powyżej w przykładach metryk w

są równoważne, ale nie są

równoważne metryce dyskretnej w

Twierdzenie o topologii przestrzeni metrycznej. Rodzina

wszystkich zbiorów otwartych w

przestrzeni metrycznej (),1) ma następujące własności:

(T1)

∅∊ i )∊ (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi),

(T2)

⊆

∊

∊ (suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem

otwartym w tej przestrzeni),

(T3)

∊

∊ (część wspólna dwu zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem

otwartym w tej przestrzeni.

(T4)

@∊+

p∊(-;)

(

,r)∊ ( każda kula otwarta w danej przestrzeni metrycznej jest zbiorem

otwartym w tej przestrzeni),

(H) ( warunek Hausdorffa) dla każdej pary

, różnych punktów zbioru ), istnieje para ,

rozłącznych zbiorów otwartych w (

), 1) taka, że ∊ i ∊.

Dowody powyższych faktów pozostawiam jako ćwiczenie.

Definicje topologii i przestrzeni topologicznej, zbiorów otwartych i domkniętych w przestrzeni

topologicznej. Niech

będzie rodziną podzbiorów jakiegoś zbioru ) mającą własności (T1)-(T3).

Wówczas

nazywamy topologią w zbiorze ), a parę (), ) przestrzenią topologiczną, przy czym

zbiorami otwartymi w przestrzeni topologicznej (

), ) nazywamy zbiory należące do topologii tej

przestrzeni, a zbiór

T⊆) nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej (), ), gdy

)\T∊.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Definicja przestrzeni metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną

), > nazywamy przestrzenią

metryzowalną, gdy istnieje metryka

1 w zbiorze ) taka, że jest topologią przestrzeni metrycznej

), 1>.

Przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej. Gdy

) jest zbiorem mającym co najmniej dwa

różne punkty, np. gdy

) C 2 C %0,1&, to rodzina ={∅, )} jest topologią w ) zwaną antydyskretną,

ale nie istnieje metryka w

) wyznaczająca topologię . Zatem nie każda topologia jest wyznaczona

przez metrykę.

Topologia naturalna w

. Topologię w

wyznaczoną przez metrykę euklidesową w tej przestrzeni

zwie się topologią naturalną. W szczególności, topologia naturalna w

jest wyznaczona przez

metrykę standardową (wyznaczoną przez wartość bezwzględną w

Topologia dyskretna. Dla dowolnego zbioru

), rodzina ()) wszystkich podzbiorów zbioru ) jest

topologią w zbiorze

) zwaną topologią dyskretną, a parę (), )>> nazywamy przestrzenią

topologiczną dyskretną lub krócej: przestrzenią dyskretną.

Przestrzeń metryczna dyskretna. Taka przestrzeń metryczna, której topologia jest dyskretna bywa

nazywana przestrzenią metryczną dyskretną.

Twierdzenie o wyznaczaniu topologii dyskretnej przez metrykę zero-jedynkową. W teorii ZF

topologia dyskretna w zbiorze

) jest wyznaczona przez metrykę dyskretną, więc w ZF przestrzeń

topologiczna dyskretna jest metryzowalna, a przestrzeń metryczna

), 1> jest dyskretna wtedy i tylko

wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez metrykę dyskretną w zbiorze

), choć 1 być może nie

jest metryką zero-jedynkową w

). W teorii ZF-Inf nie można udowodnić, że przestrzeń topologiczna

dyskretna jest metryzowalna, a w teorii ZF-Inf+

Inf na pewno przestrzenie topologiczne dyskretne

nie są metryzowalne.

Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej. Zbiór

T⊆) nazywamy domkniętym w

przestrzeni metrycznej (

), 1), gdy dopełnienie do ) zbioru T jest zbiorem otwartym w (),1).

Uwaga o części wspólnej skończonej ilości zbiorów otwartych. Wykorzystując zasadę indukcji

matematycznej oraz warunek (T3), można udowodnić, że część wspólna skończonej ilości zbiorów

otwartych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej, topologicznej) jest zbiorem otwartym w tej

przestrzeni. Stąd, z własności (T1)-(T3) oraz z praw de Morgana wnioskujemy, że prawdziwe jest

następujące:

Twierdzenie o rodzinie wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni. Rodzina wszystkich

zbiorów domkniętych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej: w przestrzeni topologicznej ) ma

następujące podstawowe własności:

(D1) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi w tej przestrzeni,

(D2) część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest też zbiorem

domkniętym w tej przestrzeni,

(D3) suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest zbiorem

domkniętym w tej przestrzeni.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadania.

Zadanie 4. Niech

będzie metryką w zbiorze

), a 1

metryką w zbiorze

*. Sprawdzić, że funkcja 1

określona wzorem:

1((

>)=1

1((

>)=max %1

),1

jest metryką w zbiorze )7 * taką, że

=%⊆)7 *: ?

@,B>

,> 7 ⊆ &.

Zadanie 5. Uzasadnić, że na przykład w ℝ z topologią naturalną część wspólna przeliczalnie
wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie
wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.

.Zadanie 6. Uzasadnić, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w
tej przestrzeni.

Zadanie 7. Niech 1 będzie metryką w zbiorze ). Udowodnić, że funkcja : ) 7 ) 8 ℝ jest
metryką w ) równoważną metryce 1, gdy dla , \ ) mamy:

, > = min%dx,y>, 1&,

, > =

@,B>

/@,B>

Zadanie 8. Pokazać, że nie każda quasi-metryka musi być metryką.

Zadanie 9. Uzasadnić, że funkcja 1:)7 )8ℝ mająca własności m1> i m3> nie musi być quasi-
metryką.

Zadanie 10. Załóżmy, że 1 jest quasi-metryką w zbiorze ).

Sprawdzić, że funkcja =max %1, 1

&, gdzie 1

, > = 1, > dla każdego ,> )7 ),

jest metryką w zbiorze ).

Dla ) oraz 0;+∞>, niech s

(,r)={ ): 1(,)<}. Udowodnić, że rodzina

={⊆):

, £

)⊆} jest topologią w zbiorze ) (zwaną wprowadzoną przez quasi-metrykę

1) taką, że s

(,r)

dla każdego ) i każdego 0;+∞>.

Zauważyć, że równość

nie musi zachodzić.

Uzasadnić, że topologia

nie musi spełniać warunku Hausdorffa.

Wykład 3.

Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru.

Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Niech

T będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej

(ogólniej: topologicznej). Wówczas:

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

(i)

wnętrzem zbioru

T w tej przestrzeni nazywamy zbiór int T będący sumą mnogościową

wszystkich tych zbiorów otwartych w tej przestrzeni, które są zawarte w T;

(ii)

domknięciem zbioru T w danej przestrzeni nazywamy zbiór cl T będący częścią wspólną
wszystkich tych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni, w których zawarty jest zbiór T;

(iii)

brzegiem zbioru T w danej przestrzeni nazywamy zbiór bd T C cl T\ int T.

Dokładniejsze oznaczenia. Gdy

T ⊆), natomiast 1 jest metryką w ) lub jest topologią w ), bywają

stosowane oznaczenia: int

T, int

+,>

T, cl

T itd.

Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.:

domknięcia, brzegu ) zbioru w przestrzeni metrycznej. Jeżeli

T jest podzbiorem przestrzeni

metrycznej (),1) oraz ∊), to:

(i)

∊int

T⟺

p∊-;>

,>⊆T;

(ii)

∊cl

T⟺?

p∊-;>

,>∩Tr ;

(iii)

∊bd

T⟺?

p∊-;>

,>∩Tr r s

,>\T.

Definicja otoczenia punktu. Otoczeniem punktu

∊) w przestrzeni metrycznej (),1) nazywamy

zbiór ⊆) taki, że istnieje §∊(0,+∞), dla którego s

(,§)⊆. Otoczeniem punktu ∊) w przestrzeni

topologicznej ), > nazywamy zbiór ⊆) taki, że istnieje zbiór \ taki, iż \ ⊆ .

Dla przestrzeni topologicznych analogiczne twierdzenie do ostatniego można sformułować

następująco:

Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.

domknięcia, brzegu) zbioru w przestrzeni topologicznej. Niech

), > będzie przestrzenią

topologiczną oraz niech T ⊆ ) . Załóżmy, że ¨> jest rodziną wszystkich otoczeń punktu \ ) w
przestrzeni topologicznej ), >. Wówczas prawdą jest, że:

(i)

∊int

T⟺

\¨@>

⊆T;

(ii)

∊cl

T⟺?

\¨@>

∩Tr ;

(iii)

∊bd

T⟺?

\¨@>

∩Tr r \T.

Dowód. (i) Jeżeli

∊int

T, to int

T\ ¨> i int

A ⊆ T. Jeżeli natomiast istnieje \ ¨> takie,

że ⊆ T, to istnieje zbiór \ taki, że \ ⊆ ⊆ T. Wtedy ⊆ int

T, więc \ int

ii>. Przypuśćmy teraz, że istnieje \ ¨> takie, że T ⊆ ) « . Wtedy istnieje zbiór \ taki,
że \ ⊆ . Wówczas T ⊆ ) « i zbiór ) « jest domknięty w przestrzeni ), >, zatem
cl

T⊆ ) « , a stąd wnioskujemy, że wówczas ¬ cl

T. Załóżmy teraz, że ¬ cl

T. Wtedy

C ) « cl

T \ ¨> i ∩ T C . Wobec tego ii> zachodzi. Warunek iii> wynika z definicji

brzegu zbioru oraz z i> i ii>. █

Definicje punktu skupienia i punktu izolowanego. Punkt

∊) nazywamy punktem skupienia zbioru

T⊆) w przestrzeni metrycznej ), 1> (lub topologicznej ), >> , gdy każde otoczenie punktu  w tej
przestrzeni ma różny od  element ze zbioru T.  Punkty zbioru ), które nie są punktami skupienia
zbioru ) w przestrzeni (),1) (odp. ), >>   nazywamy punktami izolowanymi tej przestrzeni.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste.

Definicje (zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste). Podzbiór

T przestrzeni metrycznej (),1) (odp.

topologicznej (

),)) nazywamy:

(i)

gęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś

element ze zbioru

(ii)

brzegowym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś

element nie należący do

(iii)

nigdziegęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni

zawiera pewien niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni rozłączny ze zbiorem

Zauważmy, że zbiór

T jest gęsty w danej przestrzeni metrycznej lub topologicznej wtedy i tylko

wtedy, gdy jego domknięcie w tej przestrzeni jest równe całej przestrzeni. Zbiór

T jest brzegowy w

danej przestrzeni metrycznej lub topologicznej wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest

zbiorem gęstym w tej przestrzeni. Natomiast zbiory nigdziegęste w danej przestrzeni metrycznej lub

topologicznej to takie podzbiory tej przestrzeni, których domknięcia mają puste wnętrza w tej

przestrzeni.

Zbiór trójkowy Cantora. Zbiór

C %∑

g\£«/

\ %0,2&& nazywamy zbiorem trójkowym

Cantora lub krócej zbiorem Cantora. Jest on podzbiorem przedziału [0; 1]. Moc zbioru Cantora jest

równa continuum, zbiór trójkowy Cantora jest nigdziegęsty w

z topologią naturalną. Każdy punkt

zbioru Cantora jest punktem skupienia tego zbioru w

z topologią naturalną.

Podprzestrzenie.

Definicja podprzestrzeni metrycznej. Załóżmy, że

⊆), a dla metryki 1 w zbiorze ), metryka 1

zbiorze

jest obcięciem 1 do 7 . Wówczas parę (, 1

> oznaczamy krótko literą i nazywamy

podprzestrzenią metryczną> przestrzeni metrycznej ),1).

Definicja podprzestrzeni topologicznej. Gdy

jest topologią w zbiorze °, a ⊆°, to topologię

={±

: ∊ } nazywamy topologią w indukowaną z , a parę (,

), oznaczaną krótko

nazywamy podprzestrzenią (topologiczną) przestrzeni topologicznej (

°,).

Twierdzenie o topologii podprzestrzeni przestrzeni metrycznej. Dla każdej podprzestrzeni

przestrzeni metrycznej (

),1) zachodzi równość:

⋂: ∊

Topologia naturalna w podzbiorze przestrzeni

. Gdy

³⊆

, a

1 jest metryką euklidesową w

topologię

będziemy nazywać naturalną w

³. Gdy nie zaznaczymy inaczej, podzbiory

będziemy rozważać z topologią naturalną w nich.

Zadania.

Zadanie 11. Uzasadnić, że każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i

domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadanie 12. Niech 1 będzie metryką w zbiorze ). Czy dla ∊) i ∊(0;+∞), domknięcie w (), 1)

kuli otwartej s

(,) musi być kulą domkniętą s

(,)?

Zadanie 13. Uzasadnić, że każdy podzbiór skończony przestrzeni metrycznej jest domknięty w

tej przestrzeni.

Zadanie 14. Wskazać wnętrze, domknięcie i brzeg następującego zbioru T w przestrzeni ℝ

topologią naturalną:

T = [0; 1) 7 (1; 2F;

T = · 7 [0; 1F;

T = (f1; 1) 7 ℝ.

Zadanie 15. Uzasadnić, że w ℝ z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną zbiór
{

/
,

: #, ¹ \ ' « {0}} nie jest domknięty ani otwarty. Znaleźć domknięcie oraz wnętrze tego

zbioru w tej przestrzeni metrycznej.

Zadanie 16. Niech 1

będzie metryką w zbiorze

), a 1

metryką w zbiorze

*. W zbiorze ) 7 *

rozważmy metrykę

1 określoną wzorem: 1((

), (

))=1

(

), gdzie

\ ) i

\ *. Załóżmy, że T ) i U *. Sprawdzić, czy muszą zachodzić równości:

(T 7 U) = cl

T 7 cl

U oraz int

(T 7 U) = int

T 7 int

Zadanie 17. W

ℝ

z metryką euklidesową wskazać wszystkie te punkty domknięcia zbioru

T =

{sin

/
@

: \ ℝ « {0}}, które nie należą do T.

Zadanie 18. Czy w

ℝ z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną istnieje zbiór nieprzeliczalny

nigdziegęsty?

Wykład 4.

Iloczyny kartezjańskie skończenie wielu przestrzeni.

Niech

# \ ' « 1 oraz, dla e \ #, niech dane będą zbiory )

. Wówczas zbiór

) = ∏ )

g\,

wszystkich

funkcji

: # → ½

g\,

)

takich, że

(e) \ )

dla każdego

e \ # utożsamiamy z iloczynem kartezjańskim

)

7 … 7 )

,./

Produkt skończenie wielu przestrzeni topologicznych. Załóżmy, że

()

) jest przestrzenią

topologiczną dla każdego

e \ # oraz ) = ∏ )

g\,

. Wówczas rodzina

= { ): ?

g\,

\ ¿

g\,

}

jest topologią w zbiorze

), a parę (), ) nazywamy wtedy iloczynem kartezjańskim lub produktem

wszystkich przestrzeni rodziny {

()

): e \ #}.

Produkt skończenie wielu przestrzeni metrycznych. Załóżmy, że

()

, 1

) jest przestrzenią metryczną

dla każdego

e \ # oraz ) = ∏ )

g\,

. Wówczas funkcja

1: ) 7 ) → ℝ określona wzorem:

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

1, > C ∑ 1

g\,

e>, e>>,

gdzie

, \ ), jest metryką w zbiorze ), a przestrzeń metryczną ), 1> będziemy nazywać iloczynem

kartezjańskim lub produktem wszystkich przestrzeni rodziny {

)

>: e \ #&. Zauważmy, że wtedy

C C % ⊆ ): ?

g\,

\(-;)

\ ∏ s

((e),

g\,

⊆ &,

gdzie

jest topologią produktu wszystkich przestrzeni topologicznych rodziny { À)

Á: e \ #&.

Przestrzenie ośrodkowe i przestrzenie z bazą przeliczalną.

Uwaga o pojęciu zbioru przeliczalnego. Dla wygody, przez zbiór przeliczalny będziemy rozumieć

zbiór równoliczny z jakimś podzbiorem klasy

'. Zbiory przeliczalne w tym sensie bywają nazywane co

najwyżej przeliczalnymi, a niektórzy przez zbiór przeliczalny rozumieją zbiór równoliczny ze zbiorem

wszystkich liczb naturalnych. Istnieje też następująca definicja zbioru przeliczalnego:

Definicja zbioru przeliczalnego (Wajch). Zbiorem przeliczalnym nazywamy taki i tylko taki zbiór,

który jest równoliczny z każdym ze swoich nieskończonych podzbiorów.

Uwaga. Nie można udowodnić, że w teorii ZF ta definicja zbioru przeliczalnego jest równoważna

podanej powyżej definicji zbioru co najwyżej przeliczalnego.

Definicje (ośrodki, przestrzenie ośrodkowe). Przestrzeń metryczną (odp. topologiczną) nazywamy

przestrzenią ośrodkową, gdy istnieje jej przeliczalny podzbiór gęsty w tej przestrzeni . Każdy

przeliczalny zbiór gęsty w danej przestrzeni nazywamy jej ośrodkiem.

Uwaga o ośrodkowości przestrzeni

. Przestrzeń

z nadaną jej topologią naturalną jest

przestrzenią ośrodkową. Jej ośrodkiem jest na przykład zbiór wszystkich

∊

takich, że e> jest

liczbą wymierną dla każdego e∊#. W szczególności, zbiór wszystkich liczby wymiernych w ℝ jest

ośrodkiem przestrzeni ℝ wszystkich liczb rzeczywistych wyposażonej w jej topologię naturalną.

Definicja bazy przestrzeni topologicznej. Bazą przestrzeni topologicznej

(), ) nazywamy każdą

taką rodzinę

¨ , która spełnia warunek: ?

\¨

\ .

Definicja bazy przestrzeni metrycznej. Bazą przestrzeni metrycznej

(), 1) nazywamy bazę

przestrzeni topologicznej

(),

Rodzina kul jako baza przestrzeni metrycznej. Dla każdej przestrzeni metrycznej

(), 1) rodzina

wszystkich kul postaci

), gdzie \ ) i # \ ', jest bazą przestrzeni (), 1). W przypadku, gdy

1 jest metryką dyskretną, rodzina wszystkich jednoelementowych podzbiorów zbioru ) jest bazą
przestrzeni metrycznej dyskretnej

(), 1).

Baza przeliczalna przestrzeni

ℝ

. Rodzina wszystkich zbiorów postaci

∏ (

; "

)

g\,

, gdzie

(

; "

) są

przedziałami otwartymi w

ℝ o końcach

, "

będących liczbami wymiernymi, jest przeliczalną bazą

przestrzeni

ℝ

z topologią naturalną.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Twierdzenie o równoważności ośrodkowości z posiadaniem bazy przeliczalnej w klasie przestrzeni

metrycznych w ZFC. Przestrzeń metryczna

), 1> jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona

bazę przeliczalną.

Dowód. Dostateczność. Załóżmy, że

ℬ jest bazą przeliczaną przestrzeni ), 1>, a ℬ

C ℬ « %&.

Wobec pewnika przeliczalnego wyboru (CC), istnieje funkcja

Â: ℬ

8 ½

\ℬ

taka, że Â() \ dla

każdego

\ ℬ

. Zbiór

Ä C %Â(): \ ℬ

& jest przeliczalny i gęsty w ), 1>.

Konieczność. Załóżmy teraz, że

T jest przeliczalnym zbiorem gęstym w przestrzeni metrycznej ), 1>.

Nietrudno jest sprawdzić, że wówczas rodzina

ℬC % s

Å,

Æ : # \ ' i \ T& jest przeliczalną bazą

tej przestrzeni metrycznej.█

Uwaga. Podobnie jak wyżej dowodzi się, że jeśli przestrzeń topologiczna ma bazę przeliczalną, to w

teorii ZFC przestrzeń ta jest ośrodkowa. Jednakże, w pewnych modelach teorii ZF istnieją

nieośrodkowe przestrzenie metryczne mające bazę przeliczalną. W teorii ZFC nie każda przestrzeń

topologiczna ośrodkowa ma bazę przeliczalną.

Zadania.

Zadanie 19. Uzasadnić, że przestrzeń wszystkich liczb niewymiernych z metryką wyznaczoną przez

wartość bezwzględną w tym zbiorze jest ośrodkowa w teorii ZFC.

Zadanie 20. Udowodnić, że w teorii ZFC podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest

ośrodkowa.

Zadanie 21*. Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że Ä ⊆ jest zbiorem nierównolicznym z
żadną liczbą należącą do ', ale skończonym w sensie Dedekinda, to znaczy nierównolicznym z
żadnym ze swoich podzbiorów właściwych. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna Ä, 1> nie ma
żadnego równolicznego z podzbiorem klasy ' zbioru gęstego, więc nie jest ośrodkowa .

Zadanie 22. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy

jest przeliczalna.

Zadanie 23. Uzasadnić, że produkt skończenie wielu przestrzeni topologicznych ośrodkowych jest

przestrzenią topologiczną ośrodkową.

Zadanie 24. Sprawdzić, czy przestrzeń metryczna

, 1> jest ośrodkowa, gdzie:

1 jest metryką „rzeka”;

1 jest metryką kolejową;

1 jest metryką maksimum.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Wykład 5.

Ciągi w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie zupełne.

Niech (

), 1) będzie przestrzenią metryczną.

Definicje ciągu zbieżnego i ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej. Ciąg

,∊£

punktów

zbioru

) nazywamy:

(i)

zbieżnym w przestrzeni metrycznej (

),1) do punktu ∊), zwanego wtedy granicą tego

ciągu w (

),1), gdy:

Ç∊-;)

m∊£

,∊£

[

È⊆#⟹1(

)<§];

(ii)

zbieżnym w przestrzeni metrycznej (

),1), gdy jest on zbieżny w tej przestrzeni do

pewnego jej punktu;

(iii)

ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej (

),1), gdy :

Ç∊(-;)

m∊£

¸,,∊£

[

È⊆¹⋂#⟹1(

§].

Stwierdzenie. Każdy ciąg zbieżny w danej przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy’ego w tej

przestrzeni.

Twierdzenie o warunkach koniecznych i wystarczających na to, aby punkt należał do domknięcia

zbioru w przestrzeni metrycznej w ZFC. Dla dowolnego zbioru

T⊆) oraz punktu przestrzeni

metrycznej ),1), następujące warunki są równoważne:

(i)

∊cl

(ii)

istnieje ciąg (

) punktów zbioru T zbieżny w przestrzeni (),1) do punktu ;

(iii)

Tr oraz 1(,T)=0.

Dowód. Załóżmy (i). Korzystając z pewnika wyboru, każdej liczbie naturalnej

# można

przyporządkować punkt

\ T s

), otrzymując ciąg (

) punktów zbioru T zbieżny w

przestrzeni (),1) do punktu . Zatem w ZFC z (i) wynika (ii). Oczywiście, gdy (

) jest ciągiem

punktów zbioru T zbieżnym w przestrzeni (),1) do punktu , to dla każdej liczby rzeczywistej
dodatniej § istnieje # \ ' takie, że 1(

,)<§, więc również 1(,T)< §, a stąd i z dowolności §

wnioskujemy, że 1(,T)=0. Wobec tego z (ii) wynika (iii). Gdy spełniony jest warunek (iii), to dla
dowolnego §>0 musi istnieć

\ T takie, że 1(

, ) É §, skąd wnioskujemy, że wtedy również

warunek (i) jest spełniony.■

Uwaga o niemożności dowodu istnienia ciągu punktów pewnego zbioru, zbieżnego do punktu z

domknięcia tego zbioru w teorii ZF. Okazuje się, że w teorii ZF nie można wykluczyć istnienia zbioru

T ⊆ , który nie jest domknięty w z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną, lecz nie
zawiera żadnego zbioru, którego elementy są ustawialne w ciąg nieskończony różnowartościowy.

Zatem warunku (ii) powyższego twierdzenia nie można traktować jako warunku koniecznego dla (i) w

teorii ZF, ale można w teorii ZFC.

W fizyce ustawianie obiektów w ciągi nieskończone jest niewykonalne (Wajch).

■

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Uwaga. To, że ciąg (

) punktów przestrzeni metrycznej jest zbieżny w tej przestrzeni do punktu

znaczy dokładnie, że w każdym otoczeniu punktu

tej przestrzeni są prawie wszystkie (a więc

wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością) wyrazy ciągu (

). Podobnie można określić zbieżność

ciągu punktów przestrzeni topologicznej do punktu tej przestrzeni.

Definicja punktu skupienia ciągu. Mówimy, że punkt

∊) jest punktem skupienia ciągu

,∊£

punktów zbioru

) w przestrzeni metrycznej (),1), gdy:

Ç∊-;)

m∊£

,∊£

[

È⊆# Ê1(

)<§].

Uwaga. Każdy ciąg punktów przestrzeni metrycznej ma co najwyżej jedną granicę w tej przestrzeni,

ale w niektórych przestrzeniach topologicznych pewne ciągi mogą być zbieżne do więcej niż jednego

punktu. Granica ciągu zbieżnego w przestrzeni metrycznej jest punktem skupienia tego ciągu w tej

przestrzeni. Ogólnie, w ZFC nie jest prawdą, że ciąg punktów przestrzeni metrycznej musi mieć w tej

przestrzeni punkt skupienia. Jeżeli ciąg punktów przestrzeni metrycznej ma w tej przestrzeni punkt

skupienia, to zawiera on podciąg zbieżny w tej przestrzeni metrycznej.

Definicja metryki zupełnej. Metrykę

1 w zbiorze ) nazywamy metryką zupełną, gdy każdy ciąg

Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej (

),1) jest zbieżny w tej przestrzeni.

Definicja przestrzeni metrycznej zupełnej. Przestrzeń metryczną (

),1) nazywamy przestrzenią

zupełną, gdy

1 jest metryką zupełną.

Uwaga o zupełności metryki euklidesowej. Uznajemy, że w teorii ZFC metryka euklidesowa w

jest zupełna. Można mieć wątpliwości, czy jest ona zupełna również w teorii ZF, ale przy, mówiąc

nieformalnie, dogodnej do tego celu interpretacji ZF uznaje się, że metryka wyznaczona przez

wartość bezwzględną w

jest zupełna, a więc i metryka euklidesowa w

jest zupełna.

Warunek konieczny i wystarczający na to, aby podprzestrzeń przestrzeni metrycznej zupełnej była

zupełna w ZFC. Podprzestrzeń (

) przestrzeni metrycznej zupełnej (

),1) jest zupełna wtedy i

tylko wtedy, gdy

jest zbiorem domkniętym w (),1).

Ostrzeżenie o kłopotach z domkniętością podprzestrzeni zupełnych w ZF. Przypuśćmy, że jest

udowodnione, że metryka

1 wyznaczona przez wartość bezwzględną w jest zupełna w teorii ZF

oraz przypuśćmy, że

Ä⊆ nie jest zbiorem domkniętym, ale każdy ciąg Cauchy’ego punktów zbioru

Ä jest, począwszy od pewnego wyrazu tego ciągu, stały . Wtedy Ä, 1

) jest przestrzenią metryczna

zupełną, która nie spełnia warunku koniecznego na to, aby podprzestrzeń przestrzeni metrycznej

zupełnej była zupełna. W pewnych modelach teorii ZF takie zbiory

Ä istnieją.

Zadania.

Zadanie 25*. Wykorzystując ideę Cantora-Heine’go-Méray’a konstrukcji liczb rzeczywistych ze
zbioru liczb wymiernych, uzasadnić, że metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną w

jest

zupełna w ZFC.

Zadanie 26. Uzasadnić, że metryka euklidesowa w

jest zupełna w ZFC.

Zadanie 27. Czy metryka równoważna metryce zupełnej musi być zupełna?

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadanie 28. Uzasadnić, że metryka dyskretna jest zupełna.

Zadanie 29. Dla

,∊, niech (,)=∣arctg – arctg ∣. Udowodnić, że tak określona funkcja jest

metryką w ℝ równoważną metryce standardowej i sprawdzić, czy jest zupełna.

Zadanie 30. Niech 1(, ) = | f | dla , \ 0;

1>. Wskazać jakiś ciąg Cauchy’ego w przestrzeni

metrycznej

0; 1), 1), który nie jest zbieżny w tej przestrzeni.

Zadanie 31. Załóżmy, że

1 jest metryką zupełną w zbiorze ). Czy wtedy metryka w zbiorze ) też

jest zupełna, gdy (, ) =

(@,B)

/(@,B)

dla dowolnych , \ )?

Zadanie 32. Uzasadnić, że produkt skończenie wielu przestrzeni metrycznych zupełnych jest

przestrzenią metryczną zupełną.

Wykład 6.

Twierdzenia Cantora i Baire’a o przestrzeniach zupełnych.

Definicja średnicy zbioru. Niech

T będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (),1).

Średnicą diam

(T) zbioru T w tej przestrzeni metrycznej nazywamy kres górny zbioru {1(,): ∊T

∧ ∊T}. Ponadto przyjmujemy, że średnica zbioru pustego jest równa -∞.

Definicja zbioru ograniczonego ze względu na metrykę. Zbiór

T⊆) nazywamy ograniczonym ze

względu na metrykę 1 w zbiorze ), gdy diam

(T)r O∞.

Twierdzenie Cantora o metrykach zupełnych. Metryka

1 w zbiorze ) jest zupełna wtedy i tylko

wtedy, gdy każdy ciąg (Í

) niepustych zbiorów domkniętych w (),1) taki, że Í

⊆Í

dla każdego

#∊' oraz ciąg (diam

(Í

)) jest zbieżny w ℝ z metryką standardową do zera, ma następującą

własność: ±

,∊£

r .

Zarys dowodu. Konieczność. Załóżmy najpierw, że

1 jest metryką zupełną w ), natomiast (Í

) jest

ciągiem niepustych zbiorów domkniętych w (),1) takim, że Í

⊆Í

dla każdego #∊' oraz ciąg

(diam

(Í

)) jest zbieżny w ℝ z metryką standardową do zera. Korzystając z aksjomatu przeliczalnego

wyboru (CC), wnioskujemy, że istnieje ciąg (

) taki, że

\ Í

dla każdego #∊'. Skoro Í

⊆Í

dla każdego #∊' oraz lim

diam

(Í

) = 0, to (

) jest ciągiem Cauchy’ego w (),1). Zatem ciąg

ten jest zbieżny w (),1) do jakiegoś punktu

. Z domkniętości zbiorów Í

wnioskujemy, że

,∊£

. Można ponadto zauważyć, że

jest jedynym punktem przecięcia ±

,∊£

, gdyż średnice

zbiorów Í

dążą do zera.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że

1 jest taką metryką w zbiorze ), iż każdy ciąg (Í

) niepustych

zbiorów domkniętych w (),1) taki, że Í

⊆Í

dla każdego #∊' oraz ciąg (diam

(Í

)) jest zbieżny w

ℝ z metryką standardową do zera, ma następującą własność: ±

,∊£

r . Niech (

) będzie

ciągiem Cauchy’ego w (),1) i niech Í

= cl

: ¹ \ ' i # ⊆ ¹&. Wobec założenia, istnieje punkt

\ ±

,∊£

. Ciąg (

) jest zbieżny w (),1) do

. ■

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Twierdzenie Baire’a o kategorii . Jeżeli

T jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów nigdziegęstych w

przestrzeni metrycznej zupełnej (

),1), to T jest zbiorem brzegowym w (),1).

Zarys dowodu w ZFC. Niech

> będzie ciągiem zbiorów nigdziegęstych w niepustej przestrzeni

metrycznej zupełnej (

),1) takim, że T C$

,\£

. Rozważmy dowolny niepusty zbiór

otwarty w

(

),1). Skoro zbiór T

jest nigdziegęsty, to zbiór

zawiera niepusty zbiór otwarty w (

),1) i rozłączny z

. Istnieją zatem punkt

oraz liczba

\ ' takie, że s

(

> T

C oraz

(

> ⊆

. Niech

C s

Æ. Przypuśćmy, że dla liczby naturalnej È 0, znaleźliśmy

już niepusty zbiór otwarty

m./

, punkt

i liczbę naturalną

\ ' taką, że s

(

ÐÑ

> T

oraz

(

ÐÑ

> ⊆

m./

. Przyjmujemy

C s

ÐÑ

Æ i wykorzystując nigdziegęstość zbioru T

ustalamy punkt

oraz liczbę naturalną

taką, że

(

ÐÑÒ

> T

C oraz

(

ÐÑÒ

> ⊆

. Zasada indukcji kończy określanie ciągów

(

) i (Ï

), przy czym dbamy o to,

aby ciąg (

) był sciśle rosnący. Niech Í

C ) oraz Í

C s

(

Ð¤

> dla liczb całkowitych # 0.

Otrzymujemy ciąg (

) niepustych zbiorów domkniętych w (

),1) taki, że Í

⊆Í

dla każdego

#∊'

oraz

lim

diam

> C 0. Wobec twierdzenia Cantora, istnieje punkt

\ ±

,∊£

. Oczywiście,

\ « T, zatem T jest zbiorem brzegowym w (),1). W dowodzie tym jest wykorzystany pewnik

przeliczalnego wyboru przy wyborze punktów

.■

Określenie zbiorów pierwszej i drugiej kategorii. Zbiory w przestrzeni topologicznej, które są

przedstawialne w postaci sumy mnogościowej przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych w tej

przestrzeni są zwane zbiorami pierwszej kategorii w tej przestrzeni, a te zbiory w przestrzeni

topologicznej, które nie są w niej pierwszej kategorii są zwane zbiorami drugiej kategorii. Wobec

twierdzenia Baire’a o kategorii, w teorii ZFC każda przestrzeń metryczna zupełna jest zbiorem drugiej

kategorii w sobie, a zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni metrycznej zupełnej są w niej brzegowe.

Ostrzeżenie o niedowodliwości w ZF twierdzenia Baire’a o kategorii i twierdzenia Cantora o

metrykach zupełnych . Okazuje się, że w teorii ZF nie może zaistnieć żaden wiarygodny dowód

twierdzenia Baire’a o kategorii. W pewnych modelach teorii ZF, w których pewnik przeliczalnego

wyboru jest fałszywy, są przestrzenie metryczne zupełne, w których jakieś zbiory pierwszej kategorii

nie są brzegowe. Jeżeli

) ⊆ℝ nie jest zbiorem domkniętym w ℝ, a żaden nieskończony ciąg

punktów zbioru

) nie jest różnowartościowy, to metryka 1

wyznaczona przez wartość bezwzględną

) jest zupełna, ale, gdy \ cl

ℝ

) « ), to ciąg zbiorów Í

C f

, O

F ), gdzie # \ ',

świadczy o tym, że warunek konieczny zupełności metryki

dany w twierdzeniu Cantora nie jest

spełniony. Zatem twierdzenie Cantora o metrykach zupełnych nie jest dowodliwe w ZF.

G. Cantor [1845-1918], R. Baire [1874-1932], A. L. Cauchy [1789-1857].

Zadania.

Zadanie 33. Korzystając z twierdzenia Baire’a , uzasadnić, że nie istnieje metryka zupełna w zbiorze

ℚ

wszystkich liczb wymiernych wyznaczająca topologię naturalną tego zbioru.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadanie 34. Wykorzystując twierdzenie Baire’a o kategorii, uzasadnić, że zbiór wszystkich liczb

niewymiernych nie jest typu

z topologią naturalną.

Wykład 7.

Pojęcia ciągłości przekształceń.

Definicje (ciągłość ze względu na parę topologii). Niech

będzie topologią w zbiorze

), natomiast

topologią w zbiorze

*. Przekształcenie Â: ) 8 * nazywamy:

(i)

ciągłym ze względu na parę (

) lub względem pary

) w punkcie

\ ), gdy:

[

Â> \ Ô

\ Ê Â> ⊆ >F;

(ii)

ciągłym (na

)> ze względu na parę (

) lub, równoważnie, względem pary (

)

gdy

Â jest ciągłe względem pary (

) w każdym punkcie zbioru

);

(iii)

homeomorfizmem przestrzeni topologicznej

> na przestrzeń topologiczną *,

gdy

Â jest wzajemnie jednoznaczne, ciągłe względem pary (

), natomiast

przekształcenie

odwrotne do

Â jest ciągłe względem pary (

Umowa. Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, przekształcenia ciągłe względem pary topologii

nazywamy krótko ciągłymi.

Podstawowy warunek konieczny i wystarczający na ciągłość przekształcenia. Niech

będzie

topologią w zbiorze

), natomiast

topologią w zbiorze

*. Przekształcenie Â: ) 8 * jest ciągłe

względem pary

) wtedy i tylko wtedy, gdy:

> \

Definicje (ciągłość ze względu na parę metryk). Załóżmy, że

jest metryką w zbiorze

), a 1

metryką w zbiorze

*. Przekształcenie Â:)⟶* nazywamy:

(i)

ciągłym w sensie Cauchy’ego w punkcie

* ∊) względem pary metryk (1

, 1

) (lub

przestrzeni metrycznej (

), 1

) w przestrzeń metryczną (

*, 1

)), gdy:

Ç∊-;>

Ö∊-;>

@∊+

[

(

*,)<×Ô1

Â*>, Â>><§F;

(ii)

ciągłym w sensie Heine’go (lub ciągowo ciągłym) w punkcie

* ∊) względem pary

metryk (

, 1

) (lub przestrzeni metrycznej (

), 1

) w przestrzeń metryczną (

*, 1

)), gdy

dla każdego ciągu (

) punktów zbioru

), zbieżnego w przestrzeni (), 1

) do

*, ciąg

(

Â(

)) jest zbieżny w przestrzeni (

*, 1

) do

Â(*);

(iii)

przekształceniem (odwzorowaniem) przestrzeni metrycznej (

), 1

) w przestrzeń

metryczną (

*, 1

), ciągłym w sensie Cauchy’ego lub, odpowiednio, Heine’go, gdy

Â jest

ciągłe w sensie Cauchy’ego lub, odpowiednio, Heine’go względem (

, 1

) w każdym

punkcie zbioru

), przy czym przekształcenia ciągłe w sensie Heine’go bywają nazywane

ciągowo ciągłymi;

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

(iv)

homeomorfizmem (w sensie Cauchy’ego) przestrzeni (

), 1

) na przestrzeń (

*, 1

) gdy

jest wzajemnie jednoznaczne i ciągłe w sensie Cauchy’ego względem

, 1

), a

ponadto

jest ciągłe w sensie Cauchy’ego względem

, 1

);

(v)

izometrią przestrzeni (

), 1

) w przestrzeń (

*, 1

), gdy:

@,@Î∊+

(

,*)=1

(

Â>, Â*>>;

vi>

przekształceniem jednostajnie ciągłym (ze względu na pare (1

, 1

>), gdy:

Ç\(-; >

Ö\-; >

> < × ~ 1

ÀÂ

>, Â

>Á < §F.

Uwaga o względnej równoważności ciągłości w sensie Cauchy’ego i ciągowej ciągłości. Uznaje się,

że w ZFC ciągłość w sensie Cauchy’ego jest równoważna ciągłości w sensie Heine’go, ale to wcale nie

znaczy, że pojęcia te są na pewno równoważne. Na przykład, w teorii ZF nie są one równoważne.

Można powiedzieć, że równoważność pojęć ciągłości w sensie Cauchy’ego i Heine’go nie jest

absolutną równoważnością, ale względną, gdyż uzyskuje się ją względem jakiegoś dogodnego do jej

uzasadnienia układu aksjomatów. Umawiamy się jednak, że na ogół o przekształceniach ciągłych w

sensie Cauchy’ego lub Heine’go będziemy mówić krótko przekształcenia ciągłe, bo zakładamy układ

ZFC, gdy nie wskazujemy, że jest inaczej, a ponadto prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie o równoważności ciągłości względem pary metryk i względem pary topologii

wyznaczonych przez te metryki. Załóżmy, że

jest metryką w zbiorze

), a 1

metryką w zbiorze

*. Przekształcenie Â:)⟶* jest ciągłe w sensie Cauchy’ego w punkcie \ ) względem pary metryk
(

, 1

) wtedy i tylko wtedy, gdy

Â jest ciągłe względem pary topologii (

> w punkcie .

Przekształcenie

Â:)⟶* jest ciągłe w sensie Cauchy’ego względem pary metryk (1

, 1

) wtedy

i tylko wtedy, gdy

Â jest ciągłe względem pary topologii (

Definicje przestrzeni metrycznych izometrycznych i homeomorficznych. Przestrzenie metryczne

(

), 1

) i (

*, 1

) nazywamy izometrycznymi (odpowiednio: homeomorficznymi), gdy istnieje

izometria (odp. homeomorfizm) przestrzeni (

), 1

) na (

*, 1

Definicja przestrzeni topologicznych homeomorficznych. Przestrzeni topologiczne

> i *,

nazywamy homeomorficznymi, gdy istnieje homeomorfizm przestrzeni

> na przestrzeń *,

Związek między izometriami, a homeomorfizmami. Każda izometria, która jest przekształceniem

„na” jest homeomorfizmem. Nie każdy homeomorfizm jest izometrią. Każda izometria przestrzeni
ℝ

z metryką euklidesową w tę samą przestrzeń jest „na”, a więc jest homeomorfizmem tej

przestrzeni na siebie.

Definicja autoizometrii przestrzeni metrycznej. Autoizometrią przestrzeni metrycznej

), 1>

nazywamy każdą izometrię przestrzeni

), 1> na przestrzeń ), 1>, to znaczy każde takie

przekształcenie

Â zbioru ) na zbiór ), że dla każdej pary , punktów zbioru ) zachodzi równość:

1ÀÂ(), Â>Á C 1, >.

Postać autoizometrii przestrzeni

. Okazuje się, że przekształcenie

Â:

⟶

, gdzie

#>0, jest

izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna

T=Ù

gÚ

Û stopnia #, o wszystkich

wyrazach

gÚ

rzeczywistych taka, że macierz

do niej transponowana jest macierzą T

odwrotną

T , a ponadto istnieją liczby rzeczywiste

, … . ,

takie, że dla każdego

, … ,

> ∊ ℝ

zachodzi równość:

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Â> C À

+ ∑

/Ú

ÚÝ/

, … ,

+ ∑

,Ú

ÚÝ/

Á.

Definicja autohomeomeorfizmu przestrzeni topologicznej. Autohomeomorfizmem przestrzeni

topologicznej

), > nazywamy każdy homeomorfizm przestrzeni ), > na przestrzeń ), >.

Definicja grupy przekształceń. Jeżeli

) jest ustalonym zbiorem, a Þ jest zbiorem przekształceń

wzajemnie jednoznacznych zbioru ) na zbiór ) takim, że złożenie dowolnych dwu przekształceń

ze zbioru Þ należy do Þ, przekształcenie identycznościowe tożsamość> na ) należy do Þ oraz

dla jakiegokolwiek przekształcenia należącego do Þ, przekształcenie odwrotne do niego też

należy do Þ, to Þ nazywamy grupą przekształceń.

Związek pojęcia grupy przekształceń z teorią grup. Jeżeli

Þ jest zbiorem wzajemnie jednoznacznych

przekształceń zbioru

) na ), to Þ jest grupą przekształceń wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Þ

wyposażony w działanie superpozycji przekształceń ze zbioru

Þ jest grupą.

Twierdzenie o zbiorze autoizometrii jako grupie przekształceń. Zbiór wszystkich autoizometrii

danej przestrzeni metrycznej jest grupą przekształceń.

Twierdzenie o zbiorze autohomeomorfizmów jako grupie przekształceń. Zbiór wszystkich

autohomeomorfizmów danej przestrzeni topologicznej jest grupą przekształceń.

Zadania.

Zadanie 35. Dla

,∊[-1;1], niech (,)=∣-∣, gdy oba punkty , należą do [-1;0) lub oba punkty

, należą do [0;1], a ponadto niech (,)=1, gdy jeden z punktów , należy do [-1; 0), a drugi do
[0;1].

Sprawdzić, że jest metryką w zbiorze -1; 1F.

Sprawdzić, czy metryka jest zupełna.

Sprawdzić, czy przekształcenie Â:[-1; 1F→ℝ jest ciągłe względem pary ( , 1>, gdzie 1 jest

metryką standardową wyznaczoną przez wartość bezwzględną> w , natomiast Â)=0

dla każdego ∊[-1; 0) oraz Â()=1 dla każdego ∊[0; 1].

Sprawdzić, czy zbiór [-1; 0) jest otwarty w ([-1; 1], ).

Zadanie 36. Uzasadnić, że izometria przestrzeni metrycznej w tę samą przestrzeń metryczną nie

musi być autoizometrią tej przestrzeni metrycznej.

Zadanie 37. Uzasadnić, że każde przekształcenie jednostajnie ciągłe jest ciągłe, ale nie na odwrót.

Zadanie 38. Załóżmy, że

jest metryką w

ℝ określoną, dla , \ ℝ, jak następuje:

(, ) = ß

min%1, | f |&, gdy , \ (f∞; 0]

min%1, | f |&, gdy , \ (0; O∞)

1, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków.

Niech

1 będzie metryką dyskretną w zbiorze 2 = %0,1& Sprawdzić, czy funkcja Â: ℝ → 2 taka, że

Â() = 0 dla każdego \ (f∞; 0] oraz Â() = 1 dla każdego \ (0; O∞) jest ciągła w sensie
Cauchy’ego w zerze względem pary metryk (

, 1). Naszkicować wykres tej funkcji.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadanie 39 . Załóżmy, że

jest metryką w

określoną, dla , \ , jak następuje:

, > C ß

min%1, | f |&, gdy , \ f∞; 0>

min%1, | f |&, gdy , \ 0; O∞>

1, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków.

Niech

1 będzie metryką dyskretną w zbiorze ℝ. Sprawdzić, czy funkcja Â: ℝ 8 ℝ taka, że Â> C O

1 dla każdego \ f∞; 0> oraz Â> C f 1 dla każdego \ 0; O∞> jest ciągła w sensie
Cauchy’ego w zerze względem pary metryk (

, 1>. Naszkicować wykres tej funkcji.

Zadanie 40. Sprawdzić, czy przekształcenie

Â: ℝ

8 ℝ

jest autoizometrią przestrzeni

ℝ

, gdy dla

każdego punktu

> \ ℝ

zachodzi równość:

> C 1 + 2

O 3

> C 1 f

, 2 f

> C f2 O

cos

sin

, 1 +

sin

cos

> C 1 +

cos

sin

, 4 O

sin

cos

Zadanie 41. Niech

y będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Sprawdzić, czy przekształcenie Â: ℝ

8 ℝ

jest autoizometrią przestrzeni

ℝ

, gdy dla każdego punktu

> \ ℝ

zachodzi równość:

> C 1 +

cos y f

sin y , 2 O

sin y O

cos y , f1 f

> C f3 O

cos y O

sin y , 1 +

sin y f

cos y , f1 +

> C 1 +

cos y f

sin y , 4 O

sin y O

cos y , f1 f

Zadanie 42. Uzasadnić, że przekształcenie

Â: ℝ 8 ℝ jest autoizometrią przestrzeni ℝ wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista

taka, że prawdziwa jest alternatywa:

@\ℝ

Â> C O ) ã ?

@\ℝ

Â> C f ) .

Zadanie 43. Niech

będą topologiami w zbiorze

) i niech id

oznacza przekształcenie

tożsamościowe na

). Uzasadnić, że:

jest ciągłe względem pary (

> wtedy i tylko wtedy, gdy

⊆

;

jest homeomorfizmem przestrzeni topologicznej

> na przestrzeń topologiczną

> wtedy i tylko wtedy, gdy

Zadanie 44. Niech

1 będzie metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną w ℝ, natomiast

metryką dyskretną w

ℝ. Uzasadnić, że id

ℝ

jest ciągłe względem pary

, 1>, ale nie jest ciągłe

względem pary

1, >.

Zadanie 45. Uzasadnić, że dowolne dwa niezdegenerowane przedziały otwarte w

ℝ są

homeomorficzne.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Wykład 8.

Oddzielanie i twierdzenie Tietze’go o przedłużaniu funkcji ciągłych.

Mówiliśmy już, że przestrzenie metryczne spełniają warunek Hausdorffa. Okazuje się, że mają one

silniejsze niż Hausdorffa własności oddzielania punktów i zbiorów.

Definicja przestrzeni regularnej. Przestrzeń topologiczną

), > nazywamy przestrzenią regularną,

gdy dla każdego zbioru

T domkniętego w tej przestrzeni i każdego punktu \ ) « T, istnieje para

, rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni taka, że T ⊆ i \ .

Twierdzenie o regularności przestrzeni metrycznych. Dla każdej przestrzeni metrycznej

), 1>,

przestrzeń topologiczna

> jest regularna.

Dowód. Niech

T będzie niepustym zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej ), 1> i niech

\ ) « T. Funkcja Â: ) 8 ℝ określona, dla każdego \ ), wzorem: Â> C 1, T>, jest ciągła.
Ponadto, liczba

C Â> jest dodatnia, gdyż punkt nie należy do zbioru domkniętego T. Niech

C % \ ): Â> <

p
`

& oraz C % \ ): Â>

p
`

& . Zbiory , są oba otwarte w ), 1>, rozłączne,

T ⊆ i \ .■

Twierdzenie o oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej. Niech

T, U

będzie parą niepustych rozłącznych zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej

), 1> oraz niech

, " \ ℝ będą takie, że < ". Istnieje wówczas funkcja ciągła ä: ) 8 ; "F taka, że T ⊆ ä

> i

U ⊆ ä

">.

Dowód. Zauważmy, że funkcja

Â: ) 8 ℝ określona, dla każdego \ ), wzorem:

Â> C

1, T>

1, T> O 1, U>

jest ciągła. Niech

å: 0; 1] 8 ; "F będzie funkcją liniową określoną równaniem: å(> C " f > O

. Funkcja ä C å æ Â jest ciągła oraz T ⊆ ä

> i U ⊆ ä

">. ■

Uwaga. Powyższe twierdzenie jest dowodzone w teorii ZF. Istnieje w teorii ZFC odpowiednik tego

twierdzenia dla przestrzeni topologicznych normalnych zwane Lematem Urysohna, który jest

niedowodliwy w ZF.

Definicja przestrzeni normalnej. Przestrzeń topologiczną

), > nazywamy normalną, gdy dla każdej

pary

T, U rozłącznych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni istnieje para , rozłącznych zbiorów

otwartych w tej przestrzeni taka, że

T ⊆ i U ⊆ .

Twierdzenie o normalności przestrzeni metrycznych. Jeżeli

), 1> jest przestrzenią metryczną, to

przestrzeń topologiczna

> jest normalna.

Twierdzenie Tietze’go . Niech

będzie zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej ), 1>,

natomiast

Â: 8 ℝ funkcją ciągłą względem 1

i metryki standardowej w

ℝ. Istnieje wówczas ciągła

względem

1 i metryki standardowej w ℝ funkcja Âç: ) 8 ℝ taka, że Âç(> C Â> dla każdego \ .

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Dowód w ZF. Załóżmy najpierw dodatkowo, że funkcja

Â jest ograniczona. Niech è będzie liczbą

rzeczywistą dodatnią taką, że

|Â>| ≤ è dla każdego \ i niech

`
^

dla

# \ ' « 1.

Określamy

C Â. Przypuśćmy, że dla liczby # \ ' « 1 , określiliśmy już funkcję ciągłą

: 8 f3

; 3

F. Niech

C % \ : Â

> M f

& i U

C % \ : Â

> ê

Zbiory

, U

są rozłączne oraz domknięte w

. Skoro jest zbiorem domkniętym w ), to zbiory

, U

są domknięte w

). Z twierdzenia o oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych wynika, że

istnieje funkcja ciągła

: ) 8 f

;

F taka, że T

⊆ ë

> i U

⊆ ë

>, którą można

określić według ustalonej reguły, omijając pewnik przeliczalnego wyboru. Niech

C Â

f ë

Ì .

Zasada indukcji kończy konstrukcję ciągów funkcyjnych

> i ë

>. Zauważmy, że dla każdego \

zachodzi nierówność:

|Â

>| M 2

C 3

, więc

lim

> C 0. Skoro szereg liczbowy

∑

,Ý/

jest zbieżny, a

|ë

| M

, to szereg funkcyjny

∑

,Ý/

jest zbieżny jednostajnie na

). Suma Âç

jednostajnie zbieżnego szeregu

∑

,Ý/

funkcji ciągłych na

) jest funkcją ciągłą na ). Niech \

i niech

> będzie #-tą sumą częściową szeregu liczbowego ∑

,Ý/

>. Widać, że ì

> C

> f Â

> O Â

> f Â

> O í O Â

,./

> f Â

> O Â

> f Â

> C Â

> f Â

> C

Â> f Â

>, więc Âç> C lim

> C Â>, co kończy dowód w przypadku, gdy funkcja Â

jest ograniczona.

Załóżmy teraz, że funkcja

Â nie jest ograniczona. Rozważmy funkcję î C arc tg Â. Funkcja

î: 8 f

;

> jest ograniczona, więc wobec pierwszej już zakończonej części dowodu, istnieje

funkcja ciągła

îï: ) 8 ℝ taka, że îï(> C î> dla każdego \ . Niech C % ∊ ): ðîï>ð ê

Zbiór

jest domknięty w ) oraz rozłączny ze zbiorem domkniętym . Wobec lematu o

oddzielaniu funkcjami zbiorów domkniętych w przestrzeni metrycznej, istnieje funkcja ciągła

ä: ) 8 0; 1F taka, że ä

0> i ä

1>. Funkcja Âç C tgä · îF

ñ jest ciągła na ) i taka, że

Âç(> C Â> dla każdego \ .■

Uwaga. Twierdzenie Tietze’go dla przestrzeni metrycznych udowodnione jest w teorii ZF.

Twierdzenie to ma uogólnienie do Twierdzenia Tietze’go-Urysohna dla przestrzeni topologicznych

normalnych, ale jego dowód przeprowadza się z użyciem pewnika przeliczalnego wyboru (CC) w teorii

ZF+(CC) ze względu na zastosowanie w dowodzie niedowodliwego w ZF lematu Urysohna.

Zadania.

Zadanie 46. Uzasadnić, że funkcja Â: 0; O∞> 8 nie jest przedłużana w sposób ciągły na całą

przestrzeń , gdy Â> C sin

dla każdego \ 0; O∞>.

Zadanie 47. Niech przestrzeń ) C « %0& będzie wyposażona w topologię naturalną. Uzasadnić, że
każdą funkcję ciągłą Â: 0; O∞> 8 można przedłużyć na całą przestrzeń ) do funkcji ciągłej.

Zadanie 48. Udowodnić, że dla każdego zbioru T domkniętego w przestrzeni metrycznej ), 1> i dla
każdego punktu \ ) « T, istnieje funkcja ciągła Â: ) 8 0; 1F taka, że Â> C 0 i T Â

1>.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zadanie 49. Niech przestrzeń

) C 0; 2> $ 3; 5F będzie wyposażona w topologię naturalną. Dla

zbiorów

T C 1; 2> i U C 3; 4F wskazać funkcję ciągłą Â: ) 8 0; 1] taką, że T ⊆ Â

0> i

U ⊆ Â

1>. Narysować wykres tej wskazanej funkcji.

Zadanie 50. Niech

1 będzie metryką w wyznaczoną przez wartość bezwzględną. Narysować wykres

funkcji

Â określonej wzorem: Â> C 1, ò> dla każdego \ .

Wykład 9.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych.

Uznaje się, że współczesne definicje przestrzeni zwartej i zbioru zwartego w przestrzeni pochodzą od

L. Vietorisa [1891-2002] oraz P. Aleksandrowa [1896-1982] i P. Urysohna [1898-1924] z lat

dwudziestych poprzedniego wieku. Do określenia zwartości pokryciowej potrzebne jest pojęcie

pokrycia otwartego.

Definicje pokrycia otwartego zbioru w przestrzeni i zwartości pokryciowej. Niech (

), 1) (odp.

(

),)) będzie przestrzenią metryczną (odp. topologiczną) i niech T⊆).

(i)

Pokryciem otwartym zbioru

T w przestrzeni (),1) (odp. (),)) nazywamy rodzinę

zbiorów otwartych w tej przestrzeni taką, że

T⊆$

∊

(ii)

Mówimy, że zbiór T jest zwarty w przestrzeni (), 1) (odp. (),)), gdy dla każdego
pokrycia otwartego

zbioru T w tej przestrzeni istnieje skończona rodzina ó taka, że

(iii)

Przestrzeń (), 1) (odp. (),)) nazywamy zwartą, gdy zbiór ) jest w niej zwarty.

Uwaga. Ponieważ zwartość zbioru w przestrzeni metrycznej

(), 1> jest tym samym co zwartość tego

zbioru w przestrzeni topologicznej

), gdy wyznaczenie topologii przez metrykę nie będzie

odgrywało żadnej istotnej roli w badaniu zwartości, będziemy rozważać zwartość w przestrzeni

topologicznej. Dla wygody, gdy nie doprowadzi to do nieporozumień, przestrzeń topologiczną (

°,)

będziemy oznaczać krótko

° i zwać przestrzenią.

Umowa dotycząca pojęcia zbioru skończonego. Przez zbiór skończony lub prawdziwie skończony

będziemy tu rozumieć zbiór równoliczny z pewnym elementem klasy

'. Zbiór Ä fskończony lub

skończony w sensie Dedekinda to zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym ze swoich podzbiorów

właściwych. W teorii ZFC zbiór jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on

Ä fskończony,

natomiast w teorii ZF nie można wykluczyć istnienia zbiorów

Ä fskończonych, które nie są

prawdziwie skończone. Zatem przechodząc z teorii ZFC do ZF z pojęciem zwartości, należy nie mylić

pojęć zbioru skończonego i

Ä fskończonego oraz postępować z nimi ostrożnie. W niektórych

pozycjach literatury zbiory

Ä- skończone bywały nazywane skończonymi. Niektórzy stosują inne

oznaczenie

Ä fskończoności.

Trudności ze sprawdzaniem skończoności w fizyce. Według niektórych źródeł, na przykład według

Wikipedii, w „widzialnym” wszechświecie jest mniej więcej tylko

ôõ

cząstek elementarnych, nie

włączając ciemnej materii. W praktyce, choć wiemy, że na pewno w pomieszczeniu, w którym teraz

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

przebywamy są na przykład elektrony, nie jesteśmy w stanie wskazać funkcji ustalającej

równoliczność jakiegoś elementu klasy

' z totalnością ö tych wszystkich i tylko tych elementów,

które są dzisiaj elektronami w tym pomieszczeniu. Nie jesteśmy w stanie w pełni wiarygodnie

udowodnić, że jeśli totalność

ö jest zbiorem, to zbiór ö jest skończony w sensie Dedekinda, ale

możemy wykazać , że przedstawiciel tego zbioru

ö w dogodnie do tego dobranym modelu

matematycznym jest zbiorem skończonym. W jakimś innym modelu, przedstawiciel kolekcji

wszystkich elektronów w tym pomieszczeniu może nie być wcale zbiorem tylko klasą właściwą, która

w teorii zawierającej dogodny aksjomat zastępowania (F) na pewno nie jest równoliczna z żadną

liczbą naturalną z klasy

', a więc nie jest zbiorem prawdziwie skończonym.

Definicja rodziny pokrywającej zbiór. Mówimy, że rodzina

÷ podzbiorów zbioru ° pokrywa zbiór

T⊆°, gdy T⊆$

∊÷

C$ ÷.

Definicję zbioru zwartego w przestrzeni topologicznej możemy sformułować następująco:

Definicja zbioru zwartego. Zbiór

T ⊆ ) jest zwarty w przestrzeni topologicznej ) dokładnie wtedy,

gdy każda pokrywająca zbiór

T rodzina zbiorów otwartych w ) zawiera podrodzinę skończoną

pokrywającą zbiór

Zwartość przedziału [0; 1] w teorii ZF. Niech

, " \ i É ". To, że przedział ; "F z topologią

naturalną jest przestrzenią zwartą można dowieść w teorii ZF, czyli bez użycia pewnika wyboru.

Mianowicie, niech

będzie rodziną zbiorów otwartych w ℝ pokrywającą przedział ; "F i niech

będzie kresem górnym zbioru wszystkich tych

\ ; "F, dla których istnieje skończona rodzina

> ⊆ pokrywajaca przedział ; F. Korzystając z definicji kresu górnego, sprawdza się, że C ",
co dowodzi zwartości

; "F w ZF.

Poniższe twierdzenie charakteryzujące zwarte podzbiory przestrzeni

ℝ

z topologią naturalną bywa

w literaturze zwane twierdzeniem Borela-Heine’go, ale według oryginalnych źródeł historycznych

należałoby je uznać za twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a, które uznaje się za prawdziwe w ZF.

Twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a. Zbiór

T⊆ℝ

jest zwarty w przestrzeni

ℝ

z topologią

naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy

T jest domknięty w tej przestrzeni i ograniczony ze względu na

metrykę euklidesową w

ℝ

Twierdzenie o dziedziczeniu zwartości przez zbiory domknięte. Każdy zbiór domknięty w przestrzeni

zwartej jest zwarty w tej przestrzeni.

Dowód w ZF. Załóżmy, że

T jest zbiorem domkniętym w przestrzeni zwartej ), natomiast jest

rodziną zbiorów otwartych w

) pokrywającą zbiór T. Wtedy rodzina $ %) « T& jest pokryciem

otwartym przestrzeni

), więc, na mocy zwartości ), istnieje skończona rodzina ó⊆ taka, że

ó $ %) « T& pokrywa zbiór ). Wtedy rodzina ó pokrywa zbiór T.■

Twierdzenie o domkniętości zbiorów zwartych w przestrzeniach spełniających warunek

Hausdorffa. Każdy zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej spełniającej warunek Hausdorffa jest

domknięty w tej przestrzeni; w szczególności, każdy zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest

domknięty w tej przestrzeni.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Dowód w ZF. Załóżmy , że

T jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni topologicznej )

spełniającej warunek Hausdorffa, natomiast

\ ) « T. Niech będzie rodziną wszystkich tych

zbiorów otwartych w

), których domknięcia w ) nie zawierają punktu . Skoro przestrzeń ) spełnia

warunek Hausdorffa, to rodzina

pokrywa zbiór T. Ponieważ T jest zbiorem zwartym, istnieje

skończona rodzina

ó⊆ pokrywająca zbiór T. Zbiór C ) «$

\ó

jest otwarty w przestrzeni ),

rozłączny z

T, ponadto \ . Zatem ¬ cl

T. Stąd wnioskujemy, że T C cl

T, więc T jest zbiorem

domkniętym w

).■

Zadania.

Zadanie 51. Wskazać jakieś pokrycie otwarte przestrzeni wszystkich liczb rzeczywistych z topologią

naturalną, które nie ma podpokrycia skończonego tej przestrzeni.

Zadanie 52. Udowodnić, że przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

skończona.

Zadanie 53. Udowodnić, że zbiór

T C ø

: # \ 'ù $ %0& jest zwarty w .

Zadanie 54. Udowodnić, że przedziały (0; 2], (0;

+∞>, 0; +∞> nie są zbiorami zwartymi w

wskazując jakieś ich pokrycia otwarte, które nie zawierają rodzin skończonych pokrywających
te przedziały.

Zadanie 55. Uzasadnić, że każdy zbiór skończony w danej przestrzeni topologicznej jest zbiorem

zwartym w tej przestrzeni.

Zadanie 56. Wykorzystując twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a, odpowiedzieć z uzasadnieniem

na następujące pytanie: które ze zbiorów

0; 1F

0; 1>

ℤ7 0; 1F 7 %1&, 0; O∞>

są zwarte w

przestrzeni

ℝ

Wykład 10.

Ciąg dalszy zwartości.

Twierdzenie o obrazach ciągłych zbiorów zwartych. Niech

° i * będą przestrzeniami

topologicznymi, a

Â:°→* przekształceniem ciągłym . Wówczas, dla każdego zbioru T zwartego w °,

zbiór

Â(T) jest zwarty w *.

Dowód. Niech

T ⊆ ) będzie zbiorem zwartym. Załóżmy, że jest pokrywającą zbiór ÂT> rodziną

zbiorów otwartych w

*. Skoro Â jest ciągłe, to wszystkie zbiory Â

>, gdzie \ , są otwarte w

). Ponieważ, oczywiście, rodzina %Â

>: \ & pokrywa zbiór zwarty T, istnieje skończona

rodzina

ó⊆ taka, że rodzina %Â

>: \ ó& pokrywa zbiór T. Wówczas zbiór ÂT> jest pokryty

przez rodzinę

ó.■

Twierdzenie o jednostajnej ciągłości funkcji ciągłych na zbiorach zwartych. Niech

), 1> i *, >

będą przestrzeniami metrycznymi, a

Â: ) → * przekształceniem ciągłym (w sensie Cauchy’ego) ze

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

względu na parę

1, >. Jeżeli ), 1> jest przestrzenią zwartą, to Â jest jednostajnie ciągłe ze względu

1, >.

Dowód w ZF. Niech

§ \ 0;

O∞>. Ponieważ Â jest ciągłe w sensie Cauchy’ego w każdym punkcie

przestrzeni

), dla każdego \ ), istnieje najmniejsza liczba naturalna #

0 taka, że

Â ús

Å,

Æü ⊆ s

ÅÂ>,

Ç
`

Æ. Ze zwartości przestrzeni ), 1> wynika, że istnieje skończone

podpokrycie

ó pokrycia C %s

Å,

Æ ; \ )&. Niech ì ⊆ ) będzie zbiorem skończonym takim,

że ó=%s

Å,

Æ : \ ì&. Przyjmijmy ¹ C max%#

\ ì& i × C

`¸

. Niech

\ )

będą

takie, że 1(

) É ×. Istnieje

\ ì takie, że

\ s

(

ûÃ

). Wtedy 1(

> M 1

> O

> É

`¸

ûÃ

, zatem

\ s

(

ûÃ

). Wobec tego Â(

), Â

> \ s

Ç
`

Stąd wnioskujemy, że ÀÂ(

), Â(

)Á É §.■

Uwaga o twierdzeniu Heine’go. Gdy jeszcze nie było dobrze ukształtowane pojęcie zwartości, w

1872 roku Heine udowodnił, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale

; "F, gdzie

, " \ ℝ i É ", jest jednostajnie ciągła. Dlatego powyższe twierdzenie o jednostajnej ciągłości
funkcji ciągłych na zwartych przestrzeniach metrycznych jest uogólnieniem twierdzenia Heine’go.

Z powodu tego twierdzenia Heine’go, twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a bywa uznawane za

twierdzenie Heine’go-Borela.

E. Heine [1821-1881] ( Niemcy).

Twierdzenie o zwartości produktu dwu przestrzeni zwartych. Niech

)

i * będą przestrzeniami

topologicznymi zwartymi. Wówczas ich produkt

) 7 * jest przestrzenią zwartą.

Dowód. Niech

÷ C %

: \ ì& będzie rodziną zbiorów taką, że wszystkie zbiory

są otwarte

), wszystkie zbiory

są otwarte w

* oraz ½

> C ) 7 *. Załóżmy, że obie przestrzenie

), * są niepuste. Niech będzie rodziną wszystkich tych zbiorów otwartych w *, dla których
istnieje zbiór skończony

ì> ⊆ ì taki, że ) 7 ⊆ ½

> . Pokażemy, że jest

pokryciem otwartym przestrzeni

*. Niech \ *. Zbiór ) 7 %& jest zwarty w ) 7 *, gdyż ) jest

przestrzenią zwartą. Istnieje więc zbiór skończony

⊆ ì taki, że ) 7 %& ⊆ ½

>. Niech

> C ±%

: \ ì

Ê \

&. Widać, że \ > \ . Zatem rodzina pokrywa przestrzeń *.

Skoro

* jest przestrzenią zwartą, to istnieje skończona rodzina

⊆ i pokrywająca zbiór *. Wtedy

rodzina

C %

: \ ½

ì>} jest skończonym podpokryciem pokrycia ÷.■

Korzystając z indukcji matematycznej, z powyższego twierdzenia wysnuwamy następujący wniosek:

Wniosek. Produkt skończenie wielu przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą.

Uwaga o twierdzeniu Tichonowa. Ostatni wniosek, w którego dowodzie nie korzystaliśmy z pewnika

wyboru, ma uogólnienie w teorii ZFC do słynnego twierdzenia Tichonowa o tym, że produkt

dowolnie wielu (nawet nieskończenie wielu) przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą, ale do

dowodu twierdzenia Tichonowa niezbędny jest pewnik wyboru.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Metryki całkowicie ograniczone, a ośrodkowość.

Definicja metryki całkowicie ograniczonej. Metrykę

1 w zbiorze ° nazywamy całkowicie

ograniczoną, gdy dla każdego

§∊(0; +∞) istnieje zbiór skończony

(§)⊆° taki, że dla każdego ∊°

istnieje

∊

(§) takie, że 1(, )<§.

Definicja

fsieci. Jeżeli 1 jest metryką w zbiorze °, natomiast §∊(0; +∞), to §-siecią lub zbiorem

gęstym z dokładnością do § w przestrzeni metrycznej (), 1) nazywamy każdy zbiór T ⊆ ) taki, że:

@\+

1(, ) É §.

Twierdzenie w ZFC o ośrodkowości przestrzeni z topologią wyznaczoną przez metrykę całkowicie

ograniczoną. Jeżeli

1 jest metryką całkowicie ograniczoną w zbiorze ), to w teorii ZFC przestrzeń

metryczna (), 1) jest ośrodkowa.

Dowód. Dla każdego

# \ ', niech

będzie rodziną wszystkich skończonych

fsieci przestrzeni

metrycznej (), 1). Wykorzystując pewnik przeliczalnego wyboru, każdemu # \ '
przyporządkowujemy jakiś jeden zbiór T

. W ZFC zbiór T =$

,\£

jest przeliczalny.

Oczywiście, T jest zbiorem gęstym w (), 1)

.■

Zadania.

Zadanie 57. Uzasadnić, że jednocześnie wzajemnie jednoznaczne i ciągłe przekształcenie przestrzeni

topologicznej zwartej na przestrzeń topologiczną spełniającą warunek Hausdorffa jest

homeomorfizmem.

Zadanie 58. Czy każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie ciągłe zwartej przestrzeni

topologicznej na zwartą przestrzeń topologiczną jest homeomorfizmem?

Zadanie 59. Czy każde wzajemnie jednoznaczne przekształcenie ciągłe zwartej przestrzeni

topologicznej na zwartą przestrzeń metryczną jest homeomorfizmem?

Zadanie 60. Uzasadnić, że metryka standardowa (wyznaczona przez wartość bezwzględną ) w

ℝ nie

jest całkowicie ograniczona.

Zadanie 61. Dla

,∊ℝ, niech (,)=∣arctg – arctg ∣. Sprawdzić, czy metryka w ℝ jest

całkowicie ograniczona.

Zadanie 62. Uzasadnić, że jeśli

)

, 1> jest przestrzenią metryczną, to metryka 1 jest całkowicie

ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej

§ 0 istnieje skończone pokrycie

tej przestrzeni zbiorami domkniętymi w niej o średnicach nie przekraczających

§.

Zadanie 63. Wykazać, że podprzestrzeń metryczna przestrzeni metrycznej całkowicie ograniczonej

jest całkowicie ograniczona.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Wykład 11.

Przeliczalna i ciągowa zwartość w klasie przestrzeni metrycznych.

Równoważność pojęć zwartości, przeliczalnej zwartości i ciągowej zwartości podzbiorów

przestrzeni metrycznych w teorii ZFC. W teorii ZFC, dla każdego niepustego podzbioru

T przestrzeni

metrycznej (

°,1), następujące warunki są równoważne:

(i)

T jest zbiorem zwartym w (°,1);

(ii)

dla każdej przeliczalnej pokrywającej zbiór

T rodziny ÷ zbiorów otwartych w (°,1)

istnieje skończona podrodzina rodziny

÷ pokrywająca zbiór T (tzn., T jest przeliczalnie

zwartą podprzestrzenią przestrzeni (°,1);

(iii)

każdy ciąg punktów zbioru T ma w przestrzeni (°,1) punkt skupienia należący do T;

(iv)

każdy ciąg punktów zbioru T zawiera podciąg zbieżny w (°,1) do jakiegoś punktu zbioru
T (tzn. T jest ciągowo zwartą podprzestrzenią przestrzeni (°, 1)) .

Dowód. Wynikanie (i)

Ô(ii) oraz równoważność (iii)

(iv) są oczywiste. Załóżmy (ii) i przypuśćmy, że

warunek (iii) nie jest spełniony, a (

), jest ciągiem punktów zbioru T nie mającym punktu skupienia

należącego do T. Dla # \ ', niech Í

= cl

: # ⊆ È& oraz

C ) « Í

. Skoro ciąg

> nie ma

punktu skupienia w zbiorze

T, to T ⊆$

,\£

. Z (ii) wnioskujemy, że istnieje

¹ \ ' takie, że

T ⊆$

,\¸/

. Stąd wynika, że dla takiego

¹ zbiór T Í

jest pusty, co jest niemożliwe.

Zatem implikacja (ii)

Ô(iii) jest prawdziwa w ZFC.

Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek (iii). Przypuśćmy, że metryka

nie jest całkowicie

ograniczona na zbiorze

. Wtedy w ZFC, dla pewnego §∊(0; +∞), indukcyjnie możemy określić ciąg

(

> punktów zbioru T taki, że 1(

> ê § dla wszystkich e, Ï takich, że e r Ï oraz e, Ï \ '. Ciąg

(

> nie ma punktu skupienia w przestrzeni metrycznej (T, 1

), co przeczy (iii). Wobec tego, gdy

zachodzi (iii), metryka

jest całkowicie ograniczona, a zatem przestrzeń metryczna T

, 1

> jest

ośrodkowa w ZFC. Niech

T będzie przeliczalnym zbiorem gęstym w (T, 1

> i niech będzie

rodziną zbiorów otwartych w

(), 1> pokrywającą zbiór T. Niech ℬ={s

Å,

Æ : \ i # \ '& oraz

ℬ

C %U \ ℬ:

U ⊆ &. Rodzina ℬ

jest przeliczalna. Dla każdego

U \ ℬ

, niech

U> C % \

: U ⊆ &. Wykorzystując pewnik przeliczalnego wyboru, każdemu ze zbiorów U \ ℬ

przyporządkujmy po jednym zbiorze U() \ (U) i zauważmy, że rodzina % U()

: U \ ℬ

& jest

przeliczalna, zawarta w

i pokrywa zbiór T

. Wykażemy, że z niej można wybrać rodzinę skończoną

pokrywającą zbiór

T. W tym celu, przypuśćmy, że jakaś przeliczalna rodzina ó={

: È \ '& zbiorów

otwartych w

)

, 1> pokrywa zbiór T, lecz żadna jej skończona podrodzina nie pokrywa zbioru T.

Wykorystując pewnik przeliczalnego wyboru, znajdujemy ciąg

(

> punktów zbioru T taki, że

\ T «$

m\,/

. Taki ciąg

(

> nie ma żadnego punktu skupienia w przestrzeni metrycznej

(T, 1

), wbrew (iii). Zatem w teorii ZFC implikacja (iii)

Ô(ii) jest prawdziwa oraz prawdziwa jest

implikacja (iii)

Ô(i). W

Uwaga o twierdzeniu Bolzano-Weierstrassa . W rachunku różniczkowym podaje się jako

twierdzenie Bolzano-Weierstrassa to, że każdy ciąg ograniczony liczb rzeczywistych ma podciąg

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

zbieżny do jakiejś liczby rzeczywistej. Stąd i z własności ciągów liczbowych zbieżnych można

wywnioskować, że każdy przedział domknięty

; "F ⊆ ℝ, gdzie É "

jest przestrzenią ciągowo

zwartą, ale w teorii ZF, ciągowa zwartość w klasie przestrzeni metrycznych nie może być uznana za

na pewno równoważną zwartości w klasie przestrzeni metrycznych.

Całkowita ograniczoność i zupełność metryk, a zwartość.

Twierdzenie o całkowitej ograniczoności i zupełności metryk przestrzeni zwartych. Jeżeli przestrzeń

metryczna

), 1> jest zwarta, to metryka 1 jest jednocześnie całkowicie ograniczona i zupełna.

Dowód w ZF. Niech

), 1> będzie przestrzenią metryczną zwartą. Niech §∊(0; +∞). Rodzina

={s

, §>: \ )& jest pokryciem otwartym przestrzeni ), 1>. Skoro przestrzeń ta jest zwarta, to

istnieje skończony zbiór

T ⊆ ) taki, że rodzina %s

, §>: \ T& pokrywa zbiór ). Taki zbiór T jest

§ fsiecią w ), 1>.

Załóżmy teraz, że

> jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni ), 1>. Ponieważ przestrzeń ta jest

zwarta, ciąg

> ma w ), 1> punkt skupienia. Jednakże, ciąg Cauchy’ego mający punkt skupienia

, jest zbieżny do punktu . Wobec tego, metryka 1 jest zupełna.■

Warunki konieczne i wystarczające na zwartość przestrzeni metrycznej w terminach całkowitej

ograniczoności i zupełności metryki w teorii ZFC. Wiadomo, że w teorii ZFC warunkiem koniecznym

i wystarczającym na to, aby przestrzeń metryczna (

°, 1) była zwarta jest jednoczesna całkowita

ograniczoność i zupełność metryki

1. Ponadto, wiadomo że, w teorii ZFC prawdą jest, iż przestrzeń

metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda metryka wyznaczająca topologię tej przestrzeni

jest całkowicie ograniczona, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy każda metryka wyznaczająca

topologię tej przestrzeni jest zupełna.

Ostrzeżenie: wątpliwe w ZF warunki konieczne i wystarczające na zwartość przestrzeni metrycznej

w terminach całkowitej ograniczoności i zupełności metryki (Wajch) . Nie można wykluczyć w teorii

ZF, że istnieje przestrzeń metryczna niezwarta, której metryka jest jednocześnie całkowicie

ograniczona i zupełna. Mianowicie, gdy

) ⊆ 0; 1F, jest nieskończonym zbiorem Ä-skończonym, to

zbiór

) nie jest domknięty w [0; 1] z topologią naturalną, a metryka wyznaczona przez wartość

bezwzględną w

) jest całkowicie ograniczona i zupełna, ale zbiór ) nie jest zwarty w ℝ, bo nie jest

domknięty w przestrzeni spełniającej warunek Hausdorffa. Istnienie takiego zbioru

) jest

niesprzeczne z ZF. W literaturze podany jest fakt, że każdy ciąg (nieskończony) punktów takiego

zbioru

) ma tylko skończenie wiele wartości, więc zawiera podciąg zbieżny do punktu zbioru

), a

przestrzeń

) z topologią naturalną nie jest ośrodkowa. Ponadto, każda metryka wyznaczająca

topologię naturalną takiego zbioru

) jest zupełna. Nie jest mi znana w ZF uzupełnionym o

zaprzeczenie pewnika wyboru przeliczalnego (CC) żadna idea konstrukcji niezwartej przestrzeni

metryzowalnej takiej, że każda metryka wyznaczająca topologię tej przestrzeni musiałaby być

całkowicie ograniczona. Ekspert w tej dziedzinie, K. Kunen potwierdził, że problem ten jest

interesujący, ale, podobnie jak ja, teraz nie wie jak go rozwiązać. Poprawnego rozwiązania tego

problemu nie zna też mistrz w tej dziedzinie matematyk niemiecki H. Herrlich. Możemy jednak

uzasadnić, że jeśli X jest przestrzenią metryzowalną taką, że każda metryka wyznaczająca jej

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

topologię jest całkowicie ograniczona, to każda taka metryka na

) jest też zupełna; ponadto, dla

każdej przestrzeni topologicznej

), która jest podprzestrzenią przestrzeni metryzowalnej * takiej, że

) nie jest zbiorem domkniętym w *, istnieje metryka nieograniczona w zbiorze ) wyznaczająca
topologię przestrzeni

). Metrykę w zbiorze ) nazywamy metryką ograniczoną, gdy istnieją \ )

oraz

§ \ 0;

O∞> takie, że ) C s

, §>.

Zadania.

Zadanie 64. Udowodnić w ZFC twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a.

Zadanie 65. Uzasadnić, że jeśli zbiór

jest zwarty w przestrzeni metrycznej (°, 1

), natomiast zbiór

jest zwarty w przestrzeni metrycznej (

*, 1

), to zbiór

7 jest zwarty w przestrzeni metrycznej

(°7 *, 1), gdzie 1((

), (

))= max%1

(

), 1

(

)} dla dowolnych punktów

(

), (

) przestrzeni °7 *.

Zadanie 66. Uzasadnić, że jeśli

T jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej (), 1),

natomiast

\ ) « T, to 1(, T) 0.

Zadanie 67. Niech

T, U będzie parą rozłącznych podzbiorów niepustych przestrzeni metrycznej (), 1).

Udowodnić, że jeśli

T jest niepustym zbiorem zwartym w przestrzeni metrycznej (), 1), natomiast U

jest niepustym zbiorem domkniętym w

(), 1) rozłącznym z T, to 1(T, U) 0.

Zadanie 68. Czy odległość między dwoma niepustymi rozłącznymi zbiorami domkniętymi w

przestrzeni metrycznej musi być dodatnia?

Zadanie 69. Udowodnić, że każda izometria przestrzeni metrycznej zwartej w siebie jest

autoizometrią tej przestrzeni.

Zadanie 70. Niech

będzie metryką w zbiorze

), a 1

metryką w zbiorze

*, natomiast

1((

), (

))= 1

(

)+ 1

(

) dla dowolnych punktów (

), (

) zbioru

°7 *. Udowodnić, że:

metryka 1 w zbiorze ) 7 * jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy metryki

i 1

są całkowicie ograniczone;

metryka 1 jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy metryki 1

i 1

są zupełne.

Zadanie 71. Sprawdzić, że funkcja

1: ' 7 ' 8 ℝ jest metryką w zbiorze ' wszystkich liczb

całkowitych nieujemnych von Neumanna, gdy

1(, ) =

dla wszystkich , \ '. Wskazać

jakiś skończony gęsty z dokładnością do

`õ

podzbiór przestrzeni metrycznej

(', 1). Sprawdzić, czy

ciąg

(

), gdzie

= 2# dla każdego # \ ', jest ciągiem Cauchy’ego w (', 1).

Problem dla chętnych. Rozstrzygnąć, czy na pewno twierdzenie Borela-Cousina-Lebesgue’a

powinno się uznać za dowodliwe w ZF.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Wykład 12.

Pseudozwartość w klasie przestrzeni metryzowalnych.

Do zrozumienia związku zwartości przestrzeni metrycznej z ograniczonością wszystkich

rzeczywistych funkcji ciągłych na tej przestrzeni, przyda nam się twierdzenie Tietze’go o

przedłużaniu rzeczywistych funkcji ciągłych na domkniętych podprzestrzeniach przestrzeni

metrycznych.

Twierdzenie o równoważności w ZFC pojęć zwartości i pseudozwartości w klasie przestrzeni

metryzowalnych. W teorii ZFC, dla każdego niepustego podzbioru

T przestrzeni metrycznej (°,1),

następujące warunki są równoważne:

(i)

T jest zbiorem zwartym w (°,1);

(ii)

każda funkcja

Â: T→ℝ ciągła względem 1

i metryki standardowej w

ℝ (krótko,

rzeczywista funkcja ciągła na

T) jest ograniczona (tzn. T jest pseudozwartą

podprzestrzenią przestrzeni (

°,1));

(iii)

dla każdej funkcji ciągłej

Â:T→ℝ istnieją punkty

,"∊T takie, że dla każdego ∊T

zachodzą nierówności: Â()M Â() M Â(").

Dowód. Załóżmy (i) oraz niech

Â: T8ℝ będzie funkcją ciągłą względem 1

i metryki standardowej w

ℝ.

Rodzina %Â

((f#; #)): # \ '& jest pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej zwartej

(T, 1

), więc ma podrodzinę skończoną pokrywającą zbiór T. Istnieje zatem ¹ \ ' takie, że

T ⊆ Â

((f¹; ¹)), co dowodzi, że Â jest funkcją ograniczoną. Istnieją zatem w ℝ liczby

, N

takie, że

= inf Â(T) oraz N

= sup Â(T). Wykorzystując definicje kresów i zwartość zbioru T,

można teraz wynioskować, że istnieją punkty ,"∊T takie, że Â() =

i Â(") = N

. Zatem

prawdziwe są wynikania (i)Ô(ii) oraz (i)Ô(iii). Wynikanie (iii)Ô(ii) jest oczywiste.

Załóżmy teraz (ii) oraz przypuśćmy, że zbiór T nie jest zwarty w (°,1). Wiemy już, że wtedy w ZFC
istnieje ciąg (

) punktów zbioru T, który nie ma żadnego punktu skupienia w (°,1) należącego do

T. Można założyć, że ciąg ten jest różnowartościowy, bo gdyby nie był on różnowartościowy,
moglibyśmy go zastąpić jego różnowartościowym podciągiem. Niech = %

: # \ '&. Określamy

funkcję Â: 8 ℝ następująco: Â(

) = # dla każdego # \ '. Wobec twierdzenia Tietze’go, istnieje

funkcja ciągła Âç: T 8 ℝ taka, że Âç() = Â() dla każdego \ . Funkcja Âç jest nieograniczona
wbrew założeniu (ii).

Uwaga. Wynikania z ciągowej zwartości zbioru

T warunków (ii) i (iii) powyższego twierdzenia są

uznane za twierdzenia Weierstrassa, przy czym oryginalne twierdzenia Weierstrassa dotyczyły raczej

przypadku, gdy T był przedziałem zwartym w ℝ (K. Weierstrass [1815-1897], Niemcy).

Niedowodliwość w ZF zdania, że każdy ciągowo zwarty podzbiór

ℝ

ℝ jest pseudozwarty (Wajch).

Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że ) jest Ä-skończonym zbiorem gęstym w ℝ. Istnienie
takiego zbioru nie jest sprzeczne z ZF. Funkcja Â: ) 8 ℝ, gdzie Â() = dla każdego \ ), jest
ciągła, ale nie jest ograniczona chociaż zbiór ) jest ciągowo zwarty w ℝ. Zauważmy, że metryka
wyznaczona przez wartość bezwzględną w takim zbiorze ) nie jest całkowicie ograniczona.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Spójność.

Szczególnie polecam książkę J. Mioduszewskiego „Wykłady z Topologii. Zbiory spójne i kontinua”,

Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice 2011.

Definicja zbioru domknięto-otwartego. Zbiorem domknięto-otwartym w przestrzeni metrycznej

(odp. topologicznej) nazywamy zbiór jednocześnie otwarty i domknięty w tej przestrzeni. Zbiory

domknięto-otwarte bywają też nazywane otwarto-domkniętymi.

Definicja przestrzeni spójnej. Przestrzeń topologiczną (

°, ) (odp. przestrzeń metryczną (°, 1))

nazywamy przestrzenią spójną, gdy jedynymi zbiorami domknięto-otwartymi w tej przestrzeni są

zbiór pusty i

°.

Uwaga. Ponieważ spójność przestrzeni metrycznej (

°, 1) jest tym samym co spójność przestrzeni

topologicznej

>, gdzie, zgodnie z wcześniejszą umową,

jest topologią w

) wyznaczoną przez

metrykę

1, aby nie zaciemniać sobie obrazu metryką, będziemy mówić o spójności w przestrzeniach

topologicznych. Tak jak już wcześniej to robiliśmy, przestrzeń topologiczną

), > dla prostoty

będziemy zwać niekiedy przestrzenią i oznaczać symbolem

Twierdzenie o spójności odcinka [0; 1]. Przedział [0; 1] z naturalną topologią jest przestrzenią

spójną.

Dowód. Załóżmy, że

T jest niepustym zbiorem domknięto-otwartym w przedziale [0; 1].

Przypuśćmy, iż

T r 0; 1], natomiast U C 0; 1F « T. Wtedy zbiór U jest też niepusty i domknięto-

otwarty w [0; 1]. Oczywiście,

0 \ T lub 0 \ U. Dla ustalenia uwagi, załóżmy, że 0 \ T. Niech

" C

inf B>. Skoro zbiór U jest domknięty, to " \ U. Ponieważ 0 ¬ U, mamy 0 < ". Rozważmy

dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią

§ taką, że 0 < " f §. Z określenia kresu dolnego zbioru U

wynika, że

" f §; "> ⊆ T. Ponieważ zbiór T jest domknięty, więc " f §; "F ⊆ T, a stąd

wnioskujemy, że

" \ T, co jest niemożliwe, gdyż " \ 0; 1F « T. Wobec uzyskanej sprzeczności,

T C 0; 1F. ■

Zbiory spójne w

ℝ

ℝ. Jedynymi zbiorami spójnymi w ℝ są przedziały, to znaczy zbiór pusty, ℝ,

wszystkie jednoelementowe podzbiory

ℝ, przedziały postaci:

f∞; >, f∞; F, ; ">, ; ">, ; "F, ; "F, ; O∞>, ;

O∞>. Dowód tego pozostawiam jako

ćwiczenie.

■

Zadania.

Zadanie 72. Przedziałem w

ℝ nazywamy taki zbiór ⊆ ℝ, że dla dowolnych , \ i dla dowolnego

N \ ℝ, jeśli < N < , to N \ . Wykazać, że jeżeli jest spójną podprzestrzenią przestrzeni ℝ
z topologią naturalną, to

jest przedziałem.

Zadanie 73. Wskazać niepusty i różny od całej przestrzeni

) zbiór domknięto-otwarty w ), gdy:

) C 0; 1F $ 2; 3F z topologią naturalną;

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

) C · z topologią naturalną;

) C %0; 1& z topologią dyskretną.

Zadanie 74. Sprawdzić, która z następujących przestrzeni topologicznych jest spójna:

przestrzeń antydyskretna;

(1, 2);

(3, 4);

(3,

4 $ %%1&&>.

Uwaga. Liczby całkowite występujące w tym zadaniu to liczby naturalne von Neumanna, a w

punktach (b) - (d) następniki par uporządkowanych są topologiami w poprzednikach tych par.

Zadanie 75. Uzasadnić, że przestrzeń dyskretna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona co

najwyżej jednoelementowa.

Zadanie 76. Korzystając z pewnika wyboru, uzasadnić w ZFC, że jeśli

T ⊆ ℝ

jest zbiorem

nierównolicznym z

ℝ, to zbiór ℝ

« T jest spójny.

Wykład 13.

Niektóre własności przestrzeni spójnych.

Twierdzenie ( elementarne warunki konieczne i wystarczające na spójność przestrzeni). Dla każdej

przestrzeni topologicznej

°, następujące warunki są równoważne:

(i)

° jest przestrzenią spójną;

(ii)

nie istnieje para

, niepustych rozłącznych zbiorów otwartych w ° taka, że °=$ ;

iii>

nie istnieje para

, niepustych rozłącznych zbiorów domkniętych w ° taka, że

°=

$ .

Dowód. Załóżmy, że

, jest parą rozłącznych zbiorów otwartych w przestrzeni ) taką, że °=$ .

Wtedy zbiory

, są domknięto-otwarte w ), gdyż każdy z nich jest dopełnieniem drugiego,

więc jest też domknięty w )

. Gdy ) jest przestrzenią spójną, co najmniej jeden ze zbiorów ,

jest pusty. Zatem z (i) wynika (ii).  Podobnie wyjaśniamy, że jeśli T, U jest parą rozłącznych
zbiorów domkniętych w ) taką, iż °=T $ U,  skoro T jest dopełnieniem U, natomiast U jest
dopełnieniem T, to zbiory T, U są domknięto-otwarte, więc co najmniej jeden z nich jest pusty.
Wobec tego z (i) wynika (iii), a ponadto warunki (ii) oraz (iii) są równoważne.  Na zakończenie

dowodu, załóżmy (iii) oraz niech T będzie zbiorem domknięto-otwartym w ). Wtedy zbiór U = ) « T
jest domknięty w ), rozłączny z T, ale °=

$ , a to jest możliwe przy spełnieniu warunku (iii)

tylko wtedy, gdy T lub U jest zbiorem pustym, co zachodzi tylko wtedy, gdy T = lub T = ).
Zatem z (iii) wynika (i).■

Definicja zbioru spójnego w przestrzeni. Zbiór

⊆° nazywamy spójnym w przestrzeni °, gdy jako

podprzestrzeń przestrzeni ° jest przestrzenią spójną.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Definicja pary zbiorów rozgraniczonych. Podzbiory

T, U przestrzeni topologicznej ) nazywamy

rozgraniczonymi w

), gdy T cl

U C C U cl

Przykład pary zbiorów rozgraniczonych o nierozłącznych domknięciach. Przedziały [0; 1) i (1;2] są

rozgraniczone w

ℝ, ale ich domknięcia w ℝ nie są rozłączne.

Charakteryzacja zbiorów spójnych za pomocą zbiorów rozgraniczonych. Podzbiór

przestrzeni

topologicznej

) jest zbiorem spójnym w ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary T, U zbiorów

rozgraniczonych w

) takiej, że ⊆ T $ U, zachodzi inkluzja ⊆ T lub zachodzi inkluzja ⊆ U.

Dowód. Konieczność. Załóżmy najpierw, że

jest zbiorem spójnym w ), natomiast T, U jest parą

zbiorów rozgraniczonych w

) taką, że ⊆ T $ U. Zauważmy, że cl

T > C T C « U >

oraz

U > C U , zatem zbiór T jest domknięto-otwarty w . Ze spójności

wnioskujemy teraz, że

T C lub T C . Gdy T C , to ⊆ U; gdy natomiast

T C , to ⊆ T.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że

T jest zbiorem domknięto-otwartym w

i niech U C « T.

Zauważmy, że zbiory

T, U są rozgraniczone w ) oraz ⊆ T $ U. Jeżeli ⊆ T, to T C . Jeżeli

natomiast

⊆ U, to T C . ■

Twierdzenie o spójności domknięcia zbioru spójnego. Załóżmy, że

jest zbiorem spójnym w

przestrzeni topologicznej

). Wówczas zbiór cl

jest też spójny w ).

Dowód. Niech

T, U będzie parą zbiorów rozgraniczonych w ) taką, że cl

⊆ T $ U. Skoro

⊆ T $ U i jest zbiorem spójnym w ), to ⊆ T lub ⊆ U. Jeżeli ⊆ T, to również cl

⊆ T,

gdyż wtedy

⊆ cl

T, więc cl

⊆ T $ U> cl

T C T; jeżeli natomiast ⊆ U, to cl

⊆ U.■

Powyższe twierdzenie można udowodnić inaczej, nie posługując się pojęciem zbiorów

rozgraniczonych, a wykorzystując gęstość zbioru w swoim domknięciu i następujące twierdzenie:

Twierdzenie o spójności przestrzeni zawierającej gęsty zbiór spójny. Każda przestrzeń topologiczna
), która zawiera gęsty zbiór spójny w niej jest spójna.

Dowód. Niech

, będzie parą rozłącznych zbiorów otwartych w przestrzeni topologicznej ) taką,

że

) C $ . Załóżmy, że jest gęstym zbiorem spójnym w ). Przypuśćmy, że oba zbiory , są

niepuste. Z gęstości zbioru

wynika, że oba zbiory oraz są niepuste. Oczywiście, oba te

zbiory są otwarte w

, a ich suma mnogościowa jest równa , a to wraz z niepustością zbiorów

i przeczy spójności zbioru . ■

Twierdzenie o spójności sumy zbiorów spójnych nierozgraniczonych. Załóżmy, że

jest rodziną

zbiorów spójnych w przestrzeni topologicznej

) taką, że pewien zbiór

\ nie jest rozgraniczony w

) z żadnym ze zbiorów rodziny . Wtedy $ jest zbiorem spójnym w ).

Dowód. Niech

T, U będzie parą zbiorów rozgraniczonych w ) taką, że $ ⊆ T $ U. Wtedy

⊆ T $ U, a ze spójności

wnioskujemy, że

⊆ T lub

⊆ U. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że

⊆ T. Jeśliby jakiś zbiór z rodziny zawarty był w U, to zbiory

byłyby rozgraniczone, a nie

są. Zatem każdy zbiór z rodziny

musi być zawarty w T, bo jako zbiór spójny jest zawarty w T lub

zawarty w

U, lecz w U zawarty być nie może. Wobec tego $ ⊆ T.■

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Składowe spójności. Składową spójności punktu

przestrzeni topologicznej ) nazywamy sumę

mnogościową wszystkich tych zbiorów spójnych w przestrzeni

), do których należy punkt . Wobec

dwu ostatnich twierdzeń, składowa spójności punktu przestrzeni topologicznej jest zbiorem spójnym

i domkniętym w tej przestrzeni. Można powiedzieć, że składowa spójności punktu

przestrzeni

topologicznej

)

jest to największy w sensie relacji inkluzji ⊆ zbiór spójny w przestrzeni ) zawierający

jako element punkt

. Składowa spójności (zwana krótko składową) przestrzeni topologicznej to

składowa jakiegoś punktu tej przestrzeni lub zbiór pusty, gdy przestrzeń ta jest pusta. Skoro suma

dwu zbiorów spójnych nierozgraniczonych w danej przestrzeni topologicznej jest zbiorem spójnym,

to dwie różne składowe spójności danej przestrzeni topologicznej są zbiorami rozłącznymi.

Przestrzeń topologiczna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona dokładnie jedną składową

spójności.

Twierdzenie o spójności przestrzeni mającej własność spójnego łączenia jej punktów. Jeżeli dla

każdej pary

, punktów przestrzeni topologicznej ) istnieje zbiór spójny w ) zawierający punkty i

, to ) jest przestrzenią spójną.

Dowód. Niech

będzie składową spójności punktu przestrzeni topologicznej ). Jeżeli dla każdego

\ ) istnieje zbiór spójny

⊆ ) taki, że , \

, to każdy taki zbiór

zawarty jest w

, a wtedy

C ), zatem ) jest przestrzenią spójną. ■

Twierdzenie o spójności obrazu ciągłego zbioru spójnego. Załóżmy, że

Â: ) 8 * jest

przekształceniem ciągłym przestrzeni topologicznej

) w przestrzeń topologiczną *, a jest zbiorem

spójnym w

). Wówczas zbiór Â> jest spójny w *.

Dowód. Niech

ë C Âd i niech T będzie zbiorem domknięto-otwartym w ë>. Skoro ë: 8 ë>

jest przekształceniem ciągłym, to zbiór

T> jest domknięto-otwarty w . Wobec spójności

przestrzeni

, zbiór ë

T> jest pusty lub równy . Stąd wynika, że T jest pusty lub równy ë>.

Zatem

Â> C ë> jest zbiorem spójnym w *.

Twierdzenie o spójności produktu dwu przestrzeni spójnych. Niech

), * będą przestrzeniami

topologicznymi spójnymi. Wówczas ich produkt

) 7 * jest przestrzenią spójną.

Dowód. Niech

będzie składową spójności punktu

> \ ) 7 *. Pokażemy, że C ) 7 *.

Rozważmy dowolny punkt

, > \ ) 7 *. Zbiory %

& 7 * i ) 7 %& są spójne w ) 7 * oraz

, >

jest ich punktem wspólnym, zatem spójna jest ich suma

T C %

& 7 *) $ ) 7 %&>. Ponieważ

ponadto

> \ T, więc T ⊆ . Skoro , > \ T, to , > \ . Zatem C ) 7 *.■

Zadania.

Zadanie 77. Quasi-składową punktu

przestrzeni topologicznej ) nazywamy część wspólną

wszystkich tych zbiorów domknięto-otwartych w

), do których należy punkt . Uzasadnić, że

składowa spójności punktu jest zawarta w quasi-składowej tego punktu w przestrzeni

), a następnie

pokazać na przykładzie, że quasi-składowa punktu nie musi być zawarta w składowej spójności tego

punktu.

Zadanie 78. Podać przykład podprzestrzeni

) przestrzeni ℝ

z naturalną topologią takiej, że

) ma

dokładnie trzy składowe spójności i żadna z tych składowych nie jest zbiorem jednoelementowym.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Wykłady 14 i 15.

Przestrzenie łukowo spójne, lokalnie spójne i kontinua.

Definicja drogi w przestrzeni topologicznej. Drogą w przestrzeni topologicznej

) nazywamy każde

przekształcenie ciągłe odcinka [0;1] w przestrzeń

), przy czym jeśli Â: 0; 1F → ) jest drogą w

przestrzeni

) to punkt Â0> nazywamy początkiem tej drogi, a punkt Â1> jej końcem.

Definicja przestrzeni drogowo spójnej. Przestrzeń topologiczną

) nazywamy drogowo spójną, gdy

dla każdej pary

, punktów zbioru ) istnieje w ) droga o początku w punkcie i końcu w punkcie .

Twierdzenie o spójności przestrzeni drogowo spójnych. Każda przestrzeń drogowo spójna jest

spójna.

Przykład przestrzeni spójnej, która nie jest drogowo spójna. Domknięcie w

ℝ

zbioru

{

sin

/
@

\ ℝ « %0&&

jest przestrzenią spójną, ale nie jest drogowo spójną.

Definicja łuku i przestrzeni łukowo spójnej. Łukiem w przestrzeni topologicznej

) nazywamy obraz

homeomorficzny w przestrzeni

) odcinka [0; 1]. Przestrzeń topologiczną ) nazywamy łukowo

spójną, gdy dla każdej pary punktów

, istnieje łuk w przestrzeni ), do którego należą oba punkty

, .

Twierdzenie o spójności przestrzeni łukowo spójnych. Każda przestrzeń łukowo spójna jest

drogowo spójna, więc spójna.

Twierdzenie o równoważności pojęć drogowej i łukowej spójności w klasie przestrzeni

metryzowalnych. Przestrzeń metryzowalna jest łukowo spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

drogowo spójna.

Twierdzenie o spójności produktu dwu przestrzeni spójnych (van Dantzig, 1930). Niech

), * będą

przestrzeniami topologicznymi spójnymi. Wówczas ich produkt

) 7 * jest przestrzenią spójną.

Dowód. Niech

będzie składową spójności punktu

> \ ) 7 *. Pokażemy, że C ) 7 *.

Rozważmy dowolny punkt

, > \ ) 7 *. Zbiory %

& 7 * i ) 7 %& są spójne w ) 7 * oraz

, >

jest ich punktem wspólnym, zatem spójna jest ich suma

T C %

& 7 *) $ ) 7 %&>. Ponieważ

ponadto

> \ T, więc T ⊆ . Skoro , > \ T, to , > \ . Zatem C ) 7 *.■

Definicja przestrzeni lokalnie spójnej. Przestrzeń topologiczną

) nazywamy lokalnie spójną, gdy dla

każdego punktu

\ ) i każdego otoczenia punktu w przestrzeni ) istnieje w tej przestrzeni

jednocześnie otwarte i spójne otoczenie punktu

zawarte w .

Definicja kontinuum. Przestrzeń topologiczną jednocześnie zwartą i spójną nazywamy kontinuum

lub continuum. Zbiór jednocześnie zwarty i spójny w danej przestrzeni topologicznej bywa nazywany

kontinuum w tej przestrzeni.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Kontinua w

ℝ

ℝ. Kontinuami w ℝ są jedynie zbiór pusty, wszystkie jednoelementowe podzbiory ℝ

oraz przedziały postaci

; "F, gdzie , " \ ℝ i É ".

Twierdzenie o produkcie skończenie wielu kontinuów. Produkt skończenie wielu kontinuów jest

kontinuum.

Zadania.

Zadanie 79. Niech

> będzie ciągiem niepustych kontinuów w przestrzeni metrycznej ), 1> takim,

że

⊆

dla każdego

# \ '. Udowodnić, że zbiór C

,\£

jest kontinuum w

), 1>.

Zadanie 80. Wykazać, że suma dwu nierozgraniczonych kontinuów w przestrzeni topologicznej

)

jest

kontinuum w tej przestrzeni.

Zadanie 81. Podać przykład kontinuum, które nie jest przestrzenią lokalnie spójną.

Dodatek – konstruowanie uzupełnień przestrzeni metrycznych.

Załóżmy, że

), 1> jest przestrzenią metryczną. Oczywiście, ponieważ nie zaznaczamy na razie, że

czynimy inne założenia teorio-mnogościowe niż tradycyjne ZFC, zakładamy układ ZFC. Niech

ℭ będzie

zbiorem wszystkich ciągów Cauchy’ego tej przestrzeni metrycznej. Ciągi

, " \ ℭ nazywamy 1 f

równoważnymi , gdy lim

1À#>, "#>Á C 0. Relacja 1 frównoważności ciągów Cauchy’ego z ℭ

jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Dla ciągu

\ ℭ, niech F będzie klasą abstrakcji tej relacji

1 frównoważności i niech ) =%F: \ ℭ&. W zbiorze ) określa się metrykę 1 wzorem:

1F, "F> C lim

1#>, "#>>.

Dowodzi się, że gdy

, " \ ℭ, to granica lim

1#>, "#>> w ℝ istnieje. Dla \ ), niech

#> C dla każdego # \ ' oraz niech Í> C F. Przekształcenie Í: ) 8 ) jest zanurzeniem
izometrycznym przestrzeni metrycznej

), 1> w przestrzeń metryczną ), 1>, gdyż dla dowolnej pary

, punktów zbioru ) zachodzi równość: 1, > C 1Í>, Í>>. Zbiór Í)> jest gęsty w
przestrzeni metrycznej

), 1>. Ponadto, jeśli Í

>) jest ciągiem Cauchy’ego w ), 1>, to

> \ ℭ

i ciąg

>) jest zbieżny w ), 1> do [(

>F. Stąd i z gęstości Í)> w ), 1>, używając pewnika

przeliczalniego wyboru, wnioskuje się, że przestrzeń metryczna

), 1> jest zupełna. Zatem każda

przestrzeń metryczna

), 1> jest izometryczna z pewną gęstą podprzestrzenią przestrzeni metrycznej

zupełnej zwanej uzupełnieniem metrycznym przestrzeni

), 1>. Zaprezentowana tu idea dowodu

zupełności metryki

1 wymaga użycia pewnika przeliczalnego wyboru. Parę ), 1) nazywamy

uzupełnieniem Hausdorffa przestrzeni metrycznej

), 1> , gdyż ta idea konstrukcji uzupełnienia

metrycznego pochodzi z pracy F. Hausdorffa z 1914 roku, ale wcześniej w przełomowym dla

matematyki 1872 roku ukazała się w druku idea konstrukcji liczb rzeczywistych Cantora , Heine’go

i M

éray’a wykorzystana przez Hausdorffa.

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

Zarys konstrukcji liczb rzeczywistych Cantora, Heine’go i M

éray’a.

Załóżmy, że dany jest zbiór

· wszystkich liczb wymiernych i 1, > C | f | dla , \ ·. Ciąg

)

liczb wymiernych jest zwany ciągiem Cauchy’ego, gdy dla każdej liczby wymiernej dodatniej

§ istnieje

liczba naturalna

È taka, że dla każdej pary ¹, #

liczb naturalnych większych niż È zachodzi

nierówność :

> < §. Ciąg Cauchy’ego

) liczb wymiernych jest zwany zbieżnym do zera,

co zapisujemy,

lim

C 0, gdy dla każdej liczby wymiernej dodatniej § istnieje liczba naturalna

È taka, że dla każdej liczby naturalnej # È zachodzi nierówność: |

| < §. Podobnie jak wyżej,

określamy relację

1 frównoważności ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych, która jest relacją

równoważności. Liczba rzeczywista w sensie Cantora, Heine’go i Méray’a to klasa abstrakcji tej

relacji równoważności . Gdy

ℝ jest zbiorem wszystkich utworzonych w ten sposób liczb

rzeczywistych w sensie Cantora, Heine’go , Méray’a , dopiero teraz możemy określić metrykę

1 w

zbiorze

ℝ przyjmując, że dla ciągów Cauchy’ego , " liczb wymiernych 1([], ["])=[(|#> f

"#>>FCf"F

, sprawdzając, że

jest wtedy też ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych.

Wykorzystując teorię pierścieni, można zauważyć, że zbiór

ℭℚ> wszystkich ciągów Cauchy’ego liczb

wymiernych jest pierścieniem ze względu na zwykłe dodawanie i mnożenie ciągów, a zbiór

ℐ

wszystkich zbieżnych do zera ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych jest ideałem maksymalnym

pierścienia

ℭ(ℚ), natomiast elementami pierścienia ilorazowego ℭℚ>/ℐ są liczby rzeczywiste w

sensie Cantora, Heine’go, Méray’a (zob. W. Więsław, „Matematyka i Jej Historia”). Zatem ciało
ℝ= ℭℚ>/ℐ można nazwać ciałem wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Cantora, Heine’go,
Méray’a.

Inną ideę konstrukcji liczb rzeczywistych roku podał R. Dedekind też w 1872 roku.

Jednoznaczność uzupełnienia metrycznego.

Definicja uzupełnienia metrycznego przestrzeni metrycznej. Uzupełnieniem metrycznym

przestrzeni metrycznej

), 1> każdą przestrzeń metryczną zupełną mającą gęstą podprzestrzeń

izometryczną z

), 1>.

Twierdzenie o jednoznaczności uzupełnień metrycznych. Każde dwa uzupełnienia metryczne danej

przestrzeni metrycznej są izometryczne w ZFC.

Uwaga o użyciu pewnika przeliczalnego wyboru do dowodu zupełności przestrzeni liczb

rzeczywistych (Wajch). Należy uznać, że jest niedowodliwe w ZF to, iż uzupełnienie Hausdorffa

dowolnej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną zupełną. Warto tu powołać się na pracę

Goncalo Gutierresa z 2004 roku „The Axiom of Countable Choice in Topology” , w której autor

napisał, że uzupełnienie Hausdorffa każdej przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną

zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi pewnik przeliczalnego wyboru. Wyrażam wdzięczność

prof. Horstowi Herrlichowi za informację o Goncalo Gutierresie. Ponieważ w takim dowodzie

zupełności przestrzeni wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Cantora, Heine’go, Méray’a j jak

dowód zupełności uzupełnień Hausdorffa przestrzeni metrycznych jest wykorzystany pewnik

przeliczalnego wyboru, nie można twierdzić , że na pewno w ZF przestrzeń wszystkich liczb

rzeczywistych w sensie Cantora, Heine’go, Méray’a jest zupełna dopóki tego nie sprawdzi się

Eliza Wajch: Wstęp do Topologii 2013/2014

dokładniej. Aby to zrobić, rozważa się ciąg Cauchy’ego

> liczb rzeczywistych w sensie Cantora-

Méray’a- Heine’go, ustawia się wszystkie liczby wymierne w ciąg różnowartościowy (

> i każdej

liczbie naturalnej

È przyporządkowuje się najmniejszą liczbę naturalną #

taką, że

ð<

otrzymując, że ciąg

> jest zbieżny w ℝ do [(

>F i w ten sposób w dowodzie zupełności

uzupełnienia Hausdorffa przestrzeni

· próbuje się ominąć pewnik przeliczalnego wyboru.

Jednakże, każde

jest tutaj klasą abstrakcji relacji równoważności ciągów Cauchy’ego liczb

wymiernych i aby wskazać

wydaje się niezbędne wybranie dla każdej liczby naturalnej

È jakiegoś

reprezentanta z klasy abstrakcji

, która może zawierać nieprzeliczalnie wiele ciągów, a więc

dokonuje się wyboru po jednym elemencie ze zbiorów być może nie dających się dobrze

uporządkować w ZF , ale tworzących rodzinę przeliczalną . Można zatem mieć poważne wątpliwości,

czy rzeczywiście w dowodzie zupełności uzupełnienia Hausdorffa zbioru wszystkich liczb wymiernych

w ZF można pominąć pewnik przeliczalnego wyboru, gdy nie są sprecyzowane zadowalająco logika

dla ZF oraz reguły dowodów. Próba sprecyzowania aksjomatów logiki dla ZF oraz reguł dowodów

jest opisana na przykład przez K. Kunena w jego „The Foundations of Mathematics” ([7]).

Dziękuję za uwagę i życzę sukcesu przyswajaniu zagadnień poruszonych w tych wykładach.
Eliza Wajch