Praca w polu grawitacyjnym





= 90 - (180 -



) =



-

90

sin



= -sin(90 -



) =

- cos



mgh

h

mg

W

















cos

cos

12







cos

sin

cos

12

12













h

mg

S

mg

W

Praca siły grawitacji na drodze 1



2

Praca w polu grawitacyjnym





mgh

h

mg

S

mg

W





















cos

cos

cos

34

34

Praca siły grawitacji na drodze 3



4

Praca w polu grawitacyjnym



0

90

cos

0

23

23









S

mg

W

Praca siły grawitacji na drodze 2



3

m
g

...i na drodze 4



1

0

41



W

0

0

0

41

34

23

12



















mgh

mgh

W

W

W

W

Siły zachowawcze

Praca siły grawitacji po torze zamkniętym jest równa zeru

–

siła grawitacji jest siłą zachowawczą

0

)

(

)

(

2

1





BA

AB

W

W

2

2

)

(

)

(

BA

AB

W

W





2

1

)

(

)

(

AB

AB

W

W



Siły zachowawcze

Jeśli praca siły po drodze zamkniętej

nie

równa się

zeru, to siła ta jest

dyssypatywna

(rozpraszająca).

Praca siły zachowawczej nie zależy od drogi, a
tylko od położenia punktu początkowego i
końcowego.

Energia potencjalna

p

dE

r

d

F

dW











 

o

x

x

p

U

dx

x

F

E

U

o











Energia potencjalna jest to funkcja położenia, której ujemna pochodna daje
wyrażenie na siłę.

 

r

E

p





- energia potencjalna ciała o polu działania siły zachowawczej

 

r

F







Praca nie zależy od drogi przebytej przez ciało lecz od położenia początkowego i końcowego

Jeżeli siły są zachowawcze to E

p

jest jednoznaczną funkcją skalarną tzn. każdemu

położeniu r odpowiada jedna wartość energii położenia r ciągłą i mającą ciągłe

pochodne niezależną od czasu.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Praca siły zachowawczej pomiędzy

A

i

B

)

(r

F





B

p

A

p

B

A

AB

E

E

dr

r

F

W











)

(





Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało:

A

k

B

k

AB

E

E

W





B

p

A

p

A

k

B

k

E

E

E

E









A

p

A

k

B

p

B

k

E

E

E

E









Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu materialnego

zachowuje stałą wartość.

const

E

E

E

p

k







Prawo zachowania energii

KE – energia kinetyczna

PE – energia potencjalna

m = 50 kg

Zasada zachowania pędu:

Pęd

ciała to iloczyn jego masy i prędkości:

v

m

p







Uogólniona druga zasada dynamiki:

dt

p

d

F







 



a

dt

v

d

m

v

dt

dm

dt

v

m

d

dt

p

d

F





















const

p

dt

p

d

F















0

W układzie odosobnionym, jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na

układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały.

Prawo zachowania pędu

Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub
działa układ sił zrównoważonych, to pęd układu
zachowuje wartość stałą.

 

0



z

F



0



dt

p

d



const

p





z

N

i

i

N

i

i

F

dt

p

d

dt

p

d

dt

d

dt

p

d























1

1

II zadada dynamiki:

Sprężyste zderzenie centralne

Prawo zachowania pędu:

'

2

2

'

1

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m















Prawo zachowania energii:

2

2

2

2

2

'

2

2

2

'

1

1

2

2

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m















:

)

(

)

(

2

2

2

'

2

2

2

'

1

2

1

1

v

v

m

v

v

m











)

(

)

(

2

'

2

2

'

1

1

1

v

v

m

v

v

m











Sprężyste zderzenie centralne

Prędkość zbliżania się kul przed zderzeniem równa jest prędkości
ich oddalania się po zderzeniu czyli ich

prędkości względne

przed i

po zderzeniu

są takie same

.

prędkość względna
przed zderzeniem

prędkość względna
po zderzeniu

'

2

2

'

1

1

v

v

v

v







'

1

'

2

2

1

v

v

v

v







'

1

2

1

'

2

v

v

v

v











































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

= m

2

Przed zderzeniem

Po zderzeniu

2

'

1

v

v



1

'

2

v

v







































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

= m

2

v

2

= 0

Przed zderzeniem

Po zderzeniu

0

'

1



v

1

'

2

v

v



m

1

v

1

m

2

m

1

m

2

'

2

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

<< m

2

v

2

= 0

2

2

1

m

m

m





0

2

1



m

m

1

'

1

v

v





0

'

2



v

Przed zderzeniem

m

1

v

1

m

2

Po zderzeniu

m

1

m

2

'

1

v





































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

v

1

m

2

Przed zderzeniem

m

2

<< m

1

v

2

= 0

m

1

m

2

'

2

v

Po zderzeniu

m

2

1

2

1

m

m

m





0

1

2



m

m

1

'

1

v

v



1

'

2

2v

v



Spowalnianie neutronów?





































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Zderzenie idealnie niesprężyste

v

m

m

v

m

v

m













)

(

2

1

2

2

1

1

Przed zderzeniem:

Po zderzeniu:

m

1

v

1

m

2

v

2

1

2

2

1

1

m

m

v

m

v

m

v











Wahadło balistyczne

pk

k

p

p

p

v

m

m

v

m









)

(

2

)

(

2

)

(

pk

k

p

pk

k

v

m

m

E





Wahadło balistyczne

h

g

v

pk







2

h

g

m

m

m

v

p

k

p

p











2

)

(

h

g

m

m

v

m

m

p

k

pk

k

p











)

(

2

)

(

2

Wahadło balistyczne

1

1

)

(

)

(

)

(











mp

mk

m

m

m

E

E

p

k

p

pk

k

p

k

h

g

m

m

m

v

m

E

p

k

p

p

p

p

k













2

2

)

(

)

(

2

Stracona energia mechaniczna zamieniła się na ciepło
powodując rozgrzanie pocisku i kloca.

2

)

(

2

)

(

pk

k

p

pk

k

v

m

m

E





Niecentralne zderzenie sprężyste kul

Jeżeli rozpatrujemy zderzenie niecentralne dwóch ciał, to ich tory nie leżą
na jednej prostej, dlatego pędy ciał muszą być rozpatrywane jako wektory.

Zderzenie niecentralne kul o równych masach (Wikipedia)

Zderzenia niecentralne

Dla zderzeń centralnych parametr zderzenia

b=0

W przypadku gdy

zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach:

0



b

Zasada zachowania energii:

Zasada zachowania pędu:

Jeśli masy zderzających się sprężyście ciał są równe

m

1

=m

2

-

zagadnienie bardzo się upraszcza

Zderzenia niecentralne

Z zasad zachowania:

2

2

1











2

2
2

'

2

1

'

1

2

'

1

'

1

v

v

v

v

v

v























Zderzenie proton-proton

w komorze pęcherzykowej

Fotografia zderzających się kul

Zderzenia

m

1

=m

2

Zderzenia niecentralne

Stan końcowy zależy od parametru zderzenia b

m

1

= m

2

tj. odległość między pierwotnym kierunkiem ruchu jednego ciała a

środkiem drugiego