31.07.2016
Prószyński i Ska
http://www.proszynski.pl/Fragmentfld1131792.html
1/3
Informujemy iż strony www.proszynski.pl oraz księgarnia.proszynski.pl firmy Prószyński Media Sp. z o.o. wykorzystują pliki cookies
do poprawnego działania. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień przeglądarki odnośnie plików cookies oznacza zgodę na ich wykorzystywanie.
Szczegóły znajdziesz w
Polityce prywatności / cookies
Nie pokazuj więcej tego komunikatu
28.05.2016
dla tłumaczy książki „Nasz
matematyczny Wszechświat”
23.05.2016
09.05.2016
Zapraszamy do
przeczytania wywiadu z
Tanyą Valko.
03.03.2016
Spotkanie z autorkami "Jak wysoko sięga
miłość".
Katarzyny Puzyńskiej już w księgarniach!
Geometria teorii strun. Ukryte wymiary przestrzeni
Steve Nadis, ShingTung Yau
Rozdział 2. Miejsce geometrii w porządku rzeczy
W europejskiej, czy ogólniej, zachodniej kulturze uczeni zajmują się geometrią
od ponad dwóch i pół tysiąca lat, ponieważ uważa się ją za najwspanialszą,
najdoskonalszą, wzorcową prawdę, dostępną bez boskiego objawienia.
Badania geometrii w pewnym sensie odkrywają najgłębszą, prawdziwą postać
świata fizycznego.
– Piers BursillHall, Dlaczego zajmujemy się geometrią?
Czym jest geometria? Wielu uważa, że jest to po prostu jeden z przedmiotów
wykładanych na studiach – zbiór metod mierzenia kątów między prostymi,
obliczania pola powierzchni trójkątów, kół i prostokątów, a może jeszcze
ustalania jakiejś miary równoważności między różnymi obiektami. Nawet w
świetle tak ograniczonej definicji nie ulega wątpliwości, że geometria jest
użytecznym narzędziem, którym codziennie posługuje się wielu ludzi, na
przykład architekci. Geometria oczywiście jest tym wszystkim, ale jednocześnie
jest czymś więcej, ponieważ zajmuje się architekturą, w najszerszym
znaczeniu tego słowa, od najmniejszych do największych skal. Dla ludzi takich
jak ja, ogarniętych obsesją zrozumienia rozmiaru, kształtu, krzywizny i struktury
przestrzeni, stanowi podstawowe narzędzie pracy.
Słowo geometria, złożenie wyrazów geo (Ziemia) i metria (miara), oznaczało
pierwotnie „mierzenie Ziemi”. Obecnie rozumiemy je ogólniej, mając na myśli
mierzenie przestrzeni, przy czym samo pojęcie przestrzeni nie jest tu
szczególnie dobrze zdefiniowane. Georg Friedrich Bernhard Riemann
powiedział kiedyś, że „[…] geometria zakłada istnienie pojęcia przestrzeni, a
także podstawowych zasad przeprowadzania w niej konstrukcji”, podając „[…]
jedynie ogólne definicje tych pojęć”1 .
Choć zabrzmi to być może dziwnie, fakt, że pojęcie przestrzeni jest dosyć
mgliste, ma swoje zalety, ponieważ może ono oznaczać wiele rzeczy, dla
których nie mamy innych nazw. Zatem ta nieokreśloność jest dosyć wygodna.
Zastanawiając się na przykład nad liczbą wymiarów przestrzeni lub jej
kształtem, możemy równie dobrze mieć na myśli cały Wszechświat. Definicja
przestrzeni może być jednak dużo węższa i oznaczać prosty obiekt
geometryczny, taki jak punkt, prosta, płaszczyzna, sfera czy torus – wszystkie te
figury geometryczne, które rysuje się w szkole – ale może również być dużo
bardziej abstrakcyjna, skomplikowana i trudniejsza do wyobrażenia.
Załóżmy na przykład, że mamy garść punktów rozrzuconych w jakiś
skomplikowany, chaotyczny układ, bez żadnej możliwości zmierzenia
odległości między nimi. Z punktu widzenia matematyki taka przestrzeń nie ma
geometrii; jest jedynie przypadkowym zbiorowiskiem punktów. Jeśli jednak
dołożymy do tego jakąś funkcję odległości, fachowo nazywaną metryką,
mówiącą, jak należy obliczać odległość między dowolnymi dwoma punktami,
wówczas analiza takiej przestrzeni stanie się nagle możliwa. Przestrzeń
uzyska dobrze określoną geometrię. Innymi słowy, metryka zawiera całą
informację potrzebną do ustalenia kształtu przestrzeni. Tak uzbrojeni możemy
teraz określić z dużą dokładnością, jak bardzo jest płaska, a także w jakim
stopniu odbiega od płaskości, czyli jaką ma krzywiznę – to właśnie osobiście
najbardziej mnie interesuje.
Aby nie wywołać wrażenia, że geometria jest w zasadzie tylko dobrze
wykalibrowaną linijką – przy czym nie mam nic przeciwko linijkom, darzę ten
wynalazek wielkim szacunkiem – powiedzmy jasno, iż jest ona jednym z
najważniejszych dostępnych sposobów badania Wszechświata. Fizyka i
kosmologia, niemal z definicji, odegrały kluczową rolę w jego wyjaśnianiu.
Rola geometrii w tych badaniach jest wprawdzie mniej oczywista, ale równie
istotna. Posunę się nawet do stwierdzenia, że zasługuje ona nie tylko na
miejsce przy stole obok fizyki i kosmologii, ale pod wieloma względami to
właśnie ona jest owym stołem.
To całe kosmiczne przedstawienie – skomplikowany taniec cząstek, atomów,
gwiazd i innych bytów bezustannie przesuwających się, poruszających i
oddziałujących ze sobą – rozgrywa się na scenie, powiedzmy, wewnątrz
„przestrzeni”, i nigdy nie zdołamy go w pełni pojąć, jeśli nie zrozumiemy
Strona główna / Popularnonaukowe / Geometria teorii strun. Ukryte wymiary przestrzeni
szukaj
31.07.2016
Prószyński i Ska
http://www.proszynski.pl/Fragmentfld1131792.html
2/3
14.04.2015
„Jedenaście tysięcy
dziewic" Joanny Marat!
TOP 20
1.
Czubaszek
2.
3.
Kobiety z ulicy Grodzkiej. Matylda
Lucyna Olejniczak
szczegółowych własności owej przestrzeni. Nie jest ona jedynie pasywnym
tłem, przeciwnie – przestrzeń nadaje zawartym w niej obiektom całkowicie
niezbędne właściwości. Zgodnie z naszym obecnym obrazem świata, materia
lub cząstki znajdujące się (czy poruszające) w przestrzeni tak naprawdę
stanowią jej część, a raczej, mówiąc ściśle, są częścią czasoprzestrzeni.
Geometria może nakładać ograniczenia na czasoprzestrzeń i, mówiąc ogólnie,
układy fizyczne – ograniczenia, które możemy wykryć, posługując się
wyłącznie zasadami matematyki i logiki.
Rozważmy klimat panujący na Ziemi. Choć może nie jest to oczywiste, istotny
wpływ ma na niego geometria – w tym przypadku w zasadzie sferyczny kształt
naszej planety. Gdybyśmy mieszkali na dwuwymiarowej powierzchni torusa,
życie – a także klimat – wyglądałoby zupełnie inaczej. Na sferycznej planecie
wiatry nie mogą wszędzie wiać w tym samym kierunku (powiedzmy, na
wschód) ani, podobnie, wody oceanów nie mogą płynąć w jedną stronę
(wrócimy jeszcze do tego w ostatnim rozdziale). Muszą pojawić się takie
miejsca – na przykład bieguny, północny i południowy – w których wiatr lub
prąd morski nie kieruje się już na wschód, gdzie samo pojęcie „wschodu”
przestaje mieć sens i wszelki ruch zamiera. Do niczego takiego nie dochodzi
na powierzchni torusa z jednym otworem, gdzie nie ma żadnych zastojów i
wszystko może przemieszczać się w jednym kierunku bez żadnych przeszkód.
(Różnica ta bez wątpienia miałaby wpływ na globalną cyrkulację powietrza, ale
jeżeli interesują was wynikające z tego konsekwencje dla klimatu – i
porównanie pór roku na planecie sferycznej i toroidalnej – powinniście zapytać
o to meteorologa).
Geometria ma jeszcze większe znaczenie. Na przykład z geometrii i z ogólnej
teorii względności Einsteina wynika, że masa i energia Wszechświata są
dodatnie, a to prowadzi do wniosku, iż czasoprzestrzeń, w której istniejemy,
jest stabilna. Z zasad geometrii można również wywnioskować, że gdzieś we
Wszechświecie muszą się znajdować dziwne miejsca zwane osobliwościami –
uważa się na przykład, że są nimi wnętrza czarnych dziur – w których gęstość
sięga nieskończoności i znana nam fizyka przestaje obowiązywać. W teorii
strun, by wziąć inny przykład, geometria dziwnych sześciowymiarowych
przestrzeni, nazywanych rozmaitościami Calabiego–Yau – w których
prawdopodobnie zachodzi wiele istotnych procesów fizycznych – może
wyjaśniać, dlaczego mamy takie, a nie inne cząstki elementarne, i decydować
nie tylko o ich masach, ale i o siłach działających między nimi. Badanie tych
wielowymiarowych przestrzeni pozwoliło ponadto znaleźć możliwe
wyjaśnienie faktu, że grawitacja zdaje się dużo słabsza od innych
oddziaływań. Dzięki tym badaniom uzyskaliśmy również wskazówki dotyczące
mechanizmu
napędzającego
inflacyjną
ekspansję
we
wczesnym
Wszechświecie i wyjaśnienia natury ciemnej energii, która powoduje, że
kosmos rozszerza się coraz szybciej.
Gdy więc mówiłem, że geometria, obok fizyki i kosmologii, jest nieocenionym
narzędziem do odkrywania tajemnic Wszechświata, nie były to jedynie czcze
przechwałki. Co więcej, w związku z postępami w matematyce, które tu
opiszemy, oraz rozwojem kosmologii obserwacyjnej i pojawieniem się teorii
strun, próbującej dokonać największej w historii nauki syntezy, wszystkie te trzy
dziedziny zdają się do siebie zbliżać. W efekcie proces poszerzania naszej
wiedzy znalazł się u progu wielkich odkryć i jesteśmy gotowi, by zmierzyć się z
nowymi wyzwaniami, a geometria pod wieloma względami jest w awangardzie
tej ofensywy.
Ważne, by pamiętać, że cokolwiek robimy w geometrii, dokądkolwiek
zmierzamy, nigdy nie zaczynamy od zera. Zawsze bazujemy na tym, co
osiągnięto wcześniej – mogą to być domysły (czyli nieudowodnione hipotezy),
dowody, twierdzenia lub aksjomaty – budujemy na fundamencie, który w wielu
przypadkach położono już kilka tysięcy lat temu. W tym sensie geometria – a
także inne nauki – jest podobna do skomplikowanego przedsięwzięcia
budowlanego. Najpierw wylewa się fundamenty, które jeśli są poprawnie
wykonane – że tak powiem, umieszczone na pewnym gruncie – wytrzymają
bardzo długo, podobnie jak wzniesione na nich budowle, pod warunkiem że
one również będą skonstruowane zgodnie z prawidłami sztuki budowlanej.
Na tym w zasadzie polega piękno i siła wybranej przeze mnie dziedziny. W
matematyce zawsze oczekujemy, że uzyskamy całkowicie prawdziwy wniosek.
Twierdzenie matematyczne jest dokładnym sformułowaniem, które wiecznie
pozostanie prawdziwe i nie zależy od przestrzeni, czasu, opinii innych ludzi i
aktualnego rządu. Ta cecha odróżnia je od nauk empirycznych, w których
przeprowadza się doświadczenia – jeśli wynik eksperymentu wygląda
obiecująco, po pewnym okresie próbnym uznaje się go za satysfakcjonujący.
Jednak wynik taki jest zawsze podatny na zmiany; nie można oczekiwać, że
jakieś odkrycie będzie całkowitą, niezmienną prawdą.
Oczywiście często odkrywamy szerszą i lepszą wersję twierdzenia
matematycznego, jednak nie przeczy ona jego wersji oryginalnej. Fundament
całej budowli jest wciąż solidny, że powrócę do naszego porównania, nie
naruszamy go, dokonując przebudowy i renowacji. Czasami wprowadzamy
większe przeróbki, być może nawet demontujemy całe wnętrze i zaczynamy od
nowa. Chociaż stare twierdzenia nie tracą nic ze swej prawdziwości, w celu
uzyskania oczekiwanego efektu możemy potrzebować całkowicie nowych
rozwiązań i świeżej dostawy materiałów.
Najważniejsze twierdzenia weryfikuje się zazwyczaj wielokrotnie i na różne
sposoby, co w zasadzie nie pozostawia miejsca na błędy. Jednak w przypadku
mało znanych twierdzeń, które nie przeszły tak dokładnych badań, mogą się
pojawić problemy. Gdy odkrywamy jakiś błąd, wówczas jedno z pomieszczeń
naszego budynku – a czasami nawet całe jego skrzydło – może wymagać
rozbiórki i odbudowy. Nie ma to jednak najmniejszego wpływu na resztę
budowli, na cały solidny budynek, który wytrzymał próbę czasu.
Jednym z wielkich architektów geometrii był Pitagoras, któremu przypisuje się
autorstwo znanego wzoru, jednej z najtrwalszych konstrukcji, jakie
kiedykolwiek wzniesiono w matematyce. Twierdzenie Pitagorasa, jak
Bądź pierwszą osobą wśród
znajomych, która to polubi
34 tys. polubienia
31.07.2016
Prószyński i Ska
http://www.proszynski.pl/Fragmentfld1131792.html
3/3
nazywamy ten wzór, głosi, że w trójkącie prostokątnym (czyli w takim, którego
jeden kąt ma 90 stopni) kwadrat długości najdłuższego boku (nazywanego
przeciwprostokątną) jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch
boków. Wszyscy uczniowie, dawni i obecni, pamiętają go zapewne w postaci:
a2 + b2 = c2. To bardzo proste, a jednocześnie potężne stwierdzenie jest
dzisiaj wciąż tak samo ważne jak niemal 2500 lat temu, gdy je sformułowano.
Czyż to nie wspaniałe? Jego przydatność nie ogranicza się do lekcji
matematyki w szkole podstawowej. Ja sam posługuję się nim praktycznie
codziennie, niemal odruchowo, ponieważ tak głęboko zakorzeniło się w
matematyce.
Moim zdaniem twierdzenie Pitagorasa jest najważniejszym prawem geometrii,
kluczowym w zaawansowanej matematyce wyższych wymiarów – jest na
przykład niezbędne do wyliczania odległości w przestrzeniach Calabiego–Yau
i rozwiązywania einsteinowskich równań ruchu – i w przeprowadzanych w
szkole obliczeniach na dwuwymiarowej płaszczyźnie (takiej jak kartka z
zadaniami domowymi), i w trój wymiarowej przestrzeni. Jego znaczenie wynika
z tego, że pozwala ono na wyznaczenie odległości między dwoma punktami w
przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów. Wcześniej w tym rozdziale
wspomnieliśmy, że geometria w dużej mierze zajmuje się odległościami, nic
więc dziwnego, że wzór ten ma podstawowe znaczenie praktycznie we
wszystkim, czym się zajmujemy.
(…)
1. Georg Friedrich Bernhard Riemann, Über die Hypothesen welche der
Geometrie zu Grunde liegen (O hipotezach leżących u podstaw geometrii),
wykład wygłoszony w obserwatorium w Getyndze, 10 czerwca 1854 roku.
© Prószyński Media Sp. z o.o. 19982016. Wszelkie prawa zastrzeżone.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Michael J Duff(Powrot teorii strun)
Jaki jest obecny status teorii strun Zapytaj Fizyka
Urbański P Geometryczne podstawy teorii pola
Budylin A M Geometricheskie voprosy teorii differencial nyx uravnenij (2002)(ru)(O)(47s) MCde
17 Metodologia dyscyplin praktycznych na przykładzie teorii wychowania fizycznego
PODSTAWY TEORII ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA Konwersatorium 1
geometria w płaszczyźnie
GEOMETRIA
GEOMETRIA OBLICZENIOWA I
podstawy teorii przedsiębiorstwa zaoczni
KORP TRANS GRUPY TEORII KTN i BIZ 2010
Semiologia w teorii komunikacji 2
Psychologia osobowości dr Kofta wykład 4 Osobowość w świetle teorii uczenia sie
lec6a Geometric and Brightness Image Interpolation 17
Geometria wykreślna Ćwiczenie 8
więcej podobnych podstron