Analiza matematyczna I.1, 2011/2012

Seria II: 19.10.2011r.

Termin oddania: 25 października 2011r.

1. [1 pkt] Wyznaczyć kresy zbioru

A =

(

k − l

2

− m

2

k + l

2

+ m

2

: k, l, m ∈ N ; k ¬ l < m

)

Wskazówka: Ustalić wartości l i m i rozpatrzyć zbiory A

l,m

.

2. [1 pkt] Stwierdzić i uzasadnić czy podane niżej liczby są wymierne, czy niewymierne

r

17 +

q

13 +

√

11

oraz

q

8 +

√

35 +

s

12 +

√

7 +

√

5

√

7 −

√

5

.

Wskazówka: Rozpatrzyć sumę i iloczyn pewnych liczb.

3. [1 pkt] Dany jest zbiór A ⊆ R

+

, o którym wiadomo, że

sup A = M /

∈ A

oraz

inf A = m /

∈ A .

Definiujemy zbiór B ⊆ R warunkiem: liczba b należy do zbioru B wtedy i tylko wte-
dy gdy b =

k

√

a

1

· · · a

k

dla pewnych parami różnych liczb a

1

, . . . , a

k

∈ A, gdzie k ­ 2.

Można to wyrazić wzorami

B

k

=

n

k

√

a

1

· · · a

k

: ∀

i∈{1,...,k}

a

i

∈ A ; ∀

i,j∈{1,...,k}

i 6= j ⇒ a

i

6= a

j

o

oraz

B =

∞

[

k=2

B

k

.

Wyznaczyć kresy zbioru B.
Wskazówka: Średnia geometryczna nie bez powodu nazywa się „średnią”.

4. [1 pkt] Dany jest ograniczony zbiór A ⊆ (0, ∞). Wiadomo, że inf A = I < S = sup A.

Kładziemy

B

k

=







k

X

j=1

a

j

2

j

: ∀

j∈{1,...,k}

a

j

∈ A







oraz

B =

∞

[

k=1

B

k

.

Wyznaczyć kresy zbioru B.
Wskazówka:

P

k
j=1

2

−j

= 1 − 2

−k

.

5. [1 pkt] Dane są ciągi liczbowe

a

n

=

n + 1

n

n

oraz

b

n

=

n + 1

n

n+1

.

Wykazać, że a

n

i b

n

są monotoniczne.

Wskazówka: AGH