ALGEBRA I - LISTA 3

25.10.2011

ZAD.1* Udowodnij, ˙ze:

1. dla dowolnego naturalnego n w grupie multiplikatywnej cia la istnieje conajwy˙zej jedna

podgrupa rz

,

edu n

2. ka˙zda sko´

nczona podgrupa zawarta w multiplikatywnej grupie cia la jest cykliczna

3. multiplikatywna grupa cia la sko´

nczonego jest cykliczna

ZAD.2* Niech p b

,

edzie liczb

,

a pierwsz

,

a.

1. wyznacz rz

,

ad grupy GL(2, Z

p

)

2. wyka˙z, ˙ze rz

,

ad grupy GL(n, Z

p

) jest r´

owny (p

n

− 1)(p

n

− p) . . . (p

n

− p

p−1

)

3. wyka˙z, ˙ze rz

,

ad grupy SL(n, Z

p

) jest r´

owny (p

n

− 1)(p

n

− p) . . . (p

n

− p

p−1

)/(p − 1)

ZAD.3

1. Wyznacz rz

,

ad elementu 2 w grupie multiplikatywnej cia la Z

p

.

2. * Dla jakich p 2 jest elementem generuj

,

acym?

ZAD.4 Niech G b

,

edzie grup

,

a i niech X ⊆ X. Definiujemy podzbiory

• C(X) = {g ∈ G : ∀

x∈X

gx = xg} (centralizator zbioru X)

• N (X) = {g ∈ G : gXg

−1

= X}, gdzie yXy

−1

= {yxy

−1

: x ∈ X} (normalizator zbioru

X)

1. Udowodnij, ˙ze C(X) i N (X) s

,

a podgrupami G

2. Udowodnij, ˙ze C(X) ⊆ N (X)

3. Znajd´

z grup

,

e G i jej podzbi´

or X takie, ˙ze C(X) 6= N (X)

ZAD.5

1. Udowodnij, ˙ze podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.

2. Udowodnij, ˙ze grupy cykliczne tego samego rz

,

edu s

,

a izomorficzne.

3. Sklasyfikuj grupy cykliczne.

1

ZAD.6

1. Udowodnij, ˙ze Z

n

× Z

m

' Z

nm

wtedy i tylko wtedy gdy n i m s

,

a wzgl

,

ednie pierwsze.

2. ∗ Uog´

olnij to na sko´

nczony iloczyn grup cyklicznych.

ZAD.7 W grupie S

3

znale´

z´

c elementy rz

,

edu 2 i 3. Czy jest to grupa cykliczna? Czy jest w

niej element rz

,

edu 6?

ZAD.8 Niech σ ∈ S

n

. Za l´

o˙zmy, ˙ze σ = σ

1

σ

2

, gdzie σ

1

i σ

2

s

,

a cyklami roz l

,

acznymi.

1. Udowodnij, ˙ze rz

,

ad cyklu σ

1

jest r´

owny d lugo´sci tego cyklu.

2. Poka˙z, ˙ze cykle roz l

,

aczne komutuj

,

a.

3. Czemu jest r´

owny rz

,

ad σ?

ZAD.9 Niech a, b ∈ G i niech rz¨

ad(a) = k i rz¨

ad(b) = l

1. Czemu jest r´

owny rz¨

ad(ab) je´sli a i b komutuj

,

a (tzn. ab = ba)?

2. ∗ Czy mo˙zna co´s powiedzie´

c o rz

,

edzie ab je´sli te elementy nie komutuj

,

a?

2