CI
GI LICZBOWE
Poziom podstawowy
Zadanie 1 (4 pkt.)
n +10
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an = , n " N+ . Czy istnieje wyraz tego ciągu, który
n + 2
3
jest równy ? Wyznacz an+2 - an .
2
Zadanie 2 (6 pkt.)
Marek chce przekopać swój przydomowy ogródek. Pierwszego dnia przekopał 27 m2. Aby
przyspieszyć prace, postanowił każdego następnego dnia przekopywać o 4 m2 więcej niż
poprzedniego. W ciągu ilu dni zakończy pracę, jeśli powierzchnia ogródka wynosi 7, 83 a ?
Zadanie 3 (6 pkt.)
Rozwiążemy równanie: 4 + 8 + 12 + & + x2 = 8320.
Możemy to robić w następujący sposób.
Zauważmy najpierw, że lewa strona jest sumą pewnej liczby wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oznaczmy:
t = x2,
n  liczba składników sumy po lewej stronie równania.
Wówczas, korzystajÄ…c ze wzorów dla ciÄ…gu arytmetycznego, mamy: t = 4 + (n -1) Å" 4,
4 + t
8320 = Å" n .
2
t = 4 + 4(n -1)
Å„Å‚
t = 256
Å„Å‚
ôÅ‚
Rozwiązując układ równań: otrzymujemy: . Zatem x2 = 256, skąd
òÅ‚4 + t òÅ‚
Å" n = 8320
ółn = 64
ôÅ‚
ół 2
x = 16 lub x = - 16 .
Wykorzystując powyższe rozumowanie, rozwiąż równanie:
86 + 82 + 78 + 74 + & + (x2 + 3x  2) = 968.
Zadanie 4 (2 pkt.)
Dane są liczby: a = 3 -1,b = 2(2 - 3),c = 2(3 3 - 5) . Czy liczby a, b, c mogą być trzema
pierwszymi wyrazami ciÄ…gu geometrycznego?
Zadanie 5 (4 pkt.)
Marek wpłacił do banku 2000 zł na lokatę terminową. Roczna stopa procentowa w tym
banku wynosi 3, 6%, a bank kapitalizuje odsetki co kwartał. Czy po 4 latach od momentu
wpłacenia suma, jaką wypłaci bank Markowi będzie większa od wpłaconej o 15, 4%?
Odpowiedz
uzasadnij. Nie uwzględniaj podatku od odsetek bankowych.
Zadanie 6 (6 pkt.)
n2 +10
Wyznaczymy te wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym an = , które są wyrazami
n2 - 3
całkowitymi.
Możemy to zrobić w następujący sposób.
n2 +10 n2 - 3 +13 13
Zauważmy najpierw, że = = 1+ . Aby ostatnie wyrażenie było
n2 - 3 n2 - 3 n2 - 3
liczbą całkowitą, mianownik ułamka musi być równy jednej z liczb: 1, -1, 13, -13. Mamy
zatem
n2  3 = 1 lub n2  3 = -1 lub n2  3 = 13 lub n2  3 = -13. Oczywiście interesują nas tylko te
rozwiązania tych równań, które należą do zbioru liczb naturalnych. Są nimi: n = 2 oraz n = 4.
Tak więc tylko wyrazy a2 i a4 są liczbami całkowitymi.
Wykorzystując powyższe rozumowanie, wyznacz te wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym
2n2 -11
an = , które są liczbami całkowitymi.
n2 - 2
Zadanie 7 (5 pkt.)
W pewnym ciÄ…gu arytmetycznym (an) mamy: a1 + a5 = 16 oraz a3 + a9 = 46. Czy liczba
a1 + a2 + a3 + ... + a133 jest podzielna przez 41 ?
Zadanie 8 (4 pkt.)
2n
Dany jest ciÄ…g an = 7 - .
5
a) Znajdz
setny wyraz tego ciÄ…gu.
3
b) Którym wyrazem tego ciągu jest 2 ?
5
c) Ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg?
Zadanie 9 (5 pkt.)
Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = 2n2 + 2n - 3.
a) Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
b) Między którymi kolejnymi wyrazami tego ciągu różnica jest równa 48?
Zadanie 10 (4 pkt.)
Znajdz
liczbę x, dla której liczby x, x+3, 16 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zadanie 11 (3 pkt.)
Liczby 2x3 + 9x, x2 + x, - 3x - 4 sÄ… kolejnymi wyrazami ciÄ…gu arytmetycznego. Oblicz x.
Zadanie 12 (3 pkt.)
n + 3
ëÅ‚ öÅ‚
Dane sÄ… dwa ciÄ…gi (an ) i (bn ). CiÄ…g (an ) okreÅ›lony jest wzorem ogólnym an = ìÅ‚ ÷Å‚ ,
ìÅ‚
n +1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
natomiast bn = 2n2 - n. Oblicz a4 Å"b2 .
Zadanie 13 (3 pkt.)
Liczby 102, 105, 108, 111,..., sÄ… kolejnymi poczÄ…tkowymi wyrazami pewnego ciÄ…gu
arytmetycznego (an ). Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz sumę szesnastu
początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 14 (5 pkt.)
Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 sÄ… kolejnymi wyrazami pewnego
ciÄ…gu rosnÄ…cego.
a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 15 (4 pkt.)
Aby rozwiązać równanie
1+ 2x + 4x2 + 8x3 +16x4 + 32x5 = 0,
można wykorzystać wiadomości dotyczące ciągu geometrycznego.
Zauważmy najpierw, że lewa strona równania jest sumą sześciu początkowych kolejnych
wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a1 = 1 i q = 2x . Stwierdzamy ponadto, że liczba
1
nie spełnia tego równania. Stosując wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
2
6
1- (2x)
przekształcamy równanie wyjściowe do postaci = 0 , stąd otrzymujemy równanie
1- 2x
1 1
6
(2x) = 1, którego rozwiązaniami są liczby x1 = oraz x2 = - . Ponieważ wiemy, że liczba
2 2
1
nie jest rozwiązaniem danego równania, stwierdzamy ostatecznie, że rozwiązaniem
2
1
równania wyjściowego jest liczba .
2
Stosując analogiczny sposób rozumowania, rozwiąż równanie:
1+ x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 0.
Zadanie 16 (4 pkt.)
Bank przyznał Mieczysławowi Mieciowi 20000 zł kredytu oprocentowanego na 9%
w stosunku rocznym. Kredyt ma być spłacany przez 4 lata w równych miesięcznych ratach.
Oblicz wysokość comiesięcznej raty.
Poziom rozszerzony
Zadanie 1 (5 pkt.)
a1 = 9
Å„Å‚
Dany jest ciąg, określony następująco:
òÅ‚a = an-1 + 8n, dla n > 1.
ół n
Znajdz
i udowodnij wzór na wyraz ogólny tego ciągu.
Można to zrobić następująco. Najpierw wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
a1 = 32, a2 = 52, a3 = 72. Przypuszczamy więc, że dla każdego n " N+ zachodzi an = (2n +1)2 .
Udowodnimy to metodÄ… indukcji matematycznej.
1Ú. Na mocy okreÅ›lenia ciÄ…gu a1 = 9 = (2 · 1 + 1)2. wiÄ™c wzór nasz jest prawdziwy dla n = 1.
2Ú. Wykażemy, że dla dowolnego k " N i k e" 1 z faktu, że ak = (2k +1)2 wynika, że
ak +1 = (2k + 3)2 .
Dowód (indukcyjny): Zauważmy, że LT = ak +1 = ak + 8(k +1) (z określenia ciągu).
Dalej, na mocy założenia indukcyjnego, mamy więc:
2 2
LT = (2k +1)2 + 8(k +1) = 4k + 4k +1+ 8k + 8 = 4k +12k + 9 = (2k + 3)2 = PT . Na mocy
zasady indukcji matematycznej wnioskujemy, że dla dowolnego n " N, n e" 1 zachodzi
an = (2n +1)2 , co kończy dowód.
Wykorzystując powyższe rozumowanie znajdz
i udowodnij wzór na wyraz ogólny ciągu,
a1 = 25
Å„Å‚
określonego następująco:
òÅ‚a = an-1 + 8n + 8 dla n > 1.
ół n
Zadanie 2 (4 pkt.)
Oblicz granice:
a) lim( n2 + 2n + 3 - n2 + 3n + 2) ,
n"
3n+1 - 5 Å" 4n+2
b) lim .
n+"
22n+1 + 3n-2
Zadanie 3 (6 pkt.)
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności
2 3
x x x
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
+ + + ... < 1.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1- x x
íÅ‚1- Å‚Å‚ íÅ‚1- x Å‚Å‚
Zadanie 4 (5 pkt.)
Udowodnij, że jeżeli miary trzech kolejnych kątów czworokąta wpisanego w okrąg tworzą
ciÄ…g arytmetyczny, to co najmniej dwa kÄ…ty tego czworokÄ…ta sÄ… proste.
Zadanie 5 (6 pkt.)
Wyznacz wartości a i b tak, aby ciąg -2, a2, b3 , -20 miał te własność, że trzy jego pierwsze
wyrazy stanowiÄ… trzy kolejne wyrazy pewnego ciÄ…gu geometrycznego, zaÅ› trzy ostatnie  trzy
kolejne wyrazy pewnego ciÄ…gu arytmetycznego.
Zadanie 6 (8 pkt.)
W pewnym ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi
12, zaś różnica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu 15. Znajdz
piÄ…ty wyraz tego ciÄ…gu.
Zadanie 7 (7 pkt.)
2 2 2
Wyznacz wszystkie x " 0;Ą , dla których liczby sin x, sin x + cos2 x, sin x + 2cos2 x
są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym suma czterech
pierwszych wyrazów jest równa 6.
Zadanie 8 (6 pkt.)
2
Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby: 9, 3x + , 9x są trzema kolejnymi
9
wyrazami ciÄ…gu geometrycznego.
Zadanie 9 (4 pkt.)
Wykaż, że jeżeli (an ) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg (bn )
o wyrazie ogólnym bn = log5 an jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 10 (5 pkt.)
Wyznacz wszystkie wartości x, dla których pierwszy, drugi i czwarty wyraz nieskończonego
ciÄ…gu geometrycznego (x,1,...) sÄ… trzema kolejnymi wyrazami ciÄ…gu arytmetycznego.
Zadanie 11 (6 pkt.)
Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej że, dla każdego całkowitego, dodatniego
3 1
n zachodzi równość: 2 + 5 + 8 + ... + (3n -1) = n2 + n.
2 2
Zadanie 12 (5 pkt.)
Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an ), jest obliczona według wzoru
+
Sn = n2 + 3n (n " N ). Wykaż, że ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym.
Zadanie 13 (11 pkt.)
1 1 1
Rozwiąż nierówność + + + ...*#2x - 0,(9), gdzie lewa strona tej nierówności jest
2x 4x 8x
sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
Zadanie 14 (5 pkt.)
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:
n2 - 7n +10
an =
n2 + 3n + 3 - n + 2
SCHEMAT PUNKTOWANIA  CI
GI LICZBOWE
Poziom podstawowy
Numer Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania punktów
n +10 3
Ułożenie równania = . 1
n + 2 2
Rozwiązanie równania. 1
Wyznaczenie wyrazu an+2. 1
1
16
Wyznaczenie an+2 - an = - . 1
n2 + 6n + 8
Zamiana arów na metry. 1
Określenie a1 i r . 1
Zapisanie sumy n wyrazów ciągu arytmetycznego Sn = n(25 + 2n) .
1
Zapisanie nierówności i wyznaczenie jej dziedziny
1
2 n(25 + 2n)*#783,n " N+ .
Rozwiązanie nierówności. 1
Sformułowanie poprawnej odpowiedzi: w ciągu 15 dni. 1
1
Przyjęcie oznaczenia t = x2 + 3x - 2 .
t = 90
Å„Å‚ - 4n
ôÅ‚
Utworzenie układu równań , gdzie n  liczba
òÅ‚ 86 + t
2
ôÅ‚968 = 2 Å" n
ół
składników po lewej stronie.
3
t = 2
Å„Å‚
Rozwiązanie układu: .
2
òÅ‚
ółn = 22
Obliczenie x.Odp. x = 4 lub x = 1. 1
Zapisanie warunku wykorzystującego własność ciągu geometrycznego.
1
b c
Sprawdzenie, że zachodzi równość: = . 2
4
a b
Obliczenie kwartalnego oprocentowania: 0,9% = 0,009.
1
Obliczenie kwoty, jaką wypłaci bank
2
K = 2000(1 + 0,009)16 H" 2308,28 [zł].
Obliczenie 15, 4% kwoty 2000 zł i udzielenie poprawnej odpowiedzi
5
1
(tak).
7
Przekształcenie do postaci an = 2 - . 1
n2 - 2
Wskazanie, że w mianowniku ułamka mogą być liczby 1, -1, 7, -7
1
(dzielniki liczby 7).
Utworzenie i rozwiązanie równań.
6
2
Wyznaczenie szukanych wartości n i sformułowanie poprawnej
2
odpowiedzi ( a1 i a3 ).
Numer Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania punktów
Utworzenie układu równań z niewiadomymi a1 i r. 1
Wyznaczenie a1 i r. 2
Wyznaczenie sumy 133 wyrazów ciągu.
1
7
Wykazanie, że jest ona podzielna przez 41.
1
Obliczenie setnego wyrazu ciÄ…gu: a100 = -33.
1
3
Obliczenie wartości n, dla której an = 2 : n = 11.
1
5
an *#0
Å„Å‚
8
Zapisanie układu warunków:
òÅ‚n " N+ i podanie poprawnej odpowiedzi: 2
ół
17 wyrazów.
Wyznaczenie wyrazu an+1 = 2n2 + 6n +1. 1
Wyznaczenie różnicy an+1 - an = 4n + 4 .
1
Zapisanie odpowiedzi uwzględniającej założenie n " N+ : badany ciąg
1
jest rosnÄ…cy.
9
Zapisanie i rozwiÄ…zanie warunku an+1 - an = 48 : n = 11.
1
Podanie poprawnej odpowiedzi: między a11 a a12 . 1
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i ułożenie równania:
x + 3 16
1
np. = .
x x + 3
Wyznaczenie dziedziny równania.
1
10
1
Doprowadzenie równania do postaci: x2 -10x + 9 = 0 .
Rozwiązanie otrzymanego równania: x = 1 lub x = 9 . 1
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ułożenie równania: np.
1
(x2 + x)-(2x3 + 9x)= (- 3x - 4)-(x2 + x).
11
Doprowadzenie równania do postaci: (x -1)(x2 + 2)= 0 . 1
Rozwiązanie otrzymanego równania: x = 1. 1
Wyznaczenie a4 : a4 = 21.
1
Wyznaczenie b2 : b2 = 4 2 - 2 . 1
12
Obliczenie iloczynu a4 Å" b2 : a4 Å" b2 = 84 2 - 42. 1
Wyznaczenie różnicy r ciągu arytmetycznego: r = 3. 1
Wyznaczenie wzoru na n-ty wyraz ciÄ…gu (an ): an = 99n - 3 dla n " N+ .
1
13
Obliczenie sumy: S16 = 1932.
1
Zauważenie, że pierwszy wyraz ciągu jest równy 12, zaś różnica równa
1
siÄ™ 6.
Zapisanie wzoru na n-ty wyraz tego ciÄ…gu: an = 6n + 6 dla n " N+ .
1
Wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez 6: 96. 1
Wyznaczenie ilości wyrazów ciągu spełniającego warunki zadania:
14
1
n = 15.
Obliczenie sumy: S15 = 810.
1
Numer Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania punktów
Zauważenie, że lewa strona równania jest sumą ośmiu początkowych
1
kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a1 = 1 i q = x.
8
1- (x)
Przekształcenie równania do postaci = 0 i zapisanie założenia
1
1- x
x `" 1.
15
Rozwiązanie równania: x = 1 lub x = -1. 1
Wybranie odpowiedzi uwzględniającej założenie: x = -1. 1
3
Obliczenie miesięcznego oprocentowania: % = 0,0075. 1
4
Wyznaczenie ilości rat n=48.
1
48
(1,0075)
16
Zapisanie wzoru: R = 20000 Å" 0,0075 Å" .
1
48
(1,0075) -1
Obliczenie wysokości comiesięcznej raty: R = 497,70 zł. 1
Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania punktów
Wypisanie kilku pierwszych wyrazów. 1
Zapisanie hipotezy dotyczÄ…cej szukanego wzoru an = (2n + 3)2 dla
1
dowolnego n " N+ .
Udowodnienie wzoru metodÄ… indukcji matematycznej.
3
1
Rozszerzenie różnicy (w punkcie a)) o sumę identycznych pierwiastków.
1
1
Obliczenie granicy ( - ). 1
2
Przekształcenie ułamka (w punkcie b)) z wykorzystaniem działań na
1
2
potęgach.
Obliczenie granicy (-40).
1
Zauważenie, że lewa strona nierówności jest sumą szeregu
geometrycznego, obliczenie jej i zapisanie nierówności
1
x
z wykorzystaniem obliczonej sumy < 1.
1- 2x
3
ëÅ‚- 1
öÅ‚
Wyznaczenie dziedziny nierówności x " ", .
ìÅ‚ ÷Å‚ 3
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczenie rozwiązania nierówności.
2
Podanie rozwiązania nierówności z uwzględnieniem jej dziedziny
ëÅ‚- 1
öÅ‚
1
( x " ", ).
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
Numer
Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania
punktów
Analiza zadania (rysunek i oznaczenia). 1
Wykorzystanie własności czworokąta wpisanego w okrąg do utworzenia
jednego z równaÅ„ Ä… + r + ² = Ä… + Ä… + 2r , gdzie Ä… , Ä… + r, Ä… + 2r  miary
1
trzech kolejnych kÄ…tów, których mowa w zadaniu, ²  miara czwartego
4 kÄ…ta.
Wykorzystanie własności sumy miar kątów czworokąta do utworzenia
1
drugiego równania Ä… + Ä… + r + Ä… + 2r + ² = 360° .
Zauważenie, że z powyższych równaÅ„ wynika, że ² = Ä… + r = 90° .
1
Uzasadnienie, że istnieją co najmniej dwa kąty proste. Dla r > 0 są
1
dokładnie dwa, a dla r = 0 są cztery.
Analiza zadania. 1
Å„Å‚ - 20
a2
= b3
ôÅ‚
Ułożenie układu równań .
2 2
òÅ‚
4
ôÅ‚a = -2b3
ół
5
2
Rozwiązanie równania a4 + a2 - 20 = 0 .
a = 2 a = -2
Å„Å‚ Å„Å‚
Obliczenie b i podanie odpowiedzi: (" .
1
òÅ‚ òÅ‚
ółb = -2 ółb = -2
2
Å„Å‚
ôÅ‚a (1- q2) = 12 .
1
Utworzenie układu równań
2
òÅ‚
2
ôÅ‚ (1- q4) = 15
óła1
Podanie założeń: q `" 1,q `" -1.
1
6 Rozwiązanie układu
a1 = 4 a1 = -4 a1 = 4 a1 = -4
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
4
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
lubòÅ‚ 1 lubòÅ‚ 1 lubòÅ‚ 1 .
òÅ‚ 1
ôÅ‚q = 2 ôÅ‚q = 2 ôÅ‚q = - 2 ôÅ‚q = - 2
ół ół ół ół
1 1
Obliczenie piÄ…tego wyrazu ciÄ…gu : lub- .
1
4 4
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ułożenie równania:
2 2
sin x + sin x + 2cos2 x 1
2
sin x + cos2 x = .
2
Podanie rozwiązania równania uwzględniającego dziedzinę: x " 0,Ą .
1
7
2
1
Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego: r = sin x .
Wyznaczenie czwartego wyrazu ciÄ…gu arytmetycznego:
1
2
a4 = sin x + 3cos2 x.
2
Wyznaczenie sumy: S4 = 2 Å"(2sin x + 3cos2 x). 1
2
Doprowadzenie równania 2 Å"(2sin x + 3cos2 x)= 6 do postaci sin x = 0. 1
Rozwiązanie równania: x = kĄ '" k " C . 1
Wybór rozwiązania spełniającego warunki zadania: x = 0 (" x = Ą.
1
Numer
Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania
punktów
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i ułożenie równania:
2
2 1
ëÅ‚3x + öÅ‚
= 9 Å" 9x.
ìÅ‚ ÷Å‚
9
íÅ‚ Å‚Å‚
Przekształcenie równania wykładniczego do postaci:
1
2
162(3x) - 9 Å" 3x -1 = 0.
8
Podstawienie: 3x = t i zapisanie równania za pomocą t.
1
1 1
Rozwiązanie równania: t = - (" t = . 1
18 9
1
Wybór rozwiązania z uwzględnieniem warunku, że t*#0 : t = .
1
9
1
Rozwiązanie równania 3x = i zapisanie odpowiedzi: x = -2 . 1
9
Zapisanie założeń: an *#0, q*#0 dla n " N+ i wyznaczenie bn+1 = log5 an+1.
1
Zastosowanie definicji ciÄ…gu geometrycznego, twierdzenia dotyczÄ…cego
2
9
działań na logarytmach i wyznaczenie różnicy bn+1 - bn = log5 q .
Zauważenie, że log5 q " R i napisanie wniosku.
1
Określenie dziedziny równania. 1
Wyznaczenie czwartego wyrazu nieskończonego ciągu geometrycznego:
1
1
.
x2
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ułożenie równania:
1
x +
1
x2
1 = .
10 2
Doprowadzenie równania do postaci: (x -1)(x2 - x -1)= 0 . 1
1- 5 1+ 5
1
Podanie odpowiedzi: x = 1 (" x = (" x = .
2 2
Sprawdzenie, że dla n = 1 zachodzi równość. 1
3 1
2
Zapisanie założenia indukcyjnego: 2 + 5 + 8 + ... + (3k -1) = k + k,
1
2 2
11
gdzie k jest ustaloną liczbą naturalną większą lub równą 1.
Zapisanie tezy indukcyjnej:
3 1
2 1
2 + 5 + 8 + ... + (3k -1)+ (3k + 2) = (k +1) + (k +1).
2 2
Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej. 2
Sformułowanie odpowiedzi.
1
Zapisanie, że an+1 = Sn+1 - Sn .
1
Wyznaczenie an+1 = 2n + 4.
1
12
Obliczenie n-tego wyrazu ciÄ…gu: an = 2n + 2.
1
Numer Liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
zadania punktów
Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
1
r = an+1 - an .
12
Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że ciąg jest arytmetyczny. 1
1
Obliczenie ilorazu q = . 1
2x
1
Rozwiązanie nierówności )#1 : x*#0.
2
2x
Zapisanie lewej strony nierówności jako sumy szeregu geometrycznego:
13
1
1
.
2x -1
Zamiana ułamka 0,(9)=1. 1
Podstawienie 2x = t '" t*#0 .
1
1
Zapisanie nierówności za pomocą t: *#t -1, t `" 1.
1
t -1
Rozwiązanie nierówności: t "(- ",0)*"(1,2). 2
Wybór rozwiązania spełniającego warunki zadania: 2x "(1,2). 1
Rozwiązanie nierówności 1 < 2x < 2 i podanie odpowiedzi: x "(0,1). 1
Usunięcie niewymierności z mianownika. 1
Stwierdzenie i uzasadnienie, że mianownik jest liczbą dodatnią dla
2
dowolnego n " N+ .
14
Zbadanie znaku licznika. 1
Sformułowanie stąd wniosku: ciąg nie jest monotoniczny. 1