Ciągi liczbowe. Granice ciągów.
(notatki z wykładu)
Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest funkcją określoną na liczbach naturalnych,
przyjmującą wartości rzeczywiste.
CiÄ…g (an) jest rosnacy Ô! "n"N: an < an+1.
CiÄ…g (an) jest niemalejÄ…cy Ô! "n"N: an d" an+1.
Podobnie definiuje się ciąg malejący czy też ciąg nierosnący.
CiÄ…g (an) jest ograniczony z góry Ô! "M"R "n"N: an < M.
CiÄ…g (an) jest ograniczony z doÅ‚u Ô! "m"R "n"N: an > m.
n
Przykład 1. Określić monotoniczność ciągu an = .
2n+1
n+1 n
an+1
Oszacujemy w tym celu wyrażenie - an an+1
. Mamy tutaj - an 2n+3 - =
=
2n+1
(n+1)(2n+1)-n(2n+3)
1
= = . Wyrażenie to jest dodatnie dla każdego naturalnego n,
(2n+3)(2n+1) (2n+3)(2n+1)
a więc spełniona jest zawsze nierówność an < an+1, czyli badany ciąg jest rosnący.
n
Przykład 2. Sprawdzić ograniczoność ciągu an = .
2n+1
n
Zauważmy, że dla każdego naturalnego n zachodzi nierówność > 0, czyli badany ciąg
2n+1
jest ograniczony z dołu. Możemy także zapisać, że
n 2n 2n+1-1 1
1 1 1 1
= ( ) = ( ) =  ( ).
2n+1 2n+1 2 2n+1 2 2 2n+1
2
1
Ostatnie wyrażenie jest zawsze mniejsze od , a więc badany ciąg jest też ograniczony z góry.
2
Definicja granicy ciÄ…gu (wg Cauchy ego).
lim an = g Ô! "µ>0 "m"N "n>m: ćłan gćł < µ
n"
3n
Przykład 3. Wykazać na podstawie definicji granicy ciągu, że lim = 3.
n+2
n"
3n 3n-3n-6 6
WychodzÄ…c z nierównoÅ›ci ćł  3ćł< µ otrzymujemy, że ćł ćł< µ, skÄ…d < µ,
n+2 n+2 n+2
6 6 6
czyli < n+2 i dalej  2 < n a wiÄ™c n >  2. Dla każdego µ>0 istnieje zatem liczba m
µ µ µ
6
zależna tylko od µ ( m = [  2+1] ), że dla wszystkich n > m speÅ‚niona jest wyjÅ›ciowa
µ
nierówność.
Ciąg, który ma granicę, jest zbieżny. Jeżeli nie istnieje liczba rzeczywista, która jest granicą
danego ciągu, to mówimy, że taki ciąg jest rozbieżny.
Ciągi rozbieżne do +" lub  " :
lim an = " Ô! "X"R "m"N "n>m: an >X
n"
lim an = -" Ô! "x"R "m"N "n>m: an n"
Oto kilka podstawowych granic ciągów:
limc = c (granica ciągu stałego an = c jest równa stałej c)
n"
1
lim = 0
n
n"
1
Jeżeli a>0, to lim na = " oraz lim = 0
na
n" n"
Podstawowe twierdzenia o ciÄ…gach i ich granicach.
Twierdzenie 1.
Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.
Twierdzenie 2,
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Z tw. 2 wynika, że jeśli mamy przynajmniej dwa podciągi pewnego ciągu, które są zbieżne
do różnych granic, to dany ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy). Na przykład dla ciągu
an = (-1)n mamy dwa podciągi stałe: a2n = 1 (wyrazy o numerach parzystych) oraz a2n-1 = -1
(wyrazy o numerach nieparzystych). Oba te podciągi są zbieżne, ale do różnych granic  jeden
do 1, drugi do  1, czyli omawiany ciÄ…g nie ma granicy.
Twierdzenie 3 (o granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów).
Jeżeli lim an = a i lim bn = b , to
n" n"
a
a) lim (an Ä… bn) = a Ä… b , b) lim (an Å" bn) = a Å" b , c) lim (an / bn) = (bn`"0, b`"0).
b
n" n" n"
Przykład 4.
3 2 3 2
n2(1+n- ) 1+n-
n2+3n-2 n2 n2 1
a) lim = lim = lim =
1
n" n" n" 5-1+ 5
1
5n2-n+1 n2(5-1+ )
n
n n2
n2
n(-4+1/ n)
9n2 -9n2 -4n+1 - 4 2
b) lim (3n - 9n2 + 4n -1) = lim = lim = = -
n" n" n"
3n+ 9n2 +4n-1
n(3+ 9+4 / n-1/ n2 6 3
Twierdzenie 4.
1
Jeżeli lim an = ą" , to lim = 0 .
an
n" n"
Twierdzenie 5.
n n
n
Jeżeli a > 0, to lim a =1. lim n =1 . Jeżeli an > 0 i lim an >0, to lim an =1.
n" n" n" n"
Twierdzenie 6.
Å„Å‚0 gdy q <1
ôÅ‚
1 gdy q = 1
ôÅ‚
lim qn = .
òÅ‚
n"
ôÅ‚" gdy q >1
ôÅ‚nie istnieje gdy q d" -1
ół
Twierdzenie 7.
n
1
lim (1 + = e . (e jest liczbÄ… niewymiernÄ… (liczba Eulera); e H" 2,72 )
n)
n"
Twierdzenie 8.
an+1
Jeżeli dla ciągu (an) istnieje granica lim = g < 1, to lim an = 0 .
an
n" n"
an+1
Dowód tw.8. Jeżeli < 1 od pewnego n0, to znaczy, że an+1 < an , czyli ciąg ( an )
an
jest ciągiem malejącym. Jest on ograniczony z dołu przez liczbę 0, bo an e" 0, a więc musi to
być ciąg zbieżny. Twierdzimy, że jego granicą jest liczba 0.
Załóżmy nie wprost, że 0 nie jest tą granicą, lecz jest nią pewna liczba a `" 0. Wtedy musiałoby
an+1 a
być, że lim = =1, a to jest wbrew założeniu, że g < 1. A więc wykazaliśmy, że
a
an
n"
lim an = 0
n"
Twierdzenie 9. (o trzech ciÄ…gach)
Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) spełniają warunki an d" bn d" cn dla wszystkich n większych od
pewnego n0 oraz lim an = lim cn = g , to lim bn = g .
n" n" n"
Twierdzenie 10. (o dwóch ciągach)
Jeżeli lim an = " i an d" bn dla wszystkich n większych od pewnego n0, to lim bn = " .
n" n"
Przykład 5.
4 4
3n(5+ ) 5+
5Å"3n +4 3n 3n 5
a) lim = lim = lim = = 5 (na podst. tw.3 i tw.6).
2n +3n 1
n" n" (2)n+1
n"
3n((2)n+1)
3
3
3 1
b) lim(1+ )n = lim (1 + )(2 / 3)nÅ"(3 / 2) = e(3/2) (na podst. tw.7).
2n (2 / 3)n
n"
n"
n + 1 n
7n 7
c) lim = 0 ponieważ lim [((7 /(7 !)] = lim = 0 (na podst. tw.8).
n
n ! n+1) !) n
n" n" n"
Przykład 6.
n
Wyznaczyć granicę ciągu an = 4n + 6n .
n n n
Zauważmy, że zachodzÄ… oczywiste nierównoÅ›ci: 6n d" 4n + 6n d" 2 Å" 6n . A ponieważ
n n n
lim 6n = lim 6 = 6 , a także lim 2 Å" 6n = lim 6n 2 = 6 Å"1 = 6 , wiÄ™c lim 4n + 6n = 6
n" n" n" n" n"
(na podst. twierdzenia o 3 ciÄ…gach).
Przykład 7.
1 1 1
Wyznaczyć granicę ciągu an = + +...+ .
n2 +1 n2 +2 n2 +n
n n n n
Zauważmy, że d" an d" , a ponieważ lim = lim = 1, a także
1
n" n"
n 1+
n2 +n n2 n2 +n
n
n
lim = 1, więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach mamy, że lim an = 1.
n" n"
n2