ELEMENTY MATEMATYKI
FINANSOWEJ

Dr inż. Tomasz Budzyński

Przyszła wartość pieniądza



Oprocentowanie proste



Oprocentowanie złożone



Rodzaje stóp procentowych

Oprocentowanie proste

R -

stopa przyrostu kapitału w okresie bazowym

(najczęściej w roku)

PV

– kapitał początkowy

FV

1

-

kapitał po upływie jednego roku

(lub jednego okresu bazowego)

PV

PV

-

FV

1



R

Oprocentowanie proste

W przypadku depozytu PV złożonego do
banku na 1 rok, przy stopie R rocznego
przyrostu kapitału (stopie procentowej) na
koniec roku będziemy dysponowali kwotą FV

1

FV

1

= PV + PV * R = PV * (1 + R)

Oprocentowanie proste



W przypadku kredytu



Kwota zwrotu = Kwota kredytu + Odsetki od
kredytu



Odsetki od kredytu są ceną za udostępnienie

określonej kwoty na określony okres ( koszt kapitału).



Roczne odsetki od kredytu = Kwota kredytu x
Roczna ( R ) stopa procentowa kredytu.



Roczna ( R ) stopa procentowa kredytu= Roczne
odsetki od kredytu/ kwota kredytu

Oprocentowanie proste



Odsetki od kredytu za okres t dni = Kwota
kredytu x R x t / 360

gdzie:



t - okres korzystania z kredytu w dniach,



R - roczna stopa oprocentowania kredytu,



360

– długość roku bankowego w dniach (rok

kalendarzowy ma 365 dni, a rok przestępny 366
dni).



r = R x t / 360



r

– oprocentowanie kredytu za okres t dni

Zadanie



Oblicz kwotę zwrotu (KZ) dla kredytu

K= 100 000zł udzielonego na 3 miesiące,
oprocentowanego stopą roczną R = 12 %
i spłaconego jednorazowo.

Formuła procentu prostego

Uogólnionym zapisem wyżej podanych sposobów

naliczania odsetek od kapitału początkowego,

proporcjonalnie do upływu czasu oraz do wysokości

oprocentowania za okres bazowy, jest formuła procentu
prostego.

FV

n

= PV + PV * (r * n) = PV * ( 1 + r * n)

gdzie :



FV

n

-

końcowa wartość kapitału wraz z odsetkami

naliczonymi za „n” okresów bazowych,



PV -

kapitał początkowy oprocentowany w „n” okresach

bazowych,



r -

wysokość oprocentowania za 1 okres bazowy,

wyrażona w liczbie dziesiętnej,



n -

liczba okresów bazowych,

Oprocentowanie złożone



W oprocentowaniu złożonym odsetki za
kolejne okresy bazowe naliczane są od
kapitału początkowego powiększanego
o naliczone wcześniej odsetki.

FV

n

= PV * (1 + r)

n

gdzie:

FV

n

-

końcowa wartość kapitału wraz z

odsetkami po upływie „n” okresów bazowych

Zadanie



Jakim kapitałem FV

2

można dysponować

po 2 latach, składając do banku kapitał
PV = 5000 zł przy rocznym oprocentowaniu
3%.

Rodzaje stóp procentowych



Stopa procentowa nominalna



Efektywna roczna stopa procentowa ERSP



Realna stopa procentowa



Stopa refinansowa

Stopa procentowa nominalna



Stopa procentowa nominalna określa
wysokość rocznej stopy procentowej.



Jeżeli bank oprocentowuje depozyty stopą
2 % w skali roku i odsetki dolicza raz w roku,
to roczna stopa procentowa nominalna wynosi
2

% i w takim samym stopniu następuje

przyrost kapitału.

Efektywna roczna stopa procentowa



Efektywna roczna stopa procentowa (ERSP)
określa faktyczne roczne oprocentowanie,
czyli roczny przyrost kapitału w stosunku do
kapitału początkowego.



Uwzględnia ona sposób oprocentowania.



Przy oprocentowaniu prostym, stopa
nominalna jest równa stopie efektywnej a przy
oprocentowaniu złożonym, ERSP jest wyższa
od stopy procentowej nominalnej.

Efektywna roczna stopa procentowa

ERSP = (1 + r)

n

− 1

gdzie



r

– wysokość oprocentowania za 1 okres

bazowy np. miesiąc, kwartał,



n -

liczba okresów bazowych w roku (liczba

kapitalizacji w okresie jednego roku)

Zadanie



Oblicz wysokość efektywnej rocznej stopy
procentowej dla lokaty bankowej z kwartalną
kapitalizacją odsetek, przy nominalnej stopie
procentowej 4 % w skali roku.

Realna stopa procentowa



Realna stopa procentowa r

r

odpowiada

nominalnej stopie procentowej skorygowanej
o inflację.

1

inflacji

1

nominalna

1









stopa

stopa

r

r

100%

inflacji

stopa

1

inflacji

stopa

-

nominalna

stopa

%







r

r

Zadanie



Określ realną stopę procentową (w sposób
dokładny i uproszczony) przy założeniu że
nominalne oprocentowanie lokaty w skali roku
wynosi 4% a stopa inflacji 2%.

Stopa refinansowa



Stopa refinansowa jest stopą procentową, według

której bank centralny udziela kredytów innym
bankom.



Bank centralny stosuje oprocentowanie wg

modelu kapitalizacji ciągłej.



r

– stopa refinansowa



n

– liczba lat



e - liczba Eulera 2,71828..

n

r

e

PV

*

n

*

FV



Dyskontowanie



Dyskontowanie jest procedurą określenia
aktualnej wartości przyszłych dochodów

Dyskontowanie



Dyskontowanie stanowi odwrotność
oprocentowania

złożonego.



FV

n

= PV*(1 + r)

n



PV = FV

n

*(1/(1 + r)

n

)



(1/(1 + r)

n

) -

współczynnik dyskontowy

Stopa dyskontowa



W matematyce finansowej stopę dyskontową
„r” można utożsamiać ze stopą pomnażania
(zwrotu) zainwestowanego kapitału, ponieważ

przyszła wartość FV tj. przyszły dochód
z nieruchomości zawiera w sobie
spodziewany przyrost kapitału początkowego.

Przepływy pieniężne



Przepływy pieniężne (Cash flows) to nadwyżki
(lub niedobory) środków finansowych
powstających w działalności operacyjnej
(bieżącej) firmy po wykonaniu planowanego
przedsięwzięcia inwestycyjnego,



analizowane po pokryciu oczekiwań
finansowych podmiotów angażujących kapitały
w tę inwestycję.

Przepływy pieniężne



Ze względu na różne zasady określania

strumieni pieniężnych, w wycenie

nieruchomości określamy je jako strumienie

dochodów rocznych, przy obliczaniu których



nie

uwzględnia się amortyzacji, kredytu i jego

kosztów, podatku dochodowego oraz innych

opłat i podatków związanych ze sprzedażą

nieruchomości.



Stanowią one różnicę pomiędzy wpływami
a wydatkami.

Obecna wartość sumy przyszłych stałych
dochodów



Dochody uzyskiwane przez n lat



∑PV = D * [ 1 - (1 + r)

-n

] : r



Dochody uzyskiwane w nieskończonym
okresie



∑PV = D / r