1 

 

 

2 

 

 

 

Moc  chwilow  nazywamy iloczyn warto ci chwilowych napi cia i pr du, czyli  

p=ui 

W odró nieniu od obwodów pr du stałego, w których energia pobierana ze   ródła jest 

stała, w obwodach pr du zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w 

kolejnych przedziałach czasu ró na. W zwi zku z tym,  e napi cie i pr d sinusoidalny 

zmieniaj  w zale no ci od czasu swoj  warto  bezwzgl dn  i znak, zatem moc 

chwilowa równie  zmienia si  w funkcji czasu.    

 

Moc chwilowa 

, jako jedyna z mocy jest funkcj  czasu i definiuje si  j  w 

postaci iloczynu warto ci chwilowych pr du 

oraz 

napi cia w obwodzie  

 

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem, w którym 

wyst puje składowa stała i składowa sinusoidalnie zmienna, której cz stotliwo  jest 

dwukrotnie wi ksza od cz stotliwo ci napi cia i pr du.   

 

3 

 

 

Na rysunku obok faza pocz tkowa napi cia jest równa zero, a pr d opó nia si  

wzgl dem napi cia o k t fazowy   (obwód o charakterze indukcyjnym).   

Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu, w których warto  chwilowa 

napi cia i pr du maj  te same znaki. 

Je li p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze 

ródła do odbiornika; jesli p<0 to moc chwilowa jest ujemna, zatem energia elektryczna 

jest zwracana przez odbiornik do  ródła.  

Nale y pami ta ,  e jedynie elementy rezystancyjne oraz odbiorniki, które s  zdolne do 

przekształcenia energii elektrycznej w inny rodzaj energii, pobieraj  energi  i jej nie 

zwracaj . 

Natomiast cewki i kondensatory maj  zdolno  do gromadzenia energii odpowiednio w 

polu magnetycznym i elektrycznym oraz jej oddawania w zale no ci od warto ci 

napi cia i pr du zwi zanego z tymi elementami. 

Energia całkowita dostarczona do odbiornika w ci gu okresu T odpowiada polu 

ograniczonemu przebiegiem mocy chwilowej w okresie T z uwzgl dnieniem znaku; 

pola nad osi  - energia dodatnia, pola pod osi  - energia ujemna.  

 

 

4 

 

 

Moc czynna  

W przebiegach sinusoidalnych interesuje nas zazwyczaj energia pobrana przez 

odbiornik w czasie jednego okresu lub jego wielokrotno ci.  

Je eli energi  obliczon  dla czasu t=T, tzn. jednego okresu, podzielimy przez czas T, to 

otrzymamy warto   redni  mocy chwilowej za okres.  

Podstawiaj c do powy szego wzoru funkcj  okre laj c  moc chwilow  w obwodzie, po 

wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si   

     

Moc  czynn  nazywamy warto   redni  mocy  chwilowej.  

M

oc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wi c wielko ci  stał  

równ  iloczynowi modułów warto ci skutecznych napi cia i pr du oraz cosinusa 

k ta przesuni cia fazowego mi dzy wektorem napi cia i pr du. Współczynnik 

odgrywa ogromn  rol  w praktyce i nosi specjaln  nazw  

współczynnika mocy.  

 

 

 

 

 

5 

 

 

Moc czynna stanowi składow  stał  mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu 

RLC a w granicznym przypadku przy 

jest równa zeru. Moc 

czynna osi ga warto  najwi ksz  

wtedy, gdy 

to znaczy gdy odbiornik 

ma charakter rezystancyjny, 

Warto  najmniejsz  

moc osi ga w 

przypadku granicznym, gdy 

to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna 

lub kondensator idealny, 

Oznacza to,  e 

na elementach reaktancyjnych nie 

wydziela si  moc czynna.  
Z przytoczonych rozwa a  wynika, moc czynn  wydzielan  w rezystorze mo na opisa  

nast puj cymi wzorami  

 

w których pr d  oraz napi cie  odpowiadaj  rezystorowi  . Jednostk  mocy czynnej 

jest 

wat ( , przy czym 

. W praktyce stosuje si  równie  wielokrotno ci 

wata w postaci kilowata 

lub megawata 

oraz warto ci 

ułamkowe, np. miliwat 

lub mikrowat 

 

Do pomiaru mocy czynnej słu y watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrz dem 

pomiarowym posiadaj cym cewk  pr dow  (o impedancji wewn trznej bliskiej zeru) 

do pomiaru pr du gał ziowego obwodu i cewk  napi ciow  (o impedancji 

wewn trznej bliskiej niesko czono ci) do pomiaru napi cia mi dzy punktami 

obwodu, dla którego mierzymy moc czynn . 

 

6 

 

 
W obwodach elektrycznych pr du sinusoidalnego definiuje si  trzeci  wielko  

energetyczn  b d c  iloczynem napi cia i pr du oraz sinusa k ta przesuni cia 

fazowego mi dzy nimi. Wielko  ta oznaczana jest liter    i nazywana moc  biern   

  

Jednostk  mocy biernej jest war (var) b d cy skrótem nazwy 

woltamper reaktywny. W przypadku rezystora, dla którego przesuni cie fazowe jest 

równe zeru 

 moc bierna jest zerowa 

Moc bierna mo e si  wi c 

wydziela  jedynie na elementach reaktancyjnych, gdy  tylko dla nich przesuni cie 

fazowe pr du i napi cia jest ró ne od zera. Przesuni cie fazowe pr du i napi cia na 

elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje warto  

 dla cewki 

oraz 

 dla kondensatora, co oznacza,  e sinus k ta jest odpowiednio równy   dla 

cewki (moc bierna cewki jest uwa ana za dodatni ) oraz   dla kondensatora (moc bierna 

kondensatora jest uwa ana za ujemn ). St d przy pomini ciu znaku wzór na moc biern  

elementów reaktancyjnych o reaktancji   mo e by  przedstawiony w trzech 

równorz dnych postaciach  

   W ogólno ci k t przesuni cia fazowego   uwa a 

si  za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napi cie wyprzedza pr d) a za 

ujemny dla obwodów o charakterze pojemno ciowym (napi cie opó nia si  wzgl dem 

pr du). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie moc  

indukcyjn , kojarzona z liczb  dodatni  a moc bierna obwodów o charakterze 

pojemno ciowym jest wi c w sumie moc  pojemno ciow  i kojarzon  z liczb  ujemn .  

 

7 

 

 

Moc pozorna zespolona  

Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana 

moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do warto ci skutecznych pr du i 

napi cia, i oznaczana liter   . Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako 

liczba zespolona w postaci iloczynu warto ci skutecznej zespolonej napi cia   i 

warto ci skutecznej sprz onej pr du  .  

Zale no  na moc pozorn  zespolon  mo na przedstawi  równie  w postaci 

wykładniczej  

 W zale no ci tej   wyra a 

moduł mocy pozornej 

zespolonej, który mo e by  wyra ony w postaci iloczynu modułów warto ci 

skutecznych pr du i napi cia  

 

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku mo liwe jest 

wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie  

 

Warto  współczynnika mocy wyznaczona z powy szej zale no ci jest identyczna z 

warto ci  wynikaj c  z relacji pr dowo-napi ciowych zachodz cych dla wielko ci 

bramowych obwodu.  

 

8 

 

 

 

 

9 

 

 

 

 

10 

 

 

 

 

11 

 

 

 

 

12 

 

 

Energia magazynowana w idealnej cewce  
Rozpatrzmy cewk  o indukcyjno ci  zasilon  z generatora napi ciowego 

. 

Obliczymy energi  dostarczon  do tej cewki w czasie od  do  . Energia ta, podobnie 

jak w przypadku kondensatora, mo e by  obliczona jako całka z mocy chwilowej  

 

Uwzgl dniaj c wzór na moc chwilow  i dokonuj c odpowiednich operacji całkowania 

otrzymujemy  

 

Załó my,  e czas t0 jest tak  chwil , w której pr d cewki 

jest zerowy. W takim razie 

wzór na energi  upraszcza si  do postaci  

 

Zasadnicz  cech  cewki idealnej jest jej bezstratno , co oznacza,  e energia 

dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która 

przepływa pr d stały I posiada energi  równ   

 

W odró nieniu od kondensatora, w którym energia zwi zana była z napi ciem mi dzy 

okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzale niona od pr du (strumienia 

magnetycznego). St d przyjmuje si ,  e kondensator magazynuje energi  w polu 

elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.

  

 

13 

 

 

Moc magazynowana w cewce rzeczywistej  
Obliczenia mocy dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmijmy,  e pr d płyn cy w 

dwójniku ma faz  pocz tkow  równ  zero, czyli   
i=I

m

sin t       a wobec tego napi cie na zaciskach dwójnika:  

u=U

m

sin( t+ )  napi cie wyprzedza pr d o k t fazowy: 

=arctg( L/R)  

W wyniku podstawienia warto ci chwilowych napi cia i pr du otrzymamy moc 

chwilow : 
   p=UI[cos -cos(2 t+ )]  
W ci gu jednego okresu pr du moc  chwilowa czterokrotnie zmienia znak. Energia 

dodatnia jest wi ksza od energii ujemnej. O  oscylacji mocy chwilowej jest przesuni ta 

wzgl dem osi czasu o warto  stał  równ  UIcos , a amplituda mocy chwilowej 

wynosi UI. 
Moc czynna b d ca warto ci   redni  mocy chwilowej wynosi P=UIcos . Z trójk ta 

napi  wynika,  e Ucos =U

R

=RI a zatem P=RI

2

. Moc czynna jest pobierana jedynie 

przez elementy rezystancyjne. 
Moc bierna wynosi Q=UIsin , z trójk ta napi  wynika,  e Usin =U

L

=X

L

I czyli 

Q=U

L

=X

L

I

2

  moc bierna jest zwi zana jedynie z elementem indukcyjnym. Moc pozorna 

wynosi S=UI czyli S=UI

2

   

 

  

 

14 

Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy

  

 

Współczynnik mocy (

cos

) odgrywa du  rol  w zakresie efektywno ci wykorzystania urz dze  

elektrycznych. Odbiorniki energii elektrycznej np. silniki elektryczne, urz dzenia grzejne, 

o wietleniowe s  dobierane pod k tem warto ci mocy czynnej, której odpowiada energia u yteczna 

pobrana przez urz dzenia i przekształcona w energi  mechaniczn , ciepln . 

Warto  pr du w odbiorniku, a zatem te  w przewodach i urz dzeniach rozdzielczych ł cz cych 

odbiornik ze  ródłem energii elektrycznej zale y w tym przypadku od warto ci współczynnika mocy 

(cos ). Je eli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie okre lonej mocy P przy 

danym napi ciu wymaga przepływu pr du o wi kszej warto ci ni  w przypadku du ej warto ci 

współczynnika cos . 

Strata mocy w linii jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy. 

Powszechnie d y si  do tego, aby współczynnik mocy odbiorników energii elektrycznej był 

bliski jedno ci.  Jedn  z metod jest kompensacja mocy biernej za pomoc  kondensatorów. Załó my, 

e silnik elektryczny o mocy 

P i współczynniku mocy cos  jest zasilany ze  ródła o napi ciu U. 

Schemat zast pczy silnika to dwójnik równoległy RL. 

Poszczególne składowe pr du to: 

I

R

=I

S

cos

1

   I

L

=I

S

sin

1

    Pr d płyn cy przez bateri  kondensatorów wynosi 

Ic.  

Mo na wi c dobra  tak warto  pojemno ci C, aby pr d 

I

C

=I

L

 uzyskamy wtedy kompensacj  idealn , 

czyli moce bierne si  znosz  i mamy współczynnik 

cos  równy jedno ci.  

Mo na równie  tak dobra  warto  pojemno ci C, aby współczynnik mocy  

cos

2

 układu miał now  

warto  - wi ksz  od warto ci współczynnika mocy 

 cos

1

 silnika.  

 

15 

 

Zadania sprawdzaj ce  

Zadanie 3.1  

Sporz dzi  bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rysunku. Przyj  nast puj ce warto ci 

elementów:  

.  

 

Rozwi zanie  

Warto ci symboliczne elementów obwodu:  

 

 

 

 

Impedancje obwodu:  

 

 

 

Pr dy i napi cia w obwodzie:  

 

 

 

 

 

Moc wydawana prze  ródło  

 

Moce elementów  

 

 

 

 

Moc całkowita odbiornika  

 

Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy 

ródła.