1

2

Moc chwilow nazywamy iloczyn warto ci chwilowych napi cia i pr du, czyli

p=ui

W odró nieniu od obwodów pr du stałego, w których energia pobierana ze ródła jest

stała, w obwodach pr du zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w

kolejnych przedziałach czasu ró na. W zwi zku z tym, e napi cie i pr d sinusoidalny

zmieniaj w zale no ci od czasu swoj warto bezwzgl dn i znak, zatem moc

chwilowa równie zmienia si w funkcji czasu.

Moc chwilowa

, jako jedyna z mocy jest funkcj czasu i definiuje si j w

postaci iloczynu warto ci chwilowych pr du

oraz

napi cia w obwodzie

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem, w którym

wyst puje składowa stała i składowa sinusoidalnie zmienna, której cz stotliwo jest

dwukrotnie wi ksza od cz stotliwo ci napi cia i pr du.

3

Na rysunku obok faza pocz tkowa napi cia jest równa zero, a pr d opó nia si

wzgl dem napi cia o k t fazowy (obwód o charakterze indukcyjnym).

Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu, w których warto chwilowa

napi cia i pr du maj te same znaki.

Je li p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze

ródła do odbiornika; jesli p<0 to moc chwilowa jest ujemna, zatem energia elektryczna

jest zwracana przez odbiornik do ródła.

Nale y pami ta , e jedynie elementy rezystancyjne oraz odbiorniki, które s zdolne do

przekształcenia energii elektrycznej w inny rodzaj energii, pobieraj energi i jej nie

zwracaj .

Natomiast cewki i kondensatory maj zdolno do gromadzenia energii odpowiednio w

polu magnetycznym i elektrycznym oraz jej oddawania w zale no ci od warto ci

napi cia i pr du zwi zanego z tymi elementami.

Energia całkowita dostarczona do odbiornika w ci gu okresu T odpowiada polu

ograniczonemu przebiegiem mocy chwilowej w okresie T z uwzgl dnieniem znaku;

pola nad osi - energia dodatnia, pola pod osi - energia ujemna.

4

Moc czynna

W przebiegach sinusoidalnych interesuje nas zazwyczaj energia pobrana przez

odbiornik w czasie jednego okresu lub jego wielokrotno ci.

Je eli energi obliczon dla czasu t=T, tzn. jednego okresu, podzielimy przez czas T, to

otrzymamy warto redni mocy chwilowej za okres.

Podstawiaj c do powy szego wzoru funkcj okre laj c moc chwilow w obwodzie, po

wykonaniu operacji całkowania otrzymuje si

Moc czynn nazywamy warto redni mocy chwilowej.

M

oc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest wi c wielko ci stał

równ iloczynowi modułów warto ci skutecznych napi cia i pr du oraz cosinusa

k ta przesuni cia fazowego mi dzy wektorem napi cia i pr du. Współczynnik

odgrywa ogromn rol w praktyce i nosi specjaln nazw

współczynnika mocy.

5

Moc czynna stanowi składow stał mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu

RLC a w granicznym przypadku przy

jest równa zeru. Moc

czynna osi ga warto najwi ksz

wtedy, gdy

to znaczy gdy odbiornik

ma charakter rezystancyjny,

Warto najmniejsz

moc osi ga w

przypadku granicznym, gdy

to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna

lub kondensator idealny,

Oznacza to, e

na elementach reaktancyjnych nie

wydziela si moc czynna.
Z przytoczonych rozwa a wynika, moc czynn wydzielan w rezystorze mo na opisa

nast puj cymi wzorami

w których pr d oraz napi cie odpowiadaj rezystorowi . Jednostk mocy czynnej

jest

wat ( , przy czym

. W praktyce stosuje si równie wielokrotno ci

wata w postaci kilowata

lub megawata

oraz warto ci

ułamkowe, np. miliwat

lub mikrowat

Do pomiaru mocy czynnej słu y watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrz dem

pomiarowym posiadaj cym cewk pr dow (o impedancji wewn trznej bliskiej zeru)

do pomiaru pr du gał ziowego obwodu i cewk napi ciow (o impedancji

wewn trznej bliskiej niesko czono ci) do pomiaru napi cia mi dzy punktami

obwodu, dla którego mierzymy moc czynn .

6

W obwodach elektrycznych pr du sinusoidalnego definiuje si trzeci wielko

energetyczn b d c iloczynem napi cia i pr du oraz sinusa k ta przesuni cia

fazowego mi dzy nimi. Wielko ta oznaczana jest liter i nazywana moc biern

Jednostk mocy biernej jest war (var) b d cy skrótem nazwy

woltamper reaktywny. W przypadku rezystora, dla którego przesuni cie fazowe jest

równe zeru

moc bierna jest zerowa

Moc bierna mo e si wi c

wydziela jedynie na elementach reaktancyjnych, gdy tylko dla nich przesuni cie

fazowe pr du i napi cia jest ró ne od zera. Przesuni cie fazowe pr du i napi cia na

elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje warto

dla cewki

oraz

dla kondensatora, co oznacza, e sinus k ta jest odpowiednio równy dla

cewki (moc bierna cewki jest uwa ana za dodatni ) oraz dla kondensatora (moc bierna

kondensatora jest uwa ana za ujemn ). St d przy pomini ciu znaku wzór na moc biern

elementów reaktancyjnych o reaktancji mo e by przedstawiony w trzech

równorz dnych postaciach

W ogólno ci k t przesuni cia fazowego uwa a

si za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napi cie wyprzedza pr d) a za

ujemny dla obwodów o charakterze pojemno ciowym (napi cie opó nia si wzgl dem

pr du). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie moc

indukcyjn , kojarzona z liczb dodatni a moc bierna obwodów o charakterze

pojemno ciowym jest wi c w sumie moc pojemno ciow i kojarzon z liczb ujemn .

7

Moc pozorna zespolona

Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana

moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do warto ci skutecznych pr du i

napi cia, i oznaczana liter . Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako

liczba zespolona w postaci iloczynu warto ci skutecznej zespolonej napi cia i

warto ci skutecznej sprz onej pr du .

Zale no na moc pozorn zespolon mo na przedstawi równie w postaci

wykładniczej

W zale no ci tej wyra a

moduł mocy pozornej

zespolonej, który mo e by wyra ony w postaci iloczynu modułów warto ci

skutecznych pr du i napi cia

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rysunku mo liwe jest

wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie

Warto współczynnika mocy wyznaczona z powy szej zale no ci jest identyczna z

warto ci wynikaj c z relacji pr dowo-napi ciowych zachodz cych dla wielko ci

bramowych obwodu.

8

9

10

11

12

Energia magazynowana w idealnej cewce
Rozpatrzmy cewk o indukcyjno ci zasilon z generatora napi ciowego

.

Obliczymy energi dostarczon do tej cewki w czasie od do . Energia ta, podobnie

jak w przypadku kondensatora, mo e by obliczona jako całka z mocy chwilowej

Uwzgl dniaj c wzór na moc chwilow i dokonuj c odpowiednich operacji całkowania

otrzymujemy

Załó my, e czas t0 jest tak chwil , w której pr d cewki

jest zerowy. W takim razie

wzór na energi upraszcza si do postaci

Zasadnicz cech cewki idealnej jest jej bezstratno , co oznacza, e energia

dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która

przepływa pr d stały I posiada energi równ

W odró nieniu od kondensatora, w którym energia zwi zana była z napi ciem mi dzy

okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzale niona od pr du (strumienia

magnetycznego). St d przyjmuje si , e kondensator magazynuje energi w polu

elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.

13

Moc magazynowana w cewce rzeczywistej
Obliczenia mocy dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmijmy, e pr d płyn cy w

dwójniku ma faz pocz tkow równ zero, czyli
i=I

m

sin t a wobec tego napi cie na zaciskach dwójnika:

u=U

m

sin( t+ ) napi cie wyprzedza pr d o k t fazowy:

=arctg( L/R)

W wyniku podstawienia warto ci chwilowych napi cia i pr du otrzymamy moc

chwilow :
p=UI[cos -cos(2 t+ )]
W ci gu jednego okresu pr du moc chwilowa czterokrotnie zmienia znak. Energia

dodatnia jest wi ksza od energii ujemnej. O oscylacji mocy chwilowej jest przesuni ta

wzgl dem osi czasu o warto stał równ UIcos , a amplituda mocy chwilowej

wynosi UI.
Moc czynna b d ca warto ci redni mocy chwilowej wynosi P=UIcos . Z trójk ta

napi wynika, e Ucos =U

R

=RI a zatem P=RI

2

. Moc czynna jest pobierana jedynie

przez elementy rezystancyjne.
Moc bierna wynosi Q=UIsin , z trójk ta napi wynika, e Usin =U

L

=X

L

I czyli

Q=U

L

=X

L

I

2

moc bierna jest zwi zana jedynie z elementem indukcyjnym. Moc pozorna

wynosi S=UI czyli S=UI

2

14

Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy

Współczynnik mocy (

cos

) odgrywa du rol w zakresie efektywno ci wykorzystania urz dze

elektrycznych. Odbiorniki energii elektrycznej np. silniki elektryczne, urz dzenia grzejne,

o wietleniowe s dobierane pod k tem warto ci mocy czynnej, której odpowiada energia u yteczna

pobrana przez urz dzenia i przekształcona w energi mechaniczn , ciepln .

Warto pr du w odbiorniku, a zatem te w przewodach i urz dzeniach rozdzielczych ł cz cych

odbiornik ze ródłem energii elektrycznej zale y w tym przypadku od warto ci współczynnika mocy

(cos ). Je eli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie okre lonej mocy P przy

danym napi ciu wymaga przepływu pr du o wi kszej warto ci ni w przypadku du ej warto ci

współczynnika cos .

Strata mocy w linii jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy.

Powszechnie d y si do tego, aby współczynnik mocy odbiorników energii elektrycznej był

bliski jedno ci. Jedn z metod jest kompensacja mocy biernej za pomoc kondensatorów. Załó my,

e silnik elektryczny o mocy

P i współczynniku mocy cos jest zasilany ze ródła o napi ciu U.

Schemat zast pczy silnika to dwójnik równoległy RL.

Poszczególne składowe pr du to:

I

R

=I

S

cos

1

I

L

=I

S

sin

1

Pr d płyn cy przez bateri kondensatorów wynosi

Ic.

Mo na wi c dobra tak warto pojemno ci C, aby pr d

I

C

=I

L

uzyskamy wtedy kompensacj idealn ,

czyli moce bierne si znosz i mamy współczynnik

cos równy jedno ci.

Mo na równie tak dobra warto pojemno ci C, aby współczynnik mocy

cos

2

układu miał now

warto - wi ksz od warto ci współczynnika mocy

cos

1

silnika.

15

Zadania sprawdzaj ce

Zadanie 3.1

Sporz dzi bilans mocy w obwodzie przedstawionym na rysunku. Przyj nast puj ce warto ci

elementów:

.

Rozwi zanie

Warto ci symboliczne elementów obwodu:

Impedancje obwodu:

Pr dy i napi cia w obwodzie:

Moc wydawana prze ródło

Moce elementów

Moc całkowita odbiornika

Moc odbiornika jest dokładnie równa mocy

ródła.