Wykład 14
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
R
P (x)
√
ax
2
+ bx + c
dx = Q(x)
√
ax
2
+ bx + c + λ
R
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n − 1 a λ jest liczb
,
a rzeczywist
,
a.
PRZYKŁAD 171
R
6x
3
+ 26x
2
+ 39x + 21
√
x
2
+ 4x + 5
dx =
(Ax
2
+ Bx + C)
√
x
2
+ 4x + 5 + K
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4
R
dx
√
x
2
+ 4x + 5
=
(2x
2
+ 3x + 1)
√
x
2
+ 4x + 5 + 4ln(x + 2 +
√
x
2
+ 4x + 5) + C
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + c
sprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienia
√
ax
2
+ bx + c =
√
ax + t, gdy a > 0,
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c, gdy c > 0,
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
), gdy c < 0, a < 0 gdzie x
1
jest pierwiastkiem
ax
2
+ bx + csprowadzaj
,
a
R R(x,
√
ax
2
+ bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKŁAD 173
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx
√
x
2
+ 2x + 2 = x − t,
x =
1
2
·
t
2
− 2
1 + t
,
dx =
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
−1
2
·
t
2
+ 2t + 2
1 + t
.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
R
√
x
2
+ 2x + 2 − x − 2
(1 + x)
√
x
2
+ 2x + 2
dx =
R
−(t + 2)
−1
2
·
t
2
+2t+2
1+t
(1 +
1
2
·
t
2
−2
1+t
)
1
2
·
t
2
+ 2t + 2
(1 + t)
2
dt =
2
R
dt
t
= 2ln |t| + C = 2ln |x −
√
x
2
+ 2x + 2| + C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt =
− 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
PRZYKŁAD 174
R
dx
√
4 + 3x − x
2
√
4 + 3x − x
2
= (x + 1)t,
x =
4 − t
2
1 + t
2
,
dx =
−10 t
(1 + t
2
)
2
dt,
√
x
2
+ 2x + 2 =
5t
1 + t
2
.
R
dx
√
4 + 3x − x
2
=
R
−10t
(1+t
2
)
2
5t
1+t
2
dt = − 2
R
dt
1 + t
2
= −2arc tg t + C =
−2arc tg
√
4 + 3x − x
2
x + 1
+ C.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
sprowadza
R R(x,
√
a
2
− x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
sprowadza
R R(x,
√
a
2
+ x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś
podstawienie
x =
1
a cost
sprowadza
R R(x,
√
x
2
− a
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
sprowadza
R R(x,
√
a
2
− x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
sprowadza
R R(x,
√
a
2
+ x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej,
zaś
podstawienie
x =
1
a cost
sprowadza
R R(x,
√
x
2
− a
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcj
,
a wymiern
,
a dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
sprowadza
R R(x,
√
a
2
− x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
sprowadza
R R(x,
√
a
2
+ x
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś
podstawienie
x =
1
a cost
sprowadza
R R(x,
√
x
2
− a
2
) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernej w nast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernej w nast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
CAŁKOWANIE NIEWYMIERNOŚCI
TWIERDZENIE 176
Całka postaci
R x
m
· (a + bx
n
)
p
dx gdzie m, n, p ∈ Q
sprowadza si
,
e do całki z funkcji wymiernej w nast
,
epuj
,
acych trzech
porzypadkach:
p jest liczb
,
a całkowit
,
a (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
n
jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= t,
m + 1
n
+ p jest liczb
,
a całkowit
,
a przez podstawienie a + bx
n
= x
n
t
r
,
gdzie r jest mianownikiem p.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewn
,
etrznym w zbiorze A nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
⊕ : A × A −→ A.
DEFINICJA 178
Działanie ⊕ : A × A −→ A nazywamy
a) ł
,
acznym wtw gdy ∀a, b, c ∈ A spełniony jest warunek
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c),
b) przemiennym wtw gdy ∀a, b ∈ A spełniony jest warunek
a ⊕ b = b ⊕ a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że działanie wewn
,
etrzne ⊕ : A × A −→ A ma element
neutralny wtw gdy ∃e ∈ A : ∀A ∈ A a ⊕ e = e ⊕ a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli działanie ⊕ ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a ∈ A nazywamy taki element u ∈ A, że a ⊕ u = u ⊕ a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z działaniem ł
,
acznym ⊕ z elementem neutralnym spełniaj
,
acy
warunek dla każdego a ∈ A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grup
,
a. Jeżeli ponadto ⊕ jest działaniem przemiennym to grup
,
e (A, ⊕)
nazywamy grup
,
a przemienn
,
a lub grup
,
a abelow
,
a lub grup
,
a Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ to
mówimy, że działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕ wtw gdy
∀a, b, c spełniony jest warunek
a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) oraz (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 183
Jeżeli w zbiorze A określone s
,
a dwa działania wewn
,
etrzne ⊕, ⊗ takie, że
spełnione s
,
a warunki
1) (A, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a z elementem neutralnym e
0
,
2) (A \ {e
0
}, ⊗) jest grup
,
a przemienn
,
a z elementem neutralnym e
1
6= e
0
,
3) działanie ⊗ jest rozdzielne wzgl
,
edem działania ⊕
to (A, ⊕, ⊗) nazywamy ciałem.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R
2
= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj
,
a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R
2
z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R
2
= R × R określamy dwa działania ⊕, ⊗ ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaj
,
a zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R
2
z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla ⊕ i ⊗.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R
2
, ⊕) jest grup
,
a przemienn
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕ wynika w oczywisty sposób z wewn
,
etrzności
działań + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)).
L = ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (p, q) = (a + c, b + d) ⊕ (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊕ (c + p, d + q) = (a + c + p, b + d + q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) ⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla ⊕.
Element przeciwny. ∀(a, b)
(a, b) ⊕ (−a, −b) = (a + (−a), b + (−b)) = (a − a, b − b) = (0, 0).
podobnie
(−a, −b) ⊕ (a, b) = ((−a) + a, (−b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
ma element przeciwny postaci
(−a, −b) ∈ R
2
.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) =
∗
(c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R
2
\ {(0, 0)}, ⊗) jest grup
,
a.
Wewn
,
etrzność działania ⊕. Wykażemy, że ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊕ (c, d) 6= (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)} oraz
(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st
,
ad
(
ac − bd = 0
bc + ad = 0
Rozwi
,
azujemy powyższy układ traktuj
,
ac c i d jako niewiadome.
W = a
2
+ b
2
, W
c
= 0, W
d
= 0.
Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi
,
ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwi
,
azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewn
,
etrzności ⊗ w zbiorze R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)} oraz
(a, b) ⊕ (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c − b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a st
,
ad
(
ac − bd = 0
bc + ad = 0
Rozwi
,
azujemy powyższy układ traktuj
,
ac c i d jako niewiadome.
W = a
2
+ b
2
, W
c
= 0, W
d
= 0.
Ponieważ (a, b) 6= (0, 0) wi
,
ec W 6= 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwi
,
azanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewn
,
etrzności ⊗ w zbiorze R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Ł
,
aczność. Pokażemy, że ∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)).
L = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊗ (p, q) = (ac − bd, ad + bc) ⊗ (p, q)
= ((ac − bd)p − (ad + bc)q, (ac − bd)q + (ad + bc)p)
= (acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp)
Z drugiej strony
P = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊗ (p, q)) = (a, b) ⊗ (cp − dq, cq + dp)
= (a(cp − dq) − b(cq + dp), a(cq + dp) + b(cp − dq))
= (acp − adq − bcq − bdp, acq + adp + bcp − bdq)) =
(acp − bdp − adq − bcq, acq − bdq + adp + bcp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy ∀(a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊗ (1, 0) = (a, b)
oraz
(1, 0) ⊗ (a, b) = (a, b).
Zatem (1, 0) jest elementem neutralnym dla ⊗.
Element przeciwny. ∀(a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) + (
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) = (
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
, 0) = (1, 0).
Podobnie
(
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) + (a, b) = (
a
2
+ b
2
a
2
+ b
2
, 0) = (1, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) ∈ R
2
\ {(0, 0)} ma element odwrotny
postaci (
a
a
2
+ b
2
,
−b
a
2
+ b
2
) ∈ R
2
\ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. ∀(a, b), (c, d) ∈ R
2
\ {(0, 0)}
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, bc + ad) =
∗
(ca − db, cb + da) = (c, d) ⊗ (a, b).
∗
Równość wynika z premienności mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pozostaje wykazać rozdzielność ⊗ wzgl
,
edem ⊕ czyli, że
∀(a, b), (c, d)(p, q) ∈ R
2
(a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = ((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q)).
L = (a, b) ⊗ ((c, d) ⊕ (p, q)) = (a, b) ⊗ (c + p, d + q)
= (a(c + p) − b(d + q), a(d + q) + b(c + p)) =
(ac + ap − bd − bq, ad + aq + bc + bp)
((a, b) ⊗ (c, d)) ⊕ ((a, b) ⊗ (p, q))
= (ac−bd, ad+bc)⊕((ap−bq, aq+bp) = (ac+ap−bd−bq, ad+aq+bc+bp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P. Dowód Twierdzenia jest wi
,
ec zakończony.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1 292011 01 07 WIL Wyklad 14id Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 2752 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 2752 Nieznany
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
więcej podobnych podstron