Podstawy Elektrotechniki

MSN0750W

MSN0750W

ESN0750W

ESN0750W

Równanie Poissona i Laplace’a

0

2

0

1

v

v

z

równania

divE

q

oraz

E

gradV

wynika

q

V

V

ε

ε

=

= −

∇ = ∆ = −

Równanie Poissona

Równanie Poissona i Laplace’a

W obszarach w których nie ma ładunków ( q

v

=0) równanie Poissona

przechodzi w równanie Laplace’a.

2

0

V

V

∆ = ∇ =

Ładunek w dowolnej obj

ę

to

ś

ci mo

ż

na wyrazi

ć

za pomoc

ą

potencjału.

Układy dipolowe

r

M

Q

Moment elektryczny ładunku punktowego Q
Wzgl

ę

dem dowolnego punktu M

nazywamy

p

Qr

=

i

i

p

p

=

∑

Moment ładunków zrównowa

ż

onych nie zale

ż

y od punktu odniesienia M

Dipol elektryczny

p

Qh

=

Gdy h

→

0 dipol punktowy ( matematyczny )

Potencjał dipola punktowego

3

4

p r

V

r

ε

=

Π

Moment mechaniczny działaj

ą

cy na dipol

M

p E

= ×

Praca obrócenia dipola

W

pE

p E

=

−

Materiały w polu elektrycznym

- Metale

- Dielektryki

polaryzacja elektronowa p=3 10

-34

Cm

Polaryzacja kierunkowa ( dipolowa )

H

2

0 p=6,1 10

-30

Cm

Ferroelektryki

elektrety

Wektor polaryzacji

lim

V

p

P

V

∆ →∞

=

∆

∑

0

P

E

ε χ

=

Podatno

ść

elektryczna

spol

n

q

P n

P

=

=

G

ę

sto

ść

powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego

Polaryzacja jednorodna

( )

0

S V

P d s

=

∫

Polaryzacja

Polaryzacja niejednorodna

( )

0

vpol

S V

V

P d s

q

dv

+

=

∫

∫

Z twierdzenia Gauss’a

( )

S V

V

vpol

P d s

divPdv

stąd

q

divP

=

= −

∫

∫

Potencjał bryły dipolowe

0

0

( )

1

1

(

)

4

4

S V

V

P d s

divP

V M

dv

r

r

ε

ε

=

−

Π

Π

∫

∫

Dielektryk oddzialywuje tak jak odpowiednio rozmieszczone g

ę

sto

ś

ci ład. polar.

Q

spol

i q

vpol

- s

ą

to ładunki zwi

ą

zane

0

0

( )

1

1

(

)

4

4

spol

s

vpol

v

S V

V

q

q

q

q

V M

ds

dv

r

r

ε

ε

+

+

=

+

Π

Π

∫

∫

Je

ż

eli w dielektryku s

ą

dodatkowo ładunki swobodne q

s

i q

v

(

)

(

)

(

)

0

0

0

1

1

lub

v

vpol

v

V

divE

divgradV

q

q

czyli

divE

q

divP

div

E

P

q

ε

ε

ε

= −

=

+

=

−

+

=

Z wzoru na potencjał oraz tw. Gauss’a wynika

Wektor indukcji elektrycznej

Wprowadza si

ę

nowy wektor zwany wektorem indukcji elektrycznej

0

D

E

P

ε

=

+

Dla dielektryków liniowych, jednorodnych i izotropowych

(

)

0

0

1

r

D

E

E

E

ε

χ

ε ε

ε

=

+

=

=

Strumie

ń

indukcji elektrycznej

S

D d s

Ψ =

∫

Prawo Gauss’a dla materii

( )

V

S V

v

D d s

q dV

=

∫

∫

Wła

ś

ciwo

ś

ci dielektryków

Bursztyn 10

18

Ω

m ;

ε

r

=2,8

Olej kondensatorowy 10

15

Ω

m;

ε

r

= 2,3

Porcelana 10

12

Ω

m;

ε

r

=6

Teflon 10

19

Ω

m;

ε

r

=2,1

Mied

ź

2 10

-8

Ω

m

Wytrzymało

ść

elektryczna

•

Zjawisko po

ś

wiaty i snopienia

•

Wyładowanie zupełne-iskra lub łuk

Najwi

ę

ksza warto

ść

pola elektrycznego, która nie powoduje jeszcze

wyładowania zupełnego nazywa si

ę

wytrzymało

ś

ci

ą

elektryczn

ą

•

Bursztyn 20 MV/m

•

Olej kondensatorowy 30 MV/m

•

Porcelana 30 MV/m

•

powietrze 3 MV/m

Warunki graniczne

1

ε

2

ε

2

α

1

α

n

1

D

2

D

s

q

2

1

n

n

s

D

D

q

−

=

1

2

0

t

t

E

E

−

=

Prawo załamania
gdy q

s

=0

1

1

2

2

tg

tg

α

ε

α

ε

=

Pola wybranych rozkładów ładunków

l

q

l

q

−

1

r

2

r

( )

V P

const

=

P

1

Q

2

Q

−

1

r

2

r

( ) 0

V P

=

P

Powierzchnia ekwipotencjalna zerowa
sfera

Powierzchnie ekwipotencjalne s

ą

Powierzchniami cylindrycznymi

Pola wybranych rozkładów ładunków

a

b

1

q

2

q

R

A

B

2

ab

R

=

Pola wybranych rozkładów ładunków

ε

ε

s

q

1

1

2

s

n

q

E

E

ε

=

=

1

D

2

D

Metoda obrazów

≡

V

const

=

V

const

=

Q

Q

Q

−

h

h

h

a

b

l

q

l

q

−

R

≡

a

l

q

R

V

const

=

2

R

b

a

=

Pojemno

ść

kondensatora

Dwie elektrody ekwipotencjalne poł

ą

czone ze

ź

ródłem napi

ę

cia o ładunkach

ró

ż

ni

ą

cych si

ę

tylko znakiem stanowi

ą

układ naładowany zwany

kondensatorem

[ ]

1

2

;

1

1

Q

Q

C

C

F

U

V

V

=

=

=

−

U

1

V

2

V

Q

Q

−

S

L

D d s

C

E d l

=

∫

∫

kondensatory

Kondensator płaski

S

C

d

ε

=

Kondensator walcowy

2

1

2

ln

l

C

r

r

ε

Π

=

Kondensator sferyczny

2 1

2

1

4

r r

C

r

r

ε





= Π





−





Ł

ą

czenie kondensatorów

Przy zbyt małej pojemno

ś

ci pojedynczego kondensatora ł

ą

czymy je równolegle

Stosowane napi

ę

cie w takim układzie , okre

ś

la najmniej wytrzymały kondensator

1

C

2

C

3

C

U

1

n

i

i

C

C

=

=

∑

Ł

ą

czenie kondensatorów

Przy zbyt małej wytrzymało

ś

ci kondensatora mo

ż

na je ł

ą

czy

ć

szeregowo

1

C

2

C

3

C

U

1

U

2

U

3

U

1

1

1

n

i

i

C

C

=

=

∑

Pojemno

ś

ci cz

ą

stkowe

1

Q

1

V

2

V

n

V

2

Q

n

Q

Z liniowo

ś

ci pola wynika liniowa zale

ż

no

ść

pomi

ę

dzy ładunkami a potencjałami elektrod

1

n

i

ij

j

j

V

Q

α

=

=

∑

ij

ji

α

α

=

Wzajemno

ść

w polu

elektrostatycznym

Dla elektrod kulkowych

1

4

ij

ij

r

α

ε

=

Π

Pojemno

ś

ci cz

ą

stkowe

1

n

i

ij

j

j

Q

V

β

=

=

∑

Twierdzenie Greena o wzajemno

ś

ci

'

"

"

'

1

1

n

n

i

i

i

i

i

i

V Q

V Q

=

=

=

∑

∑

Z zale

ż

no

ś

ci potencjałów od ładunków mo

ż

na obliczy

ć

zale

ż

no

ść

ładunków od potencjałów

ij

ji

β

β

=

wzajemno

ść

Pojemno

ś

ci cz

ą

stkowe

( )

(

)

( )

( ) ( )

1 1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

;

(

)

(

)

(

j

j

j

jn

n

n

j

j

j

j

j

jn

n

j

j

ji

i

n

ji

j

j

j

j

j

jn

j

n

i

n

j

ji

ji

ji

ij

ij

i

j

j

j

j

j

j

j

jn

j

Q

V

V

V

Q

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

C

C

C

Q

C V

C

V

V

C

V

V

C

V

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

−

−

∞

−

∞

=

+

+ ⋅⋅⋅+

=

−

+

−

+ ⋅⋅⋅+

−

+

=

=

+ −

−

+ −

−

+ ⋅⋅⋅+ −

−

=

= −

= −

=

=

+

−

+

−

+ ⋅⋅⋅+

−

∑

∑

∑

1

1

2

2

)

n

j

j

j

j

j

j

jn

jn

V

C V

C U

C U

C U

∞

=

=

+

+

+ ⋅⋅⋅+

C

ji

– pojemno

ś

ci cz

ą

stkowe pomi

ę

dzy elektrodami j i

j

C

∞

- Pojemno

ść

cz

ą

stkowa pomi

ę

dzy elektrod

ą

j a

∞

Pojemno

ś

ci cz

ą

stkowe

Pojemno

ść

kondensatora z uwzgl

ę

dnieniem pojemno

ś

ci cz

ą

stkowych

12

21

C

C

=

1

2

1

C

∞

2

C

∞

∞

∞

1

12

12

1

1

2

12

12

2

2

Q

C U

V C

Q

C U

V C

∞

∞

=

+

=

+

Ekranowanie elektrostatyczne

1

Q

2

Q

0

Q

1

V

0

0

V

=

0

01 1

02

2

1

11 1

12

2

1

1

12

2

1

11

1

0

0

0

0

Q

V

V

Q

V

V

gdy

V

Q

bo V

stąd

V

Q

ekranowanie

β

β

β

β

β

α

=

+

=

+

= →

= →

=

≠

=

→

V

1

niezale

ż

ne od V

2

i Q

2

Energia kondensatora

C

U

Q

Q

−

2

2

1

1

2

2

Q

W

CU

C

=

=

Dla kondensatora płaskiego

2

1

(

)

2

W

E Sd

ε

=

G

ę

sto

ść

przestrzenna energii

1

2

E D

ω

=

Siła działaj

ą

ca na elektrod

ę

kond.

[ ]

2

1

2

dW

D

F

S

N

dl

ε

=

=

Ci

ś

nienie elektrostatyczne

2

2

1

2

F

D

N

p

S

m

ε





=

=









Energia układy ładunków punktowych

2

Q

1

Q

1

2

2

4

Q Q r

F

r r

ε

=

Π

praca

(

)

1

2

1

2

1 1

2

2

2

1 1

2

2

4

4

lub

1

2

r

r

Q Q

Q Q

W

Fdr

dr

Q V

Q V

r

r

W

Q V

Q V

ε

ε

∞

∞

=

=

=

=

=

Π

Π

=

+

∫

∫

Dla układu n ładunków

1

1

2

n

i

i

i

W

QV

=

=

∑

Przy rozkładach

1

1

1

2

2

2

V

S

L

V

S

L

W

Vq dv

Vq ds

Vq dl

=

+

+

∫

∫

∫

Jest to całkowita energia własna i wzajemna

Energia układy ładunków

( )

1

1

1

(

)

2

2

2

1

1

1

2

2

2

V

V

V

V

s V

V

V

W

Vq dv

div V D dv

E Ddv

V Dds

E Ddv

E Ddv

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

=

=

+

=

=

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

≃

Praktycznie

Z to

ż

samo

ś

ci matematycznej

(

)

div V D

VdivD

D gradV

=

+

st

ą

d

(

)

V

Vq

div V D

E D

=

+

1

2

V

V

W

Vq dv

=

∫

Energia układy~elektrod

1

Q

1

V

2

V

2

Q

1

2

1

1

2

2

1

11 1

12

2

2

21 1

22

2

,

2

2

11

1

22

2

12

1

2

0

;

1

1

2

2

Q Q

dW

V dq

V dq

V

q

q

V

q

q

W

dW

Q

Q

Q Q

α

α

α

α

α

α

α

=

+

=

+

=

+

=

=

+

+

∫

Inny sposób

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

1

2

1

1

1

12

12

2

12 1

2

2

,

,

1

1

1

12

1

12

2

2

2

2

12

2

12

1

0

0

2

2

1

12

1

2

12

2

12 1

2

;

1

1

2

2

V V

V V

q

C V

C U

q

C V

C V

W

dW

V C dV

C dV

C dV

V C dV

C dV

C dV

C

C

V

C

C

V

C V V

∞

∞

∞

∞

∞

∞

=

+

=

+

=

=

+

−

+

+

−

=

=

+

+

+

+

∫

∫

Własna własna

wzajemna

( )

(

)

( )

(

)

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

12

1

2

1

1

2

2

12

12

1

1

1

1

1

1

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

W

C

V

C

V

C V

V

C

V

C

V

C

U

∞

∞

∞

∞

=

+

+

+

−

=

+

+

+