PIERWSZA PRAWDZIWA TEORIA STOŁU
(tylko dla odpornych i posiadających poczucie humoru)
Zbigniew Płochocki
Motto I: Na dworze władcy żyło dwóch zwalczających się wzajemnie nadwornych matematyków. Zdarzyło
się, że każdy z nich sformułował swoje twierdzenie, przeciwstawne twierdzeniu przeciwnika. Nie mogąc sami
dojść do porozumienia, odwołali się do osądu władcy. Pierwszy z nich wygłosił swoje twierdzenie i
udowodnił je. Na to władca orzekł: - Masz racje, mój nadworny matematyku. Wtedy drugi zawołał: - Alei
Najjaśniejszy Panie, jest to twierdzenie fałszywe, po czym wygłosił swoje twierdzenie i udowodnił je, co
władca skomentował: - I ty masz rację, mój nadworny matematyku. Wtedy odezwał się nadworny błazen,
siedzący u nóg władcy: -Ależ Najjaśniejszy Panie, nie mogą, mieć obaj racji, jeśli każdy z nich twierdzi coś
wręcz przeciwnego. Na to władca odparł; - Ty tez masz racje, mój nadworny błaźnie!
[1]
Z problemem stołu (i innych mebli stołopodobnych, które tu ogólnie będę nazywał stołami) stykamy się od
początku naszego życia. Spotykamy stoły, które stoją jak opoka, stykamy się też ze stołami, które wiecznie się
chwieją, niezależnie od naszych wysiłków, aby je ustabilizować
[2]
. Myśliciele z branży hołdują nawet
hipotezie, że istnieją dwa podstawowe rodzaje stołów: z natury stabilne oraz z natury niestabilne
[3]
.
Aliści często się zdarza, że stół dotychczas stabilny nagle zaczyna się kiwać. I odwrotnie, stół dotychczas
niespokojny i nerwowy ni z tego, ni z owego łagodnieje jak baranek i staje się solidnym stołem stabilnym
[2]
.
Te fakty doświadczalne, znane zapewne każdemu, wskazują, że hipoteza dwóch rodzajów stołów zawiera tylko
część prawdy, że prawdziwa natura stołu jest bardziej złożona; że na jej opisanie nie starcza tak prostych pojęć,
jak stabilność i niestabilność.
Otóż mnie udało się odsłonić rąbek tajemnicy i odkryć prawdziwą naturę stołu, a przynajmniej -pewnej klasy
mebli zwanych tu ogólnie stołami. Odkrycie to publikuję po raz pierwszy (a pewnie i ostatni, chyba że zdołam
ukończyć moją teorię odwracania kota ogonem, której fragmentem jest niniejsza praca).
Rozważać tu będziemy stoły o n smukłych nogach, gdzie: 1° n jest dowolną, ale ustaloną liczbą naturalną, a 2°
noga smukła to taka, której długość jest znacznie większa od jej szerokości (Czytelnicy lubiący precyzję mogą
myśleć o stołach o nieskończenie smukłych nogach). W związku z drugą specyfikacją obszar kontaktu nogi
stołowej z podłogą będę traktował jako punkt.
Otóż twierdzę, że każdy stół powyższej klasy ma naturę dualistyczną (stabilno-niestabilną), że nie ma dwóch
rodzajów stołów (stabilne i niestabilne), lecz istnieje tylko jeden rodzaj stołów, które mogą nam się objawiać w
jednym ze swych dwu stanów: stanie stabilnym lub w stanie niestabilnym.
Podstawą mojej teorii natury stołu jest znany lemat J. Koena
[4]
, który dla uniknięcia nieporozumień przytoczę
tu i udowodnię.
Lemat Koena: W każdym stadzie złożonym z n koni (n - liczba naturalna) wszystkie konie są tej samej maści.
Dowód lematu Koena (przez indukcję). Sprawdzamy najpierw prawdziwość lematu w przypadku stada
złożonego z jednego konia (n=1). W tym przypadku lemat jest prawdziwy (teoretycy mogą to uznać za definicję
pojęcia „maść konia", „doświadczalnicy" mogą to sprawdzić empirycznie poza miastem, albo nawet w mieście
na targowisku).
Teraz zakładamy prawdziwość lematu dla każdego stada złożonego z n > 1 koni. Lemat - zgodnie z zasadą
rozumowania indukcyjnego - uznamy za udowodniony, jeśli z założenia powyższego wydedukujemy, że jest on
prawdziwy również dla każdego stada złożonego z n + 1 koni.
Rozważmy więc dowolne stado zawierające n koni. Z założenia wszystkie konie w tym stadzie są tej samej
maści. Do tego stada dołączamy jeszcze jednego, dowolnego (ale ustalonego) konia, otrzymując w ten sposób
złożone z n + 1 koni. Z tego nowego stada usuwamy jednego innego (niż ten dołączony) konia, otrzymując
znowu stado z n końmi. W tym stadzie jest n-1 koni tej samej maści oraz jeden (ten dołączony), którego maści
jeszcze nie znamy. Ale w myśl założenia, w każdym stadzie z n końmi wszystkie konie są jednakowej maści,
więc ten nasz dołączony ma taką samą maść jak owe n-1 koni z poprzedniego stada. Takiej samej maści jest też
koń usunięty przez nas ze stada (po dołączeniu nowego konia), więc jeśli go na powrót przyłączymy do stada,
otrzymamy stado złożone n+ 1 koni takiej samej maści, co właśnie mieliśmy wykazać, zatem lemat Koena jest
udowodniony.
Sceptykom zwracam w tym miejscu uwagę, że na mocy lematu Koena maść konia jest nie tylko cechą elementu
zbioru (czyli - konia), ale też -cechą zbioru (czyli - stada). I to jest bardzo istotne pierwsze spostrzeżenie! Drugie
dotyczy ogólnego charakteru lematu Koena. Możemy bowiem przez konia rozumieć dowolny inny przedmiot, a
przez maść - dowolną inną cechę tego przedmiotu (na mocy pierwszego spostrzeżenia będzie to jednocześnie
cecha dowolnego zbioru tych przedmiotów).
Te dwa istotne spostrzeżenia prowadzą nas do dwóch fundamentalnych twierdzeń o naturze stołu (z
rozpatrywanej klasy), mianowicie:
Twierdzenie 1 (o powszechnej niestabilności stołu): każdy stół (należący do wyspecyfikowanej klasy) jest
niestabilny.
Dowód: jak lematu Koena, jeśli konia odwzorujemy na nogę stołową, a maść - na własność destabilizacji stołu.
Twierdzenie 2 (o powszechnej stabilności stołu): każdy stół (należący do wyspecyfikowanej klasy) jest stabilny.
Dowód: jak Koena, jeśli l°za kryterium stabilności stołu przyjmiemy, że punkty styku wszystkich jego nóg z
podłogą leżą w płaszczyźnie poziomej, oraz 2° konia odwzorujemy na punkt styku nogi stołowej z podłogą, zaś
maść konia - na przynależność do płaszczyzny poziomej.
Nawiasem zwracam uwagę, że po tym odwzorowaniu lemat Koena przyjmuje postać, która może
zrewolucjonizować geometrię: mianowicie, każdy zbiór złożony z n punktów (n - liczba naturalna) leży w
płaszczyźnie poziomej. Czytelnikowi proponuję uogólnienie tego twierdzenia na następujące: wszystkie punkty
leżą w płaszczyźnie poziomej. Odważny Czytelnik zechce zapewne pójść dalej i dowieść następujące dwie
komplementarne hipotezy, określające raz na zawsze, charakter i liczbę wymiarów przestrzeni, w której żyjemy,
mianowicie:
Hipoteza 1: każda przestrzeń 3-wymiarowa jest płaszczyzną (a więc jest nieskończenie cienka);
Hipoteza II: każda płaszczyzna jest 3-wymiarowa (a więc jest nieskończenie gruba).
I tak oto, konstruując teorię będącą uogólnieniem faktów empirycznych doszliśmy do pozornego paradoksu.
Istotnie, jest to paradoks tylko pozorny. Przypomnijmy, że do podobnego paradoksu doszła swego czasu także
fizyka przy okazji badania natury światła, kiedy to okazało się, że światło ma cechy i falowe, i korpuskularne
(cząstkowe), a właściwym rozwiązaniem tego paradoksu była teoria oparta na dualizmie falowo-korpuskularnym
ś
wiatła.
Takież jest też rozwiązanie naszego pozornego paradoksu natury stołu: każdy stół (omawianej klasy) jest
zarazem stabilny i niestabilny, a jednocześnie nie jest ani stabilny, ani niestabilny. Ma naturę bardziej złożoną,
dualną (stabilno-niestabilną), dla której opisu pojęcia stabilności i niestabilności są zbyt ciasne. I podobnie jak
Ś
wiatło, które w zależności od warunków ukazuje nam swe bądź falowe, bądź korpuskularne oblicze - tak też
każdy stół, zależnie od warunków, ukazuje nam swą bądź stabilną, bądź niestabilną „twarz", wystarczy więc
niezauważalna zmiana warunków, a stabilny stół zacznie się chwiać lub odwrotnie -chwiejny stół
znieruchomieje.
Przed wyciągnięciem wniosków wypada zauważyć, że do przedstawionych wyżej rezultatów na temat
prawdziwej natury stołu można dojść również na drodze empirycznej (pod warunkiem ' wszakże, że
eksperymentator - jak mawiał Bertold Brecht - patrzy się, a nie gapi). Mnie jako teoretykowi przyświecało wszak
Motto II: Teoria powinna dać możliwość obliczenia wyniku doświadczenia szybciej, niż można by go uzyskać
z samego doświadczenia.
A teraz wnioski:
Wniosek 1. (dla cierpliwych): w nadziei, iż istnieje skończone prawdopodobieństwo, że chwiejący się stół
przejdzie w stan stabilny, wystarczy spokojnie poczekać.
Wniosek 2. (dla niecierpliwych): bezcelowe są próby trwałej stabilizacji chwiejącego się stołu przez wydłużanie
wybranych jego nóg (w najprostszej wersji - przez podkładanie bibułek, książek, czy innych przedmiotów), czy
też przez zmianę ich liczby, gdyż - jak to wynika z podstawowych twierdzeń - natura stołu o smukłych nogach
nie zależy ani od długości, ani od liczby nóg stołowych.
Wniosek 3. (dla ambitnych): celem stabilizacji chwiejącego się stołu należy raczej spróbować regulować nie
uwzględniony w powyższej teorii parametr, mianowicie - szerokość nóg stołowych. Fakty doświadczalne (choć
niezbyt systematycznie zbierane) zdają się bowiem wskazywać, że nieskończenie (w praktycznym przybliżeniu
dostatecznie) szeroka noga stołowa gwarantuje swemu stołowi stabilność (i to może nawet bezwzględną).
Najbardziej ambitni Czytelnicy, którym przypadła do gustu moja powyższa propozycja, zechcą ją zapewne dalej
rozwinąć. Cieszyłbym się, gdyby z mojej inspiracji powstała teoria natury stołu w przeciwnym przypadku
granicznym (tzn. -o nieskończenie szerokich nogach), stołu z nogami o skończonej szerokości, wreszcie stołu o n
nogach (smukłych, nieskończenie szerokich oraz skończenie szerokich) gdzie n jest (kolejne uogólnienie): liczbą
całkowitą, wymierną, rzeczywistą, zespoloną.
Motto III: (J. Mastersa reguła 13. uderzenia): jeśli zegar wybił trzynaście raty, to oznacza to nie tylko, że 13.
uderzenie było fałszywe, ale też, że należy wątpić w wiarygodność wszystkich poprzednich dwunastu uderzeń.
[5]
Blbliografia:
1. Zbiory prywatne autora, źródło, niestety, gdzieś się zawieruszyło.
2. Zaprzyjaźnieni użytkownicy mebli stołopodobnych (doniesienia prywatne).
3. Zaprzyjaźnieni stolarze (informacje prywatne).
4. J. Koen, w: A stress analysis of a straples evening gown. Engelwood Cliffs New York 1963.
5. Maksyma E. Condona, cyt. w: C. Darrow, Physlcs Today, 4, No 11 (1951);
6. Przytaczam u: Fiziki prodłżajut szutit, Wyd. Mir, Moskwa 1968.
PS
(Przypis dydaktyczny dla teoretyków). Trzej rybacy wyciągali wieczorem sieć z rybami. Nie zdążyli uporać się
ze wszystkim przed nastaniem zmroku, postanowili więc zanocować na wyspie, a rano policzyć ryby i podzielić
między siebie. Jednakże jeden z nich, kiedy koledzy już zasnęli, postanowił zaryzykować i powrócić do domu.
Policzył więc ryby. Było ich n. Niestety, liczba ta nie dzieliła się bez reszty przez 3. Rybak zauważył wszak, że
jeśli jedną rybę wrzuci z powrotem do jeziora, to resztę można już podzielić na trzy równe części. Tak też zrobił
i ze swoją częścią popłynął do domu. W nocy zbudził się drugi rybak. On też postanowił wracać do domu nie
czekając na kolegów. Nie widząc ich (była noc) postanowił podzielić ryby na trzy części i ze swoją popłynąć
nocą do domu. Problem, z jakim się zetknął, był jednak identyczny, jak w przypadku pierwszego rybaka.
Identycznie też go rozwiązał. Oczywiście, trzeci rybak obudził się nad ranem i nie widząc kolegów domyślił się,
ż
e odpłynęli wcześniej, podzieliwszy uprzednio złowione ryby na trzy równe części. Zabrał więc to, co zostało, i
popłynął do domu.
Pytanie: Ile najmniej ryb było w sieci? Czytelnik po namyśle odpowie pewnie: n = 7. Aliści wybitny fizyk
angielski Paul A.M. Dirac, laureat Nagrody Nobla znany ze ścisłości rozumowania, udowodnił, że rozwiązanie:
n = 7 nie jest właściwe. Poprawnym rozwiązaniem - wg Diraca - tak sformułowanego zadania jest: n = -2 (!) co
Czytelnik sam zechce już sprawdzić.