1. Związek między stopami procentowymi dla różnych okresów.
Oznaczenia:
r - nominalna stopa procentowa [określana zazwyczaj w skali 1 roku (per annum tj.
N
gdy jako n oznaczymy ilość lat to n=1), przy założeniu braku kapitalizacji odsetek
w czasie tego okresu]; - określana często jako flat rate
r - efektywna stopa procentowa [rzeczywista stopa procentowa uzyskiwana
E
z danej inwestycji w danym okresie] - określana często jako APR - annual
percentage rate
m - częstotliwość kapitalizacji w okresie 1 roku
rN
1.1
rE =
m
" równanie to określa wartość efektywnej stopy procentowej w danym okresie, przy
założeniu braku kapitalizacji odsetek w czasie tego okresu
np. dla r rocznej (n=1), w przypadku kapitalizacji półrocznej (m = 2):
N
rN
rE =
2
2. WPA
YW CZ
STOTLIWOŚCI KAPITALIZACJI NA WARTOŚĆ ROCZNEJ EFEKTYWNEJ STOPY PROCENTOWEJ.
Zakładając, że r odnosząca się do 1 roku (n=1) posiada stałą wartość, można prześledzić
N
zmiany rocznej r przy zmieniającej się częstotliwości kapitalizacji (m).
E
Wyznaczając przyszłą wartość r i podstawiając wzór 1.1 otrzymujemy:
N
rN
FVrN = PV (1+ )mn
m
gdzie: FV - wartość przyszła
PV - wartość bieżąca
Natomiast przyszła wartość r dla n=1 jest równa:
E
FVrN = PV (1+ rE )
Wartość efektywnej rocznej stopy procentowej jako funkcji nominalnej stopy procentowej
i częstotliwości kapitalizacji m jest równa:
rN
1.2
rE = (1 + )mn -1
m
Poniższe zestawienie ukazuje zmiany wartości efektywnej stopy procentowej dla
r = 10% p.a. oraz 30% p.a. zachodzące w wyniku zmian częstotliwości kapitalizacji.
N
r (n=1)
E roczna
Częstotliwość
kapitalizacji (m)
dla r = 10% dla r = 30%
N N
Roczna m=1 10,00% 30,00%
Półroczna m=2 10,25% 32,25%
Kwartalna m=4 10,38% 33,55%
Miesięczna m=12 10,47% 34,45%
Tygodniowa m=52 10,51% 34,87%
Dzienna m=365 10,52% 34,97%
Wraz ze wzrostem wartości nominalnej stopy procentowej wzrasta wpływ częstotliwości
kapitalizacji na rocznÄ… efektywnÄ… stopÄ™ procentowÄ….
Biorąc pod uwagę wartości z tabelki, dla r = 10% przejście od kapitalizacji rocznej (m=
N
1) do dziennej (m= 365), powoduje wzrost efektywnej stopy procentowej o 5,2%:
10,52 -10,00
×100% = 5,2%
10,00
natomiast dla r = 30% wzrost ten jest wyższy i wynosi 16,57%:
N
34,97 - 30,00
×100% =16,57%
30,00
Wartość rocznej r nie rośnie nieograniczenie, lecz zdąża do swojej wielkości
E
maksymalnej:
rN
N
lim(1+ )mn = er
m"
m
gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego (jest równe 2,71828)
Wzór ten ukazuje, że im większa jest wartość nominalnej stopy procentowej, tym większa
jest wrażliwość rocznej efektywnej stopy procentowej na częstotliwość kapitalizacji.
3. KAPITALIZACJA CI
GA
A
Wracając do poprzednich obliczeń, możemy stwierdzić, że w przypadku wartości X
zainwestowanej na n lat według rocznej nominalnej stopy procentowej r ,
N
w zależności od częstotliwości kapitalizacji wartość końcową tej inwestycji można określić
następującymi wyrażeniami:
" kapitalizacja roczna (m=n=1) X (1 + rN )n
rN
" kapitalizacja m-razy w ciÄ…gu roku (m>1)
X (1+ )mn
m
N
" kapitalizacja ciągła (ma")
Xer n
W przypadku gdy np. X=100, n=1, r = 10%, to w przypadku kapitalizacji ciągłej wartość
N
końcowa inwestycji wynosi:
100e0,1 = 110,52
Wartość ta jest równa wartości końcowej inwestycji dla m=365; oznacza to, że
w praktyce kapitalizacja ciągła może być uważana za ekwiwalent kapitalizacji dziennej.
Czyli:
" kapitalizacja ciągła pewnej wartości według rocznej nominalnej stopy procentowej
N
równej r przez n lat polega na pomnożeniu tej wartości przez
N
er n
N
" dyskontowanie ciągłe - pomnożenie tej wartości przez
e-r n
4. ZAMIANA STOPY PROCENTOWEJ KAPITALIZOWANEJ W SPOSÓB CI
GA
Y NA STOP
KAPITALIZOWANA m - RAZY W ROKU I
ODWROTNIE.
Gdy: r
1- stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej
r - stopa procentowa przy kapitalizacji m-razy w roku
2
r2
to:
r1 = m ln(1 + )
m
r1
r2 = m(em -1)
[gdy y=lnx to
x=ey]
Gdy np. r = 10%, m=2 to r = 9,76% p.a.
2 1
Gdy np. r = 8%, przy zmianie kapitalizacji na m=4 r wynosi 8,08% p.a.
1 2