PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA



PRZECIĘTNA STOPA PROCENTOWA
Zakładamy, że interesujący nas okres o długości n
(wyrażonej w latach) składa się z m następujących po sobie podokresów o
długości n1, , n2 , ..., nm(również w
latach)

przy czym w każdym podokresie stopa procentowa wyrażona w
odniesieniu do roku wynosi, odpowiednio r1 , r2 ,...,
rm. Przy oprocentowaniu prostym kapitał P przyjmie po
czasie n wartość .
Przeciętną stopą procentową w okresie n nazywamy taką
roczną stopę procentową r, przy której dowolny kapitał początkowy
P osiągnie po okresie n tę samą wartość F, którą osiąga
przy zróżnicowanych stopach procentowych w poszczególnych podokresach .
Jak widać stopę oblicza się jako
ważoną średnią stóp z poszczególnych podokresów z wagami równymi długości tych
podokresów. Należy więc pamiętać, że stopa przeciętna zależy:


nie tylko od wartości zmieniających się stóp podokresowych,


ale również od długości podokresów.


W szczególnym przypadku, gdy wszystkie podokresy mają jednakową
długość n/m, wówczas rprz przyjmuje postać .

Rozpatrzymy ten problem z punktu widzenia wierzyciela, który
udziela krótkoterminowych (na procent prosty) pożyczek o wysokości
P1 , P2 , ...Pm na okresy o
długości n1, , n2 , ..., nm. przy stopie
procentowej w stosunku rocznym r1 , r2 ,...,
rm Łączna wartość zwracanych pożyczek wyniesie oczywiście
.
Stopa rprz spełnia więc równie:

Z postaci wyprowadzonego wzoru wynika, że w omawianym przypadku
stopę rprz obliczamy jako ważoną średnią stóp procentowych dla
poszczególnych pożyczek, gdzie wagami są wysokości udzielanych pożyczek
skorygowane czasem ich spłaty. Tak obliczona stopa rprz wyraża
stopę zysku wierzyciela z udzielonych pożyczek, ponieważ w liczniku znajduje się
łączna wartość należnych mu odsetek, a w mianowniku łączna wartość pożyczek z
uwzględnieniem czasu, na który je udzielono.
Łatwo zauważyć, że jeśli czas spłaty wszystkich pożyczek
nj jest jednakowy, to ten wzór przyjmuje postać

czyli stopę przeciętną obliczamy wówczas jako średnią ze stóp
procentowych poszczególnych pożyczek ważoną tylko wysokością pożyczek. Gdy
ponadto wysokość wszystkich pożyczek Pj jest jednakowa, to
przyjmuje on postać identyczną z poprzedniom.

 
DYSKONTO HANDLOWE.
Opłata za pożyczkę może być naliczana nie od kwoty P,
którą dłużnik otrzymuje, lecz od kwoty F, którą ma zwrócić po odpowiednim
czasie i pobierana jest z góry. czyli przy udzielaniu pożyczki. Tak obliczona
opłata nosi nazwę dyskonta handlowego (BANKOWEGO) lub PROCENTU POBIERANEGO Z
GÓRY.
Roczną stopą dyskontową d nazywamy stosunek dyskonta
handlowego do kwoty należnej wierzycielowi po upływie roku.
Przy ustalonej rocznej stopie dyskontowej d wartość
dyskonta handlowego za czas n (wyrażony w latach) oblicza się z
wzoru
DH = Fdn
Odejmując obliczone dyskonto od kwoty F poznajemy
wartość zdyskontowaną P, którą dłużnik otrzymuje �do ręki"
P =F-DH= F(1-dn)
Z matematycznego punktu widzenia wzór P
=F-DH= F(1-dn) przedstawia kwotę zdyskontowaną jako
liniową funkcję malejącą względem czasu. Jej wykres znajduje się na rys.

Dwa rodzaje dyskonta: dyskonto rzeczywiste oraz dyskonto
handlowe są różnie zdefiniowane, mają różne własności i, jeśli są stosowane w
praktyce, prowadzą do różnych wyników.
Dyskonto rzeczywiste:.
Dyskonto handlowe: .
Łatwo zauważyć, że dla dowolnego x>0 spełniona jest
nierówność
Jeśli stopa procentowa jest równa dyskontowej, czyli r =
d, zaś n oznacza czas dyskontowania, to rn= dn, a wobec
podanej wyżej nierówności zachodzi
Zatem
Wykazaliśmy w ten sposób, że:
przy identycznej stopie procentowej i dyskontowej, dyskonto
rzeczywiste jest mniejsze niż dyskonto handlowe obliczone dla tego samego
kapitału i dla tego samego czasu.
Pamiętamy, że dyskontowanie rzeczywiste stopą r jest działaniem
odwrotnym do oprocentowania stopą r. Jeśli zatem kwota P przyjmuje
po n okresach oprocentowania wartość F, to po rzeczywistym
zdyskontowaniu kwoty F na n okresów wstecz, otrzymujemy tę samą
początkową kwotę P. Natomiast dyskontowanie handlowe stopą d = r
nie jest działaniem odwrotnym do oprocentowania stopą r, ponieważ otrzymujemy
wtedy kwotę początkową mniejszą niż P.

Stopa PROCENTOWA JEST RÓWNOWAŻNA STOPIE DYSKONTOWEJ w okresie o
długości n, jeśli dyskonto rzeczywiste i dyskonto handlowe obliczone za
ten okres od dowolnego kapitału są sobie równe.

Dyskonto rzeczywiste oraz handlowe od kapitału F
naliczone za okres o długości n wynoszą, odpowiednio
oraz
Warunkiem równoważności stóp r i d jest równość
D =DH
czyli ,
która po odpowiednich przekształceniach przyjmuje postać
lub
Jak widać, równoważność stopy procentowej i dyskontowej zależy
od długości okresu dyskontowania, ale nie zależy od wysokości dyskontowanej
kwoty. Zatem dopiero po ustaleniu czasu, na który będziemy dyskontować kwotę o
dowolnej wysokości można dobrać równoważne sobie stopy: procentową i
dyskontową.
Z zależności wyznaczamy
n otrzymując
.
Ten wzór pozwala na obliczenie długości okresu, w którym dana
stopa procentowa i dyskontowa są równoważne.
Dla ustalonej stopy procentowej r i dyskontowej d
wzór dostarcza jednoznacznego rozwiązania, zatem
stopa procentowa r oraz stopa dyskontowa d, które są
równoważne w okresie n, nie są równoważne w okresie nł¹ n.
Zauważmy, że stopa dyskontowa wyższa lub równa stopie
procentowej nigdy nie jest jej równoważna, ponieważ jeśli zachodzi nierówność
d³ r, to z wzoru otrzymujemy
n£ 0.
Porównamy jeszcze dyskonto rzeczywiste i handlowe obliczone dla
okresu n'¹ n przy użyciu stóp r oraz
d równoważnych w okresie n

Z powyższego wynika, że
D > DH , gdy n' < n,

D < DH, gdy n' >
n.