TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S
ŁUCHACZÓW PRAWA UJ
ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak
ów
www.tbsp.pl
Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013
Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński
Dowody założeniowe - teoria
Wyrażenie znajdujące się po ostatniej implikacji jest wnioskiem. Może to być zarówno tylko jeden
funktor zdaniowy, jak i całe wyrażenie, np.:
α
( (
p
q )
r
) ) )
α
(
p
( q
r) )
wnioski zaznaczone na czerwono
Najważniejsze skróty:
Z - założenie
ZDNW - Założenie Dowodu Nie Wprost
Dowód wprost:
1. p1 Z
2. p2 Z
…
n. pn Z
Dowód nie wprost:
1. p1 Z
2. p2 Z
…
n. pn Z
n+1.
w ZDNW
Różnica między sposobem rozwiązywania dowodów nie wprost i dowodów wprost sprowadza się
do dwóch rzeczy:
a) Jak widać wyżej – w dowodzie nie wprost, po wypisaniu wszystkich założeń, wypisujemy
założenie dowodu nie wprost, czyli zanegowany wniosek, o którym trzeba koniecznie
pamiętać (
negujemy wyrażenie znajdujące się po ostatniej implikacji
).
b) W dowodzie wprost dążymy do otrzymania wniosku (warto go zapisać gdzieś z boku, żeby
pamiętać, czego się szuka), natomiast w dowodzie nie wprost – do znalezienia sprzeczności.
Typowe postaci dowodów założeniowych na egzaminie:
a. p1 → ( p2→ (…→ ( pn → w )
b. ( ( α )
( β )
( γ ) ) →
w
c. ( p1 )
( p2
( p3
w ) )
Gdzie p to przesłanka, a w to wniosek. α, β, γ stanowią części składowe pierwszego (i w tym wypadku
jedynego) założenia, które
znajduje się zawsze przed główną implikacją i nie można go rozdzielać
.
Dobrze to widać na przykładzie c.
TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S
ŁUCHACZÓW PRAWA UJ
ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak
ów
www.tbsp.pl
Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013
Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński
p1 → ( p2→ (…→ ( pn → w )
Dowód wprost:
1. p1 Z
2. p2 Z
3. p3 Z
Dowód nie wprost:
1. p1 Z
2. p2 Z
3. p3 Z
4.
w ZDNW
( ( α )
( β )
( γ ) ) → w
1. ( α )
( β )
( γ )
Z
2. α
OK1
3. β
OK1
4. γ
OK1
( p1 )
( p2
( p3
w ) )
1. p1 Z
2. p2 Z
3. p3 Z
Jak to rozwiązać?
1. Na początku łączymy nawiasy. Dzięki temu widać, które wyrażenia trzeba wypisać jako założenia.
Można sprawdzić, czy badane wyrażenie jest tautologią, jednak w praktyce egzaminacyjnej szansa,
że nie, jest minimalna. To wyrażenie jest tautologią
( ( p → q )
r ) → (
( q
r ) → ( ( q → r ) →
q ) )
2. Założenia to:
a. wszystko, co znajduje się przed główną implikacją (w ramce) – nie można tego
rozdzielać przy wypisywaniu założeń
b. to, co zostało rozdzielone nawiasami i znajduje się przed ostatnią implikacją
TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S
ŁUCHACZÓW PRAWA UJ
ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak
ów
www.tbsp.pl
Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013
Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński
c. Krok po kroku:
i. Jako pierwsze założenie traktujemy wszystko, co znajduje się przed główną
implikacją:
( ( p → q )
r ) → (
( q
r ) → ( ( q → r ) →
q ) )
ii. Na chwilę zapominamy o tym, co już wypisaliśmy i szukamy kolejnej „głównej”
implikacji i kolejnego założenia. Jeżeli przed wyrażeniem w nawiasie mamy
negację, to jest ona częścią założenia
(
( q
r ) → ( ( q → r ) →
q ) )
iii. Szukamy kolejnego założenia, aż do ostatniej implikacji w wyrażeniu. Ostatni,
pogrubiony, nawias jest częścią następnika głównej implikacji
( ( q → r ) →
q ) )
Czyli w tym przykładzie założenia i wniosek wyglądają następująco:
1. ( p → q )
r
Z
w:
q
2.
( q
r )
Z
3. q → r
Z
Jeżeli rozwiązujemy dowód założeniowy nie wprost (ale tylko wtedy!) – dopisujemy
kolejną linijkę:
4.
q
ZDNW
3. Znalezienie rozwiązania dowodu:
a. W dowodzie wprost dążymy do uzyskania linii z wnioskiem (znalezienie
sprzeczność nie kończy dowodu wprost!):
1. ( p → q )
r
Z
2.
( q
r )
Z
3. q → r
Z
4.
q
r
NA 2
5.
q
OK 4
cnd.
b. W dowodzie nie wprost rozwiązanie uzyskujemy przez znalezienie sprzeczności
między dwoma dowolnymi liniami, czasem będzie to sprzeczność z linią będącą
ZDNW, jednak nie zawsze:
TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S
ŁUCHACZÓW PRAWA UJ
ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak
ów
www.tbsp.pl
Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013
Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński
1. ( p → q )
r Z
2.
( q
r )
Z
3. q → r
Z
4.
q
ZDNW
5. q
ON 4
6.
q
r
NA 2
7.
q
OK 6
Sprzeczność 5-7
Wskazówki:
Pojawienie się we wniosku funktorów, które nie występują w podanych prawach logicznych (tj.:
↓, / lub
) albo zmiennej zdaniowej, która nie pojawiła się w założeniach oznacza, że do
rozwiązania zadania niezbędne będzie skorzystanie z praw:
o Dołączania Alternatywy (DA)
o Opuszczania Alternatywy (OA)
Najlepiej wyciągać z nawiasów wszystko, co się da tak, żeby mieć jak najmniej wyrażeń. Potem
zbędne linijki (tj. takie, na których nie użyliśmy żadnych praw) można pominąć przy
przepisywaniu na arkusz egzaminacyjny, pamiętając o zmianie numeracji linijek.
np. ( ( p → q )
r ) → (
( q
r ) → ( ( q → r ) →
q ) ) – metodą nie wprost
1. ( p → q )
r
Z
2.
( q
r )
Z
3. q → r
Z
4.
q
ZDNW
5. q
ON 4
6.
q
r
NA 2
7.
r
OK 6
8. p → q
OK 1
9.
q
OK 6
Sprzeczność 5-9
Po wykreśleniu zbędnych linijek i zmianie ich numeracji:
1. ( p → q )
r
Z
2.
( q
r )
Z
3. q → r
Z
4.
q
ZDNW
5. q
ON 4
6.
q
r
NA 2
7.
q
OK 6
Sprzeczność 5-7
Dołączanie alternatywy – bardzo przydatne prawo, o którym zapomina bardzo wiele osób. Do
skorzystania z niego wystarczy mieć jedną zmienną zdaniową lub wyrażenie. Dołączyć można
do niej za pomocą tego prawa przysłowiową „dupę Maryni”, czyli coś, co jest nam potrzebne,
a nie pojawiło się nigdzie w toku rozwiązania.
TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S
ŁUCHACZÓW PRAWA UJ
ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak
ów
www.tbsp.pl
Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013
Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński
np. W linijce 5. (patrz powyższy przykład) pojawia się „gołe” q – po użyciu na nim DA,
kolejna linijka mogłaby wyglądać następująco:
q
p
q
( q
r )
q
( r ↓ s )
Niektóre z praw logicznych mogą być stosowane na odwrót zapisujemy to za pomocą liter OD
lub znaku , np. NK OD lub NK
Greckie litery, użyte w przedstawieniu wzorów (α, β, γ), nie są równoznaczne tylko z p, q, r, itd.
– pod oznaczeniem α może kryć się również całe wyrażenie, np.
( ( p
r )
q ).
Po wypisaniu każdej nowej linijki warto jeszcze raz spojrzeć na wszystkie, żeby zobaczyć, czy nie
pojawiła się możliwość zastosowania nowego prawa