TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S

ŁUCHACZÓW PRAWA UJ

ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak

ów

www.tbsp.pl

Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013

Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński

Dowody założeniowe - teoria

Wyrażenie znajdujące się po ostatniej implikacji jest wnioskiem. Może to być zarówno tylko jeden
funktor zdaniowy, jak i całe wyrażenie, np.:

α



( (



p



q )



r

) ) )

α



(



p



( q



r) )

wnioski zaznaczone na czerwono

Najważniejsze skróty:

Z - założenie

ZDNW - Założenie Dowodu Nie Wprost

Dowód wprost:

1. p1 Z

2. p2 Z

…

n. pn Z

Dowód nie wprost:

1. p1 Z

2. p2 Z

…

n. pn Z

n+1.



w ZDNW

Różnica między sposobem rozwiązywania dowodów nie wprost i dowodów wprost sprowadza się
do dwóch rzeczy:

a) Jak widać wyżej – w dowodzie nie wprost, po wypisaniu wszystkich założeń, wypisujemy

założenie dowodu nie wprost, czyli zanegowany wniosek, o którym trzeba koniecznie
pamiętać (

negujemy wyrażenie znajdujące się po ostatniej implikacji

).

b) W dowodzie wprost dążymy do otrzymania wniosku (warto go zapisać gdzieś z boku, żeby

pamiętać, czego się szuka), natomiast w dowodzie nie wprost – do znalezienia sprzeczności.

Typowe postaci dowodów założeniowych na egzaminie:

a. p1 → ( p2→ (…→ ( pn → w )
b. ( ( α )



( β )



( γ ) ) →

w

c. ( p1 )



( p2



( p3



w ) )

Gdzie p to przesłanka, a w to wniosek. α, β, γ stanowią części składowe pierwszego (i w tym wypadku
jedynego) założenia, które

znajduje się zawsze przed główną implikacją i nie można go rozdzielać

.

Dobrze to widać na przykładzie c.

TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S

ŁUCHACZÓW PRAWA UJ

ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak

ów

www.tbsp.pl

Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013

Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński

p1 → ( p2→ (…→ ( pn → w )

Dowód wprost:

1. p1 Z

2. p2 Z

3. p3 Z

Dowód nie wprost:

1. p1 Z

2. p2 Z

3. p3 Z

4.



w ZDNW

( ( α )



( β )



( γ ) ) → w

1. ( α )



( β )



( γ )

Z

2. α

OK1

3. β

OK1

4. γ

OK1

( p1 )



( p2



( p3



w ) )

1. p1 Z

2. p2 Z

3. p3 Z

Jak to rozwiązać?

1. Na początku łączymy nawiasy. Dzięki temu widać, które wyrażenia trzeba wypisać jako założenia.

Można sprawdzić, czy badane wyrażenie jest tautologią, jednak w praktyce egzaminacyjnej szansa,
że nie, jest minimalna. To wyrażenie jest tautologią

( ( p → q )



r ) → (



( q



r ) → ( ( q → r ) →



q ) )

2. Założenia to:

a. wszystko, co znajduje się przed główną implikacją (w ramce) – nie można tego

rozdzielać przy wypisywaniu założeń

b. to, co zostało rozdzielone nawiasami i znajduje się przed ostatnią implikacją

TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S

ŁUCHACZÓW PRAWA UJ

ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak

ów

www.tbsp.pl

Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013

Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński

c. Krok po kroku:

i. Jako pierwsze założenie traktujemy wszystko, co znajduje się przed główną

implikacją:
( ( p → q )



r ) → (



( q



r ) → ( ( q → r ) →



q ) )

ii. Na chwilę zapominamy o tym, co już wypisaliśmy i szukamy kolejnej „głównej”

implikacji i kolejnego założenia. Jeżeli przed wyrażeniem w nawiasie mamy
negację, to jest ona częścią założenia

(



( q



r ) → ( ( q → r ) →



q ) )

iii. Szukamy kolejnego założenia, aż do ostatniej implikacji w wyrażeniu. Ostatni,

pogrubiony, nawias jest częścią następnika głównej implikacji

( ( q → r ) →



q ) )

Czyli w tym przykładzie założenia i wniosek wyglądają następująco:

1. ( p → q )



r

Z

w:



q

2.



( q



r )

Z

3. q → r

Z

Jeżeli rozwiązujemy dowód założeniowy nie wprost (ale tylko wtedy!) – dopisujemy
kolejną linijkę:

4.



q

ZDNW

3. Znalezienie rozwiązania dowodu:

a. W dowodzie wprost dążymy do uzyskania linii z wnioskiem (znalezienie

sprzeczność nie kończy dowodu wprost!):

1. ( p → q )



r

Z

2.



( q



r )

Z

3. q → r

Z

4.



q



r

NA 2

5.



q

OK 4

cnd.

b. W dowodzie nie wprost rozwiązanie uzyskujemy przez znalezienie sprzeczności

między dwoma dowolnymi liniami, czasem będzie to sprzeczność z linią będącą
ZDNW, jednak nie zawsze:

TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S

ŁUCHACZÓW PRAWA UJ

ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak

ów

www.tbsp.pl

Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013

Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński

1. ( p → q )



r Z

2.



( q



r )

Z

3. q → r

Z

4.



q

ZDNW

5. q

ON 4

6.



q



r

NA 2

7.



q

OK 6

Sprzeczność 5-7

Wskazówki:

 Pojawienie się we wniosku funktorów, które nie występują w podanych prawach logicznych (tj.:

↓, / lub



) albo zmiennej zdaniowej, która nie pojawiła się w założeniach oznacza, że do

rozwiązania zadania niezbędne będzie skorzystanie z praw:

o Dołączania Alternatywy (DA)
o Opuszczania Alternatywy (OA)

 Najlepiej wyciągać z nawiasów wszystko, co się da tak, żeby mieć jak najmniej wyrażeń. Potem

zbędne linijki (tj. takie, na których nie użyliśmy żadnych praw) można pominąć przy
przepisywaniu na arkusz egzaminacyjny, pamiętając o zmianie numeracji linijek.

np. ( ( p → q )



r ) → (



( q



r ) → ( ( q → r ) →



q ) ) – metodą nie wprost

1. ( p → q )



r

Z

2.



( q



r )

Z

3. q → r

Z

4.



q

ZDNW

5. q

ON 4

6.



q



r

NA 2

7.



r

OK 6

8. p → q

OK 1

9.



q

OK 6

Sprzeczność 5-9

Po wykreśleniu zbędnych linijek i zmianie ich numeracji:

1. ( p → q )



r

Z

2.



( q



r )

Z

3. q → r

Z

4.



q

ZDNW

5. q

ON 4

6.



q



r

NA 2

7.



q

OK 6

Sprzeczność 5-7

 Dołączanie alternatywy – bardzo przydatne prawo, o którym zapomina bardzo wiele osób. Do

skorzystania z niego wystarczy mieć jedną zmienną zdaniową lub wyrażenie. Dołączyć można
do niej za pomocą tego prawa przysłowiową „dupę Maryni”, czyli coś, co jest nam potrzebne,
a nie pojawiło się nigdzie w toku rozwiązania.

TOWARZYSTWO BIBLIOTEKI S

ŁUCHACZÓW PRAWA UJ

ul. Bracka 12 /302, 31-005 Krak

ów

www.tbsp.pl

Zajęcia TBSP z Logiki dla Prawników 2013

Agnieszka Guzik, Filip Leszczyński

np. W linijce 5. (patrz powyższy przykład) pojawia się „gołe” q – po użyciu na nim DA,
kolejna linijka mogłaby wyglądać następująco:

q



p

q



( q



r )

q



( r ↓ s )

 Niektóre z praw logicznych mogą być stosowane na odwrót zapisujemy to za pomocą liter OD

lub znaku , np. NK OD lub NK

 Greckie litery, użyte w przedstawieniu wzorów (α, β, γ), nie są równoznaczne tylko z p, q, r, itd.

– pod oznaczeniem α może kryć się również całe wyrażenie, np.



( ( p



r )



q ).

 Po wypisaniu każdej nowej linijki warto jeszcze raz spojrzeć na wszystkie, żeby zobaczyć, czy nie

pojawiła się możliwość zastosowania nowego prawa