1
Szczególna Teoria Względności
Załó
ż
my,
ż
e pr
ę
dko
ść
ś
wiatła jest stała
wzgl
ę
dem eteru. Jaka jest wi
ę
c pr
ę
dko
ść
Ziemi wzgl
ę
dem eteru ?
Do
ś
wiadczenie Michelsona i Morleya (1881 i 1887)
1) Załó
ż
my,
ż
e na ekranie obserwujemy maksimum
interferencyjne (pr
ąż
ki). Je
ś
li przesuniemy
zwierciadło ruchome o ¼ długo
ś
ci fali ( ¼
λ
) w
prawo, to promie
ń
2 przejdzie dodatkowo drog
ę
½
λ
i oba promienie na ekranie wygasz
ą
si
ę
w miejscach
gdzie si
ę
wzmacniały (maksima przejd
ą
w minima i
odwrotnie).
2) Zakłócenie ustawionego maksimum
interferencyjnego mo
ż
na by tak
ż
e uzyska
ć
, gdyby
pr
ę
dko
ś
ci
ś
wiatła w ramieniu 1 lub 2 ulegały
zmianie.
zwierciadło
półprzepuszczalne
zwier ciadło
ź
ródło światła
1
2
zwierciadło
ruchome
ekran
Zasada budowy interferometru Michelsona. Zwierciadło
„2” można przesuwać i w ten sposób doprowadzać do
powstawania kolejnych maksimów i minimów
interferencyjnych.
Kinematyka relatywistyczna
2
-v
Z
c
Z
c
E
c
Z
=
c
E
+
v
Z
c
Z
-v
Z
c
E
-v
Z
c
Z
=
c
E
-
v
Z
B
Je
ż
eli obrócimy interferometr o 90
0
,
obydwa lustra S
1
i S
2
zamieni
ą
si
ę
rolami,
a wi
ę
c:
Po obróceniu ramion pr
ąż
ki interferencyjne si
ę
przesun
ą
. Z przesuni
ę
cia tego mo
ż
na
wyznaczy
ć
v
Z
.
Do
ś
wiadczenie pokazało,
ż
e
v
Z
=0
(z dokł. 5 km/s) czyli albo Ziemia si
ę
nie
porusza (wzgl. eteru) albo pr
ę
dko
ść
ś
wiatła jest stała w ka
ż
dym układzie inercjalnym.
Zmierzona pr
ę
dko
ść
ś
wiatła jest taka sama w ka
ż
dym
układzie inercjalnym (np. dla obserwatora A oraz B) !!!
3
Konsekwencje stałej warto
ś
ci pr
ę
dko
ś
ci
ś
wiatła
Zakładamy,
ż
e c
≠≠≠≠
const.
Dla
obydwu
obserwatorów zegary
chodz
ą
tak samo
.
c
L
t
2
'
=
∆
O’:
2
2
2
2
2
2
V
c
L
t
V
t
+
+
∆
=
∆
c
L
t
2
=
∆
'
t
t
∆
=
∆
O:
O:
2
2
2
L
t
V
D
+
∆
=
A co si
ę
stanie dla c = const. ?
c
L
t
2
'
=
∆
Ka
ż
dy obserwator stwierdza,
ż
e poruszaj
ą
cy si
ę
zegar
idzie wolniej
ni
ż
identyczny zegar w spoczynku (
dylatacja
czasu).
O’:
2
2
2
L
t
V
D
+
∆
=
c
L
t
V
t
2
2
2
2
+
∆
=
∆
2
2
1
2
c
V
c
L
t
−
=
∆
2
2
1
'
c
V
t
t
−
∆
=
∆
O:
O:
4
Vt
x
x
−
=
'
y
y
=
'
z
z
=
'
t
t
=
'
t
x
u
∆
∆
=
V
u
t
t
V
x
t
x
u
−
=
∆
∆
−
∆
=
∆
∆
=
'
'
'
składanie pr
ę
dko
ś
ci
a
t
u
t
V
u
t
u
a
=
∆
∆
=
∆
−
∆
=
∆
∆
=
)
(
'
'
'
przyspieszenie w układzie
poruszaj
ą
cym si
ę
Pr
ę
dko
ść
ś
wiatła nie jest stała dla transformacji Galileusza.
Transformacja Galileusza
Postulat II:
Pr
ę
dko
ść
ś
wiatła w pró
ż
ni jest jednakowa we
wszystkich kierunkach i w dowolnym obszarze danego inercjalnego
układu odniesienia i jednakowa dla wszystkich inercjalnych układów
odniesienia.
Postulat I
(zasada wzgl
ę
dno
ś
ci):
Przy identycznych warunkach pocz
ą
tkowych wszystkie to
ż
same
zjawiska fizyczne przebiegaj
ą
jednakowo w inercjalnych układach
odniesienia. Inaczej mówi
ą
c, w
ś
ród inercjalnych układów
odniesienia nie ma układu „uprzywilejowanego„
i stwierdzenie stanu absolutnego ruchu nie jest mo
ż
liwe.
c = 299 792 458 m/s
Postulaty szczególnej teorii wzgl
ę
dno
ś
ci, Albert Einstein 1905.
5
Szukamy transformacji współrz
ę
dnych, która uwzgl
ę
dnia niezale
ż
no
ść
pr
ę
dko
ś
ci
ś
wiatła od układu odniesienia.
2
2
2
1
1
'
β
−
−
=
−
−
=
Vt
x
c
V
Vt
x
x
y
y
=
'
z
z
=
'
2
2
2
2
2
1
1
'
β
−
−
=
−
−
=
x
c
V
t
c
V
x
c
V
t
t
β = V/c
Własno
ś
ci czasoprzestrzeni s
ą
inne ni
ż
przewiduje to transformacja Galileusza.
Dla
β
<< 1
otrzymujemy transformacj
ę
Galileusza.
Transformacja Lorentza
... czy dylatacja czasu wynika z transformacji Lorentza???
Dwa zdarzenia zaszły w tym samym
miejscu
w układzie poruszaj
ą
cym
si
ę
(O’), w odst
ę
pie czasu .
Dylatacja czasu
0
'
=
∆
x
2
1
'
β
−
∆
=
∆
t
t
0
'
=
∆
x
0
'
≠
∆
t
0
'
≠
∆
t
2
2
1
'
β
−
−
=
x
c
V
t
t
2
2
1
'
'
β
−
+
=
x
c
V
t
t
Pr
ę
t o długo
ś
ci (wzgl
ę
dem O’)
porusza si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
V wzgl
ę
dem O.
Mierzymy długo
ść
w układzie O,
wyznaczaj
ą
c w tej samej chwili
współrz
ę
dne ko
ń
ca i pocz
ą
tku.
2
1
'
β
−
∆
=
∆
x
x
Skrócenie długo
ś
ci
2
1
'
β
−
=
L
L
'
'
L
x
=
∆
0
=
∆
t
2
1
'
β
−
−
=
Vt
x
x
L
x
=
∆
0
=
∆
t
6
Potwierdzenie dylatacji czasu i kontrakcji długo
ś
ci
2
2
1
'
c
V
t
t
−
∆
=
∆
1) Ka
ż
dy obserwator stwierdza,
ż
e poruszaj
ą
cy si
ę
zegar idzie wolniej
ni
ż
identyczny zegar w spoczynku (
dylatacja
czasu).
2
2
1
'
c
V
L
L
−
=
2) Ka
ż
dy obserwator stwierdza,
ż
e poruszaj
ą
cy si
ę
przedmiot jest krótszy
ni
ż
identyczny przedmiot w spoczynku (
kontrakcja
długo
ś
ci).
Dowody do
ś
wiadczalne
Miony docieraj
ą
do Ziemi cho
ć
maj
ą
zbyt krótki czas
ż
ycia (2
µ
s ).
W układzie zwi
ą
zanym z Ziemi
ą
jest to spowodowane dylatacj
ą
czasu (ich czas
ż
ycia
w układzie zwiazanym z Ziemi
ą
jest 30 razy dłu
ż
szy poniewa
ż
poruszaj
ą
si
ę
one z
pr
ę
dko
ś
ci
ą
99,3% pr
ę
dko
ś
ci
ś
wiatła).
Patrz
ą
c z układu odniesienia poruszaj
ą
cej si
ę
cz
ą
stki, atmosfera
Ziemi porusza si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
ok. 99,3% pr
ę
dko
ś
ci
ś
wiatła wzgl
ę
dem spoczywaj
ą
cej
cz
ą
stki i tym samym, ze wzgl
ę
du na skrócenie długo
ś
ci, jest 30 razy cie
ń
sz
ą
warstw
ą
.
W ci
ą
gu 2
µ
s (czas
ż
ycia mionu) cała atmosfera zd
ąż
y przesun
ąć
si
ę
wzgl
ę
dem
cz
ą
stki i powierzchnia Ziemi dotrze do mionu.
Obiekt ma pr
ę
dko
ść
u
x
wzl
ę
dem Ziemii (nieruchomego obserwatora O).
Jak
ą
pr
ę
dko
ść
u’
x
zarejestruje obserwator O’ w rakiecie poruszaj
ą
cej si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
V
wzdłu
ż
osi
x
.
Z transformacji Lorentza:
2
1
'
β
−
∆
−
∆
=
∆
t
V
x
x
2
2
1
'
β
−
∆
−
∆
=
∆
x
c
V
t
t
t
x
c
V
V
t
x
x
c
V
t
t
V
x
t
x
∆
∆
−
−
∆
∆
=
∆
−
∆
∆
−
∆
=
∆
∆
2
2
1
'
'
'
'
'
t
x
u
x
∆
∆
=
t
x
u
x
∆
∆
=
Poniewa
ż
:
2
1
'
c
Vu
V
u
u
x
x
x
−
−
=
2
'
1
'
c
Vu
V
u
u
x
x
x
+
+
=
β = V/c
Składanie pr
ę
dko
ś
ci w transformacji Lorentza
dla u
x
= c
c
c
Vc
V
c
c
=
−
−
=
2
1
'
V =0.9c, u
x
’ = 0.9c
u
x
= 0.994c
Przykłady:
1)
2)
7
Zwi
ą
zek przyczynowo skutkowy a jednoczesno
ść
1) Czy istnieje układ, w którym bitwa pod Grunwaldem i chrzest Polski zaszły:
a) w tym samym miejscu:
rok
km
t
x
V
45
.
0
≈
∆
∆
=
0
1
'
2
=
−
∆
−
∆
=
∆
β
t
V
x
x
b) tym samym czasie:
0
1
'
2
2
=
−
∆
−
∆
=
∆
β
x
c
V
t
t
c
t
x
c
V
>>
∆
∆
=
/
2
Zdarzenia zajd
ą
w tym samym miejscu w układzie poruszaj
ą
cym si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
ok. 0.45km/rok, z
Gniezna do Grunwaldu. Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia s
ą
jednoczesne.
β = V/c
2) Po 10s od zaj
ś
cia protuberancji na Sło
ń
cu, na Ziemi wybuchł wulkan. Czy istnieje układ w
którym te zdarzenia zaszły:
a) w tym samym miejscu:
c
c
t
x
V
>
≈
∆
∆
=
*
51
b) tym samym czasie :
c
t
x
c
V
*
02
.
0
/
2
≈
∆
∆
=
Zdarzenia zajd
ą
w tym samym czasie w układzie poruszaj
ą
cym si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
ok. 0.02*c.
Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia zajd
ą
w tym samym miejscu.
8
Wielko
ść
fizyczna opisuj
ą
ca odległo
ść
mi
ę
dzy dwoma zdarzeniami nazywa si
ę
interwałem
zdefiniowanym nast
ę
puj
ą
co:
(
)
2
2
2
2
2
2
2
,
1
z
y
x
t
c
s
∆
+
∆
+
∆
−
∆
=
∆
Mo
ż
na wykaza
ć
,
ż
e interwał jest niezmiennikiem wzgl
ę
dem transformacji Lorentza, tzn. ma
tak
ą
sam
ą
warto
ść
w ka
ż
dym inercjalnym układzie odniesienia:
2
2
,
1
2
2
,
1
'
s
s
∆
=
∆
2
,
1
s
∆
1) Je
ś
li istnieje układ, w którym zdarzenia
zajd
ą
w tym samym miejscu to mo
ż
e istnie
ć
miedzy nimi zwi
ą
zek przyczynowy (te
zdarzenia nie mog
ą
by
ć
jednoczesne w
ż
adnym układzie). Wtedy :
0
2
2
,
1
≥
∆
s
2) Je
ś
li istnieje układ, w którym zdarzenia
zajd
ą
w tym samym czasie to nie mo
ż
e
istnie
ć
miedzy nimi zwi
ą
zek przyczynowy
(nie istnieje układ, w którym zdarzenia zajd
ą
w tym samym miejscu ). Wtedy :
0
2
2
,
1
<
∆
s
Geometria czasoprzestrzeni
DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
Pęd i masa relatywistyczna
Je
ś
li ma pozosta
ć
słuszna zasada zachowania p
ę
du
, to masa ciała nie mo
ż
e
by
ć
wielko
ś
ci
ą
stał
ą
; musi ona zale
ż
e
ć
od pr
ę
dko
ś
ci wg. wzoru:
γ=
m/m
0
v/c
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0
2
2
0
1
1
β
−
=
−
=
m
c
u
m
m
Sprawd
ź
my czy zasada zachowania p
ę
du:
∑
∑
=
i
i
xkonc
i
i
i
xpocz
i
u
m
u
m
,
,
obowi
ą
zuje
w układzie poruszaj
ą
cym si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
V:
∑
∑
−
−
≠
−
−
i
i
xkonc
i
xkonc
i
i
i
xpocz
i
xpocz
i
c
Vu
V
u
m
c
Vu
V
u
m
2
,
,
2
,
,
1
1
problem: zas. zach. p
ę
du nie jest spełniona !!!
P
ę
d w mechanice relatywistycznej
definiujemy:
u
m
mu
p
2
0
1
β
−
=
=
β = u/c
9
Energia relatywistyczna
Aby utrzyma
ć
w mocy zasad
ę
zachowania energii w mechanice relatywistycznej,
pomi
ę
dzy mas
ą
całkowit
ą
a energi
ą
ciała (zwan
ą
energi
ą
całkowit
ą
) musi
zachodzi
ć
zwi
ą
zek :
2
2
0
2
1
c
m
mc
E
β
−
=
=
Jest to słynne równanie Einsteina
wyra
ż
aj
ą
ce
równowa
ż
no
ść
masy i energii.
Uwaga: Zasada zachowania energii obowi
ą
zuje dla energii całkowitej !!!
masa [kg]
energia
elektron
9.11×10
-31
8.19 ×10
-14
J (= 511 keV)
proton
1.67 ×10
-27
1.5 ×10
-10
J (= 938 MeV)
atom Uranu
3.95 ×10
-25
3.55 ×10
-8
J (= 225 GeV)
cz
ą
steczka kurzu
1 ×10
-13
1 ×10
4
J
β = u/c
Mo
ż
na wykaza
ć
,
ż
e gdy
u<<c
(tj. ) , wzory relatywistyczne przechodz
ą
w klasyczne:
u
m
u
m
mu
p
0
2
0
1
≈
−
=
=
β
2
0
2
2
0
2
2
0
2
1
1
...
2
1
1
1
1
1
u
m
c
m
c
m
E
k
≈
−
+
=
−
−
=
β
β
0
→
=
c
u
β
Załó
ż
my najpierw,
ż
e ciało jest w spoczynku. Wtedy masa tego ciała jest równa
m
0
i jego energia, zwana
energi
ą
spoczynkow
ą
, wynosi:
2
0
0
c
m
E
=
Jaka jest wi
ę
c definicja energii kinetycznej ?
(
)
2
0
0
c
m
m
E
E
E
k
−
=
−
=
−
−
=
1
1
1
2
2
0
β
c
m
E
k
Relatywistyczna energia kinetyczna
jest równa:
β = u/c
10
2
mc
E
=
mu
p
=
oraz
)
1
(
2
2
4
2
2
2
2
c
u
c
m
c
p
E
−
=
−
2
2
0
1
c
u
m
m
−
=
st
ą
d:
podstawiaj
ą
c:
Zwi
ą
zek energii, masy i p
ę
du
4
2
0
2
2
2
c
m
c
p
E
=
−
otrzymamy:
2
2
4
2
0
c
p
c
m
E
+
=
Zauwa
ż
my,
ż
e wyra
ż
enie:
2
2
2
c
p
E
−
jest niezmiennikiem (podobnie jak
interwał ma tak
ą
sam
ą
warto
ść
we wszystkich układach inercjalnych).
lub