1

TESTOWANIE HIPOTEZ

TESTOWANIE HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

STATYSTYCZNYCH

Dr in

Dr in

ż

ż

. Marek Bauer

. Marek Bauer

0

10

20

30

40

50

60

0

30

60

90

120

150

180

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

‰

‰

Cel: obiektywna ocena wielko

Cel: obiektywna ocena wielko

ś

ś

ci r

ci r

ó

ó

ż

ż

nic pomi

nic pomi

ę

ę

dzy

dzy

wybranymi, odpowiadaj

wybranymi, odpowiadaj

ą

ą

cymi sobie parametrami

cymi sobie parametrami

‰

‰

Przyk

Przyk

ł

ł

ady zastosowa

ady zastosowa

ń

ń

praktycznych:

praktycznych:

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie pr

wnanie pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci chwilowej w przekroju drogi z

ci chwilowej w przekroju drogi z

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

dopuszczaln

dopuszczaln

ą

ą

(test istotno

(test istotno

ś

ś

ci dla warto

ci dla warto

ś

ś

ci

ci

ś

ś

redniej)

redniej)

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie czasu przejazdu odcinka

wnanie czasu przejazdu odcinka

„

„

przed

przed

”

”

i

i

„

„

po

po

”

”

wybudowaniu pasa autobusowego

wybudowaniu pasa autobusowego

(test istotno

(test istotno

ś

ś

ci dla

ci dla

dw

dw

ó

ó

ch

ch

ś

ś

rednich)

rednich)

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie zmienno

wnanie zmienno

ś

ś

ci wielko

ci wielko

ś

ś

ci nat

ci nat

ęż

ęż

e

e

ń

ń

ruchu w

ruchu w

szczycie porannym i popo

szczycie porannym i popo

ł

ł

udniowym

udniowym

(test istotno

(test istotno

ś

ś

ci

ci

dla dw

dla dw

ó

ó

ch wariancji)

ch wariancji)

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

‰

‰

Przyk

Przyk

ł

ł

ady zastosowa

ady zastosowa

ń

ń

praktycznych (c.d.):

praktycznych (c.d.):

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie preferencji komunikacyjnych pasa

wnanie preferencji komunikacyjnych pasa

ż

ż

er

er

ó

ó

w

w

dw

dw

ó

ó

ch miast

ch miast

(test istotno

(test istotno

ś

ś

ci dla dw

ci dla dw

ó

ó

ch wska

ch wska

ź

ź

nik

nik

ó

ó

w

w

struktury)

struktury)

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie zmienno

wnanie zmienno

ś

ś

ci potok

ci potok

ó

ó

w pasa

w pasa

ż

ż

erskich w

erskich w

ci

ci

ą

ą

gu trzech okres

gu trzech okres

ó

ó

w dnia

w dnia

(test istotno

(test istotno

ś

ś

ci dla wielu

ci dla wielu

wariancji

wariancji

–

–

np

np

. test

. test

Bartletta

Bartletta

)

)

¾

¾

Por

Por

ó

ó

wnanie pr

wnanie pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci pojazd

ci pojazd

ó

ó

w przy r

w przy r

ó

ó

ż

ż

nych

nych

szeroko

szeroko

ś

ś

ciach pasa ruchu (

ciach pasa ruchu (

testy por

testy por

ó

ó

wna

wna

ń

ń

wielokrotnych

wielokrotnych

–

–

np

np

. test

. test

Duncana

Duncana

)

)

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA DW

CI DLA DW

Ó

Ó

CH WARTO

CH WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNICH

REDNICH

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

m

m

1

1

=

=

m

m

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

m

m

1

1

≠

≠

m

m

2

2

lub

lub

m

m

1

1

>

>

m

m

2

2

lub

lub

m

m

1

1

<

<

m

m

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

u

+

−

=

2

1

2

,

1

∑

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

n

i

i

x

x

S

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅

−

+

+

−

=

−

−

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

S

S

x

x

t

Obie pr

Obie pr

ó

ó

by du

by du

ż

ż

e

e

Przynajmniej jedna pr

Przynajmniej jedna pr

ó

ó

ba ma

ba ma

ł

ł

a

a

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

t

t

α

α

(

(

α

α

; n

; n

-

-

2

2

)

)

lub

lub

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

lub

lub

t<

t<

t

t

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u>

u>

u

u

α

α

lub

lub

t>

t>

t

t

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WARTO

CI DLA WARTO

Ś

Ś

CI

CI

Ś

Ś

REDNIEJ

REDNIEJ

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

m

m

1

1

=

=

m

m

0

0

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

m

m

1

1

≠

≠

m

m

0

0

lub

lub

m

m

1

1

>

>

m

m

0

0

lub

lub

m

m

1

1

<

<

m

m

0

0

n

m

x

u

⋅

−

=

σ

0

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

Pr

Pr

ó

ó

ba du

ba du

ż

ż

a

a

Pr

Pr

ó

ó

ba ma

ba ma

ł

ł

a

a

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

t

t

α

α

(

(

α

α

; n

; n

-

-

1

1

)

)

lub

lub

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

lub

lub

t<

t<

t

t

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u>

u>

u

u

α

α

lub

lub

t>

t>

t

t

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

n

s

m

x

t

⋅

−

=

0

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA DW

CI DLA DW

Ó

Ó

CH WARIANCJI

CH WARIANCJI

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

σ

σ

1

1

=

=

σ

σ

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

σ

σ

1

1

≠

≠

σ

σ

2

2

;

;

σ

σ

1

1

>

>

σ

σ

2

2

;

;

σ

σ

1

1

<

<

σ

σ

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

F

F

α

α

(

(

α

α

; n

; n

1

1

; n

; n

2

2

)

)

z rozk

z rozk

ł

ł

adu

adu

Snedecora

Snedecora

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

F

F

<

<

F

F

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

F

F

>

>

F

F

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

2

2

2

1

s

s

F

=

2

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WARIANCJI (n<50)

CI DLA WARIANCJI (n<50)

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

>

>

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

<

<

σ

σ

0

0

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

X

X

α

α

(

(

α

α

/2

/2

;

;

n

n

-

-

1

1

)

)

z rozk

z rozk

ł

ł

adu

adu

Chi

Chi

-

-

kwadrat

kwadrat

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

X

X

2

2

<

<

X

X

α

α

2

2

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

X

X

2

2

>

>

X

X

α

α

2

2

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

2

0

2

2

σ

χ

S

n

⋅

=

TABLICE

TABLICE

STATYSTYCZNE

STATYSTYCZNE

(3)

(3)

Rozkład Chi-

kwadrat

c

2

=Χ

2

(1-α/2; n-1)

c

1

=Χ

2

(α/2; n-1)

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WARIANCJI (n>50)

CI DLA WARIANCJI (n>50)

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

>

>

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

<

<

σ

σ

0

0

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

z rozk

z rozk

ł

ł

adu

adu

Normalnego standaryzowanego

Normalnego standaryzowanego

N[0,1]

N[0,1]

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u

u

>

>

u

u

α

α

2

2

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

3

2

2

2

0

2

−

−

⋅

=

n

S

n

u

σ

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WARIANCJI (n>100)

CI DLA WARIANCJI (n>100)

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

σ

σ

2

2

=

=

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

>

>

σ

σ

0

0

2

2

;

;

σ

σ

2

2

<

<

σ

σ

0

0

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

z rozk

z rozk

ł

ł

adu

adu

Normalnego standaryzowanego

Normalnego standaryzowanego

N[0,1]

N[0,1]

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u

u

>

>

u

u

α

α

2

2

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

2

2

2

2

n

S

u

σ

σ

−

=

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA DW

CI DLA DW

Ó

Ó

CH

CH

WSKA

WSKA

Ź

Ź

NIK

NIK

Ó

Ó

W STRUKTURY

W STRUKTURY

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

p

p

1

1

=

=

p

p

2

2

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

p

p

1

1

≠

≠

p

p

2

2

lub

lub

p

p

1

1

>

>

p

p

2

2

lub

lub

p

p

1

1

<

<

p

p

2

2

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

Obie pr

Obie pr

ó

ó

by du

by du

ż

ż

e

e

Przynajmniej jedna pr

Przynajmniej jedna pr

ó

ó

ba ma

ba ma

ł

ł

a

a

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u>

u>

u

u

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

2

1

2

1

2

2

1

1

arcsin

2

arcsin

2

n

n

n

n

n

m

n

m

u

+

⋅

⋅

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⋅

−

⋅

=

2

1

2

1

2

1

)

(

)

1

(

n

n

n

n

p

p

p

p

u

⋅

+

⋅

−

⋅

−

=

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WSKA

CI DLA WSKA

Ź

Ź

NIKA

NIKA

STRUKTURY (n<100)

STRUKTURY (n<100)

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

p

p

=

=

p

p

0

0

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

p

p

≠

≠

p

p

0

0

lub

lub

p

p

>

>

p

p

0

0

lub

lub

p

p

<

<

p

p

0

0

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u>

u>

u

u

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

(

)

n

p

p

u

0

arcsin

2

arcsin

2

−

=

3

TEST ISTOTNO

TEST ISTOTNO

Ś

Ś

CI DLA WSKA

CI DLA WSKA

Ź

Ź

NIKA

NIKA

STRUKTURY (n>100)

STRUKTURY (n>100)

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

Hipoteza zerowa (sprawdzana):

p

p

=

=

p

p

0

0

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

p

p

≠

≠

p

p

0

0

lub

lub

p

p

>

>

p

p

0

0

lub

lub

p

p

<

<

p

p

0

0

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

u

u

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u<

u<

u

u

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

u>

u>

u

u

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

(

)

n

p

p

p

p

u

0

0

0

1

−

−

=

TEST JEDNORODNO

TEST JEDNORODNO

Ś

Ś

CI DO ELIMINACJI

CI DO ELIMINACJI

B

B

ŁĘ

ŁĘ

D

D

Ó

Ó

W GRUBYCH

W GRUBYCH

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerowa

Hipoteza zerowa

:

:

pr

pr

ó

ó

ba jest jednorodna

ba jest jednorodna

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

:

:

pr

pr

ó

ó

ba nie jest jednorodna

ba nie jest jednorodna

1

1

2

x

x

x

x

B

n

−

−

=

‰

‰

Statystyki testu (dane u

Statystyki testu (dane u

ł

ł

o

o

ż

ż

one rosn

one rosn

ą

ą

co):

co):

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

B

B

α

α

(

(

α

α

)

)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

B

B

<

<

B

B

α

α

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

B

B

>

>

B

B

α

α

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

1

1

x

x

x

x

B

n

n

n

−

−

=

−

TEST JEDNORODNO

TEST JEDNORODNO

Ś

Ś

CI DO ELIMINACJI

CI DO ELIMINACJI

B

B

ŁĘ

ŁĘ

D

D

Ó

Ó

W GRUBYCH

W GRUBYCH

‰

‰

Warto

Warto

ś

ś

ci krytyczne

ci krytyczne

:

:

Liczebność próby

Poziom

istotności α

3 4 5 6 7 8 10 12 15 20 30

0,05

0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,41 0,38 0,34 0,30 0,28

0,10

0,89 0,68 0,56 0,48 0,43 0,40 0,35 0,32 0,28 0,25 0,22

TEST ZGODNO

TEST ZGODNO

Ś

Ś

CI CHI

CI CHI

-

-

KWADRAT

KWADRAT

‰

‰

Hipotezy statystyczne:

Hipotezy statystyczne:

¾

¾

Hipoteza zerow

Hipoteza zerow

a: badany

a: badany

rozk

rozk

ł

ł

ad jest zgodny z rozk

ad jest zgodny z rozk

ł

ł

adem

adem

Normalnym

Normalnym

¾

¾

Hipoteza alternatywna

Hipoteza alternatywna

: badany

: badany

rozk

rozk

ł

ł

ad NIE JEST zgodny z

ad NIE JEST zgodny z

rozk

rozk

ł

ł

adem Normalnym

adem Normalnym

‰

‰

Statystyka testu:

Statystyka testu:

‰

‰

Por

Por

ó

ó

wnanie statystyki testu z

wnanie statystyki testu z

X

X

α

α

(

(

α

α

;

;

r

r

-

-

l

l

-

-

1

1

)

)

z rozk

z rozk

ł

ł

adu

adu

Chi

Chi

-

-

kwadrat

kwadrat

(l

(l

–

–

liczba parametr

liczba parametr

ó

ó

w r. hipotetycznego)

w r. hipotetycznego)

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

X

X

2

2

<

<

X

X

α

α

2

2

–

–

brak podstaw do odrzucenia H

brak podstaw do odrzucenia H

0

0

¾

¾

je

je

ś

ś

li

li

X

X

2

2

>

>

X

X

α

α

2

2

–

–

podstawa do odrzucenia H

podstawa do odrzucenia H

0

0

(

)

∑

=

⋅

⋅

−

=

r

j

j

j

j

p

n

p

n

n

1

2

2

χ

TABLICE

TABLICE

STATYSTYCZNE

STATYSTYCZNE

Rozkład Chi-

kwadrat

Χ

2

(α; r-l-1)

POR

POR

Ó

Ó

WNANIE WA

WNANIE WA

Ż

Ż

NO

NO

Ś

Ś

CI CECH

CI CECH

O CHARAKTERZE JAKO

O CHARAKTERZE JAKO

Ś

Ś

CIOWYM

CIOWYM

‰

‰

Wsp

Wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik korelacji rang Spearmana :

czynnik korelacji rang Spearmana :

)

1

(

)

(

6

1

2

1

2

−

⋅

−

⋅

−

=

∑

=

n

n

Y

X

r

n

i

i

i

s

4

POR

POR

Ó

Ó

WNANIE PREFERENCJI PASA

WNANIE PREFERENCJI PASA

Ż

Ż

ER

ER

Ó

Ó

W

W

KOMUNIKACJI MIEJSKIEJ W KRAKOWIE

KOMUNIKACJI MIEJSKIEJ W KRAKOWIE

‰

‰

r

r

s

s

= 0,92

= 0,92

Autobusy

Autobusy

10

10

8

8

9

9

6

6

5

5

4

4

7

7

3

3

2

2

1

1

Ranga

Ranga

Tramwaje

Tramwaje

Ranga

Ranga

Kryterium

Kryterium

oceny jako

oceny jako

ś

ś

ci

ci

funkcjonowania komunikacji miejskiej

funkcjonowania komunikacji miejskiej

10

10

Informacja dla pasa

Informacja dla pasa

ż

ż

era

era

9

9

Niezmienno

Niezmienno

ść

ść

czasu przejazdu

czasu przejazdu

8

8

Komfort podr

Komfort podr

ó

ó

ż

ż

y

y

7

7

Bezprzesiadkowo

Bezprzesiadkowo

ść

ść

6

6

Koszt przejazdu

Koszt przejazdu

5

5

Bezpiecze

Bezpiecze

ń

ń

stwo osobiste pasa

stwo osobiste pasa

ż

ż

er

er

ó

ó

w

w

4

4

Regularno

Regularno

ść

ść

3

3

Czas podr

Czas podr

ó

ó

ż

ż

y

y

2

2

Cz

Cz

ę

ę

stotliwo

stotliwo

ść

ść

1

1

Punktualno

Punktualno

ść

ść