Tytułoryginału

COSMICNUMBERS

TheNumbersThatDefineOurUniverse
Copyright©2011byJamesD.SteinPublishedbyBasicBooks,AMemberofthePerseusBooksGroup
Allrightsreserved

Projektokładki
PrószyńskiMedia

Ilustracjanaokładce©EastNews

Redaktorserii
AdrianMarkowski

Redakcja
AnnaKaniewska

Korekta
BronisławaDziedzic-Wesołowska
ISBN978-83-7961-546-9

Warszawa2013

Wydawca
PrószyńskiMediaSp.zo.o.
02-697Warszawa,ul.Rzymowskiego28

www.proszynski.pl

DlaBillaBade’a

zwyrazamiwielkiejwdzięcznościzapomoc

PRZEDMOWA

Podczaspisaniatejksiążkidoświadczyłemczegośzupełnienowego.

Napisałem już wcześniej kilka książek, jednak nie jestem wystarczająco uznanym autorem, który po

prostuprzynositekstiodrazucenionywydawcachcegowprowadzićnarynek.Jakwiększośćprzyszłych
autorów muszę najpierw napisać konspekt, na który składa się zarys książki, określenie potencjalnego
odbiorcyikilkaprzykładowychrozdziałów.Następniemójagentprzesyłakonspektróżnymwydawcomi
–jeślimamszczęście–jedenznichproponujewydanieksiążki.

Liczbyfascynowałymnieodzawszeinagledotarłodomnie,żehistoriaodkrycialiczb,którestanowią

sednotejksiążki–kosmicznych–mogłabystanowićmateriałfascynującejksiążki.Bardzoniewielejest
nowychpomysłówpodsłońcem,anatenwpadłojużkilkuinnychautorów.MartinReesnapisałksiążkę
zatytułowanąTylkosześćliczb(zktórychkilkatutajprzedstawiam)opisującąsześćliczb,którewedług
niegoleżąupodstawkosmologii.Istniejąjednakinneliczby,któremoimzdaniemrównieżzasługująna
opowiedzenie ich historii. Dlatego przygotowałem zarys książki, a także wprowadzenie i przykładowy
rozdziałozerzebezwzględnym.KumojejwielkiejradościzdecydowałsięjąopublikowaćBasicBooks,
czołowywydawcaksiążeknaukowych,anawspółpracęzgodziłsięT.J.Kelleher,októrymwiedziałem,
żejestświetnymredaktorem,ponieważpracowałemznimjużwcześniejprzytomieHowMathExplains
theWorld(Jakmatematykatłumaczyświat).

Wiedziałem, że T.J. to wybitny redaktor, ponieważ – jest to jedna z wielu przyczyn – kiedy

pracowaliśmy nad poprzednią książką, wiele czasu poświęcił na ustawianie kolejności rozdziałów.
Dziękitemuksiążkęlepiejsięczyta;jegowybórniepokrywałsięzmoim,jednakniezaprzeczalnieokazał
sięlepszy.Niesądziłem,żeorganizacjarozdziałówbędziepodobnymproblememprzytejksiążce,gdyż
kosmiczne liczby, które tu omawiam, należą do trzech dziedzin nauk fizycznych: fizyki, chemii i
astronomii.Początkowowyobrażałemsobieksiążkęuporządkowanąwedługtychdziedzinirozpocząłem
pracęnadoczywistympierwszymrozdziałem–ostałejgrawitacyjnej.

Proces pisania był niezwykły, ponieważ wydawało się, że każdy rozdział zapowiada następny i że

niejako układają się one same w kolejności, zgodnie z historycznym rozwojem nauki, a nie przez
grupowanierozdziałówna podstawiedyscyplinynaukowej. Pokilkurozdziałach zdałemsobiesprawę,
żepisałemzaryshistoriinaukipopartyprzykładamiliczbowymi,którezdecydowałemsięwykorzystać.W
żadnym wypadku nie jest to kompletna historia nauki; nauki przyrodnicze nie zostały uwzględnione, a
rozwój wydarzeń zatrzymuje się gdzieś w połowie XX wieku. Niemniej jednak jeżeli wręczycie tę
książkę komuś, kto zupełnie nie zna się na naukach ścisłych (niestety dotyczy to ogromnej części
amerykańskiegospołeczeństwa),topozakończeniulekturybędziecałkiemnieźleorientowaćsięwtym,
cowydarzyłosięwwiększościnaukfizycznych.Tohistoriaopowiedzianaprzezliczby–chociażniew
konwencjonalnymtegosłowaznaczeniu.

Podczas pisania książki zdarzyło się jeszcze kilka rzeczy, o których warto wspomnieć. W trakcie

czytanialekturdodatkowych,czegotapracaodemniewymagała,miałemokazjępoznaćbiografiekilku
naukowców, których wkład opisuję. Nie wiem, co zaimponowało mi bardziej – wysokiej jakości
pisarstwo czy osiągnięcia naukowe zaprezentowane dzięki skrupulatnemu zbieraniu informacji na temat

tych osób. Kilka tych książek wymieniłem w przypisach, ale te, które wywarły na mnie największe
wrażenie, to The Master of Light (Mistrz światła), niezwykle szczegółowa opowieść o Albercie
Michelsonie(napisanaprzezjegocórkę);krótka,leczzdumiewającaLudwigBoltzmann(napisanaprzez
Engleberta Brodę), książka, która sprawia, że marzy ci się możliwość spędzenia choćby godziny w
towarzystwie tego wielkiego uczonego; i Chandra (autorstwa Kameshwara Waliego), opis profesora,
który wzbudzał podziw – i do pewnego stopnia przerażenie – studentów, ale który był powszechnie
podziwianyiuwielbianyprzezswoichkolegów.

Znaczącyudziałwpowstaniutejksiążkimiałyczteryosoby.PrzedewszystkimT.J.Kelleherredaguje

jakniktinny.Nawetkiedyusuwałmojeulubionefragmenty,toprawiezawszezpełnymuzasadnieniem,a
dzięki temu książka jest znacznie lepsza. W pierwszym rozdziale zauważyłem również różnicę między
stylemT.J.amoim,alepojegopoprawkach,kiedyprzeczytałemtenrozdział,niemalwydawałomisię,
żesamgowcałościnapisałem!Niemampojęcia,jakontorobi;japotrafiępisaćtylkoswoimstylem–i
podejrzewam,żecizautorów,którzywspółpracowalizT.J.,moglibypoświadczyćtęjegoumiejętność.
Pomocny jest taki redaktor, który nie tylko zauważa błędy w twojej prezentacji, ale kiedy je naprawia,
wydajesię,jakbyśtynapisałtentekst.WreszcieT.J.uwielbianaukęimatematykę,corzadkozdarzasię
ludziomniebędącymnaukowcamilubmatematykami.Spotkałemwżyciujeszczetylkojednątakąosobę–
ibyłniąmójojciec,przypadkoworównieżabsolwentHarvardu,takjakT.J.

Moją karierę pisarską zawdzięczam agentce Jodie Rhodes. Dla autorów nastały ciężkie czasy,

ponieważ wydawcy zwykle niechętnie podejmują ryzyko i wyobrażam sobie, jak trudno jest agentom
spotykać się z odmową, wciąż z zapałem trwać przy swoich autorach i walczyć o ich prawa, gdy
niełatwojestcośsprzedać.Cóż,mógłbytobyćproblemdlainnychagentów,aleJodiewstawiałasięza
mnąiwalczyłaomniebezprzerwy.Chociażsądzę,żejestemznośnymautorem,ważnejest,żebyznaleźć
redaktora i wydawcę, którzy podzielają ten pogląd, a Jodie ma rozległe doświadczenie i dzięki niemu
dopasowałamiredaktoraiwydawcę,którzydocenilimójwysiłek.Byćmożeinniagencirównieżbytego
dokonali–jednakwątpięiniemampojęcia,cozrobię,kiedyonaprzejdzienaemeryturę.

Trzecią osobą jest jeden z najbardziej niezwykłych studentów, których miałem przyjemność uczyć. W

latach osiemdziesiątych XX wieku Dave McKay zapisał się na zajęcia z analizy matematycznej, które
prowadziłem. Od tamtej pory uznaję Dave’a za przyjaciela i kolegę po fachu, a książka ta ogromnie
skorzystała na fakcie, że Dave, nauczyciel akademicki na Uniwersytecie Stanowym Kalifornii w Long
Beach, stał się nie tylko niezwykle doświadczonym wykładowcą matematyki, ale równie wytrawnym
wykładowcą fizyki. Zawsze uwielbiałem fizykę, ale jako osoba, która podziwia obiekt zamiłowania z
oddali, nigdy bowiem nie pojąłem wielkich idei fizyki z taką samą przejrzystością, z jaką zrozumiałem
niektórezwielkichideimatematyki.Dave’owisiętoudało–ponieważchętniepoświęciłdwadzieścia
pięć lat na studiowanie fizyki z zamiarem zrozumienia jej w taki sposób, w jaki matematycy pojmują
matematykę.

Czytelnicy tej książki zauważą dużą liczbę obliczeń, ponieważ książka jest nie tylko o kosmicznych

liczbach, które opisują nasz Wszechświat, ale również o liczbach samych w sobie – uniwersalnym
języku, jak nazwał matematykę Galileusz. Większość obliczeń w tej książce wymaga co najwyżej
elementarnejwiedzyzalgebry,geometriiibyćmożetroszkętrygonometrii,alezazwyczajupodstawtych
obliczeń leży teoria fizyczna. Uzasadnienia teorii fizycznej leżą poza zakresem tej książki, jednak
większość tekstów wprowadzających do fizyki zawiera wszystkie równania i wzory, które
wykorzystałem.

I ostatnia – ale nie mniej ważna – jest moja żona Linda. Nie przepadam za piosenką You Are the

SunshineofMyLife(Jesteśsłońcemmegożycia)–melodianieporywa,asłowasątrochęckliwe–ale
jestonadobrymopisemLindy.Niepiszeksiążek,alerobirzeczy,któresprawiają,żemniejestłatwiejje

pisać. Niektórzy ludzie narzekają, że matematyka sprawia, iż lasuje im się mózg, na mnie tak samo
działają umowy – nie potrafię przeczytać więcej niż akapit, a Linda wytrwale bierze je pod lupę.
Oczywiścietododatkowazaletasłońcamegożycia.

Kiedytaksiążkasięukaże,będęmiałsiedemdziesiątlatitaknaprawdężałujętylkodwóchrzeczy,obie

dotycząmoichrodziców.NigdyniemieliokazjiprzeczytaćżadnejzmoichksiążekaniniepoznaliLindy.
Sądzę,żeobadoświadczeniabysięimspodobały.

ROZDZIAŁ1

STAŁAGRAWITACJI

NiejestemwstaniewpełniwyobrazićsobieżyciawXVIIwieku,naktóryprzypadławiększośćżywota
Izaaka Newtona. Był to bardziej świat alchemii niż chemii, świat pozbawiony wielu rzeczy, które
sprawiają,żeżyciejestznośne(przynajmniejdlamnie):papierutoaletowego,pastydozębów,telefonów
czytelewizji.Jednocześniebyłtoświatksiążekigazet,listówidzienników(siedemnastowiecznawersja
bloga) i dzięki temu wiemy o Izaaku Newtonie niemal tyle, ile wiedzielibyśmy, gdyby poruszał się z
urządzeniem do namierzania GPS przypiętym do kostki – przy założeniu, że urządzenie to zostało
przymocowaneokoło1664roku.

Newtonurodziłsięw1642roku,coniepozwalaodtworzyćwpełnijegobiografii.Napodstawietego,

co wiemy, jasne wydaje się, że w przeciwieństwie do takich wyjątkowych talentów jak Mozart czy
matematyk Carl Friedrich Gauss w młodości nie dokonał niczego, co zapowiadałoby jego przyszłą
wielkość. Wiemy, że jego matka chciała, żeby został rolnikiem. Na szczęście dla nas Newton nie
wykazywał żadnego zainteresowania rolnictwem, jednak przekonanie jego matki, by posłała Izaaka do
TrinityCollegewCambridge,wymagałowspólnegowysiłkuwujaorazdyrektoraszkoły(którywydawał
sięjedynąosobądostrzegającąmożliwościNewtona).Przyszłyuczonyrozpocząłnaukęw„rezerwowej
szkole”w1661roku.ByłtojedenznajbardziejudanychplanówBwhistorii.

Początkowe lata Newtona na uczelni nie są dobrze udokumentowane ani przez niego, ani przez jego

rówieśników. W jego dzienniku znajdują się zapisy o wydarzeniach przypuszczalnie najważniejszych
(„Dwarazywtawernie”)imniejważnych(„Podwójnaporażkawkarty”),niemajednakcieniatalentu,
którymiałsięwyłonić.Wszystkozaczęłosięw1664roku,kiedyzanotowałw„Książceznieużytecznymi
zapiskami”,żerozpoczynapoważnąnaukęmatematyki.WcześniejmatematycznawiedzaNewtonabyłana
poziomie współczesnej drugiej klasy szkoły średniej; wygląda na to, że znał się na arytmetyce, jednak
jegowiedzanatematalgebry,geometriiitrygonometriiniebyłabywystarczająca,byuzyskaćimponujący
wyniknamaturze.Zmobilizowałsięikupowałlubpożyczałnajnowocześniejszewowymczasieksiążki
matematyczne,dziękiczemubyłnabieżąco.ZClavismathematicae

(Kluczadomatematyki)Oughtreda

poznał moc i szerokie zastosowanie algebry – co doprowadzi do odkrycia dwumianu Newtona. Dzięki
Opera mathematica

(Pracom matematycznym) zgłębił temat, który w przyszłości stanie się jego

popisowym matematycznym osiągnięciem – odkrycie rachunku różniczkowego i całkowego. Aby
skorygować swoje braki w zakresie geometrii, Newton opierał się na dokonanym przez Schootena
łacińskimtłumaczeniuGéométrie

(Geometrii)Kartezjusza.

Newton otrzymałby licencjat w roku 1665, roku ostatniego wielkiego wybuchu zarazy morowej w

Anglii. Epidemia rozprzestrzeniała się w zatłoczonych i niehigienicznych warunkach – i na szczęście
zdawano sobie sprawę z tego, więc dwór króla Karola II wyjechał z Londynu do Oxfordshire, a

uniwersytet w Cambridge zamknięto. Izaak Newton postanowił powrócić do domu rodzinnego w
Woolsthorpeinastępnepółtorarokuspędziłnad„rozmyślaniemomatematyceifilozofii”

.Wtensposób

zbudowałświatnanowo.

Rozwójteoriigrawitacji

Chociaż wkład Newtona w matematykę był fundamentalny, najlepiej pamięta się jego dokonania w

dziedziniefizykiorazpostępwnauce,któryzawdzięczamyjegoodkryciom.Ogromnieprzyczyniłsiędo
rozwoju optyki, jednak to dzięki pracom z mechaniki i grawitacji, a ponadto naukowemu podejściu do
teoriiiprzeprowadzaniadoświadczeń,darzonyjesttakwielkimszacunkiem.

Ogłoszenie nowej teorii naukowej prawie nigdy nie jest łatwe. Innowatorzy tacy jak Newton nie

martwiąsięnaogółtym,czyprzedstawianymateriałbędziezrozumiałydlamożliwienajwiększejliczby
odbiorców; bardziej interesuje ich, czy zostanie zaakceptowany przez innych specjalistów i następnie
rozwijany. Tak właśnie było z Newtonowskimi Philosophiae naturalis principia mathematica

(Matematycznymi zasadami filozofii przyrody, nazywanymi zwykle Principiami); przeglądałem je od
czasudoczasuizdecydowałem,żeprzeczytamtęksięgę,kiedyprzejdęnaemeryturę(dodająctodolisty
wciążniedotrzymanychpostanowień).StylPrincipiówNewtona przypomina typowy tekst z geometrii –
aksjomaty, twierdzenia, lematy, dowody – a wiele zawartych w nich wniosków ma w rzeczywistości
charakter geometryczny. Nie jest to zaskakujące, ponieważ jednym z kluczowych osiągnięć pracy, która
poczęściopisujeNewtonowskąteorięgrawitacji,byłowyjaśnienietrzechprawruchuKeplera,któresą
geometryczne. Pierwsze prawo Keplera mówi, że planety poruszają się wokół Słońca po elipsach, a
Słońceznajdujesięwjednymzogniskelipsy.Drugieprawomówi,żewyobrażonaliniapociągniętaod
środka Słońca do środka planety będzie zakreślać takie same powierzchnie w takich samych odstępach
czasu. A trzecie prawo mówi, że stosunek kwadratów okresów dwóch dowolnych planet równy jest
stosunkowisześcianówichśredniejodległościodSłońca.

Prawateniesątylkospostrzeżeniemgenialnegogeometryopierającegosięnakilkuzałożeniach,mają

takżeempirycznycharakter–sąwynikiemtrwającegocałeżyciegromadzeniadanychidopasowywania
modeli opartych na obserwacjach drobiazgowo zbieranych przez Tychona Brahego, ekscentrycznego
duńskiegoarystokratęzainteresowanegoastronomią.BrahebyłpodwrażeniempracKepleraizaprosiłgo
w okolice Pragi, gdzie budował nowe obserwatorium. Kepler zostanie intelektualnym spadkobiercą
Brahego.

W owym czasie rewolucja kopernikańska nabierała impetu, a Keplerowi udało się dopasować

doskonałe dane obserwacyjne Brahego do kopernikańskiego modelu Układu Słonecznego, w którym
planety poruszają się wokół Słońca po okręgach. Początkowy model orbit planet Keplera zawierał
dodatkowąwskazówkę,gdyżKeplersądził,żeorbityodpowiadajągeometrycznymwłasnościompięciu
wielościanów foremnych Platona – czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu i
dwudziestościanuzodpowiednioczterema,sześcioma,ośmioma,dwunastomaidwudziestomaścianami.

W każdym razie Kepler starał się dopasować dostępne mu dane do okręgów. Na szczęście Brahe

właśniewykonałobserwacjeMarsazbardzodużądokładnością–orbitaplanetyznaczącoodbiegałaod
okręgu.GdybyBrahewłaśniezakończyłobserwacjeWenus,którejorbitajestniemalidealniekolista,nie
wiadomokiedy–aniczywogóle–Keplerbyłbywstaniedojśćdoswojegopierwszegoprawa.

Odkrycie przez Keplera pierwszego prawa stanowi świadectwo jego prawdziwej dyscypliny

intelektualnej, a odkrycie drugiego i trzeciego – ogromnych matematycznych umiejętności. Znalezienie

powierzchni wycinków elipsy potrzebnych do sformułowania drugiego prawa jest zadaniem leżącym
znacznie poza podstawową geometrią euklidesową, a rozpoznanie zależności potęgowej właściwej dla
trzeciegoprawatakżewymagasporejzręcznościmatematycznej.NiemniejjednakKeplerspędziłlatanad
formułowaniem i sprawdzaniem drugiego i trzeciego prawa. W tym czasie był nękany przez liczne
problemy osobiste i polityczne – z powodu choroby stracił obie żony i ukochanego syna, a odmowa
przejścia na katolicyzm ograniczyła mu liczbę potencjalnych pracodawców. Oprócz tego wszystkiego
musiałzapewnićprawnąobronęmatce,kiedyzostałaoskarżonaoczary,zarzuttenwowychczasachbył
karanyśmierciąwtorturach.Oskarżenieopartebyłojedynienaplotce,jednak–coniedziwi,ponieważ
nieudałosięznaleźćzbytwielupoświadczonychprzypadkówczarówaniwtedy,anidziś–Keplerowi
udałosiędoprowadzićdojejuniewinnienia.

DokonaniaKepleraznawiązkąusprawiedliwiałyjegoepitafium:
„Wymierzałemniebiosa,terazmierzyćbędęcienieziemi.
Duszanależaładoniebios,cieńciałatuleży”

Kwestiaprędkości

BezpośredniminieilościowymwnioskiemzpierwszegoidrugiegoprawaKeplerajestto,żeplanetyw
różnych miejscach orbity poruszają się z różnymi prędkościami. Elipsa to rozciągnięty okrąg,
przypominającyzprofilubalon,odwóchosiachsymetrii,długiejikrótkiej.Jeżelielipsa,októrejmowa,
jestorbitąplanety,toSłońceznajdowaćsiębędzienadługiejosibliskoelipsy.Wyobraźmysobieteraz,
że planeta pokonuje małą odległość z punktu koło Słońca tuż nad długą osią do punktu koło Słońca tuż
pod długą osią. Możemy oszacować powierzchnię, jaką zakreśli planeta przez powierzchnię trójkąta
równoramiennego (chociaż tor planety jest zakrzywiony, przy małych odległościach rozsądnie jest
traktowaćgojaklinięprostąprostopadłądodługiejosi).WysokośćtrójkątatoodległośćodSłońcado
elipsy wzdłuż długiej osi; jest ona mniejsza od połowy długiej osi, ponieważ ustawiliśmy Słońce na
długiejosibliskoelipsy.Oczywistejest,żejeżeliplanetaporuszasięcałyczasztakąsamąprędkością,
to będzie przemierzać na swoim torze tę samą odległość, kiedy znajduje się blisko Słońca czy w
symetrycznympołożeniunaorbiciedalekoodSłońca.Załóżmy,żeplanetazawszeporuszasięztąsamą
prędkością.JeżelipokonujeonatęsamąmałąodległośćzpunktuzdalaodSłońcatużnaddługąosiądo
punktuzdalaodSłońcatużpoddługąosią,topowierzchnia,jakązakreśla,możeznowu,zgodniezdrugim
prawem Keplera, być przybliżona do trójkąta o długości podstawy takiej samej jak w trójkącie blisko
Słońca.Jednaktymrazemwysokośćtrójkąta–odległośćodSłońcadoelipsywzdłużdługiejosi–jest
większaodpołowydługiejosi,azatemowedwatrójkątymająróżnepolapowierzchni.Jeżelipierwszei
drugieprawoKeplerasąprawdziwe,toplanetaniemożeporuszaćsięztakąsamąprędkością,kiedyjest
bliskoSłońcaikiedyjestodniegodaleko.

Dlawyjaśnienia,jaktosiędzieje,nieocenionabędziepracaNewtonanatematrachunkuróżniczkowego

i całkowego. Jednym z najistotniejszych spostrzeżeń, na które pozwala ten rachunek, jest sposób
zdefiniowania stale zmieniających się wartości – takich jak prędkość planety lub samochodu – w
dowolnym czasie. Wyobraźmy sobie na przykład, że pewnego popołudnia przejechałem samochodem z
Los Angeles do San Diego, odległość około 195 kilometrów, w ciągu trzech godzin. Prosta arytmetyka
mówi mi, że średnia prędkość tej podróży wynosiła 65 kilometrów na godzinę, jednak nie mówi, jak
szybkoprzejechałemprzezotwartyodcinekdrogitużprzedskrzyżowaniemautostradmiędzystanowych,
albo jak wolno jechałem w korku niedaleko Mission Viejo. Aby określić, jak szybko mój samochód

poruszałsięogodzinieczternastej,muszęspojrzećnazbiórjegośrednichprędkościwcorazkrótszych
odcinkach czasu w tych konkretnych godzinach. Średnia prędkość samochodu obliczona w przedziale
czasu równym jednej sekundzie jest lepszym oszacowaniem jego rzeczywistej prędkości na początku
przedziałuczasuniżśredniaprędkośćobliczonawprzedzialeczasurównymjednejminucie–ponieważ
samochódmawięcejczasunazmianęprędkościwciąguminutyniżwciągusekundy.Gdybyśmychcieli
zmierzyć średnią prędkość w jeszcze krótszym odcinku czasu – powiedzmy w ciągu 0,001 sekundy –
byłaby ona niezwykle bliska prawdziwej prędkości samochodu na początku tego przedziału, przy
założeniuoczywiście,żewciągutej0,001sekundyniewjechałemwżadnąciężarówkę.

Principia Newtona pokazują nie tylko to, ale przedstawiają również metodę obliczania chwilowych

prędkościwdowolnymczasiezapomocąrachunku,któregostudencianalizymatematycznejucząsięjako
metodyilorazuróżnicowego,aktórapoleganaobliczeniugranicyśrednichwartości.Newtonprzewiduje
równieżproblemy,jakienapotykająstudenci.

[...] wolałem oprzeć dowody tego, co następuje, na pojęciu granicy sum wielkości nieskończenie
małych i granicy stosunków wielkości nieskończenie małych, i przedstawić dowody dotyczące tych
granic na samym początku tak krótkie, jak tylko to możliwe. Ponieważ zasady otrzymane metodą
niepodzielnych zostały ściśle udowodnione, stoimy teraz na bardziej bezpiecznym gruncie, gdy ich
używamy. Zgodnie z tym zawsze, gdy rozważam wielkości jako składające się z cząstek lub kiedy
używam małych elementów krzywej linii zamiast prostych odcinków, nie będę miał na myśli
wielkości „niepodzielnych”, lecz nieskończenie małe podzielne wielkości, nie sumy ani stosunki
skończonychczęści,leczzawszegranicesumistosunków,takiżsiładowodówbędziezawszeoparta
nametodziewyłożonejwpowyższychlematach

Całkiem nieźle znam się na rachunku różniczkowym i całkowym, jednak przebrnięcie przez

wytłumaczenieNewtonawpoprzednimakapicieniejestdlamniełatweiwydajemisię,żedlastudentaz
XXIwiekunauczeniesięztejksiążkiowegorachunkuczyteoriigrawitacjimożebyćprawieniemożliwe.

WielkieGimałeg

Istotę pracy Newtona na temat grawitacji stanowią dwie stałe: uniwersalna stała G opisana w
PrincipiachilokalneprzyspieszeniegnapowierzchniZiemibędącewynikiemsiłygrawitacji.Małeg,
jak się je zwykle nazywa, jest stosunkowo łatwe do zmierzenia, przynajmniej jeżeli jesteśmy w stanie
zadowolićsięprzybliżeniemdodwóchlubtrzechmiejscpoprzecinku–musimyjedynieznaleźćpróżnię
(żebywyeliminowaćopórpowietrza),rzucićprzedmiotizmierzyć,jakdalekospadnieijakdużoczasu
zajmuje mu upadek. To Galileusz pierwszy zdał sobie sprawę z tego, że odległość, jaką pokona
spadający przedmiot, jest proporcjonalna do kwadratu czasu, jaki zajmuje upadek, a jedną z wielu
konsekwencjiNewtonowskiegoprawagrawitacji–iprostymzadaniemnapierwszymsemestrzeanalizy
– jest pokazanie, że odległość d, jaką pokonuje obiekt w czasie t, wynosi d = ½ gt

. Dość łatwo

wyznaczono,żemałegwynosiwprzybliżeniu10metrównasekundęnasekundę.Łatwiejjestmyślećo
tym jak o „10 metrach na sekundę” – pauza – „na sekundę”; z każdą sekundą, z jaką obiekt spada pod

wpływemziemskiejgrawitacji,jegoprędkośćwzrastao10metrównasekundę.NaKsiężycuprzedmioty
spadajądużowolniej,cozademonstrowaliastronauci–nawetWiluśE.KojotmiałnaKsiężycuczas,by
wydostaćsięspodspadającegokowadła.Zatemmałegjeststałąlokalną.

WielkieGjestzkoleiuniwersalne,istniejejednak,jaksięmożnaspodziewać,międzynimizależność.

JednymzwielkichosiągnięćNewtonabyłopokazanie,żesiłagrawitacjisferydziałatak,jakbycałamasa
była skoncentrowana w jej środku. Dlatego siłę grawitacji działającą na obiekt o masie m i wywołaną
przez Ziemię (której masę oznaczać będziemy przez M,apromieńprzezR) można przedstawić na dwa
sposoby: jako F = GmM/R

zgodnie z prawem grawitacji i jako F = mg zgodnie z drugim prawem

dynamiki Newtona. Porównując te dwa wyrażenia, zauważymy, że wyraz m skraca się z obu stron
równaniaig=GM/R

.WartośćRznanabyła(wprzybliżeniu)starożytnymGrekom–leczabywyznaczyć

Gzdowolnądokładnością,niezbędnajestznajomośćwartościM,abadaniategoproblemuniepodjęto
jeszczewielelatpośmierciNewtona.

TaknaprawdęprzeznastępnedwastulecianiktnieinteresowałsięwyznaczeniemG,ponieważżadnez

interesującychwtedynaukowcówzagadnieńniewymagałoznajomościtejstałej.Większośćówczesnych
osiągnięć w astronomii – a także tych współczesnych – wymagała wykorzystania stosunków. Nic
dziwnego, równość stosunków umożliwia wiele praktycznych obliczeń i wykorzystywano to na długo
przed Principiami. Stosunki pojawiły się w arytmetyce wcześnie. (Jeżeli do porcji ciastek, którą
nakarmimy trójkę dzieci, potrzebujemy dwóch jajek, to jak wielu jajek potrzeba, aby nakarmić
dwanaścioro dzieci?) Występują znowu w geometrii, kiedy wykorzystujemy równość stosunków
odpowiadającychsobiebokówtrójkątówpodobnychdozmierzeniawysokościdrzewalubodległejgóry.
W obu wypadkach wykorzystane stosunki – arytmetyczne i geometryczne – mają ogromne praktyczne
znaczeniezarównownaukachfizycznych,jakiwżyciucodziennym.Jeżeliniepoznamywłaściwejliczby
jajek,naszeciasteczkaniebędąodpowiedniokruche.

Newton potrafił wyprowadzić trzecie prawo Keplera – stosunek kwadratów okresów jakichkolwiek

dwóchplanetrównajeststosunkowisześcianówichśredniejodległościodSłońca–zeswojegoprawa
grawitacji. Astronomowie nauczyli się następnie wykorzystać te stosunki wraz z odległością Ziemi od
Słońca(którazostałaobliczonaprzezGiovanniegoCassiniegonadekadęprzedpublikacjąPrincipiów)

okresami planet do obliczenia średniej odległości planety od Słońca. Po prostu nie ma potrzeby
znajomości stałej grawitacji – dlatego też nikt nie zawracał sobie głowy obliczaniem jej aż do czasu
eksperymentu,któryodbyłsiępodkoniecXVIIIwiekuiktóryumożliwiłnamjejpoznanie.

EksperymentCavendisha

Dostępnewpełnejwersji

WhitesideD.,SourcesandStrengthsofNewton’sEarlyMathematicalThought,W:TheAnnusMirabilisofSirIsaacNewton,1666‒

1966,red.R.Palter,Cambridge1970,MITPress,s.74.

Ibid.

GribbinJ.,TheScientists:AHistoryofScienceToldThroughtheLivesofItsGreatestInventors,NewYork2003,RandomHouse,s.

181.

NewtonI.Matematycznezasadyfilozofiiprzyrody,tłum.J.Wawrzecki,Kraków2011,KonsorcjumAkademickie.

Koupelis T., In Quest of the Universe, Sudbury 2011, Jones & Bartlett Publishers, s. 62, tłum. Kierul J., Kepler, Warszawa 2007,

PaństwowyInstytutWydawniczy,s.502.

Tłum.WawrzeckiJ.,Matematycznezasadyfilozofiiprzyrody,Kraków2011,KonsorcjumAkademickie,s.220‒221.

Uznany włoski astronom Giovanni Cassini, na cześć którego nazwano statek kosmiczny obecnie okrążający Saturna i jego księżyce, był

pierwszy, który przeprowadził dokładny pomiar odległości Ziemi od Słońca. Zastosował on tak zwaną metodę paralaksy, która
wykorzystywaładostępnewowymczasieulepszoneteleskopyiprostyfakt:jeżelizdwóchróżnychpołożeńobserwujeszbliskiobiektnatle
nieruchomegotła,obiekttennatymtleprzesuniesię(możnatozaobserwowaćpodczaspatrzenianajpierwprawymokiem,apóźniejlewym
na bliski obiekt na tle odległego horyzontu). Pomiary odpowiednich kątów i odległości między położeniami obserwacji wraz z geometrią i
trygonometriąumożliwiająobliczenieodległościdobliskiegoobiektu.Cassiniwrazzkolegąastronomemprzeprowadziłjednoczesnepomiaryz
ParyżaiGujanyFrancuskiejiotrzymałodległośćZiemiodSłońca,któraróżnisięodprzyjmowanejdzisiajwartościo1procent.