Wskazówki dla autorów referatów na4KKRRiT 2003

Adam Piątyszek
Piotr Tyczka
Instytut Elektroniki i Telekomunikacji
Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3a, 60-965 Poznań
[adam.piatyszek, tyczka]@et.put.poznan.pl

Warszawa, 16-18 czerwca 2004

WYBRANE ASPEKTY BADAŃ TRANSMISJI WIELOTONOWEJ

W PASMIE RADIOWYM O SZEROKOŚCI 25 kHz

Praca wykonana i sfinansowana w ramach grantu KBN nr 0 T00A 011 24

Streszczenie:  W  artykule  przedstawiono  częściowe  wyniki
pracy nad projektem modemu radiowego dla transmisji w
pasmie  o  szerokości  25 kHz  z  wykorzystaniem  modulacji
OFDM.  Omówiono  założenia  projektowe  dotyczące
modemu  i  wynikający  z  nich  dobór  parametrów  oraz
scharakteryzowano  wybrane  elementy  opracowanego
systemu  symulacyjnego  modemu.  Przedstawiono  również
uzyskane  wyniki  badań  symulacyjnych  nad  jakością
transmisji modemu w wybranych kanałach z zanikami.

1. WSTĘP

Projektowanie współczesnych systemów radioko-

munikacyjnych  odbywa  się  zwykle  w  ramach  kilku
następujących  po  sobie  etapów.  Pierwszym  z  nich  jest
analiza  ogólnych  założeń  tworzonego  systemu  i  dobór
odpowiednich  parametrów.  Drugim  etapem  jest  zwykle
opracowanie  modelu  symulacyjnego  projektowanego
systemu  w  celu  weryfikacji  przyjętych  założeń  realiza-
cyjnych.  Kolejny  etap  projektowania,  w  przypadku  re-
alizacji  za  pomocą  procesora  DSP  lub  układów  progra-
mowalnych,  to  opracowanie  oprogramowania  poszcze-
gólnych bloków systemu i ich weryfikacja w odpowied-
nio  przygotowanym  środowisku  testowym  z  wykorzy-
staniem  symulatora  sprzętowego  i  prób  terenowych.
Przetestowane  oprogramowanie  może  być  podstawą
implementacji modemu.

Realizowany projekt wielotonowego modemu ra-

diowego  jest  przykładem  tego  typu  zagadnienia.  Głów-
nym  celem  projektu  jest  wyznaczenie  parametrów
transmisyjnych  projektowanego  modemu  oraz  opraco-
wanie  oprogramowania  dla  procesora  sygnałowego,
który  będzie  realizował  nadajnik  i  odbiornik  tego  mo-
demu.

W artykule przedstawiono dotychczasowe rezultaty

dotyczące  pierwszych  dwóch  etapów  projektowania
modemu  radiowego.  W  punkcie  drugim przeanalizowa-
no  w  skrócie  wpływ  założeń  projektowych  na  dobór
odpowiednich technik i parametrów użytych w realizacji
systemu  symulacyjnego.  Punkt  trzeci  stanowi  opis  wy-
branych  elementów  opracowanego  modelu  symulacyj-
nego. Wyniki symulacyjne zostały przedstawione i omó-
wione  w  punkcie  czwartym  natomiast  punkt  piąty  to
krótkie podsumowanie niniejszego artykułu.

2. DOBÓR PARAMETRÓW MODEMU

Głównym założeniem realizacyjnym projektowa-

nego modemu radiowego jest zastosowanie modulacji

OFDM  (ang.  Orthogonal  Frequency  Division  Multi-
plexing). Transmisja ma się odbywać w zakresie często-
tliwości radiowych od 25 MHz do 512 MHz, przy zało-
żonej  szerokości  pasma  równej  25 kHz.  Środowisko
pracy  systemu  to  teren  otwarty  a  maksymalny  zasięg
transmisji  to  ok.  5-10 km.  W  trakcie  ustalania  parame-
trów  należało  również  uwzględnić  fakt, że maksymalna
prędkość poruszania się nadajnika względem odbiornika
może  wynosić  100 km/h.  Ponadto,  w  sprzyjających
warunkach  system  powinien  pozwalać  na  transmisję  z
przepływnością równą 64 kbit/s.

Studia literaturowe i rozważania teoretyczne wska-

zują,  że  jedno-  lub  dwudrogowy  model  kanału  z  zani-
kami Rayleigha może wystarczająco dobrze charaktery-
zować rzeczywisty kanał występujący w wyżej określo-
nych  warunkach.  W  badaniach  symulacyjnych  współ-
czynniki wagowe linii opóźniającej kanału charakteryzu-
jące każdą ze ścieżek są generowane niezależnie według
metody  opisanej  w [1].  Przyjęto,  że  opóźnienie  drugiej
ścieżki względem pierwszej wynosi 13,3 µs (dwa odstę-
py próbkowania sygnału w kanale), natomiast względne
tłumienie drugiej ścieżki jest równe 8,6 dB.

Rozważmy przypadek transmisji w kanale dwudro-

gowym. Zgodnie z [2], 50% pasmo koherencji można
wyznaczyć z następującego wzoru:

RMS

≈

(1)

W naszym przypadku otrzymujemy wartość ok. 46 kHz
(

RMS

= 4,35

µs). Ponieważ pasmo sygnału wynosi

25 kHz  można  przyjąć,  że  użyty  w  symulacjach  dwu-
drogowy  model  kanału  nie  modeluje  kanału    selektyw-
nego,  nie  jest  też  charakterystyczny  dla  kanału  o  zani-
kach typowo płaskich.

Rozważmy najbardziej niekorzystną sytuację, w

której  prędkość  poruszania  się  nadajnika  względem
odbiornika jest maksymalna a częstotliwość nośna rów-
na  jest    500 MHz.  Otrzymujemy  wtedy  maksymalną
wartość  częstotliwości  Dopplera  f

= 46 Hz. Czas kohe-

rencji kanału [2] można obliczyć ze wzoru:

≈

(2)

i wynosi on wtedy ok. 9 ms. Minimalny odstęp próbko-
wania wynikający z szerokości pasma wynoszącej
25 kHz wynosi 40

µs. W porównaniu z oszacowanym

czasem koherencji należałoby więc zastosować możliwie
krótki odstęp modulacji symboli OFDM, aby kanał moż-

można było uważać za względnie wolnozmienny.

Ze względu na wymagania dotyczące przepływno-

ści  transmisji  jest  konieczne  użycie  16  podnośnych.
Przyjęto  ponadto,  że  przedrostek  cykliczny  będzie  od-
powiadał  ¼  czasu  trwania  użytecznej  części  symbolu
OFDM czyli 4 minimalne odstępy próbkowania. Ponie-
waż odstęp ten wynosi 40

µs, to całkowity czas trwania

symbolu OFDM jest równy 800

µs. Porównując tę war-

tość z obliczonym wcześniej czasem koherencji kanału
widzimy, że kanał jest niestety szybkozmienny.

Biorąc pod uwagę charakterystykę przyjętego mo-

delu  kanału  zadecydowano  o  konieczności  użycia  pew-
nych podnośnych jako pilotów w celu estymacji kanału
w  odbiorniku.  Ostatecznie  założono,  że  13  nośnych
będzie  używanych  do  transmisji  danych  z  wykorzysta-
niem modulacji 16-QAM, dwie podnośne będą transmi-
tować  sygnały  pilotów,  natomiast  podnośna  zerowa
będzie  wyłączona  ze  względu  na  działanie  przetworni-
ków C/A i A/C.

3. OPIS SYSTEMU SYMULACYJNEGO

Schemat blokowy zaprojektowanego systemu

transmisyjnego z modulacją OFDM pokazano na rys. 1.
W celu zapewnienia wysokiej jakości transmisji, w roz-
patrywanym  systemie  zastosowano  kodowanie  kanało-
we. Jest to uzasadnione faktem, że kanał telekomunika-
cyjny,  w  którym  odbywa  się  transmisja  jest  kanałem
radiowym z zanikami. Zakłócenia występujące w kanale
radiowym  wprowadzają  często  błędy  o  charakterze
paczkowym,  co  oznacza,  że  błędy  błędy  te  są  skorelo-
wane.  Ponieważ  zdolności  korekcyjne  kodów  kanało-
wych  są  ograniczone  do  pewnej  maksymalnej  liczby
błędów  w  każdym  bloku,  pojawienie  się  zbyt  długiej
paczki  błędów  może  spowodować  niemożliwość  ich
skorygowania. Aby tego uniknąć, w systemach transmi-
sji cyfrowej stosuje się przeplot, który przez rozprosze-
nie  paczek  błędów  w  czasie  powoduje  nadanie  im  bar-
dziej przypadkowego charakteru. Z tego też względu za
układem  kodera  kanałowego  zastosowano  układ
przeplotu bitowego.

Kodowanie kanałowe realizowane jest za pomocą

kodu splotowego. Wybór parametrów kodera splotowe-
go  uzależniony  jest  przede  wszystkim  od  wymaganej
szybkości  transmisji  oraz  dopuszczalnej  złożoności
dekodera.  Podstawowymi  parametrami  podlegającymi
ustaleniu jest sprawność kodu R oraz długość pamięci ν.
W  badaniach  symulacyjnych  zastosowano  koder  o  sto-
sunkowo  niskiej  sprawności  R = 1/2,  długości  pamięci
ν = 6 i wielomianach generujących  g

= 171

, g

= 133

Kod ten jest powszechnie uznawany za standard w tele-

komunikacji [3] i znalazł zastosowanie między innymi w
naziemnym i satelitarnym segmencie systemu telewizji
cyfrowej DVB oraz w standardzie bezprzewodowej sieci
lokalnej Hiperlan/2. Układ kodera tego kodu splotowego
pokazano na rys. 2. Liczba stanów kodera wynosi
2

= 64.

wyj cie 0

wyjcie 1

wejcie

Rys. 2. Koder splotowy o parametrach: R = 1/2, v = 6,

= 171

, g

= 133

Z uwagi na prostotę realizacyjną i przesyłanie da-

nych  w  postaci  bloków  o  skończonej  długości  zastoso-
wano  układ  przeplotu  blokowego.  Układ  taki  można
przedstawić  w  postaci  macierzy  elementów  pamięci
zawierającej I wierszy oraz J kolumn. W rozpatrywanym
systemie  dane  zapisywane  są  do  macierzy  „wiersz  po
wierszu”,  a  odczytywane  „kolumna  po  kolumnie”.
Optymalny dobór wielkości i organizacji macierzy prze-
plotu  stanowił  przedmiot  badań  symulacyjnych  i  ich
wyniki zostały opisane w punkcie czwartym. W każdym
przypadku długość wiersza macierzy przeplotu stanowi-
ła wielokrotność 13 bitów odpowiadających w przypad-
ku modulacji 16-QAM ¼ symbolu OFDM. Liczba wier-
szy  wynikała  z  kolei  z  długości  wiersza  i  całkowitej
długości bloku kodowego.

Bity z wyjścia układu przeplotu podawane są na

układ  modulatora  16-QAM,  a  następnie  symbole  wyj-
ściowe danych z modulatora są multipleksowane z sym-
bolami  pilotów.  Zestaw  13  symboli  danych  i  2  pilotów
jest  podawany  na  wejście  bloku  szybkiej  odwrotnej
transformacji Fouriera (IFFT) w celu utworzenia symbo-
lu OFDM. Ze względu na konieczność interpolacji pró-
bek symbolu OFDM zdecydowano się na wykonanie tej
operacji za pomocą IFFT o niestandardowej strukturze i
rozmiarze  (N = 96).  Taki  zabieg  eliminuje  konieczność
zaprojektowania  dodatkowego  filtru  interpolującego  i
dzięki  temu  uniknięto  dodatkowych  zniekształceń  pró-
bek transmitowanych. Po interpolacji i utworzeniu sym-
bolu OFDM następuje dodanie przedrostka cyklicznego
(CP) i tak przygotowane dane są transmitowane poprzez
kanał radiowy.

Na wejściu odbiornika znajduje się układ estymacji

wstawianie

16/96

IFFT

96/16

usuwanie

pilotów

preambuł

FFT

preambuł

korektor

estymator

kanału

Viterbiego

dekoder

bitowy

rozplot

obliczanie

metryk

koder

splotowy

przeplot

bitowy

modulator

16−QAM

wstawianie

pilotów

+CP

−CP

AWGN

offsetu

korekcja

z zanikami

kanał

Rys. 1. Schemat blokowy opracowanego systemu symulacyjnego

przesunięcia  częstotliwości  (ang.  frequency  offset
estimation) i jego korekcji. W układzie tym realizowana
jest  także  synchronizacja  w  dziedzinie  czasu,  jednakże
wyniki przedstawione w punkcie czwartym zostały wy-
generowane przy założeniu idealnej synchronizacji cza-
sowej.  Następnie  usuwany  jest  przedrostek  cykliczny  a
próbki symbolu OFDM są decymowane i demodulowa-
ne za pomocą algorytmu FFT. W kolejnym kroku, układ
estymatora  kanału  wyznacza  aktualną  wartość  transmi-
tancji  kanału  dla  każdej  z  używanych  nośnych.  Wyko-
rzystuje  on  w  tym  celu  interpolację  liniową  estymat
transmitancji  kanału  obliczonych  przy pomocy znanych
symboli  pilotów.  Informacja  z  estymatora  kanału  służy
do  korekcji  odebranych  danych  w  układzie  korektora,
zgodnie z algorytmem ZF (ang. Zero Forcing).

Skorygowane przez korektor odebrane symbole

16-QAM  podlegają  następnie  przetwarzaniu  w  celu
uzyskania  na  ich  podstawie  miękkodecyzyjnych metryk
wejściowych dla dekodera Viterbiego kodu splotowego.
W celu uzyskania miękkich metryk dla poszczególnych
bitów  zawartych  w  transmitowanych  symbolach
16-QAM,  stosowana  jest  suboptymalna  metoda  przed-
stawiona w pracy [4]. Rozpatrując i-ty symbol odebrany
r

oraz j-ty bit w tym symbolu, przyrosty metryk

i,j

(k = 0, 1) dla każdego bitu b

i,j

= k obliczane są

następująco:

)

(

−

≈

(3)

gdzie y

jest skorygowanym przez korektor sygnałem

odebranym a x

i,j

i x

i,j

są sygnałami z konstelacji

modulacji  16-QAM,  które  posiadają  na  j-tej  pozycji
bloku  odwzorowanego  w  sygnał  z  tej  konstelacji,
odpowiednio,  bit  “0”  i  bit  “1”  i  są  jednocześnie
najbliższe  sygnałowi  y

w sensie kwadratu odległości

Euklidesa. Wielkość h

jest próbką odpowiedzi

impulsowej kanału, dostarczaną przez estymator kanału.

Wyznaczone na podstawie równania (3) przyrosty

metryk

i,j

podlegają następnie operacji rozplotu w celu

przywrócenia  uporządkowania  zgodnego  z  wyjściem
kodera  splotowego  w  nadajniku.  Miękkodecyzyjny
dekoder  Viterbiego  w  oparciu  o  przyrosty  metryk

i,j

dokonuje dekodowania sekwencji kodowej i dostarcza
na swoim wyjściu estymaty nadanych bitów bloku
danych.

4. REZULTATY SYMULACYJNE

W celu weryfikacji przyjętych założeń realizacyj-

nych modemu, wykonanych zostało szereg badań symu-
lacyjnych. W symulacjach uwzględniono zarówno przy-
padek kanału z jedną jak i z dwoma ścieżkami. W każ-
dym przypadku w symulacjach przesyłano 10 mln. bitów
co zapewnia wystarczającą wiarygodność rezultatów na
poziomie bitowej stopy błędów (BER) wynoszącej 10

-5

Na  rys. 3  i 4  zostały  przedstawione  rezultaty badań nad
relacją  pomiędzy  liczbą  kolumn  i  wierszy  w  układzie
przeplotu bitowego. W badaniach tych przyjęto, że dłu-
gość  bloku  danych  wynosi  52 000  bitów  co  odpowiada
transmisji 1000 symboli OFDM.

Na rys. 3 pokazano rezultaty dla jednodrogowego

modelu kanału z zanikami Rayleigha i maksymalnej
częstotliwości Dopplera f

= 10 Hz. Jak widać, najlepsze

rezultaty przynosi zastosowanie układu przeplotu posia-
dającego  macierz  o  26  kolumnach  i  2000  wierszy
(26 x 2000  bitów).  Nieco  gorszą  jakość  transmisji  (od-
powiednio  ok.  1,5 dB  i  2,5 dB  straty  przy  BER = 10

-5

)

uzyskuje się dla przeplotów o macierzy 52 x 1000 bitów
oraz 13 x 4000 bitów. Zwiększanie długości wiersza
macierzy przeplotu powyżej 52 bitów przynosi
natomiast już bardzo wyraźną, kilkudecybelową stratę.

Eb/N0

BER

10 dB

15 dB

20 dB

25 dB

2.E-05

3.E-05

5.E-05

7.E-05

1.E-04

2.E-04

3.E-04

5.E-04

7.E-04

1.E-03

2.E-03

3.E-03

5.E-03

7.E-03

2.E-02

3.E-02

5.E-02

7.E-02

1.E-01

5.E-01

26 x 2000

52 x 1000

104 x 500

260 x 200

520 x 100

13 x 4000

Rys. 3. Wpływ wymiarów macierzy przeplotu na bitową

stopę błędów w kanale jednodrogowym (fd = 10 Hz)

Eb/N0

BER

10 dB

15 dB

20 dB

2.E-05

3.E-05

5.E-05

7.E-05

1.E-04

2.E-04

3.E-04

5.E-04

7.E-04

1.E-03

2.E-03

3.E-03

5.E-03

7.E-03

2.E-02

3.E-02

5.E-02

7.E-02

1.E-01

5.E-01

52 x 1000; fd=2,5Hz

52 x 1000; fd=40Hz

104 x 500; fd=2,5Hz

104 x 500; fd=40Hz

26 x 2000; fd=2,5Hz

26 x 2000; fd=40Hz

13 x 4000; fd=2,5Hz

13 x 4000; fd=40Hz

Rys. 4. Bitowa stopa błędów w zależności od wymiarów

macierzy przeplotu i maksymalnej częstotliwości

Dopplera w kanale jednodrogowym

Z kolei na rys. 4 przedstawiono wyniki symulacji w

tym samym kanale dla dwóch innych maksymalnych
częstotliwości Dopplera: f

= 2,5 Hz i f

= 40 Hz. W

przypadku  wyższej  częstotliwości  Dopplera  obserwuje-
my  lepszą  jakość  transmisji  a  wpływ  relacji  pomiędzy
liczbą kolumn i wierszy macierzy przeplotu jest znacznie
mniejszy  –  krzywe  stopy  błędów  dla  systemów  o  prze-
plotach  26 x 2000  bitów,  52 x 1000  bitów  i  104 x 500
bitów  dla  BER = 10

-5

praktycznie się pokrywają. Dla

sytuacji f

= 2,5 Hz najlepsze wyniki uzyskuje się dla

przeplotu o macierzy 13 x 4000 bitów i pogorszenie
jakości transmisji pogłębia się wyraźnie wraz ze wzro-
stem liczby kolumn w macierzy przeplotu.

Na podstawie przytoczonych wyników można

stwierdzić, że przeplot o organizacji 52 x 1000 lub
26 x 2000 bitów wydaje się być najlepszym rozwiąza-
niem dla rozważanego systemu.

Porównanie jakości transmisji systemu z kodowa-

niem i bez kodowania w kanale jednodrogowym dla
różnych wartości maksymalnej częstotliwości Dopplera
f

ilustruje rys. 5. W przypadku systemów z kodowaniem

długość bloku danych wynosi 5200 bitów. Na rysunku
tym umieszczono także krzywą dla systemu niekodowa-
nego działającego w kanale AWGN. Zysk wynikający z
kodowania uzależniony jest od częstotliwości Dopplera i
dla BER

= 10

3 wynosi od kilku decybeli (dla

= 2,5 Hz) do ponad 15 dB (dla f

= 40 Hz). Dla

niższych  stóp  błędów  zysk  ten  jest  nawet  większy.  Z
rys. 5 widać także, że krzywe stopy błędów dla systemu
niekodowanego  leżą  blisko  siebie  natomiast  jakość
transmisji  systemu  z  kodowaniem,  z  uwagi  na
zastosowany  przeplot,  silnie  zależy  od  częstotliwości
Dopplera.

Rys. 6. Wpływ długości bloku kodowego na jakość

transmisji w kanale dwudrogowym w zależności od

maksymalnej wartości częstotliwości Dopplera

Eb/N0

BER

10 dB

15 dB

20 dB

25 dB

2.E-05

3.E-05

5.E-05

7.E-05

1.E-04

2.E-04

3.E-04

5.E-04

7.E-04

1.E-03

2.E-03

3.E-03

5.E-03

7.E-03

2.E-02

3.E-02

5.E-02

7.E-02

1.E-01

5.E-01

fd=2,5Hz; 5,2kb

fd=10Hz; 5,2kb

fd=40Hz; 5,2kb

fd=2,5Hz; 26kb

fd=10Hz; 26kb

fd=40Hz; 26kb

fd=2,5Hz; 52kb

fd=10Hz; 52kb

fd=40Hz; 52kb

Eb/N0

BER

5 dB

10 dB

15 dB

20 dB

25 dB

2.E-05

3.E-05

5.E-05

7.E-05

1.E-04

2.E-04

3.E-04

5.E-04

7.E-04

1.E-03

2.E-03

3.E-03

5.E-03

7.E-03

2.E-02

3.E-02

5.E-02

7.E-02

1.E-01

5.E-01

niekod.; AWGN

niekod.; fd=2,5Hz

niekod.; fd=10Hz

niekod.; fd=40Hz

kod.; fd=2,5Hz

kod.; fd=40Hz

kod.; fd=10Hz

Rys. 5. Porównanie jakości transmisji dla systemów z

kodowaniem i bez kodowania w kanale jednodrogowym

Na rys. 6 przedstawiono porównanie jakości

transmisji  systemów  z  kodowaniem  w  kanale
dwudrogowym  dla  różnych  wartości  częstotliwości
Dopplera oraz długości bloku danych (odpowiadających
wielkości  przeplotu  bitowego).  Analiza  wyników
pozwala  stwierdzić,  że  im  niższa  jest  częstotliwość
Dopplera  f

tym silniej jakość transmisji zależy od

długości bloku danych. W szczególności, w najlepszym
przypadku (dla f

= 40 Hz) zmniejszenie długości bloku

danych o połowę (z 52 000 bitów na 26 000 bitów) nie
przyniosło praktycznie żadnej straty w jakości
transmisji.

5. PODSUMOWANIE

W artykule opisano projekt wielotonowego

modemu radiowego dla transmisji w pasmie o szerokości
25 kHz.  Przedstawiono  założenia  dotyczące  modemu  i
dobór  jego  parametrów.  Następnie  zaprezentowano
opracowany  system  symulacyjny  oraz  wyniki  badań
przeprowadzonych  z  jego  wykorzystaniem.  Na
podstawie  otrzymanych  wyników  symulacji  można
stwierdzić,  że  zaproponowane  kodowanie  protekcyjne

wraz  z  przeplotem  bitowym  przynoszą  istotną  poprawę
jakości  transmisji  w  porównaniu  do  systemu
niekodowanego.  Zysk  kodowania  silnie  zależy  od
wartości  maksymalnej  częstotliwości  Dopplera  i  może
przekraczać  nawet  15 dB  przy  stopie  błędów  na
poziomie  10

-3

. Wyniki symulacji pozwoliły tez ustalić

pragmatyczne

wymiary

układu

przeplotu

przy

określonym  założeniu  dotyczącym  długości  bloku
danych.  Następnym  etapem  prac  nad  modem  będzie
opracowanie  oprogramowania  poszczególnych  bloków
systemu,  przeznaczonych  do  implementacji  za  pomocą
procesora sygnałowego.

Autorzy dziękują osobom współuczestniczącym w

projekcie badawczym KBN, w szczególności prof. K.
Wesołowskiemu, dr. H. Boguckiej, dr. Z. Długaszew-
skiemu oraz mgr. A. Langowskiemu za udział w ustale-
niu założeń transmisyjnych, wyznaczeniu wielu parame-
trów modemu i zaproponowanie konkretnych rozwiązań.

LITERATURA

[1] Y. R. Zheng and C. Xiao, “Simulation Models

With Correct Statistical Properties for Rayleigh
Fading Channels,” IEEE Trans. Commun., Vol. 51,
No. 6, 2003, 920-928

[2] T. S. Rappaport, Wireless Communications

Principles & Practice, Prentice Hall, Upper Saddle
River, New Jersey, 1996

[3] S. G. Wilson, Digital Modulation and Coding,

Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey,
1996

[4] T. May, H. Rohling and V. Engels, “Performance

analysis of Viterbi decoding for 64-DAPSK and
64-QAM modulated OFDM signals,” IEEE Trans.
Commun., Vol. 46, No. 2, 1998, 182-190