Elementy belkowe
Komputerowe Modelowanie Konstrukcji
Elementy belkowe
prof. dr hab. inż. Andrzej Zieliński
mgr inż. Grzegorz Widłak
red. techn. mgr inż. Tomasz Betleja
Wydział Mechaniczny
Politechniki Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki
Instytut Konstrukcji Maszyn
Katedra Modelowania i Konstrukcji Maszyn
30.09.2009
-2-
Elementy belkowe
Literatura
Literatura i materiały wykorzystane w wykładzie:
1.
Akin, J.E., Finite Element Analysis with Error Estimators, Elsevier, 2005,
2.
Arabian, A., Lectures on Finite Element Method, Univ. of Arizona, 2005,
3.
Bathe, K-J., Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996,
4.
Bąk, R., Burczyński T., Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, 2001,
5.
Bijak Żochowski, M., Jaworski, A., Krzesiński G., Zagrajek A., Mechanika materiałów i konstrukcji, T.2,
Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa, 2006
6.
Cichoń, Cz., Cecot, W., Krok, J., Pluciński, P., Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji,
Wydawnictwo PK, Kraków 2002,
7.
Craddock, J., Lectures on Finite Element Method, Tahoma Univ., 2003,
8.
Felippa, C.A., Introduction to FE Methods, University of Colorado, 2004,
9.
Felippa, C.A., Advanced FE Methods, University of Colorado, 2003,
10. Łodygowski, T., Kąkol, W., Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji, Alma Mater, PP, 2003,
11. Pikley, W., Wunderlich, W., Mechanics of Structures, Variational and Computational Methods, CRC Press,
1994,
12. Radwańska, M., Metody komputerowe w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji, Wydawnictwo PK,
Kraków 2004
13. Rakowski, G., Kacprzyk, Z., Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, Oficyna Wydawnicza
PW, Warszawa 2005,
14. Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., The Finite Element Method, B-H., 2000.
-3-
Elementy belkowe
Analiza belek
Związki geometryczne
κ
θ
ε
y
x
u
x
y
x
u
x
u
o
o
x
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
θ
( )
( )
( )
x
y
x
u
y
x,
u
o
θ
+
=
(
)
3/2
2
1
x
/
θ
θ
κ
+
∂
∂
=
(dla małych )
x
ρ
1
∂
∂
≅
=
θ
κ
Uwaga: krzywizna na rysunku jest ujemna
θ
γ
ϑ
−
=
ϑ
θ
γ
+
=
ρ
ϑ
0
<
θ
γ
- czysty obrót
-wynikowy k
ą
t obrotu
- k
ą
t
ś
cinania
ϑ
γ
θ
θ
γ
ϑ
−
=
ϑ
θ
γ
+
=
ρ
ϑ
0
<
θ
γ
- czysty obrót
- k
ą
t
ś
cinania
ϑ
γ
θ
-4-
Elementy belkowe
Analiza belek
• odkształcenie ścinania
2
2
x
v
x
v
0
∂
∂
−
=
⇒
∂
∂
−
=
⇒
=
θ
θ
γ
• belka Eulera-Bernoulliego
x
v
0
∂
∂
−
=
⇒
≠
γ
θ
γ
x
v
x
v
y
u
xy
∂
∂
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
≡
θ
γ
γ
• belka Timoshenki
-5-
Elementy belkowe
Analiza belek
Związki fizyczne
EJ
dA
y
σ
M
A
x
κ
=
=
∫
γ
τ
τ
G
A,
k
A
,
A
V
s
s
s
=
=
=
0
V
x
M
=
−
∂
∂
0
q
x
N
x
=
+
∂
∂
0
q
x
V
y
=
+
∂
∂
γ
GA
k
V
s
=
0x
EA
ε
N
=
x
x
ε
E
σ
=
np. dla prostok
ą
ta
wsp.
ś
cinania k
s
=5/6
Równania równowagi
q
V
V+dV
M
M+dM
dx
Konwencja dodatnich sił i momentów
-6-
Elementy belkowe
Analiza belek
Przemieszczeniowe równania zginania belki
M
x
v
EJ
2
2
−
=
∂
∂
y
2
2
2
2
q
x
v
EJ
x
=
∂
∂
∂
∂
θ
θ
=
V
V
=
w
w
=
2
1
2
1
2
1
2
1
V
V
,
M
M
,
,
w
w
=
=
=
=
θ
θ
M
M
=
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
θ
θ
x
v
GA
k
x
EJ
x
s
V
x
M
=
∂
∂
y
q
-
x
V
=
∂
∂
y
V
s
q
x
v
GA
k
x
−
=
+
∂
∂
∂
∂
4
4 3
4
4 2
1
θ
Euler-Bernoulli:
Timoshenko:
Warunki brzegowe (warunki ciągłości)
Na kra
ń
cach belki
Wewn
ą
trz struktury
-7-
Elementy belkowe
Belkowe elementy skończone – zginanie z rozciąganiem
V
1
V
2
U
2
U
1
M
1
M
2
reakcja
obci
ąż
enie
Element belkowy utwierdzony z lewej i obci
ąż
ony z prawej strony
U
1
= - U
2
V
1
= - V
2
M
1
= - V
2
L – M
2
−
−
−
−
=
2
2
2
1
1
1
M
V
U
1
L
0
0
1
0
0
0
1
M
V
U
L
-8-
Elementy belkowe
Belkowe elementy skończone – zapis macierzowy
=
2
2
2
2
2
3
2
2
2
M
V
U
L/EJ
/2EJ
L
0
/2EJ
L
/3EJ
L
0
0
0
L/AE
v
u
θ
EJ
L
M
2EJ
L
V
2EJ
L
M
3EJ
L
V
v
AE
L
U
u
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
+
=
+
=
=
θ
-9-
Elementy belkowe
Belkowe elementy skończone – zapis macierzowy
=
2
2
2
2
2
3
1
1
1
v
u
2EJ/L
6EJ/L
-
0
6EJ/L
12EJ/L
-
0
0
0
AE/L
-
M
V
U
θ
=
2
2
2
2
2
3
2
2
2
v
u
4EJ/L
6EJ/L
-
0
6EJ/L
-
12EJ/L
0
0
0
AE/L
M
V
U
θ
-10-
Elementy belkowe
Belkowe elementy skończone – zapis macierzowy
=
=
e
2
e
1
2
2
2
1
1
1
M
V
U
M
V
U
F
F
F
e
=
=
e
2
e
1
2
2
2
1
1
1
θ
v
u
θ
v
u
u
u
u
e
-11-
Elementy belkowe
Belkowe elementy skończone – zapis macierzowy
=
e
2
e
1
e
2
e
1
u
u
F
F
22
21
12
11
e
e
e
e
κ
κ
κ
κ
=
κ
4EJ/L
6EJ/L
0
6EJ/L
12EJ/L
0
0
0
AE/L
2
2
3
e
11
=
κ
2EJ/L
6EJ/L
-
0
6EJ/L
12EJ/L
-
0
0
0
AE/L
-
2
2
3
e
12
=
κ
2EJ/L
6EJ/L
0
6EJ/L
-
12EJ/L
-
0
0
0
AE/L
-
2
2
3
e
21
=
κ
4EJ/L
6EJ/L
-
0
6EJ/L
-
12EJ/L
0
0
0
AE/L
2
2
3
e
22
-12-
Elementy belkowe
Warunek równowagi sił poprzecznych
0
V
V
e2
2
e1
2
=
+
V
1
e1
V
2
e1
V
2
e2
V
3
e2
V
3
e3
V
4
e3
e
1
e
2
e
3
0
θ
6EJ/L
v
12EJ/L
0
θ
6EJ/L
v
12EJ/L
0
θ
6EJ/L
v
12EJ/L
0
θ
6EJ/L
v
12EJ/L
0
e2
2
e1
2
V
3
2
3
3
2
2
2
3
V
2
2
2
3
1
2
1
3
=
⋅
+
⋅
−
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
−
⋅
+
+
⋅
−
⋅
−
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
8
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
7
6
np.
-13-
Elementy belkowe
Agregacja elementów belkowych (metoda przemieszczeń)
Warunek równowagi w węzłach
0
M
0
V
0
U
i
i
i
i
i
i
=
=
=
∑
∑
∑
Dla ka
ż
dego w
ę
zła i
Ku
F
=
Przemieszczenia w
ę
złowe
całej belki
Globalna macierz sztywno
ś
ci
W
ę
złowe
siły zewn
ę
trzne
Pasmowa forma globalnej
macierzy sztywno
ś
ci
-14-
Elementy belkowe
Stopnie swobody elementu belkowego - zginanie
=
2
2
1
1
θ
v
θ
v
e
u
-15-
Elementy belkowe
Funkcje kształtu elementu belkowego
( )
(
) (
)
ξ
ξ
ξ
+
−
=
2
1
4
1
N
2
e
v1
( )
(
) (
)
ξ
ξ
l
ξ
+
−
=
θ
1
1
8
1
N
2
e
1
( )
(
) (
)
ξ
ξ
l
ξ
−
+
−
=
θ
1
1
8
1
N
2
e
2
[
]
e
Nu
=
=
2
2
1
1
e
θ
2
e
v2
e
θ
1
e
v1
e
θ
v
θ
v
N
N
N
N
u
e
v2
N
e
θ
2
N
e
v1
N
( )
(
) (
)
ξ
ξ
ξ
−
+
=
2
1
4
1
N
2
e
v2
e
θ
1
N
1
2x
−
=
l
ξ
Wprowadzaj
ą
c współrz
ę
dn
ą
bezwymiarow
ą
:
-16-
Elementy belkowe
Krzywizny na podstawie interpolacji przemieszczeń
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
2
2
1
1
2
e
θ
2
2
2
e
v2
2
2
e
θ
1
2
2
e
v1
2
2
2
2
2
θ
v
θ
v
x
N
x
N
x
N
x
N
x
x
v
e
e
Bu
u
N
κ
+
−
−
=
1
3
6
3
6
1
ξ
l
ξ
l
ξ
l
ξ
l
B
-17-
Elementy belkowe
Udział energetyczny elementu
∫
=
L
0
T
dx
q
W
N
u
T
e
e
e
T
κ
κ
u
B
B
u
∫
∫
∫
∫
=
∂
∂
∂
∂
=
=
=
L
0
T
L
0
2
2
2
2
L
0
2
L
0
dx
EJ
2
1
dx
x
v
EJ
x
v
2
1
dx
EJ
2
1
dx
M
2
1
U
Energia wewn
ę
trzna zginania (energia odkształcenia):
Praca obci
ąż
enia zewn
ę
trznego
W
U
−
=
Π
Całkowita energia potencjalna (funkcjonał):
-18-
Elementy belkowe
Sztywność elementu i równoważne siły węzłowe
∫
∫
−
=
=
1
1
T
0
T
d
2
1
EJ
dx
EJ
ξ
l
l
B
B
B
B
K
e
e
e
e
e
e
f
u
u
K
u
T
T
e
2
1
−
=
Π
Ró
ż
niczkuj
ą
c udział energetyczny elementu:
Otrzymujemy:
∫
∫
−
=
=
1
1
T
0
T
d
2
1
dx
ξ
l
q
q
l
N
N
f
e
Obci
ąż
enia w
ę
złowe:
-19-
Elementy belkowe
Równanie sztywności
...
Π
Π
Π
Π
e
e
e
+
+
+
=
3
2
1
Dla całego obiektu:
→
=
+
+
=
0
...
2
1
e
e
δΠ
δΠ
δΠ
F
Ku
=
e
e
e
e
δΠ
f
u
K
−
=
- wariacja udziału energetycznego elementu
-20-
Elementy belkowe
Przykład: belka zginana
x
y
1
2
1
2
3
E = 210 GPa
I = 2 x 10
-4
m
4
P = 50 kN
L=3 m
L=3 m
k =200 kN/m
Wg James Craddock, University of Tahoma
-21-
Elementy belkowe
Macierz sztywności sprężyny
′
′
−
′
−
′
=
=
′
−
−
=
k
k
k
k
L
EI
EI
kL
k
k
k
k
k
s
s
3
3
:
Oznaczenie
K
K
-22-
Elementy belkowe
Globalna macierz sztywności
2
2
2
y
2
1
1
1
y
1
v
d
v
d
θ
≡
φ
≡
θ
≡
φ
≡
φ
φ
φ
′
′
−
−
′
−
−
′
+
−
−
−
+
+
−
−
+
−
+
−
−
−
−
=
y
4
3
y
3
2
y
2
1
y
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
y
4
3
y
3
2
y
2
1
y
1
d
d
d
d
k
0
k
0
0
0
0
0
L
4
L
6
L
2
L
6
0
0
k
L
6
k
12
L
6
12
0
0
0
L
2
L
6
L
4
L
4
L
6
L
6
L
2
L
6
0
L
6
12
L
6
L
6
12
12
L
6
12
0
0
0
L
2
L
6
L
4
L
6
0
0
0
L
6
12
L
6
12
L
EI
F
M
F
M
F
M
F
Uwaga: Oznaczenie stopni swobody w przykładach:
-23-
Elementy belkowe
Rozwiązanie przykładu zginanej belki
0
,
0
,
0
,
0
:
brzegowe
Warunki
4
2
1
1
=
=
=
=
y
y
y
d
d
d
φ
−
⋅
−
⋅
−
=
φ
φ
φ
φ
′
+
−
−
−
−
=
−
−
−
m
0174
.
0
rad
10
47
.
7
rad
10
49
.
2
d
d
k
12
L
6
L
6
L
6
L
4
L
2
L
6
L
2
L
8
L
EI
P
0
0
:
równań
uklad
Finalny
3
3
y
3
3
2
y
3
3
2
2
2
2
2
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad Mes funkcje ksztaltu, Budownictwo, Semestr V, Budownictwo komunikacyjne 1, most5
wykład Mes agregacja
BUD WODNE Wykład 6 analiza mechaniczna filtracja MES
Ściaga MES wykład czarna mała
mes wykłady
Napęd Elektryczny wykład
wykład5
Psychologia wykład 1 Stres i radzenie sobie z nim zjazd B
Wykład 04
geriatria p pokarmowy wyklad materialy
ostre stany w alergologii wyklad 2003
WYKŁAD VII
Wykład 1, WPŁYW ŻYWIENIA NA ZDROWIE W RÓŻNYCH ETAPACH ŻYCIA CZŁOWIEKA
Zaburzenia nerwicowe wyklad
Szkol Wykład do Or
Strategie marketingowe prezentacje wykład
więcej podobnych podstron