4.7 Agregacja

Uzyskany w procesie specyfikacji elementu układ równań algebraicznych :

,

(4.21)

gdzie
jest tzw. macierzą sztywności elementu:

,

-liczba stopni swobody elementu (SSE); wektor
- wektor parametrów węzłowych elementu (niewiadomych w węzłach),
-wektor obciążeń węzłowych (wielkości znanych).

Forma całkowa do której transformowane zostają równania różniczkowe zagadnienia brzegowego dotyczy całego analizowanego obszaru i może być przedstawiona jako suma całek dla poszczególnych elementów zgodnie z poniższą zależnością:

(4.22)

Stąd też „sumując” równania uzyskane dla elementów otrzymuje się równania dla całego zdyskretyzowanego obszaru:

,

(4.23)

gdzie
- macierz sztywności układu (globalna macierz sztywności),
- globalny wektor niewiadomych,
- globalny wektor obciążeń węzłowych. ,
- liczba stopni swobody układu (SSU).

Zachodzi zależność:

(4.24)

Sumowanie nie ma charakteru algebraicznego, ale umowny.

Globalną macierz sztywności
oraz globalny wektor obciążeń węzłowych
otrzymuje się przez odpowiednie „dodawanie” macierzy i wektora obciążeń elementów, który to proces nazywany jest agregacją.

Podstawę agregacji stanowi warunek ciągłości poszukiwanej funkcji w wężle wspólnym dla połączonych w nim elementów,

Schematycznie proces agregacji można zobrazować na przykładzie układu złożonego z dwóch elementów (rys. 4.20).

Rys.4.20. Układ dwóch elementów skończonych z zaznaczoną numeracją globalną i lokalną węzłów

Zakładając stopień swobody węzła SSW=1 wektor parametrów węzłowych układu
ma następujące składowe:

,

(4.25)

gdzie
są wartościami węzłowymi poszukiwanej funkcji u.

Element w lokalnym układzie współrzędnych :

Rys.4.21. Czterowęzłowy element prostokątny w układzie lokalnym

Równania równowagi elementu przybierają dla elementu „e” formę:

(4.26)

Zakładając, że na węzeł
działa „obciążenie” o wartości Q, wektory prawych stron równań (4.26) przybiorą odpowiednio dla elementu

i

postać:

(4.27)

Chcąc zbudować globalny układ równań na podstawie równań elementów należy uzgodnić wartości węzłowe zgodnie z poniższą zależnością

,

(4.28)

gdzie indeks górny oznacza numer elementu.

Tak więc układ równań systemu będzie miał postać:

(4.29)

Ogólnie przy SSW stopniach swobody węzła, liczbie węzłów w elemencie LWE i liczbie węzłów układu LW globalna macierz sztywności ma wymiar
, gdzie
.

Jest ona symetryczna, rzadka, dodatnio określona i ma budowę schematycznie przedstawioną na rys. 4.22.

Rys.4.22. Schematyczna postać globalnej macierzy sztywności.
- liczba elementów,

Globalna macierz sztywności w programowaniu metody elementów skończonych budowana jest bezpośrednio na podstawie tzw. tablicy incydencji, w której określona zostaje relacja między numeracją lokalną elementów a numeracją globalną układu.

Tablica.4.1.

Element 1		Element 2
lokalnie	globalnie	lokalnie	globalnie
1 2 3 4	1 2 4 3	1 2 3 4	3 4 5 6

Proces agregacji można zapisać wówczas wzorem:

, ,

(4.30)

gdzie:
- symbol procedury agregacji

i - globalny numer równania

j - globalny numer składowej wektora

a - numer równania elementu

b - numer stopnia swobody elementu

Przykładowo można zatem wprost napisać:

(4.31)

Należy zaznaczyć, że w przypadku gdy osie układów lokalnego i globalnego nie są równoległe przed agregacją zachodzi konieczność transformowania macierzy sztywności elementów i wektora obciążeń węzłowych elementów do układu globalnego.

Bez uwzględnienia warunków brzegowych- globalna macierz sztywności jest macierzą osobliwą, a więc układ równań systemu nie posiada rozwiązania.

Istnieje zatem konieczność wprowadzenia warunków brzegowych.

Dotyczy to warunków brzegowych podstawowych (Dirichleta, w mechanice: kinematycznych warunków brzegowych).

Naturalne warunki brzegowe (Neumanna, w mechanice: statyczne warunki brzegowe) są włączone zawsze do funkcjonału i przy minimalizacji funkcjonału (metoda Ritza) spełnione są w sposób automatyczny (w MES w sposób przybliżony w wersji przemieszczeniowej).

W metodzie ważonych residuów (metoda Galerkina) naturalne warunki brzegowe wprowadzone są przy przekształcaniu równań całkowych (twierdzenie Greena).

Uwzględnienie podstawowych warunków brzegowych w globalnej macierzy sztywności można dokonać przez podział wektora parametrów węzłowych układu
na zbiór parametrów węzłowych poszukiwanych
oraz zbiór parametrów znanych (zadanych)
, określonych przez warunki brzegowe.

Przy takim podziale układ równań (4.23) systemu można zapisać w następującej postaci:

(4.30)

Zakładając, że zadane są jednorodne warunki brzegowe, a więc
, z równań powyższych uzyskuje się:

(4.31)

Macierz sztywności elementu belkowego

Rys.5.2. Element belkowy w lokalnym układzie współrzędnych

Zależność między współrzędną globalną
i lokalną
wyraża się wzorem:

(5.19)

Wektor przemieszczeń węzłowych elementu
ma następujące składowe:

(5.20)

Przemieszczenia pionowe aproksymuje się w obszarze elementu wielomianem 3-go stopnia:

(5.21)

Tak więc przemieszczenia uogólnione opisane są następująco:

(5.22)

gdzie
jest wektorem nieznanych współczynników, a
-tzw. macierzą funkcyjną.

W wyrażeniu (5.22) wykorzystano związki:

(5.23)

Zależność (5.22) słuszną w obszarze elementu powinny spełniać też współrzędne punktów będących węzłami elementu:

(5.24)

czyli:

(5.25)

gdzie
jest tzw. macierzą współrzędnych

Na podstawie związku (5.25) otrzymuje się:

(5.26)

Zgodnie z podejściem Ritza przyjmuje się aproksymację poszukiwanej funkcji
w następującej postaci:

(5.27)

Z zależności (5.22) wynika:

(5.28)

gdzie:

Podstawiając do związku (5.28) równanie (5.26) otrzymuje się:

(5.29)

Porównanie zależności (5.27) i (5.29) prowadzi do następującego wyrażenia:

(5.30)

które jest podstawą do wyznaczenia macierzy funkcji kształtu
.

Macierz odwrotna do macierzy współrzędnych
(jeśli macierz
jest nieosobliwa) ma postać:

(5.31)

Na podstawie zależności (5.30) otrzymuje się zatem:

(5.32)

gdzie:

(5.33)

Uzyskane funkcje kształtu
są funkcjami kształtu Hermite'a (rys.5.3).

Odnosząc wyrażenie na całkowitą energię potencjalną belki (5.8) do elementu „e” i uwzględniając przyjętą w obszarze belki aproksymację funkcji ugięcia (5.27) otrzymuje się:

(5.34)

W zależności powyższej wykorzystano następujące związki:

(5.35)

Równania równowagi elementu uzyskuje się na podstawie

(5.36)

Związek (5.36) prowadzi do układu czterech równań:

(5.37)

Układ ten stanowi równania równowagi MES elementu

(5.38)

Obliczając wyrazy
otrzymuje się znaną postać macierzy sztywności elementu belkowego:

(5.39)

Na podstawie zależności (5.38
) , dla
uzyskuje się następującą postać wektora równoważnych sił węzłowych elementu:

(5.40)

1

2

---