LABORATORIUM FIZYKI
Ćwiczenie 2
 Drgania proste harmoniczne: wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne.
Wydział Mechatroniki
Alicja Zielińska; grupa 25; zespół 1
1. Wstęp.
Ćwiczenie składało się z dwóch części. Pierwsza z nich miała na celu wyznaczenie
wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego na podstawie
okresów jego drgań. Wartość tą wyznaczamy ze wzoru:
2
4Ą L
g =
2
T
Druga część polegała na wyznaczeniu modułu sztywności za pomocą wahadła
torsyjnego na podstawie pomiaru okresu jest drgań. Wartość modułu wyznaczamy ze
wzoru:
2 2
1
�łm
8nĄL�ł R + d
�ł �ł
2
�ł łł
G =
4
r (T22 - T12)
2. Układ pomiarowy.
Układ pomiarowy wartości przyspieszenia
ziemskiego składał się z wahadła torsyjnego o
dwóch osiach. Odległość między osiami
wynosiła L. Pomiędzy osiami znajdował się
cię\
arek mB. W zało\
eniu ćwiczenia miał on
być ruchomy jednak\
e prowadzący ćwiczenia
postanowili ułatwić wykonanie ćwiczenia i
ustawili cię\
arek w odpowiednim poło\
eniu.
Ponad osią O znajdował się ruchomy cię\
arek
mA.
Układ pomiarowy wyznaczania modułu
sprę\
ystości składał się z wahadła torsyjnego i n
cię\
arków umieszczanych na sztyftach wahadła.
3. Wykonanie ćwiczenia.
I. Wahadło rewersyjne.
Cię\
arek mB, jak wspomniałam wcześniej, został ju\
ustawiony w odpowiedniej pozycji
przez prowadzących tak\
e nie musieliśmy wykonywać tej części ćwiczenia z
ustawianiem tego\
cię\
arka.
1. Ustawiamy cię\
arek mA w poło\
eniu najbli\
szym osi O .
2. Mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi O i wyznaczamy okres drgań TO.
3. Odwracamy wahadło i mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi O . Wyznaczamy okres
drgań TO .
4. Przesuwamy cię\
arek mA o 2cm.
5. Powtarzamy czynności 2-4 do momentu, gdy cię\
arek znajdzie się na końcu
wahadła.
6. Sporządzamy wykresy TO(x) i TO (x). Znajdujemy punkt, w którym TO = TO czyli
punkt przecięcia się wykresów: (x0,T).
7. Mierzymy odległość L między osiami. Otrzymane wartości T i L podstawiamy do
wzoru podanego we wstępie, obliczamy wartość przyspieszenia ziemskiego.
Wyznaczamy błędy obliczonej wartości. Porównujemy wynik z wartościami
tablicowymi.
II. Wahadło torsyjne
1. Mierzymy średnicę (2r) i długość (L) badanego pręta.
2. Wprawiamy w ruch wibrator z obcią\
eniem wstępnym, mierzymy czas t1 dwudziestu
okresów drgań.
3. Mierzymy średnice (2R) i wa\
ymy n dodatkowych cię\
arków oraz odległość między
sztyftami (2d), na których umieszczamy owe cię\
arki.
4. Ponownie wprawiamy wibrator w drgania, mierzmy czas t2 dwudziestu okresów
drgań.
5. Wyznaczamy wartości T1 i T2, obliczamy wartości średnie r, R, D, m.
6. Wyznaczamy wielkość G ze wzoru podanego we wstępie. Obliczmy błędy,
porównujemy wynik z wartością tablicową.
4. Wyniki i ich opracowanie.
I. Wahadło rewersyjne.
L [cm] = 118 n = 20
x [cm] 0 2 4 6 8 10 12 14 16
t0 [s] 38,32 39,37 40,12 40,81 41,21 42,12 42,72 43,32 44,48
T0 [s] 1,916 1,9685 2,006 2,0405 2,0605 2,106 2,136 2,166 2,224
t0' [s] 41,84 42,06 42,1 42,44 42,57 42,72 42,97 43,21 43,38
T0' [s] 2,092 2,103 2,105 2,122 2,1285 2,136 2,1485 2,1605 2,169
Tabela 1. Wyniki pomiarów okresu drgań.
Wykres zale\
ności okresu drgań wahadła od poło\
enia cię\
arka mA.
Punkt przecięcia się dwóch prostych będących przybli\
eniami funkcji To(x) i
To (x) jest równy (13,39 ; 2,16). Wartość odczytana przy pomocy funkcji Screen Reader
programu Origin.
Ze wzoru podanego we wstępie obliczamy wartość przyspieszenia ziemskiego:
2
4Ą L 4 *3,142 *1,18 m m
g = = = 9,97456
2
T 2,162 s2 s2
II. Wahadło torsyjne.
2r [mm] L [cm] 2R m [g] d [cm] t1 [s] t2 [s] T1 [s] T2[s]
[mm]
3,59 88,5 24,94 21 8,75 21,19 0,4375 1,0595
3,59 88,4 24,95 192,5 21,2 8,75 21,21 0,4375 1,0605
3,59 88,4 24,98 21,1 8,84 21,19 0,442 1,0595
3,57 88,4 24,97 190,5 21,2 8,78 21,15 0,439 1,0575
3,6 88,5 24,96 8,75 21,19 0,4375 1,0595
3,59 24,94 183
3,58 24,98
3,58 24,99 184,2
3,59
3,6
Tablela 2. Wyniki pomiarów wahadła torsyjnego.
Wyznaczamy wartości średnie:
T1 = 0,4387s
T2 = 1,0593s
r H" 1,8mm = 0,0018m
L = 88,44cm = 8,844m
R H" 12,5mm = 0,0125m
m = 187,55g H" 0,188kg
d = 21,125cm H" 0,2113m
n = 4
Obliczamy wartość modułu sztywności:
2 2
1 1
�łm 8* 4*3,14 *8,844�ł * 0,01252 + 0,21132 �ł
8nĄL�ł R + d *0,188
�ł �ł �ł �ł
2 2 m *(m2 + m2 ) * kg
�ł łł �ł łł
G = = =
4
0,00184(1,05932 - 0,43872) m4 *(s2 - s2 )
r (T22 - T12)
= 7,68*1011 Pa
5. Rachunek błędów.
I. Wahadło rewersyjne.
Maksymalne błędy bezwzględne wielkości mierzonych bezpośrednio [w naszym
przypadku są to: długość zredukowana wahadła rewersyjnego (L) oraz okres drgań
tego\
wahadła (T)] mo\
na wyznaczyć z odległości pomiędzy działkami przedmiotu.
Z tego wynika, \
e "L = ą 0,5mm, poniewa\
odległość między działkami na
miarce wynosi 1mm; jesteśmy w stanie odczytać wynik z dokładnością do połowy
działki.
Błąd pomiaru okresu drgań mo\
emy przyjąć, \
e wynosi "T = ą 0,2s wynikający z
niedokładności obserwatora (za póz
no lub za szybko mógł zatrzymywać stoper).
Bezwzględny błąd maksymalny przyspieszenia ziemskiego g zale\
nego od L i T
obliczamy za pomocą metody pochodnej logarytmicznej:
"gm "L "T �ł "L "T �ł �ł 0,0005 0,2 �ł m
= 1 + - 2 �! "gm = �ł 1 + - 2 �ł * g = �ł + * 2 *9,97456 =
�ł
�ł �ł
g L T L T 1,18 2,16 s2
�ł łł �ł łł
m
= 1,85137
s2
g = 9,97 ą 1,85 m/s2
II. Wahadło torsyjne.
Błędy wartości zmierzonych bezpośrednio przyjmujemy jak przy wahadle rewersyjnym:
"L = ą 0,5 mm = ą0,0005 m;
"T1 = "T2 = ą 0,2 s;
2
Ł(xi - x)
Średnie błędy wartości średnich obliczamy ze wzoru:
sx =
n(n -1)
"r = ą 0,57 m;
"R = ą 7,65 * 10-6 m;
"m = ą 0,0023 kg;
"d = ą 0,00048 m;
(proszę wybaczyć mi brak zapisu wszystkich obliczeń po kolei ale z powodu święta Politechniki Warszawskiej i przesunięcia terminu
laboratoriów mieliśmy mniej czasu na przygotowanie sprawozdania)
Bezwzględny błąd maksymalny modułu sztywności obliczamy metodą ró\
niczki
zupełnej ze wzoru:
"G "G "G "G "G "G "G
"Gm = "L + "R + "d + "m + "r + "T1 + "T2 =
"L "T1 "T2
"R "d "m "r
= 4,3*107 +1,6 *106 + 3,5*109 + 9,5*109 - 9 *10-8 +1,4 *1011 - 3*1011 =
= ą1,47 *109 Pa = ą1,47GPa
G = 76,8 ą 1,5 GPa
6. Wnioski.
I. Wahadło rewersyjne.
Z naszych pomiarów i obliczeń uzyskaliśmy wartość przyspieszenia ziemskiego
g = 9,97 ą 1,85 m/s2. W porównaniu z wielkością tablicową, wynoszącą 9,81 m/s2, jest
to bardzo dobry i dokładny wynik. Niepokoić mo\
e jedynie wielkość błędu, która wynosi
około 18,5 procenta obliczonej przez nas wartości g, jednak\
e ten zakres błędu
obejmuje wynik tablicowy.
Uwa\
am, \
e zastosowana metoda pomiarowa jest poprawna. Moglibyśmy
jedynie popracować nad zwiększeniem jej dokładności poprzez zastosowanie jakiegoś
czujnika mierzącego czas wahnięć, który byłby dokładniejszy od człowieka.
II. Wahadło torsyjne.
Z naszych pomiarów i obliczeń uzyskaliśmy wartość modułu sztywności G =
76,8 ą 1,5 GPa. W porównaniu z wartości tablicową, wynoszącą 80 GPa, mo\
emy
stwierdzić, i\
jest to bardzo dokładny wynik. Niestety, wartość tablicowa nie zawiera się
w granicach błędu naszego pomiaru aczkolwiek jest bardzo blisko nich. Wartość błędu,
jaką uzyskaliśmy jest bardzo mała, poniewa\
wynosi ona niecałe 2% wartości
otrzymanej.
Uwa\
am, \
e zastosowana metoda pomiarowa jest poprawna. Mieliśmy w niej
więcej czynników mogących wywoływać błędy ni\
przy wahadle rewersyjnym (więcej
wartości mierzonych bezpośrednio, od których zale\
ała wartość mierzona pośrednio) a
jednak otrzymaliśmy dokładniejszy wynik. Jednak\
e nie był to wynik idealny, poniewa\

jak ju\
zwróciłam uwagę wartość tablicowa nie mieściła się w granicach błędu.
Propozycję poprawienia dokładności mam taką samą jak przy wahadle rewersyjnym 
zwiększyć dokładność pomiaru okresu wahnięć, poprzez zastosowanie jakiegoś
czujnika, poniewa\
to właśnie błędy pomiaru czasu były największe.