Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
Ćw.2
Wyznaczanie momentu bezwładności
Cel ćwiczenia
Sprawdzenie sÅ‚usznoÅ›ci równania dynamiki ruchu obrotowego µ = M/I oraz wyznaczenie momentu
bezwładności przyrządu do badania ruchu obrotowego.
Zakres obowiązującego materiału teoretycznego
Kinematyka i dynamika ruchu obrotowego. Moment bezwładności, moment siły, moment pędu, środek
masy, twierdzenie Steinera. Zasada zachowania momentu pędu.
Przyrządy użyte w ćwiczeniu
Suwmiarka, sekundomierz, przyrzÄ…d do badania ruchu obrotowego (PBRO).
Wprowadzenia i aparatura
W doświadczeniu posługujemy się przyrządem do badania ruchu obrotowego, zilustrowanym na rys.1
P
C
r
r1
M
r
N
W
r
N
r
a=F/m
a
r
F=Q-N
Q
Q=mg
Rys.1
Walec metalowy C jest osadzony na łożyskach kulkowych i może obracać się wokół osi OO'. Z
walcem połączone są cztery pręty stalowe P, na których osadzone są walce W. Walce W można
przemieszczać wzdłuż prętów i zmieniać w ten sposób moment bezwładności urządzenia. Chcąc
wprowadzić przyrząd w ruch obrotowy obciążamy nić masą m.
Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ma postać:
M
µ =
(1)
I
Gdzie:
M - moment wypadkowy działających sił
I - moment bezwładności urządzenia PBRO
µ- przyspieszenie kÄ…towe
Sprawdzenie słuszności równania (1), co jest głównym celem ćwiczenia, dokonujemy w następujący
sposób. Dla warunków doświadczalnych wynikających z geometrii i dynamiki urządzenia PBRO
wyliczamy na drodze teoretycznej wartości:
1 - momentu wypadkowego działających sił M
2 - momentu bezwładności urządzenia PBRO - I
3 - przyspieszenia kÄ…towego µ urzÄ…dzenia PBRO.
Wyliczone wartoÅ›ci I, M oraz µ podstawiamy do równania (1) otrzymujÄ…c wyrażenie, którego sÅ‚uszność
potwierdzamy na drodze doświadczalnej.
Moment siły T
W omawianym przypadku, moment siły naciągu N jest momentem obrotowym M i wyraża się wzorem:
(2)
M = r1N; N = mg - ma
Gdzie:
r1 - promień tej części walca C na której nawinięta jest nić.
N - siła naciągu nici.
m - masa ciężarka.
Moment bezwładności urządzenia PBRO
Moment bezwładności urządzenia PBRO jest sumą:
- momentu bezwładności walca C - Ic;
- momentu bezwładności czterech prętów P - 4Ip;
- momentu bezwładności dwóch ruchomych walców W równego 2Iw + 2mw(d/2)2
Masa walca W oznaczona jest symbolem mw, a d jest odległością przeciwległych walców. Iw jest
momentem bezwładności walca ruchomego względem osi przechodzącej przez jego środek masy i
wynikajÄ…cym z twierdzenia Steinera.
Całkowity moment bezwładności urządzenia PBRO wynosi wiec:
(3)
mw d2
I = Ic + 4Ip + 2Iw +
2
a wprowadzajÄ…c oznaczenie
Io = Ic + 4Ip + 2Iw
otrzymamy
(3)
mw d2
I = Io +
2
Io - ma wartość stałą.
Przyspieszenie kÄ…towe urzÄ…dzenia PRBO
Przyspieszenie kÄ…towe µ urzÄ…dzenia PBRO obliczamy na podstawie pomiaru czasu przebycia znanej
drogi przez ciężarek obciążający nić.
at2
(4)
s = ; a = µr1 (prÄ™dkość poczÄ…tkowa wynosi 0)
2
Gdzie: s, a - droga i przyspieszenie ciężarka obciążającego nić.
StÄ…d:
2s
µ =
(5)
r1t2
Podstawiając wyrażenia (3), i (5) do równania (1) otrzymujemy po prostych przekształceniach:
ëÅ‚ öÅ‚
smw 2s
ìÅ‚1+ Io ÷Å‚ (7)
t2 = d2 +
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
g
r1 mg r1 m
íÅ‚ Å‚Å‚
W układzie współrzędnych prostokątnych, w którym na osi y odkładamy t2, a na osi x wartości d2,
równanie (7) jest równaniem prostej
(8)
y = Ax + B
Gdzie: stale A i B można wyrazić następująco:
smw
A =
(9)
2
r1 mg
ëÅ‚
2s Io öÅ‚
ìÅ‚ (10)
B =
2
ìÅ‚1+ r1 m ÷Å‚
÷Å‚
g
íÅ‚ Å‚Å‚
Doświadczalnie potwierdzony prostoliniowy przebieg zależności t2 = f(d2) jest dowodem słuszności
równania (1).
Część doświadczalna
W celu sprawdzenia słuszności równania dynamiki ruchu obrotowego dokonujemy pomiarów czasu t
opadania ciężarka m ze stałej wysokości s=1,5 m w zależności od odległości d przeciwległych walców
W. Zmieniając położenie ciężarków W zmieniamy moment bezwładności. Pomiary wykonujemy dla 4
wartoÅ›ci odlegÅ‚oÅ›ci d, w zakresie (8,5-20)·10-2m. Wyniki liczbowe zamieszczamy w tabeli. Dla każdej
wartości d, dokonujemy 6 pomiarów czasu opadania ciężarka t, biorąc do obliczeń wartość średnią.
Tabela 1
d [m] t [sek.] d2 [m2] t2 [sek2 ]
d1 t1, & & .. t6
d2 . .
dn . .
. .
Wykreślamy zależność t2(d2), która zgodnie z równaniem (7) powinna być zależnością prostoliniową,
opisywaną ogólnym równaniem prostej (8). Z wykresu t2(d2) dokonujemy oceny wartości stałych A i B.
Dokładne wartości współczynników A i B wyznaczamy korzystając ze statystycznej metody
opracowania wyników pomiarów (metoda najmniejszych kwadratów). Podstawy teoretyczne tej
metody wraz z konkretnym przykładem jej zastosowania zamieszczone są w instrukcji nr 17.
Wartości współczynników A i B wyznaczone z metody najmniejszych kwadratów porównujemy z
wartościami współczynników A i B wyznaczonymi na wykresie zależności t2(d2). W przypadku braku
zgodności sprawdzić obliczenia.
Opracowanie wyników
Sprawozdanie powinno zawierać:
1. Określenie celu ćwiczenia i podanie podstawowych zależności.
2. Sporządzić wykres zależności t2(d2) z wyników pomiarów zamieszczonych w Tabeli 1 (układ
SI).
2.1. Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów w odniesieniu do zależności t2(d2)
wyznaczamy wartości stałych A i B z równania (10). Z wartości stałej B obliczamy
moment bezwładności I0 dla urządzenia PBRO;
2.2. Podać wartości momentu bezwładności Io urządzenia PBRO z uwzględnieniem błędu
bezwzględnego "Io (Ioą"Io) oraz obliczyć błąd względny
"Io
×100%
Io
3. Wnioski końcowe.