Ćw.4
Ruch harmoniczny tłumiony
Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu drgań
tłumionych
Cel ćwiczenia
Zapoznanie się ze zjawiskiem ruchu harmonicznego tłumionego oraz wielkościami charakteryzującymi ten
ruch. Przypomnienie zasad dynamiki.
Zakres obowiązującego materiału teoretycznego
Dynamika ruchu obrotowego. Ruch harmoniczny nietłumiony i wielkości charakteryzujące ten ruch: okres,
amplituda, częstotliwość, częstość kołowa. Ruch harmoniczny tłumiony i wielkości charakteryzujące ten ruch:
dekrement logarytmiczny tłumienia, współczynnik tłumienia, czas relaksacji.
Przyrządy i materiały użyte w doświadczeniu
Naczynia z cieczami, skala wychyleń, dysk ze wskazówką zawieszony na drucie stalowym (wahadło
torsyjne).
Wprowadzenie
Zgodnie z II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego równanie ruchu walca umocowanego na sprężystym
drucie może być przedstawione w postaci:
(1)
M = Jµ
gdzie: M - wypadkowy moment sił działających na walec;
J - moment bezwładności walca;
µ - przyspieszenie kÄ…towe.
Jeżeli założyć, że moment sił działających na walec wynika ze sprężystości drutu, to jest on proporcjonalny do
kąta wychylenia walca z położenia równowagi:
(2)
M = -kĆ
gdzie k - oznacza współczynnik sprężystości drutu, stąd:
Jµ = -kĆ
d2Ć
(3)
J + kĆ = 0
dt2
1
Jest to równanie ruchu harmonicznego nietłumionego. Rozwiązaniem jest funkcja:
(4)
Ć = Ć0 sin(É0t + ¸0)
gdzie: É0 - czÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„ nietÅ‚umionych;
¸0 - faza poczÄ…tkowa drgaÅ„;
Ć0 - amplituda drgań.
Z równania (4) wynika, że walec będzie wykonywał drgania wokół położenia równowagi ze stałą amplitudą Ć0
(maksymalnym wychyleniem z poÅ‚ożenia równowagi) oraz ze staÅ‚Ä… czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… É0.
W przypadku gdy ruch jest tłumiony przez moment sił hamujących wypadkowy moment sił działających na
walec wynosi:
(5)
M = M1 + M2
gdzie: M1 - jest momentem siły harmonicznej;
M2 - jest momentem siły hamującej.
Moment sił hamujących (np. sił oporu ze strony cieczy) dla niewielkich prędkości jest proporcjonalny do
prędkości kątowej stąd:
dĆ
M2 = -b
(6)
dt
gdzie b - współczynnik oporu.
Równanie ruchu przybiera postać:
2
d Ć dĆ
J = -kĆ - b (7)
2
dt dt
d2Ć dĆ
(8)
J + b + kĆ = 0
dt
dt2
Jest to równanie drgań harmonicznych tłumionych, którego rozwiązanie można przedstawić w postaci:
(9)
Ć = Ć0e-²t cos(Ét + ¸)
gdzie: É - czÄ™stość drgaÅ„ tÅ‚umionych;
² - współczynnik tÅ‚umienia drgaÅ„.
Amplituda w przeciwieństwie do ruchu nietłumionego jest malejącą w czasie:
Ćt = Ć0e-²t
(10)
CzÄ™stość drgaÅ„ tÅ‚umionych É jest mniejsza niż w przypadku drgaÅ„ nietÅ‚umionych i wynosi:
2
2
É2 = É0 - ²2
(11)
Wielkość:
1
Ä =
(12)
2²
nazywana jest czasem relaksacji oscylatora. Wyznacza on czas t=2Ä, po którym amplituda drgaÅ„ maleje
e-krotnie.
Rys.1 Zależność wychylenia z położenia równowagi od czasu dla drgań harmonicznych tłumionych.
Logarytm naturalny stosunku dwóch kolejnych amplitud następujących po czasie równym okresowi drgań T
nazywa się dekrementem logarytmicznym drgań tłumionych :
Ćt Ć0e-²t
(13)
 = ln = ln = lne²t = ²T
Ćt+T
Ć0e-²(t+T)
3
Część doświadczalna
Zasada pomiaru
Pomiar dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych polega na mierzeniu kolejnych maksymalnych wychyleń
(amplitud) Ćt walca zanurzonego w dwu różnych cieczach oraz obliczeniu szeregu wartości k jako logarytmu
naturalnego stosunku kolejnych, następujących po czasie T, maksymalnych wychyleń.
Po wyznaczeniu wartości Ćt i okresu T drgań harmonicznych tłumionych oraz obliczeniu średniej wartości 
należy wyznaczyć wartoÅ›ci czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ tÅ‚umionych É i nietÅ‚umionych Éo oraz współczynnika tÅ‚umienia ².
Wykonanie ćwiczenia
1. Zanurzyć dysk całkowicie w wodzie tak, aby nie opierał się o dno naczynia; skalę obrócić tak, aby
wskazówka pokrywała się z podziałką zerową skali.
2. Wprawić wahadło obrotowe w ruch drgający odchylając palcem wskazówkę do podziałki 40o, uważając aby
zachowany był pion wahadła a następnie usunąć palec.
3. Po wykonaniu przez wahadło pierwszego pełnego drgnięcia, zacząć odczytywać wartości kolejnych,
maksymalnych wychyleń w lewo i w prawo. Pomiary prowadzić dla kolejnych 15 pełnych drgań. Zmierzyć
stoperem czas trwanie tych 15 pełnych drgań.
4. Wyniki pomiaru zapisać w tabelce.
Wychylenie w lewo Wychylenie w prawo
k
k Ćk [deg] Ćp [deg] k
1
2
...
5. Następnie wyjąć dysk z wody wysuszyć go za pomocą ściereczki i wstawić do drugiego naczynia z cieczą
(roztwór gliceryny).
6. Wykonać pomiary jak w przypadku wody, ale prowadzić je tylko dla kolejnych 7 pełnych drgań. Wyniki
zapisać w tabelce. Po wykonaniu pomiaru NIE WYLEWAĆ ROZTWORU GLICERYNY!!!!
Wykonać obliczeń dla wody i dla drugiego ośrodka tłumiącego
1. Obliczyć okres drgań dzieląc czas trwania t pomiaru n okresów przez ich liczbę.
t
T =
n
Przyjmując błąd pomiaru czasu "t=0,4s należy obliczyć błąd pomiaru okresu metodą różniczki zupełnej
(instrukcja nr 17).
"t
"T =
n
4
2. Obliczyć czÄ™stość drgaÅ„ tÅ‚umionych É
2Ä„
É =
T
oraz jej bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny ("É) i wzglÄ™dny ("É). BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny czÄ™stoÅ›ci równa siÄ™ bÅ‚Ä™dowi wzglÄ™dnemu
okresu:
"É "T
"É = =
É T
3. Obliczyć logarytmiczny dekrement tłumienia drgań k dla kolejnych amplitud (osobno dla wychyleń w prawo i
w lewo). Umieścić w sprawozdaniu przykład obliczeń. Wszystkie wyniki umieścić w tabeli.
Ćk
k = ln
Ćk+1
Następnie obliczyć wartość średnią k (do obliczeń należy wykorzystać wszystkie wyliczone wartości k,
zarówno dla wychyleń w lewo jak i w prawo dla danego roztworu), oraz metodą Studenta-Fishera
(instrukcja nr 17) błąd bezwzględny i względny pomiaru.
Przykład obliczenia błędu dla wielkości x (x reprezentuje k):
błąd pomiaru wielkości x
S
"x = tÄ…
n - 1
gdzie: tą - współczynnik Studenta odczytany z tablic (instrukcja Nr 17) dla r = n-1 stopni swobody i poziomie
istotności ą = 0,05;
n - liczba pomiarów (nie mylić z liczbą okresów);
S - odchylenie standardowe wyrażone wzorem:
n
2
"(x - x)
i
i=1
S =
n
gdzie: xi - i-ty pomiar wielkości x;
x - wartość średnia wielkości x wyliczona ze wzoru:
n
"xi
i=1
x =
n
Wynik pomiaru wynosi:
x = x Ä… "x
Błąd względny pomiaru wynosi:
5
"x
"x = 100%
x
4. Na podstawie równania (13) obliczyć współczynnik tÅ‚umienia drgaÅ„ ², oraz metodÄ… różniczki
zupeÅ‚nej (instrukcja nr 17) wyznaczyć jego bÅ‚Ä…d wzglÄ™dny ("²) i bezwzglÄ™dny ("²).
"² " "T
"² = = +
²  T
5. MajÄ…c wyznaczony współczynnik tÅ‚umienia drgaÅ„ ², oraz czÄ™stość drgaÅ„ tÅ‚umionych É, obliczyć na
podstawie równania (11) czÄ™stość drgaÅ„ nietÅ‚umionych Éo, oraz jej bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny ("Éo) metodÄ… różniczki
zupełnej (instrukcja nr 17)
É ²
"É0 = "É + "²
É0 É0
BÅ‚Ä…d wzglÄ™dny ("Éo) wynosi:
"É0
"É =
o
É0
Opracowanie sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
- wstęp teoretyczny z podkreśleniem celu i zakresu wykonanych pomiarów;
- tabele pomiarowe podpisane przez prowadzącego bezpośrednio po wykonaniu ćwiczenia;
- obliczenia wielkości wymaganych w ćwiczeniu oraz ich błędów bezwzględnych i względnych;
- zestawienie na osobnej stronie oddzielnie dla dwu ośrodków tłumiących końcowych wyników obliczeń z
uwzględnieniem ich błędów: okresu (T ą "T), logarytmicznego dekrementu tłumienia drgań ( ą ", "),
współczynnika tÅ‚umienia drgaÅ„ (² Ä… "², "²), czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ nietÅ‚umionych (Éo Ä… "Éo, "Éż) i tÅ‚umionych
(É Ä… "É, "É);
- dyskusję wyników.
Proszę nie zapomnieć o wpisaniu jednostek przy wielkościach mianowanych oraz o prawidłowym
zaokrągleniu błędów!
6