Mateusz Szumilas, wydział Mechatroniki, grupa 25, zespół 9
ĆWICZENIE 32.
WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO d METOD
STATYCZN

1. WST
P
Ćwiczenie miało pozwolić na poznanie własności i zasady działania piezoelektryków poprzez
badanie zjawiska piezoelektrycznego prostego oraz odwrotnego. W powyższym celu dokonano
pomiarów modułu piezoelektrycznego d na drodze wykorzystania obciążenia mechanicznego i
rejestracji powstałej na powierzchni materiału różnicy potencjałów (zjawisko piez. proste) oraz
pomiaru dylatometrem wydłużenia próbki podłączonej do wysokiego napięcia (zjaw. piez. odwrotne).
Ćwiczenie zawierało także część dotyczącą pomiaru stałej balistycznej galwanometru, co umożliwiło
zapoznanie siÄ™ z metodÄ… skalowania tego przyrzÄ…du.
Stałą balistyczną b obliczamy z następującej proporcji:
q C
q=bÅ"a Ò! b=
[ ]
a dz
gdzie: q  ładunek, który przepłynął przez galwanometr [C], a  wychylenie wskazówki
galwanometru [dz]
Moduł piezoelektryczny d dla zjawiska prostego można wyznaczyć ze wzoru:
33
­Ä…q C
­Ä…q=d ­Ä… F Ò!d =
33 33
[ ]
­Ä… F N
gdzie: "q  przyrost ładunku [C], "F  odpowiadający mu przyrost obciążenia [N]
Zaś w zjawisku odwrotnym do obliczenia d oraz d posłużyły poniższe równości:
33 31
x0
­Ä… x=d Ä…Ä… U
33 3
z0
d =d Ä…Ä…
31 33
gdzie: U
3  napięcie przyłożone do płytki piezoelektryka [V], "x  zmiana rozmiarów poprzecznych
płytki [m], x , z  wymiary nominalne płytki [m], ł  współczynnik Poissona
0 0
2. UKA
ADY POMIAROWE
A. WYZNACZANIE STAA
EJ BALISTYCZNEJ
Przepływ znanego ładunku przez galwanometr G
uzyskano rozładowując przezeń kondensator C o
określonej pojemności i zadawanym z zasilacza
(pracujÄ…cego jako z
ródło napięciowe) napięciu
ładowania. Zmiana stanu pomiędzy  rozładowanie i
 ładowanie odbywała się poprzez zmianę położenia
klucza K. Pomiar napięcia ładowania odbywał się na
woltomierzu V włączonym równolegle w oczko
kondensator  zasilacz.
Rys. 1. Układ pomiarowy do podpunktu A
1
Parametry elementów układu:
- Galwanometr: klasa  1,5; liczba działek  140
- Kondensator: C = 5'000 pF
- Woltomierz: klasa  1; liczba działek  50; zakres  10 V
B. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. PROSTYM
Nacisk na element piezoelektryczny był uzyskiwany dzięki dz
wigni posiadającej możliwość obrotu
wokół osi O. Modyfikowano obciążenie na ramieniu A, co zmieniało nacisk wywierany na
piezoelektryk przez dociskacz umocowany na ramieniu B. Ponieważ w stanie początkowym
dz
wignia była wyważona, to zmienne obciążenie piezoelektryka pochodziło tylko od obciążnika
głównego. Ilość powstałego w wyniku zmiennego obciążenia ładunku polaryzacyjnego mierzono za
pomocą galwanometru wyskalowanego w części A ćwiczenia.
Rys. 2. Układ pomiarowy do podpunktu B
Parametry elementów układu:
- Galwanometr: klasa  1,5; liczba działek  140
- Dz
wignia: długości ramion A i B  1,10 i 0,10 m; obciążenie wstępne 4,22kg
pomiar długości ramion dz
wigni: miarka o działce 1mm  stąd błąd systematyczny 0,5mm;
błąd ten wydaje się być jednak zaniżony, bowiem niemożliwe było utrzymanie przymiaru w
linii prostej i przyłożonego do dz
wigni  dlatego błąd określam na 5mm dla ramienia A i
1mm dla ramienia B
- Obciążniki: masa - 0,500 ą 0,001 kg
C. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. ODWROTNYM
W układzie C wydłużenie próbki
materiału piezoelektrycznego
uzyskiwano przez przyłączenie do
jej elektrod wysokiego napięcia
pochodzÄ…cego z nastawnego
zasilacza. Pomiar wydłużenia
elementu odbywał się
dylatometrem. Dylatometr oraz
piezoelektryk wraz z elektrodami
zamocowane były w ustalającym
Rys. 3. Układ pomiarowy do podpunktu C
ich wzajemne położenie korpusie.
2
Parametry układu:
- Dylatometr: zakres  60źm; l. działek  60
- Zasilacz: działka  0,01kV; zakres: 0  3,5kV
- Próbka piezoelektryka: wsp. Poissona ł=0,33; wymiary nominalne płytki: x =110mm, z =1,5mm
0 0
3. WYKONANIE ĆWICZENIA
A. WYZNACZANIE STAA
EJ BALISTYCZNEJ
Po włączeniu układu do sieci i wyzerowaniu (po zdjęciu zwory) galawanometru wykonywano
następujący cykl pomiarowy:
1. Ustalenie napięcia na zasilaczu i odczyt jego wartości z woltomierza. Klucz zamyka gałąz

kondensator  zasilacz.
2. Pięciokrotne rozładowanie kondensatora poprzez chwilowe zamknięcie kluczem gałęzi
kondensator  galwanometr, któremu towarzyszyła obserwacja wskazań galwanometru.
NapiÄ™cia zadawane przez zasilacz zawieraÅ‚y siÄ™ w przedziale 3÷6V i zmieniaÅ‚y ze skokiem 1V. Po
osiągnięciu wartości maksymalnej (6V) zmieniono polaryzację galwanometru i wykonywano te same
cykle pomiarowe, tym razem obserwując wychyły plamki w przeciwną stronę.
B. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. PROSTYM
Po wyzerowaniu galwanometru (po zdjęciu zwory) i sprawdzeniu wyważenia dz
wigni wykonywano
cykliczne następujące czynności, aż do osiągnięcia obciążenia na obciążniku głównym równego 3kg:
1. Zwiększenie obciążenia na o jeden obciążnik pięćsetgramowy.
2. Opuszczenie dz
wigni i obserwacja wskazania galwanometru.
3. Podniesienie dz
wigni i obserwacja wskazania galwanometru.
C. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. ODWROTNYM
Po wyzerowaniu dylatometru wykonywano cykliczne poniższe czynności, aż do osiągnięcia
maksymalnego dopuszczalnego napięcia na zasilaczu 2,5kV.
1. Zwiększenie napięcia na zasilaczu o 0,5kV.
2. Odczyt wskazania dylatometru.
Następnie cykle zmieniły się i napięcie było zmniejszane do 0kV.
1. Zmniejszenie napięcia na zasilaczu o 0,5kV.
2. Odczyt wskazania dylatometru.
4. WYNIKI I ICH OPRACOWANIE, RACHUNEK BA

DÓW
A. POMIAR STAA
EJ BALISTYCZNEJ
a [działki * 10]
lp U [V] Q [C]
I II III IV V średnia
1 3,0 1,50E-08 1,6 1,5 1,6 1,5 1,6 1,56
2 4,0 2,00E-08 2,1 2,1 2,1 2,1 2,0 2,08
3 5,0 2,50E-08 2,6 2,6 2,6 2,7 2,7 2,64
4 6,0 3,00E-08 3,2 3,1 3,1 3,2 3,2 3,16
5 -6,0 -3,00E-08 -3,1 -3,1 -3,2 -3,0 -3,1 -3,1
6 -5,0 -2,50E-08 -2,6 -2,6 -2,5 -2,6 -2,5 -2,56
7 -4,0 -2,00E-08 -2,1 -2,0 -2,0 -2,0 -2,0 -2,02
8 -3,0 -1,50E-08 -1,6 -1,5 -1,5 -1,5 -1,5 -1,52
Tabela 1. Dane do obliczenia stałej balistycznej galwanometru.
A
adunek Q, który przepłynął przez galwanometr określono z następującego wzoru: Q=CU, ponieważ
C kondensatora była znana i wynosiła 5000pF.
3
Najlepszym przybliżeniem wartości wychylenia plamki galwanometru przy ustalonym ładunku na
kondensatorze jest średnia arytmetyczna z każdej serii 5 odczytów:
1 2,1ƒÄ…2,1ƒÄ…2,1ƒÄ…2,1ƒÄ…2,0
aÅ›r= ai aÅ›r2= =2,08[10Å"dz]
i tak przykładowo dla pomiaru 2:
"
5 5
odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:
4śą2,1-2,08źą2ƒÄ…śą2,0-2,08źą2
sd2= H"4,472Å"10-2[10Å"dz]
5-1
ćą
Błąd systematyczny pomiaru galwanometru określimy znając jego klasę 1,5 oraz zakres 140
(wyrażony w działkach):
1,5
­Ä…as= Å"140=2,1 [dz]=0,21 [10Å"dz]
100
Z teorii wiemy, że wzór na stałą balistyczną ma następującą postać:
q
b= Ò! b=CU
a a
z powyższego dla pomiaru 2:
-9
b=5Å"10 [ F ]Å"4,0[V ]= 2,0Å"10-8[C ]H"9,615Å"10-9 C
[ ]
2,08[10Å"dz] 2,08[10Å"dz] 10Å"dz
Bład stystematyczny pomiaru napięcia wynosi:
1
­Ä…U =0,1ƒÄ… Å"10=0,2 [V ]
s
100
jest to suma błędu pochodzącego od odczytu (działka 0,2 V) oraz od klasy przyrządu (klasa 1,
zakres 10V).
Stąd błąd systematyczny stałej balistycznej:
"b "b C CU 5Å"10-9 2,0Å"10-8 0,21H"1,452Å"10-9 C
­Ä…bs= ­Ä…U ƒÄ… ­Ä…a = ­Ä…U ƒÄ… ­Ä…as= 0,2ƒÄ…
s s
#" #" #" #" [ ]
"U " a aÅ›r2 s a2 2,08 10Å"dz
2,082
śr2
Błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru, po uwzględnieniu współczynnika t-studenta dla poziomu
ufności 0,99 i liczby stopni swobody k=4 [t(0,99;4)=4,60]:
2
­Ä…b =sbÅ"t= sd2 "b t śą0,99 ; 4źą=sd2 CU t śą0,99 ;4źą=4,472Å"10-2 2Å"10-8Å"4,6H"9,510Å"10-10 C
p1
#" #" [ ]
śą źą
" a 10Å"dz
ćą a2 2,082
śr2
Ponieważ błąd przypadkowy jest porównywalny z systematycznym, oba należy uwzględnić w
obliczeniach.
Dla poziomu ufności bliskiemu 1:
­Ä…b
p1
­Ä…b1=­Ä… bp1ƒÄ…­Ä…bs= ƒÄ…­Ä…bsH"4,253Å"10-10ƒÄ…1,452Å"10-9=1,877Å"10-9 C H"2Å"10-10 C
[ ] [ ]
10Å"dz dz
5
ćą
Natomiast przy przenoszeniu wariancji (poziom ufności 0,682):
2
1 1
­Ä…bp2= sd2 " b t śą0,682;4źą= sd2 CU t śą0,682; 4źą=
#" #"
śą źą
" a
5 5
ćą ćą ćą a2
śr2
=2Å"10-2 2Å"10-8Å"1,15H"1,063Å"10-10 C
[ ]
10Å"dz
2,082
­Ä…bs2
­Ä…b2= ­Ä…bp22ƒÄ… H" 1,1300Å"10-20ƒÄ…7,0277Å"10-19H"8,4500Å"10-10 C =9Å"10-11 C
ćą
[ ] [ ]
3 10Å"dz dz
ćą
b=śą10Ä…2źąÅ"10-10 C - wynik na poziomie ufnoÅ›ci ¸Ä…C"1
[ ]
dz
b=śą96Ä…9źąÅ"10-11 C - wynik na poziomie ufnoÅ›ci ¸Ä…C"0,682
[ ]
dz
4
Wykres 1. Wykres z programu Origin przedstawiający aproksymację liniową zależności ładunku
przepływającego przez galwanometr od odczytanego wychylenia plamki.
Program Origin aproksymując wyniki linią prostą, obliczył stałą balistyczną (współczynnik
nachylenia prostej) równą:
b=9,6407Å"10-10 C
[ ]
dz
zaś jej błąd przypadkowy:
­Ä…b =3,0974Å"10-12 C
p
[ ]
dz
co po uwzglÄ™dnieniu współczynnika t-studenta dla 6 stopni swobody i ¸Ä…C"0,682
­Ä…b Å"t śą0,682 ;6źą=3,0974Å"10-12Å"1,10=3,4071Å"10-12 C
p
[ ]
dz
Jak widać błąd przypadkowy wynikły z zastosowania tej metody jest o wiele mniejszy niż
­Ä…b =4,253Å"10-10 C
co ma swoje z
ródło w jej specyfice oraz w wykorzystaniu większej liczby
p1
[ ]
dz
danych pomiarowych.
5
Jednak przyjmując wynik pochodzący z programu Origin należy rozważyć, czy brać pod uwagę błąd
systematyczny. Jako że jest on znacznie większy od błędu przypadkowego, okazuje się, że to właśnie
ten drugi możemy pominąć, w związku z czym dla poziomu ufności 0,682 mamy:
­Ä…bs2
­Ä…b= H" 7,0277Å"10-19H"8,3831Å"10-10 C =9Å"10-11 C
ćą
[ ] [ ]
3 10Å"dz dz
ćą
¸Ä…C"0,682
b=śą96Ä…9źąÅ"10-11 C
i ostatecznie: na poziomie ufności
[ ]
dz
B. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. PROSTYM
wychylenie [działka*10] ładunek [C]
lp obciążenie [kg] siła nacisku [N]
zdjęcie docisk zdjęcie
docisk
1 0,5 53,9 -0,8 0,7 -7,68000E-09 6,72000E-09
2 1 107,8 -1,6 1,6 -1,53600E-08 1,53600E-08
3 1,5 161,7 -2,3 2,3 -2,20800E-08 2,20800E-08
4 2 215,6 -3,2 3,1 -3,07200E-08 2,97600E-08
5 2,5 269,5 -4,1 4,0 -3,93600E-08 3,84000E-08
6 3 323,4 -4,8 4,4 -4,60800E-08 4,22400E-08
Tabela 2. Dane do obliczenia modułu piezoelektrycznego w zjawisku p. prostym.
A
adunek Q, który przepłynął przez galwanometr, określono z następującego wzoru: Q=ba, gdzie a -
wychylenie [dz], zaś b  stała balistyczna obliczona w pierwszej części ćwiczenia [C/dz]. Nacisk
obliczono korzystając z równania statyki uwzględniającego zerowanie się momentów dz
wigni:
lobc
lobc lobc
=11
lobc F =lnac F Ò! F = F Ò! F =mg
obc nac nac
lnac obc nac lnac wiedząc, że lnac
gdzie: m  obciążenie [kg]; l , l - długości ramienia obciążanego i naciskającego [m];
obc nac
g - przyspieszenie ziemskie [m/s2]
Wykres 2. Zależność między zmianą obciążenia piezoelektryka a wywołanym nią przepływem
ładunku przez galwanometr dołączony do elektrod ww.
6
Dla danych z Tablicy 2 program Excel obliczył współczynnik nachylenia prostej regresji
odpowiadający szukanemu modułowi d , a także jego błąd przypadkowy "d :
33 33 p
­Ä…q
d = =-1,3955Å"10-10 C ­Ä…d 33p=1,4445Å"10-12 C
33
[ ]
­Ä… F N [ ]
N
ponieważ liczba pomiarów przewyższa 10, nie ma potrzeby wymnażania błędu przypadkowego przez
współczynnik t-studenta.
Wartość d należy skorygować zapisując moduł jako dodatni, ponieważ kierunek przepływu ładunku,
33
a tym samym znak przyrostu "q, zależy tylko od sposobu zestawienia układu pomiarowego.
Aby obliczyć błąd systematyczny przekształcono wzór na moduł piezoelektryczny tak, aby był on
jawną funkcją mierzonych wartości:
lnac
q
d33=
mÅ"g lobc
stąd można policzyć, obierając przykładowy punkt o obciążeniu 2kg, w chwili docisku
(Å‚adunek: -3,072e-8):
"d " d " d " d
33 33 33 33
­Ä… d = ­Ä… qƒÄ… ­Ä… mƒÄ… ­Ä…lobcƒÄ… ­Ä…lnac=
33s
#" #" #" #"
#" #" #" #"
" q " m "lobc "lnac
lnac lnac lnac
1 q q q 1
= ­Ä…qƒÄ… ­Ä…mƒÄ… ­Ä…lobcƒÄ… ­Ä…lnac=
mÅ"g lobc m2Å"g lobc mÅ"g mÅ"g lobc
l2
obc
1 q q
= lnac ­Ä…qƒÄ… lnac ­Ä…mƒÄ… lnac ­Ä…lobcƒÄ…q ­Ä…lnac =
śą źą
mÅ"gÅ"lobc m lobc
1
= śą9Å"10-12ƒÄ…1,536Å"10-12ƒÄ…1,3964Å"10-11ƒÄ…3,072Å"10-11źą=2,5612Å"10-12 C
[ ]
21,56 N
ponieważ błąd systematyczny jest podobnego rzędu co przypadkowy, wypadkowy błąd obliczam z
metody przenoszenia wariancji:
2
­Ä… d
2 33s
­Ä…d = ­Ä… d ƒÄ… H" 2,0866Å"10-24ƒÄ…6,5597Å"10-24H"2,9406Å"10-12=3Å"10-12 C
ćą
33 33p
[ ]
3 N
ćą
Ostateczny zapis wyniku:
d =śą140ą3źą 10-12 C
33
[ ]
N
C. WYZNACZANIE MODUA
U PIEZOELEKTRYCZNEGO W ZJAWISKU P. ODWROTNYM
lp napięcie [kV] wydłużenie [um]
1 0 0
2 0,5 -3
3 1 -6,5
4 1,5 -10,2
5 2 -14,5
6 2,5 -20
7 2 -17
8 1,5 -15
9 1 -10,5
10 0,5 -6
11 0 -1
Tabela 3. Dane do obliczenia modułu piezoelektrycznego w zjawisku p. odwrotnym.
7
Wykres 3. Zależność między wydłużeniem poprzecznym "x piezoelektryka a zmianą napięcia do
niego przyłożonego. Widoczna jest histereza materiału i pewna pozostałość odkształcenia. Odcinek
oznacza wielką półoś quasi elipsy.
Moduł d obliczam w punkcie (2500,-20) korzystając ze wzoru:
33
x0
­Ä… x=d Ä…Ä… U
33 3
z0
z0­Ä… x
d = H"-3,2058Å"10-10 m
33
[ ]
x0 Ä…Ä… U V
3
Moduł d natomiast:
31
d =d Ä…Ä… Ò! d =-0,33"3,2058Å"10-10H"-1,0579Å"10-10 m
31 33 31
[ ]
V
Błąd systematyczny (dylatometr: 0,5źm; woltomierz: 10V  błędy odczytu):
" d " d z0 1 z0 x
33 33
­Ä…d = ­Ä… xƒÄ… ­Ä…U = ­Ä… xƒÄ… ­Ä…U H"
33 3
2
#" #"
#" #"
" x "U x0 Ä…Ä… U x0 Ä…Ä…
U3 3
3 3
H"8,2645Å"10-12ƒÄ…1,3223Å"10-12=9,5868Å"10-12=1Å"10-11 m
[ ]
V
Ostateczny zapis (znak modułu pominięty jako pochodzący tylko od zestawienia układu):
d =śą32Ä…1źąÅ"10-11 m
33
[ ]
V
dla poziomu ufnoÅ›ci ¸Ä…C"1
m
d =śą11Ä…1źąÅ"10-11
31
[ ]
V
8
5. WNIOSKI
Piezoelektryki charakteryzują się w badanym zakresie dobrą liniową zależnością wytwarzanego
ładunku od nałożonego obciążenia. Wyraz
nie zaobserwować można także histerezę i pozostałości
odkształceniowe w próbkach podczas badania zjawiska piezoelektrycznego odwrotnego. Wszystkie
pomiary charakteryzowały się zadowalającymi dokładnościami, tzn. ich błędy względne nie
przekraczały 10%. Można stwierdzić, że urządzenia pomiarowe są dobrane optymalnie do charakteru
pomiarów  błędy systematyczne i przypadkowe pozostają zbliżone do siebie.
9