Ćw.5
Fale sprężyste. Wyznaczenie częstotliwości drgań
generatora akustycznego metodÄ… fali stojÄ…cej
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest pomiar kilku częstości drgań generatora akustycznego, zmodyfikowaną metodą
Meldego jak również wyznaczenie prędkości fali akustycznej rozchodzącej się w cienkich nitkach (żyłkach)
wykonanych z różnych materiałów.
Zakres obowiązującego materiału teoretycznego
Równanie fali. Fala poprzeczna i podłużna. Interferencja fal. Równanie fali stojącej. Prędkość fazowa fal w
ośrodkach sprężystych.
1. Zasada pomiaru
Jeżeli do membrany głośnika akustycznego przymocujemy prostopadle cienki pręt i głośnik podłączymy do
generatora akustycznego to możemy membranę wraz z prętem wprowadzić w drganie akustyczne. Mocując do
pręta cienką nitkę i napinając ją w kierunku prostopadłym do drgań pręta, możemy obserwować wzdłuż naszej
nitki falę stojącą. Zjawisko to powstaje dlatego, że drganie pręta udziela się nitce, fala powstałych zaburzeń
rozchodzi się wzdłuż nitki, następnie odbija się od punktu jej umocowania i powracając interferuje z falą
nadchodzącą. Oczywiście musi być przy tym spełniony następujący warunek: długość nitki winna odpowiadać
całkowitej wielokrotności odległości miedzy sąsiednimi węzłami ( /2) (rys.1):

L = (n - 1)
(1)
2
Rys.1 Fala stojÄ…ca
Wyjaśnienie dotyczące spełnienia tego warunku i otrzymanie węzła drgań nitki w punkcie odpowiadającym
strzałce drgań pręta wprowadzającego nitkę w drgania zostanie omówione w rozdziale "Przeprowadzenie
pomiarów" (punkt 4).
1
Częstotliwość drgań f fali stojącej wytworzonej na nitce przymocowanej do pręta głośnika i pobudzonego przez
generator akustyczny, przy odpowiednim obciążeniu nitki jest określona wzorem:
n - 1 mg
f =
(2)
2L Á
gdzie:
m - masa ciała napinającego nitkę;
g - przyspieszenie ziemskie;
- liczba wyrażająca masę 1m nitki, czyli gęstość liniowa nitki;
Á
L - długość nitki mierzonej od punktu jej umocowania w głośniku do punktu oparcia nitki na bloczku (rys.2);
n - liczba węzłów powstała na długości nitki l.
Rys. 2 Schemat układu pomiarowego.
Wzór (2) możemy wyprowadzać na podstawie następującego rozważania:
Jeżeli napinamy nitkę (np. jedwabną) siłą F, jest to praktycznie biorąc jedyna siła zewnętrzna, która na nią działa
(ciężar nitki bowiem jako bardzo mały możemy pominąć). Nitka jest w stanie równowagi, kształt jej jest
prostoliniowy. Jeżeli nitka zostanie pobudzona do drgań, to równanie opisujące jej ruch jest klasycznym
równaniem fali o postaci:
d2y d2y
= V2
(3)
dt2 dx2
gdzie
F
V =
(4)
Á
v - prędkość rozchodzenia się zaburzenia wzdłuż nici
F - siła naprężająca nić
- gęstość liniowa nitki
Á
Ponieważ prędkość rozchodzenia się fali wynosi:
2
V = f
(5)
to korzystając z wyrażeń (4) i (5) otrzymujemy:
F
f =
(6)
Á
Podstawiając F=mg i przekształcając otrzymujemy:
1 mg
f =
(7)
 Á
 L
=
ze wzoru (1) wynika, że , wiec:
2 n - 1
2L
 =
(8)
n - 1
Po podstawieniu wartości do wzoru (7) otrzymujemy ostatecznie wcześniej podany wzór (2) na częstotliwość

drgań generatora akustycznego wytwarzającego falę stojącą w naprężonej cienkiej nitce:
n - 1 mg
f =
(9)
2L Á
Mając wyznaczoną częstotliwość drgań generatora f i odpowiadającą tej częstotliwości długość fali stojącej (8)

możemy na podstawie wzoru (5) obliczyć prędkość fali poprzecznej V rozchodzącej się wzdłuż nitki.
2. Cześć doświadczalna
Przyrządy i materiały
Zestaw używany do pomiarów częstotliwości drgań generatora i wyznaczenia prędkości fali akustycznej w
cienkich nitkach (rys.2) składa się z głośnika do którego membrany przymocowany jest lekki pręt umożliwiający
zamocowanie jednego końca badanej nitki. y
ródłem drgań jest głośnik zasilany z generatora akustycznego GA
poprzez wzmacniacz mocy WM. Drugi koniec nitki przeprowadzony jest przez bloczek B i obciążony małą szalką
z odważnikami. Położenie bloczka można zmieniać przesuwając go, przez co zmienia się długość nitki.
Materiałami użytymi do badań są:
- nitka jedwabna;
- cienka żyłka z tworzywa sztucznego.
Przeprowadzenie pomiarów
3
I.
a. Obliczyć gęstość liniową nitki i żyłki:
Á
- wyznaczyć z dokładnością do 1mg masy 1m nitki i żyłki;
- wyznaczyć długość zważonych nitek z dokładnością do 1mm.
b. Wyznaczyć z dokładnością do 1mg masę ms szalki z haczykiem.
c. Ustawić przełącznikiem v częstotliwość. Zawiesić szalkę na badanej nitce i włączyć generator akustyczny
1
lewym pokrętłem (należy je przekręcić maksymalnie w prawo). Prawe pokrętło służy do regulacji amplitudy
drgań.
II.
a. Zmieniać długość nitki przez przesuwanie bloczka do położenia, przy którym wystąpią wyraz
ne i nieruchome
węzły. Przy tym położeniu zmierzyć długość L nitki i policzyć liczbę węzłów n.
L = (n
nie jest dokładnie
Uwaga: Na nitce powstaje fala stojÄ…ca nawet w przypadku, gdy warunek - 1) 2
spełniony. Wówczas jednak pierwszy węzeł nie przypada dokładnie w punkcie przymocowania nitki do pręta
L = (n
gÅ‚oÅ›nika, lecz w pewnej odlegÅ‚oÅ›ci , ( - 1) 2 + µ
). Amplituda drgań nitki jest bardzo mała, jeżeli nie
µ µ
jest bliska zeru. Dzięki przesuwaniu bloczka można doprowadzić drgania nitki do stanu, w którym praktycznie
biorąc =0. Osiągniecie tego stanu nie nastręcza trudności przy niewielkich obciążeniach szalki. Gdy =0
µ µ
amplituda drgań wzrasta i otrzymuje się wyraz
ny obraz układu strzałek i węzłów. W rzeczywistości drgania
nitki nie są zupełnie izochroniczne, tzn. że częstość ich zależy w pewnym niewielkim stopniu od amplitudy. To
zjawisko nieizochronizmu powoduje, że w pobliżu rezonansu amplituda drgań tak wpływa na położenie
ostatniego węzła, iż węzeł ten przypada dokładnie na drgającym pręcie. W ten sposób wyjaśnia się pozorny
paradoks, że w punkcie, w którym istnieje strzałka dla pręta, powstaje węzeł drgań nitki. Przy doborze
długości nitki, jej obciążenia i częstości drgań spełniających warunek rezonansu, amplituda drgań nitki jest
jednak wielokrotnie większa od amplitudy drgań pręta.
b. Zmienić obciążenia i powtórzyć pomiary nakładając kolejno na szalkę 5, 15, 25 g. Wyniki zapisać w tabeli.
Tabela pomiarów
f - f f - f
( )2
Pomiar Masa m=m +m Długość nitki l Liczba węzłów Częstotliwość
0 s
odważnikó n f
w m
0
[-] [g] [g] [m] [-] [Hz] [Hz] [Hz]
1 0
2 5
3 10
. .
. .
4
III. Powtórzyć pomiary wymienione w punktach IIa i IIb, dla częstotliwości f , f , f .
2 3 4
IV. Wymienić badana nitkę na żyłkę i powtórzyć pomiary jak w punktach IIa, IIb, III. Wyniki zapisać w tabeli.
V. Opracowanie wyników
a. Obliczyć częstotliwości drgań generatora dla poszczególnych obciążeń na podstawie wzoru (2).
b. Obliczyć wartości średnie częstości f1, f2, f3, f4 drgań generatora (dla nici i żyłki wartości średnie wyliczać
osobno).
c. Metodą Studenta-Fischera obliczyć błąd "f1, "f2, "f3, "f4 odpowiednich częstości.
Przykład obliczenia błędu dla wielkości x (x reprezentuje wielkości f , f , f , f ) :
1 2 3 4
błąd pomiaru wielkości x
S
"x = tÄ…
n - 1
gdzie:
S - odchylenie standardowe wyrażone wzorem:
n
2
"(x - x)
i
i=1
S =
n
x
- wartość średnia wielkości x wyliczona ze wzoru:
n
"xi
i=1
x =
n
xi - i-ty pomiar wielkości x;
n - liczba pomiarów;
ą - poziom istotności ą=0,05;
- współczynnik Studenta odczytany z tablic (instrukcja Nr 17) dla r=n-1 stopni swobody;
tÄ…
Wynik pomiaru wynosi:
x = x Ä… "x
Błąd względny pomiaru wynosi:
"x
"x = 100%
x
d. Porównać częstotliwości generatora otrzymane z pomiarów wykonanych dla żyłki i dla nitki.
e. Obliczyć prędkość rozchodzenia się fali poprzecznej w nitce i żyłce zgodnie ze wzorem (5). Porównać
wartości prędkości otrzymane dla rożnych częstotliwości przy jednakowych obciążeniach dla tego samego
materiału.
5
3. Wyniki obliczeń i wnioski.
Na osobnej stronie podać wyniki obliczeń częstotliwości f , f , f , f drgań generatora z uwzględnieniem
1 2 3 4
wyliczonych błędów. Napisać wnioski.
6